2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 (PDF版)
2017年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、在等比数列{}n a 中，22=a ，333=a ，则2017720111a a a a ++为2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值 为在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为5、在正四面体ABCD 中，F E ,分别在棱AC AB ,上，满足4,3==EF BE ，且EF 与面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 ．6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为7、设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线0222=++a ay x 的焦距为4，则实数a 的值为 ．8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。
10、（本题满分20分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足221n n n n a a a b -=++， ,2,1=n（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2） 设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0≠d ，并且存在正整数t s ,，使得t s b a +是整数，求1a 的最小值。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 (PDF版)
A1
P
K
D
1 1 1 3 1 3 ，选 A 因此，VD－ABC＝ ×S△ABC×AD＝ ( 1 1 ) 3 3 2 2 4 48
3、已知椭圆 C：ALx2 y 2 1 ，对于任意实数 k，椭圆 C 被下列直线中所截得弦长，与被直线 l： 8 4 y＝kx＋1 所截得的弦长不可能相等的是 A.kx＋y＋k＝0 B. kx－y－1＝0 C. kx＋y－k＝0 D. kx＋y－2＝0 x2 y 2 1 是关于原点 O 对称的中心对称图形，也是关于 x 轴、y 轴对称的轴对 8 4 称图形，∴只要两条直线关于原点成中心对称或者关于 x 轴、y 轴成轴对称，那么它们被椭圆所 截的弦一定是等长的。选 D n 4、对任意正整数 n 与 k(k≤n)，用 f(n，k)表示不超过[ ] 且与 n 互质的正整数的个数(其中[x]表示 k
3 48
B.
3 24
C.
3 16
D.
3 12
解：取 B1C1 的中点 K，BC 的中点 L，在矩形 A1KLA 中(如图)，
3 3 2 ，故 A1P＝ A1K＝ 。 ∵AB＝BC＝CA＝1，∴AL＝A1K＝ 2 3 3
又 AA1＝2，由△ALD∽△AA1P 知 AD A1P AL 1 ， AA1 4
( S n 1) 2 2S 1 ， 2 2 an1 S n1 S n ，∴－(Sn－1) ＝Sn＋1Sn－Sn ，即 S n 1 n Sn Sn
S 1 因此 S n 1 1 S n 1 ，故 1 n 1， Sn S n 1 1 S n 1 S n 1
12、设函数 f(x)是定义在(－，0)上的可导函数，其导数为 f(x)，且有 2f(x)＋xf(x)＞x2，则不等式 (x＋2017)2f(x＋2017)－f(－1)＞0 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 解：∵x＜0，2f(x)＋xf(x)＞x2，∴2xf(x)＋x2f(x)＜x3＜0，故 x2f(x)为(－，0)上的减函数。 不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－f(－1)＞0 即(x＋2017)2f(x＋2017)＞(－1)2f(－1)， 因此，x＋2017＜0 且 x＋2017＜－1，故 x＜－2018。 三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 72 分。解答需要有完整的推理过程或演算步骤。) 13、(本小题满分 16 分) 在锐角△ABC 中，sinA＝ (1)求 sin2(B＋C)＋ sin 2
湖南省2017年高中数学联赛预赛试题
2017年湖南省高中数学联合竞赛试卷一、选择题（本大题共6个，每小题5分，满分30分）1. 设集合{}1,2,3,....,2017X =,集合{(,,),,,S x y z x y z X =∈且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰好有一个成}立,若(,,),(,,)x y z S z w x S ∈∈,则下列选项正确的是( )A. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∉且B. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∈且C. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∈且D. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∉且2.已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥,与棱1AA 交于点D,若122AA AB ==,则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A.48 B. 24 C. 16 D. 123.已知椭圆C: 22184x y +=，对于任意实数k,椭圆C 被下列直线所截得弦长，与被直线:1l y kx =+所得弦长不可能相等的是（ ）A. 0kx y k ++=B. 10kx k --=C. 0kx y k +-=D. 20kx y +-=4.对任意正整数n 与k ()k n ≤，用(,)f n k 表示不超过n k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数个数,则(100,3)f =（ ）A. 11B. 13C. 14D. 195.如果111A B C ∆三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B. 111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 D. 111A B C ∆是钝角三角形, 222A B C ∆也是锐角三角形6.将石子摆在如果所示的梯形形状，称具有“梯形” 结构的石子数依次构成的数列{}n a ： 5,9,14,20，,,,,,,,,,,为“梯形数列”，根据梯形的构成，可知624a =（ ）• • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • •A.166427B.196248C.196249D.196250二、填空题（本大题共6个，每小题8分，满分48分）7.已知函数()f x 满足()()(),(1)3f m n f m f n f +==，则22(1)(2)(2)(4)(1)(3)f f f f f f ++++22(3)(6)(4)(8)(5)(7)f f f f f f ++++=_________8.已知,,A B C 为圆O 的三点，且1()2AO AB AC =+,则AB AC ⋅=__________9.已知复数z ，若方程248430(x zx i i -++=为虚数单位）有实数根，则复数z 的Z 的最小值=_________10.对于正整数n,定义!(1)(2).......21n n n n =--⋅，记12!.....12!3!(1)!n nS n n ⎡⎤=+++-⎢⎥+⎣⎦， 2017S =________11.当0x π≤≤，且3sin2xtan x =____________ 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，有22()()f x xf x x '+>， 则不等式2(2017)(2017)(1)0x f x f ++-->的解集_______________13.（16分） 在锐角ABC ∆中，sin A ,a,b,c 为A,B,C 的对边， （1）求2sin 2()sin 2B CB C +++的值 （2）若4a =，求当AB AC ⋅取最大值时ABC ∆的面积14.（16分）已知数列{}n a 满足211(1)2,()n n n s a a n N s ++-==-∈,其中n S {}n a 的前n 项和， (1)求证：11n s ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列(2)若对于任意的n,均有：12(1)(1).....(1)n s s s kn +++≥，试求k 的最大值.15.（20分） 已知,a b R +∈,a b ≠（1ln 2a b a ba lnb -+<- （2）如果,a b 是函数()ln 2017f x x x =-的零点，证明：2ab e > (此题目有错误,省竞委已经做了声明)16.（20分） 已知AB 是椭圆22:1(,0,)C mx ny m n m n +=>≠上的斜率为1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于CD 两点，设CD 的中点F,CD 交于AB 于E (1)求证：2224CD AB EF -= (2)求证：四点ABCD 共圆四、加试（每大题20分）(发哥给学生考时个人加的)（1） 在锐角ABC ∆，证明：(2)设12,,...,0n a a a >，证明：....(3)给定正整数k,a,b,若对于任意正整数n,都有：n k n k a n b n ++，证明:a=b(4)对于给定正整数3n ≥，任取12...,n x x x <<<，求211211n n i j i j n ni ji j x x f x x ====⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∑∑∑∑的最大值.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。
2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.pdf
19、（8
分）解析：（1）因为
f
(x)
=
2x 2(x
−1)2
,x −1, x
0, 0.
5
f (0) = 2 −1=1, f (1) = −1
所以
…………………………2 分
x [0,1] f (x) = 2(x −1)2 −1
− − o
x
2
2
2
17. （本小题满分 8 分）已知数列an满足 an+1 = 3an (n N*) ，且 a2 = 6 .
（1）求 a1 及 an ；
（2）设 bn = an − 2 ，求数列 bn的前 n 项和 Sn .
18. (本小题满分 8 分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩 中随机抽取 20 名学生的成绩进行分析，得到如图 7 所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数； （2）从成绩不低于 80 分的两组学生中任选 2 人，求选出的两人来自同一组的概 率.
频率/组距
0.040
0.020 0.015 0.010
50 60 70 80 90 100 成绩（分）
3
19. （本小题满分 8 分）
已知函数
f
(x)
=
2(x
2x, x 0, −1)2 + m, x
0.
（1）若 m= -1,求 f (0) 和 f (1) 的值，并判断函数 f (x) 在区间（0，1）内是否有 零点； （2）若函数 f (x) 的值域为[-2, + ),求实数 m 的值.
所以{bn} 的前 n 项和为：
湖南省三湘名校教育联盟2017届高三第三次大联考试题数学理Word版含答案bybao
三湘名校教育联盟●2017届高三第三次大联考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}32|31,|4120x A x B x x x +=<=-->，则()R C A B = A. [)3,2-- B.(],3-∞- C. [)()3,26,--+∞ D.()()3,26,--+∞2.已知命题:p ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >，则下列命题为真命题的是A. p 的逆命题B. p 是否命题C. p 逆否命题D. p 的否定3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 1B. 1-C. 0D. 24.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，输出n 的值为N,则在区间[]1,4-上随机选取一个数M,1M N ≥-的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 455.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数2i e 在复平面内位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三四象限D.第四象限6.函数cos ln x y x=-的图象大致是 7.()9214x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为 A. 36 B. -144 C. 60 D.-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为A.32π B. 43π43π D. 3π 9.体育课排球发球项目考试的规则是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，则X 的期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是 A. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1011.如图，抛物线()220y px p =>和圆220x y px +-=，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A,B,C,D 四点，2AB CD ⋅=则p 的值为 A. 222212.已知函数()()33f x ax a x =+-在[]1,1-的最大值为3，则实数a 的取值范围是 A. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []3,3-D. []3,12- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3040S =，则38a a ⋅的最大值为 .14.已知实数,x y 满足2220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则z ax y =+的最小值为1，则a = .15.以40km/h 向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向向正东飘去，3min 后气球上升到1km 处，从探测船上观察气球的仰角为30，则气球的水平漂移速度是为 km/h. 16.已知平面向量,a b 满足2a b ==，存在单位向量e ，使得()()0a e b e -⋅-=，则a b -的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()()sin sin ,0.3f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭（1）若()f x 在[]0,π上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求ω的取值范围； （2）若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且()003f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求ω的值. 18.（本题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布子啊某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.（1）在答题卡上分别画出y 关于t 的散点图，z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并子啊两个模型下分别估计温度为的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.85 5.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19.（本题满分12分）已知三棱台111ABC A B C -中，11114,222,1AB BC AC AC AA CC ======,平面11ABB A ⊥平面11ACC A（1）求证：1BB ⊥平面11ACC A ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B --的大小为30，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为12,F F 是圆内一个定点，且122F F =，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD 与半径1PF 的交点为Q,当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线为E,以12F F 所在的直线为x 轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为12,A A （1A 在2A 的左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M,N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线12,A M A N 交于点T ，求证：动点T 恒在定直线l '上，并求出l '的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x x x x a =--（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x ≤恒成立，且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(),1,a n n n Z ∈+∈的n 的值，若不存在，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
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3 48
B.
3 24
C.
3 16
D.
3 12
解：取 B1C1 的中点 K，BC 的中点 L，在矩形 A1KLA 中(如图)，
3 3 2 ，故 A1P＝ A1K＝ 。 ∵AB＝BC＝CA＝1，∴AL＝A1K＝ 2 3 3
又 AA1＝2，由△ALD∽△AA1P 知 AD A1P AL 1 ， AA1 4
f 2 ( 4) f (8) ＝＿＿＿＿＿＿。 f (7 ) f (1) 2 f ( 2) 2 f 2 (1) f ( 2 ) 2 f ( 4) 2 f 2 ( 2) 2 f ( 2) 2 f (1) 6 ， 2 f (1) 6 ， f (1) f (1) f (3) f (1) f ( 2) f (1)
A1
P
K
D
1 1 1 3 1 3 ，选 A 因此，VD－ABC＝ ×S△ABC×AD＝ ( 1 1 ) 3 3 2 2 4 48
3、已知椭圆 C：
A
L
x2 y 2 1 ，对于任意实数 k，椭圆 C 被下列直线中所截得弦长，与被直线 l： 8 4 y＝kx＋1 所截得的弦长不可能相等的是 A.kx＋y＋k＝0 B. kx－y－1＝0 C. kx＋y－k＝0 D. kx＋y－2＝0 x2 y 2 1 是关于原点 O 对称的中心对称图形，也是关于 x 轴、y 轴对称的轴对 8 4 称图形，∴只要两条直线关于原点成中心对称或者关于 x 轴、y 轴成轴对称，那么它们被椭圆所 截的弦一定是等长的。选 D n 4、对任意正整数 n 与 k(k≤n)，用 f(n，k)表示不超过[ ] 且与 n 互质的正整数的个数(其中[x]表示 k
2
8、已知 A，B，C 为⊙O 上三点，且 AO 1 ( AB AC ) ，则数量积 AB AC ＝＿＿＿＿＿＿。 2 1 解：∵ AO ( AB AC ) ，∴圆心 O 为 BC 边的中点，因而∠BAC＝90，故 AB AC ＝0。 2 9、已知 z∈C，若关于 x 的方程 4x2－8zx＋4i＋3＝0(i 为虚数单位)有实数根，则复数 z 的模|z|的最 小值6248
C.196249
D.196250
解：依题意，an＋1－an＝n＋3(n∈N*)。 ∴a624＝(a624－a623)＋(a623－a622)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝626＋625＋…＋5＋4＋(3＋2) ＝
( 2 626) 625 2
＝196250，选 D 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 8 分，满分 48 分，解题时只需将正确答案直接填在题中 横线上。) f (1) 2 f ( 2) ＋ f ( 2) 2 f ( 4) ＋ f 2 (3) f (6) 7、 已知函数 f(x)满足 f(m＋n)＝f(m)f(n)， f(1)＝3， 则 f (1) f (3) f (5) ＋
解：∵
f 2 (3) f (6) 2 f 2 (3) 2 f (3) f 2 ( 4) f (8) 2 f 2 ( 4) 2 f ( 4) 2 f (1) 6 ， 2 f (1) 6 ， f (5) f ( 2) f (3) f ( 2) f (7) f (3) f ( 4) f (3) ∴原式＝24。
2017 年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案
考生注意：1、本试卷共三大题(16 个小题)，全卷满分 150 分。2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分。每小题所给提供的四个选项中只有一 项是符合题目要求的。) 1、设集合 X＝{1，2，…，2017}，集合 S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件 x＜y＜z，y＜z＜x， z＜x＜y 恰有一个成立}，若(x，y，z)∈S，且(z，w，x)∈S，则下列选项正确的是 A.(y，z，w)∈S 且(x，y，w)S B.(y，z，w)∈S 且(x，y，w)∈S C.(y，z，w)S 且(x，y，w)∈S D.(y，z，w)S 且(x，y，w)S 解：依题意，集合 S 中的数组(x，y，z)是按某种大小关系排好序的，不妨设为 x＜y＜z。 于是由(x，y，z)∈S 知 x＜y＜z，再由(z，w，x)∈S 知 w＜x＜z 或 x＜z＜w， 因此，x、y、z、w 的大小关系为 w＜x＜y＜z 或 x＜y＜z＜w。选 B 2、 已知点 P 为正三棱柱 ABC－A1B1C1 上底面△A1B1C1 的中心， 作平面 BCD ⊥AP，与棱 AA1 交于 D，若 AA1＝2AB＝2，则三棱锥 D－ABC 的体积为 A.
解：∵椭圆 C：
1
不超过 x 的最大整数)，则 f(100，3)＝ A.11 B.13 C.14 D.19 解：依题意，f(100，3)表示不超过 33 且与 100 互质的正整数的个数，这样的正整数只有 3，7，9， 11，13，17，19，21，23，27，29，31，33 共 13 个。选 B 5、如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值，则 A.△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 也是锐角三角形 B.△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 也是钝角三角形 C.△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 则是钝角三角形 D.△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 则是锐角三角形 解：依题意，cosA1＝sinA2＞0，cosB1＝sinB2＞0，cosC1＝sinC2＞0， 于是 A1，B1，C1 均为锐角，所以△A1B1C1 是锐角三角形。 若△A2B2C2 是直角三角形，不妨设 A2＝90，则 cosA1＝1，不可能； 若△A2B2C2 是锐角三角形，则由 cosA1＝sinA2，cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2， 得 A1＋A2＝90，B1＋B2＝90，C1＋C2＝90，从而有 360＝270，也不可能； 故△A2B2C2 是钝角三角形。选 C 6、将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{an}：5，9， 14，20，…，为“梯形数列” 。根据“梯形”的构成，可知 a624＝