新教材高中数学5.6第1课时匀速圆周运动的数学第五章三角函数模型及函数y=Asinωxφ的图象课件人教A版必修一
y=f(x)的解析式为 f(x)=- cos 2x .
解析:y=2sin x 的图象
y=2sin(x- )的图象
y=2sin(2x- )的图象 y= sin(2x- )的图象,即 f(x)=- cos 2x 的图象.
方法规律
1.三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数 y=sin x 的图象经过平移变换后图象对应 的函数解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减” 的原则进行.
y=sin x 的图象
y=sin(x+φ)的图象
y=sin(x+φ)的图象 y=sin(ωx+φ)的图象
y=sin(ωx+φ)的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.
【思考】 由函数 y=sin x 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象时必须先进行平移变换吗?
提示:不一定,可以先平移再伸缩,也可以先伸缩再平移.
方法规律
“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)图象的步骤 第一步:列表.
ωx+φ 0
π
π 2π
x-
--
--
y
0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用平滑的曲线连接这些点,先得到一个周期
内的图象,再将这部分图象向左、向右延伸整数个周期即
可,得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.
【跟踪训练】 1.作出函数 y= cos( x+ )在一个周期内的图象.
解:列表.
x+ 0
π
2π
x-
y
0-
0
描点,连线得函数 y= cos( x+ )在一个周期内的图象,如图.
探索点二 三角函数图象之间的变换
【例 2】 (1)要得到 y=3sin(2x+ )的图象,只需将 y=3sin 2x 的图象 ( )
长度,所得图象对应的函数 g(x)为偶函数,则 m 的最 小值是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,可知 f(x)=
= sin -cos =2sin( - ),
向左平移 m(m>0)个单位长度即为 g(x)=f(x+m)=2sin( - ). 又因为新函数 g(x)为偶函数,由三角函数图象的性质可得, 当 x=0 时函数值为最大值或最小值, 即 sin( - )=1 或 sin( - )=-1,
二、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 [知识梳理] 1.φ 对函数 y=sin(x+φ)的图象的影响
左
右
2. ω(ω>0)对函数 y=sin(ωx+φ)的图象的影响
缩短
伸长
3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
伸长 缩短
4.函数 y=sin x 的图象与 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关系 正弦曲线 y=sin x 到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程:
答案:×
探索点一 “五点法”作函数图象及应用
【例 1】 已知函数 y=2sin(2x- ),用“五点法”作出 其简图.
解:列表.
2x-
0
π
2π
x y=2sin(2x- ) 0 2 0 -2 0
描点,连线得函数 y=2sin(2x- )在一个周期内的图象. 再将这部分图象向左、向右延伸 kπ(k∈Z)个单位长度, 即可得函数 y=2sin(2x- )的图象(如图).
3.理解从正弦曲线到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,能 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)识梳理] 形如 y=Asin(ωx+φ)函数模型的建立: 模型准备(匀速圆周运动)→模型假设(三角函数模型)→
模型建立(H=rsin(ωt+φ)+h).
度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,所得图象的 函数解析式为 y=sin(10x- ) .
解析:y=sin(5x- )的图象
y=sin[5(x- )- ]=
sin(5x- )的图象
y=sin(10x- )的图象.
4.拔高练定义运算:
=a1a4-a2a3,将函数
f(x)=
的图象向左平移 m(m>0)个单位
y=A2sin ω2x 的图象. y=A2sin ω2x 的图象.
【跟踪训练】 2.变式练本例题(1)中由 y=3sin(2x+ )的图象得到 y=3sin 2x 的图象,如何平移?
解:由例题知由 y=3sin(2x+ )的图象得到 y=3sin 2x 的图象应该向右平移 个单位长度.
3.同类练先将函数 y=sin(5x- )的图象向右平移 个单位长
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=sin x 的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来 的 2 倍所得到的图象对应的函数解析式为 y= sin x.( )
答案:×
(2)把 y=sin( x- )的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变 为原来的 ,所得图象对应的函数解析式为 y=sin(x- ). ( )
度,则所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=sin(2x- )
B.y=-sin 2x
C.y=cos 2x
D.y=sin(2x+ )
解析:由题意,y=sin x 的图象
y=sin 2x
的图象 图象.
答案:C
y=sin 2(x+ )的图象,即 y=sin(2x+ )=cos 2x 的
(3)若把函数 y=f(x)图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平 移 个单位长度,这样得到的图象和 y=2sin x 的图象相同,则函数
所以 - =kπ+ ,k∈Z,即 m=2kπ+ ,k∈Z.
又因为 m>0,所以 m 的最小值是 .故选 C.
答案:C
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解析:y=3sin 2x 的图象 的图象,即 y=3sin(2x+ )的图象.
答案:C
y=3sin 2(x+ )
(2)先把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到 原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移 个单位长
第五章 三角函数
5.6 函数 y=Asin(ωx+φ)
第 1 课时 匀速圆周运动的数学模型及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
[学习目标] 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的现实背景,经历匀 速圆周运动的数学建模过程,进一步体会三角函数与现实世界的密 切联系,发展数学建模素养.
2.掌握参数 A,ω,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,理解参 数 A,ω,φ 在圆周运动中的实际意义,发展数学抽象、逻辑推理与直 观想象的素养.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时, 首先要将函数解析式化为同名三角函数形式,然后再确定 平移方向和长度.
方法规律 2.三角函数图象伸缩变换的方法
方法 1:y=A1sin ω1x 的图象 y=A2sin ω1x 的图象
方法 2:y=A1sin ω1x 的图象 y=A1sin ω2x 的图象
解析:y=2sin x 的图象
y=2sin(x- )的图象
y=2sin(2x- )的图象 y= sin(2x- )的图象,即 f(x)=- cos 2x 的图象.
方法规律
1.三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数 y=sin x 的图象经过平移变换后图象对应 的函数解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减” 的原则进行.
y=sin x 的图象
y=sin(x+φ)的图象
y=sin(x+φ)的图象 y=sin(ωx+φ)的图象
y=sin(ωx+φ)的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.
【思考】 由函数 y=sin x 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象时必须先进行平移变换吗?
提示:不一定,可以先平移再伸缩,也可以先伸缩再平移.
方法规律
“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)图象的步骤 第一步:列表.
ωx+φ 0
π
π 2π
x-
--
--
y
0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用平滑的曲线连接这些点,先得到一个周期
内的图象,再将这部分图象向左、向右延伸整数个周期即
可,得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.
【跟踪训练】 1.作出函数 y= cos( x+ )在一个周期内的图象.
解:列表.
x+ 0
π
2π
x-
y
0-
0
描点,连线得函数 y= cos( x+ )在一个周期内的图象,如图.
探索点二 三角函数图象之间的变换
【例 2】 (1)要得到 y=3sin(2x+ )的图象,只需将 y=3sin 2x 的图象 ( )
长度,所得图象对应的函数 g(x)为偶函数,则 m 的最 小值是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,可知 f(x)=
= sin -cos =2sin( - ),
向左平移 m(m>0)个单位长度即为 g(x)=f(x+m)=2sin( - ). 又因为新函数 g(x)为偶函数,由三角函数图象的性质可得, 当 x=0 时函数值为最大值或最小值, 即 sin( - )=1 或 sin( - )=-1,
二、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 [知识梳理] 1.φ 对函数 y=sin(x+φ)的图象的影响
左
右
2. ω(ω>0)对函数 y=sin(ωx+φ)的图象的影响
缩短
伸长
3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
伸长 缩短
4.函数 y=sin x 的图象与 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关系 正弦曲线 y=sin x 到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程:
答案:×
探索点一 “五点法”作函数图象及应用
【例 1】 已知函数 y=2sin(2x- ),用“五点法”作出 其简图.
解:列表.
2x-
0
π
2π
x y=2sin(2x- ) 0 2 0 -2 0
描点,连线得函数 y=2sin(2x- )在一个周期内的图象. 再将这部分图象向左、向右延伸 kπ(k∈Z)个单位长度, 即可得函数 y=2sin(2x- )的图象(如图).
3.理解从正弦曲线到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,能 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)识梳理] 形如 y=Asin(ωx+φ)函数模型的建立: 模型准备(匀速圆周运动)→模型假设(三角函数模型)→
模型建立(H=rsin(ωt+φ)+h).
度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,所得图象的 函数解析式为 y=sin(10x- ) .
解析:y=sin(5x- )的图象
y=sin[5(x- )- ]=
sin(5x- )的图象
y=sin(10x- )的图象.
4.拔高练定义运算:
=a1a4-a2a3,将函数
f(x)=
的图象向左平移 m(m>0)个单位
y=A2sin ω2x 的图象. y=A2sin ω2x 的图象.
【跟踪训练】 2.变式练本例题(1)中由 y=3sin(2x+ )的图象得到 y=3sin 2x 的图象,如何平移?
解:由例题知由 y=3sin(2x+ )的图象得到 y=3sin 2x 的图象应该向右平移 个单位长度.
3.同类练先将函数 y=sin(5x- )的图象向右平移 个单位长
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=sin x 的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来 的 2 倍所得到的图象对应的函数解析式为 y= sin x.( )
答案:×
(2)把 y=sin( x- )的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变 为原来的 ,所得图象对应的函数解析式为 y=sin(x- ). ( )
度,则所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=sin(2x- )
B.y=-sin 2x
C.y=cos 2x
D.y=sin(2x+ )
解析:由题意,y=sin x 的图象
y=sin 2x
的图象 图象.
答案:C
y=sin 2(x+ )的图象,即 y=sin(2x+ )=cos 2x 的
(3)若把函数 y=f(x)图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平 移 个单位长度,这样得到的图象和 y=2sin x 的图象相同,则函数
所以 - =kπ+ ,k∈Z,即 m=2kπ+ ,k∈Z.
又因为 m>0,所以 m 的最小值是 .故选 C.
答案:C
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解析:y=3sin 2x 的图象 的图象,即 y=3sin(2x+ )的图象.
答案:C
y=3sin 2(x+ )
(2)先把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到 原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移 个单位长
第五章 三角函数
5.6 函数 y=Asin(ωx+φ)
第 1 课时 匀速圆周运动的数学模型及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
[学习目标] 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的现实背景,经历匀 速圆周运动的数学建模过程,进一步体会三角函数与现实世界的密 切联系,发展数学建模素养.
2.掌握参数 A,ω,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,理解参 数 A,ω,φ 在圆周运动中的实际意义,发展数学抽象、逻辑推理与直 观想象的素养.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时, 首先要将函数解析式化为同名三角函数形式,然后再确定 平移方向和长度.
方法规律 2.三角函数图象伸缩变换的方法
方法 1:y=A1sin ω1x 的图象 y=A2sin ω1x 的图象
方法 2:y=A1sin ω1x 的图象 y=A1sin ω2x 的图象
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人教A版(2019)高中数学必修第一册5.6.1匀速圆周运动的数学模型 课件
2
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
情境导学
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回， 潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数 学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻 画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体 例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.
解 ∵sin(－x)＝－sin x，
∴y＝sin|x|＝sin x －sin x
∴其图象如图.
x≥0， x<0.
由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
解 问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1100，也即 ω≥200π， 故最小正整数为ω＝629.
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的 海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数
思考 怎样作出函数y＝|sin x|的图象，并根据图象判断其周期和 单调区间？ 答 函数y＝sin x位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|的图象，如下图所示：
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
情境导学
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回， 潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数 学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻 画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体 例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.
解 ∵sin(－x)＝－sin x，
∴y＝sin|x|＝sin x －sin x
∴其图象如图.
x≥0， x<0.
由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
解 问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1100，也即 ω≥200π， 故最小正整数为ω＝629.
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的 海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数
思考 怎样作出函数y＝|sin x|的图象，并根据图象判断其周期和 单调区间？ 答 函数y＝sin x位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|的图象，如下图所示：
5.6.1匀速圆周运动的数学模型+5.6.2函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
y 2sin(2 x )
6
横坐标不变
π
)
6
知识点二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
3、探究参数A(A>0)对函y=Asin(ωx+φ)图象的影响
1
问（11）当 A= 时，图象有什么变化?
2
y
Q1
T
O1
π
y sin(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x )
6
y
y
2
o
P
K
π
y sin(2 x )
问6：当ω=2时，作出动点 M的轨迹，其轨迹对应的 函数解析式是什么？
设A=1，φ=
P
x
当ω=1时，得到
φ
Q1
y
-φ
y=sin(x+ )
x-φ x
y=sin(2x+ )
当ω=2时，得到
的图象；
y=sin(x+)
y=sin(2x+ )
的图象.
在单位圆上，以Q1为动点的起点，动点M由Q1到达P旋转的时间为x，
利灌溉工具，因其经济又环保
，至今还在农业生产中得到使
用.明朝科学家徐光启在《农政
全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.1匀速圆周运动的数学模型
问题1：假定在水流量稳定的情况
下，筒车上的每一个盛水筒都做匀
速圆周运动.你能用一个合适的函
数模型来刻画盛水筒（视为质点）
ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.
1. 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响
6
横坐标不变
π
)
6
知识点二 函数 y =Asin(ωx+φ)的图象与性质
3、探究参数A(A>0)对函y=Asin(ωx+φ)图象的影响
1
问（11）当 A= 时，图象有什么变化?
2
y
Q1
T
O1
π
y sin(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x )
6
y
y
2
o
P
K
π
y sin(2 x )
问6：当ω=2时，作出动点 M的轨迹，其轨迹对应的 函数解析式是什么？
设A=1，φ=
P
x
当ω=1时，得到
φ
Q1
y
-φ
y=sin(x+ )
x-φ x
y=sin(2x+ )
当ω=2时，得到
的图象；
y=sin(x+)
y=sin(2x+ )
的图象.
在单位圆上，以Q1为动点的起点，动点M由Q1到达P旋转的时间为x，
利灌溉工具，因其经济又环保
，至今还在农业生产中得到使
用.明朝科学家徐光启在《农政
全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.1匀速圆周运动的数学模型
问题1：假定在水流量稳定的情况
下，筒车上的每一个盛水筒都做匀
速圆周运动.你能用一个合适的函
数模型来刻画盛水筒（视为质点）
ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.
1. 探究 φ 对 y=sin(x+φ) 的图象的影响
5.6 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换(课件)
第一步：列表.
ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
x
－ωφ 2πω－ωφ
ωπ －ωφ
23ωπ －ωφ
f(x)
0
A
0
－A
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
2π 2ωπ－ωφ
0
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
[跟踪训练 1] 作出函数 y＝ 2sin2x－π4在 x∈π8， 34π上的图象． 解 令 X＝2x－π4，列表如下：
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第五章 三角函数
探究三 三角函数图象的伸缩变换 如何由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝12sin 2x 的图象？
解 方法一：y＝sin x横坐标变为―原―来的→12纵坐标不变 y＝sin 2x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin 2x. 方法二：y＝sin x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin x横坐标变为―原―来的→21纵坐标不变y＝12sin 2x.
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第五章 三角函数
[微体验] 把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得到________的图象． 答案 y＝6sin32x
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 “五点法”作函数图象及相关问题
的关系．
作出函数 y＝3sin2x＋π3，x∈R 的简图，并说明它与 y＝sin x 的图象之间
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
第五章 三角函数
人教版(新教材)高中数学第一册 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标 不变.
答案 B
2.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍，得到________的图象. 答案 y＝6sin32x
3.将函数 y＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为 ________.
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的
图象.
通过整体代换和图象的变换提
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋ 升学生的直观想象、逻辑推理
【训练 1】 请用“五点法”画出函数 y＝12sin(2x－π6)的图象. 解 函数 y＝12sin2x－π6的周期 T＝22π＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周
期上的图象，令 X＝2x－π6，则 x 变化时，y 的值如下表：
X
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
13π 12
解析 答案
由题意得所得图象对应的解析式为 y＝cos 2(x－π3)＝cos(2x－23π). y＝cos(2x－23π)
[微思考] 1.由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
提示 ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωx＋ωφ， ∴由 y＝sin ωx 的图象向左(右)平移ωφ个单位.
y
5.6.1匀速圆周运动的数学模型课件高一上学期数学人教A版
12345
内容索引
对于 C，将函数 y＝cosx 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，得到 y ＝cos2x 的图象，再向右平移π8个单位长度，得到 y＝cos2x－π4的图象，故 C 正确；对于 D，将函数 y＝cosx 的图象上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝cos12x 的图象，再向左平移π4个单位长度，得到 y＝cos12x＋π8 的图象，故 D 错误．故选 AC.
内容索引
例1 如图，摩天轮的半径r为40 m，圆心O距地面的高度为48 m，摩 天轮做逆时针匀速转动，每 30 min 转一圈．摩天轮上点P的起始位置在 最低点处．如何确定在时刻t(min)时，点P 距离地面的高度H?
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【解析】 取O为坐标原点，水平线为x轴，建立平面直角坐标系． 设P(x，y)，则点P距离地面的高度H＝y＋48. 又yr＝sin α，其中 r＝40，α 为在时刻 t min 时点 P 所对应的角，则 α ＝23π0t＋φ. 又 t＝0 时，P 位于最低点，所以 φ＝－π2， 则 α＝1π5t－π2， 所以 y＝40sin1π5t－π2，H＝40sin1π5t－π2＋48.
【解析】 将 y＝sinx 的图象向左平移π2个单位长度可得到 y＝cosx 的 图象．
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思考 3►►► 作出函数 y＝sinx＋π3和 y＝sinx 的图象，并找出两图象之间的关系． 【解析】
y＝sinx＋π3的图象是由 y＝sinx 的图象向左平移π3个单位长度得到的．
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思考 4►►► 函数 y＝sinx－π3的图象与函数 y＝sinx 的图象有什么关系？ 【解析】 y＝sinx－π3的图象是由 y＝sinx 的图象向右平移π3个单位长 度得到的．
人教版数学课件 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin的图象
历史课件：/kejian/lish i/
对函数
y＝Asin(ωx＋φ)
的图象的影响；能够将 y＝sin x 的图象进行变 1.通过函数图象的变换，培
换得到 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 的图象．(难点) 养直观想象素养.
2.能根据 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其 2.借助函数的图象求解析
1．φ 对 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响
左
右
4
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2．ω(ω＞0)对 y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
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第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
1
2
学习目标
核心素养
1.理解参数
A，ω，φ PPT模板：/moban/
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2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ课件新人教A版必修第
A．5
B．－5
C．4
D．－4
3．为了得到函数 y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数 y＝sinx 的图象上
所有的点
( A)
A．向左平行移动 1 个单位长度
B．向右平行移动 1 个单位长度
C．向左平行移动 π 个单位长度
D．向右平行移动 π 个单位长度
4．函数 f(x)＝sin(x－π4)的图象的对称轴方程是__x_＝__3_4π_＋__k_π_(_k_∈__Z_)__. 5．函数 y＝3sin(12x－π6)的频率为__4_1π___，相位为___12_x_－__π6____，初相
[归纳提升] 三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸 缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和|ωφ |，但平移方向是 一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所 以得到的结果是一致的．
【对点练习】❷ (1)将函数 y＝2sin(2x＋π6)的图象向右平移14个周期
(2)先由图象确定A，由T确定ω，代点求φ值．
[解析] (1)由图象可知，A＝2，T＝4(152π－π6)＝π，所以2ωπ＝π，所以 ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点(π6，2)，所以 2sin(π3＋φ)＝2，
所以 sin(π3＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z， 所以 φ＝π6＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<π2，所以 φ＝π6，所以 f(x)＝2sin(2x＋π6)．
题型三
由图象确定函数的解析式
例 3 (1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象
人教版高中数学必修一5.6.1匀速圆周运动的数学模型及函数y=A sin (ωx+φ)的图象【课件】
以及变量x,y的物理意义
理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)
图象的影响,探究其图象的变化规律
学科核心素养
在建立匀速圆周运动的数学模型的
过程中,培养数学抽象、数学建模等
素养
通过研究函数y=A·sin(ωx+φ)中参数
的物理意义,培养数学抽象、直观想
象等素养
通过研究A,ω,φ对y=Asin(ωx+φ)图
② 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝f(ωx)(ω>0，ω≠1)的图象：当ω>1时，即把y＝f(x)
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)；当0<ω<1时，即把y＝f(x)图象上所
有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变).
③ 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝Af(x)(A>0，A≠1)的图象：当A>1时，即把y＝f(x)
随堂演练
D
A
3. (多选)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>
象如图所示，则 (
A. ω＝2
C. ω＝
AD
B.
φ＝
D.
φ＝－
)
, −
<<
)的部分图
4.将y＝sin x图象上
所有的点横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
_______________________________________
．
【解】
(1)
记C对应的函数为f(x)＝ sin（2x+ ）
.
理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)
图象的影响,探究其图象的变化规律
学科核心素养
在建立匀速圆周运动的数学模型的
过程中,培养数学抽象、数学建模等
素养
通过研究函数y=A·sin(ωx+φ)中参数
的物理意义,培养数学抽象、直观想
象等素养
通过研究A,ω,φ对y=Asin(ωx+φ)图
② 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝f(ωx)(ω>0，ω≠1)的图象：当ω>1时，即把y＝f(x)
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)；当0<ω<1时，即把y＝f(x)图象上所
有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变).
③ 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝Af(x)(A>0，A≠1)的图象：当A>1时，即把y＝f(x)
随堂演练
D
A
3. (多选)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>
象如图所示，则 (
A. ω＝2
C. ω＝
AD
B.
φ＝
D.
φ＝－
)
, −
<<
)的部分图
4.将y＝sin x图象上
所有的点横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
_______________________________________
．
【解】
(1)
记C对应的函数为f(x)＝ sin（2x+ ）
.
2023新教材高中数学第5章三角函数5.6函数y=Asinωx φ第1课时函数y=Asinωx φ的
的解析式是 y＝12sin x． [答案] (1)× (2)× (3)×
()
2．把函数 y＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后所得图
象的解析式为( )
A．y＝sin x－π3
B．y＝sin x＋π3
C．y＝sinx－π3
D．y＝sinx＋π3
D [根据图象变换的方法，y＝sin x 的图象向左平移π3个单位长 度后得到 y＝sinx＋π3的图象．故选 D．]
(2)y ＝ sin
xy ＝ sin
ωx
相位变换 ――――――→
y
＝
sin
ωx＋ωφ
＝
sin(ωx
＋
振幅变换 φ)―――――→y＝Asin(ωx＋φ)．
2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？
[提示] 若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度；若先 周期变换后相位变换，平移|ωφ|个单位长度．
C．向左平移π3个单位长度
D．向右平移π3个单位长度
B 由 y＝sin4x－π3＝sin 4x－1π2得，只需将 y＝sin 4x 的图象向
右平移1π2个单位长度即可，故选 B．
图象平移变换的方法 (1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键． (2)当 x 的系数是 1 时，若 φ＞0，则左移 φ 个单位长度；若 φ＜0， 则右移|φ|个单位长度． (3)当 x 的系数是 ω(ω＞0)时，若 φ＞0，则左移ωφ个单位长度；若 φ＜0，则右移|ωφ|个单位长度．
1．通过匀速圆周运动的数学模型 的学习，培养数学建模的素养． 2．借助函数图象的变换，培养数 学抽象的素养．
01
必备知识·情境导学探新知
知识点
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移 y 与时间 x 的关系、交 流电的电流 y 与时间 x 的关系等都是形如 y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如 图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流 y 随时间 x 变化的图象．
2020秋新教材高中数学第五章三角函数5.6第1课时匀速圆周运动的数学第五章
第1课时 匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象分层演练 综合提升 A 级 基础巩固1.函数y =3sin 3x 的图象可看成是由y =sin x 的图象按下列哪种变换得到 ( ) A.横坐标不变,纵坐标变为原来的13B.横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的13答案:B2.为得到函数y =cos x -π3的图象,只需将函数y =sin x 的图象 ( ) A .向左平移π6个单位长度B .向右平移π6个单位长度C .向左平移5π6个单位长度D .向右平移5π6个单位长度答案:A3.把函数y =sin 2x -π4的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数是 ( )A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数 答案:D4.函数y =12sin 2x -π4的图象可以看成是把函数y =12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的.5.已知函数f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,这样得到的图象与y =12sin x 的图象相同,求f (x )的解析式.解:y =12sin x 的图象y =12sin(x -π2)的图象y =12sin(2x -π2)的图象,即f (x )的解析式为f (x )=12sin(2x -π2).B 级 能力提升6.用“五点法”作函数f (x )=A sin(ωx +φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,且x 1+x 5=3π2,则x 2+x 4等于 ( )A .π2B .πC .3π2D .2π解析:由五点法作图原理,知x 2-x 1=x 3-x 2=x 4-x 3=x 5-x 4=T 4,故x 1与x 5的中点是x 3,x 2与x 4的中点是x 3,所以x 2+x 4=2x 3=x 1+x 5=3π2.答案:C7.将函数f (x )=lg x 的图象记为C 1;将函数y =cos 2x -π6的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g (x )的图象,记为C 2.(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )和g (x )的图象. (2)判断方程f (x )=g (x )解的个数. 解:(1)作出图象C 1和C 2,如图所示.(2)由图象可知两个图象共有7个交点, 即方程f (x )=g (x )解的个数为7. 8.(1)利用“五点法”作出函数y =sin12x +π6在长度为一个周期的闭区间上的简图.(2)说明该函数图象是由y =sin x (x ∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的. 解:(1)先列表,然后描点作图.12x +π6 0 π2 π 3π2 2π x -π32π3 5π3 8π3 11π3 y1-1(2)把y =sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y =sin(x +π6)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y =Sin(12x +π6)的图象.或把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y =sin 12x的图象,再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y =sin[12(x +π3)],即y =sin(12x +π6)的图象.C 级 挑战创新9.多选题将函数f (x )=sin 2x +π3的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象,则下列判断正确的是( )A .函数g (x )的最小正周期是πB .g (x )的图象关于直线x =7π12对称 C .函数g (x )在区间-π6,π3上单调递减D .g (x )的图象关于点π3,0对称解析:函数f (x )=sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度,得到g (x )=sin(2x -π+π3)=sin(2x -2π3)的图象.所以函数的最小正周期为2π2=π;当x =7π12时,函数的值为g (7π12)=sin(7π6-4π6)=1,所以g (x )的图象关于直线x =7π12对称; 当-π6≤x ≤π3时,-π≤2x -2π3≤0,故g (x )在区间 [-π6,π3]上先减后增;当x =π3时, g (π3)=0,所以g (x )的图象关于点(π3,0)对称. 综上,A 、B 、D 项正确. 答案:ABD10y =sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x =π6对称,则φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则φ的最小值为π2.解析:平移后函数解析式为y =sin(2x -2φ),因为图象关于直线x =π6对称,所以2×π6-2φ=k π+π2(k ∈Z),所以φ=-kπ2-π12(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k =-1时,φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则2×0-2φ=k π(k ∈Z),所以φ=-kπ2(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k =-1时,φ的最小值为π2.。