(完整版)人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学必修5知识点总结

高中数学必修5知识点总结

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则

有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c

C R

=；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ． 3、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．

4、余 定理：在C ?AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A ，2

2

2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222

cos 2a c b ac

+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．

6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2

2

2

a b c +=，则90C =o

为直角三角形；

②若2

2

2

a b c +>，则90C

为锐角三角形；③若2

2

2

a b c +<，则90C >o

为钝角三角形．

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这

个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若

2

a c

b +=

，则称b 为a 与c 的等差中项． 13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．

通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④1

1n a a n d

-=+；⑤n m

a a d n m

-=

-．

14、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*

q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等

差数列，且2n p q =+（n 、p 、*

q ∈N ），则2n p q a a a =+；下角标成等差数列的项仍是等差数列；

连续m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=

；②()

112

n n n S na d -=+

． 16、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()

*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，

1n n S a S a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1

S n

S n =

-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 18、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2

G ab =，

则称G 为a 与b 的等比中项．

19、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1

1n n a a q -=．

20、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③11

n n a q a -=；④n m

n m

a q

a -=． 21、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*

q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比

数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2

n p q a a a =?；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m 项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()

()()11111111n n n na q S a q a a q q q

q =??

=-?-=≠?

--?．

1q ≠时，1111n n a a

S q q q

=

---，即常数项与n q 项系数互为相反数。 23、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为(

)

*

2n n ∈N

，则

S q S =偶奇

．

②n

n m n m S S q S +=+?． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．

24、n a 与n S 的关系：()()11

21n n n S S n a S n --≥??=?

=??

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为b kn a n +=，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为c bn an a n ++=2

，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为b aq a n

n +=，q 为相除后的常数，列两个方程求解；

2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为d a a n n =-+1形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为),(1n f a a n n =-+形式，可用叠加法求解；

③若化简后为q a a n n =÷+1形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为b ka a n n +=+1形式，则可化为)()(1x a k x a n n +=++，从而新数列}{x a n +是等比数列，用等比数列求解}{x a n +的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x 是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：

①11S a = ② 1--=n n n S S a ③检验n a a 是否满足1，若满足则为n a ，不满足用分段函数写。 4、其他

（1）()1n n a a f n -=+形式，()f n 便于求和，方法：迭加；

例如：11n n a a n -=++ 有：11n n a a n -=++

()()

2132111341

413412

n n n a a a a a a n n n a a n a -=+=+=+++-=+++++=+

L

L 各式相加得

（2）11n n n n a a a a ---=形式，同除以1n n a a -，构造倒数为等差数列；

例如：112n n n n a a a a ---=，则

11111

2n n n n n n

a a a a a a ----==-，即1n a ??????

为以-2为公差的等差数列。

（3）1n n a qa m -=+形式，1q ≠，方法：构造：()1n n a x q a x -+=+为等比数列；

例如：122n n a a -=+，通过待定系数法求得：()1222n n a a -+=+，即{}2n a +等比，公比为2。 （4）1n n a qa pn r -=++形式：构造：()()

11n n a xn y q a x n y -++=+-+为等比数列；

（5）1n

n n a qa p -=+形式，同除n p ，转化为上面的几种情况进行构造；

因为1n

n n a qa p -=+，则

111n n n n a a q p p p --=+，若1q p

=转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若??

?<>0

1d a ，则n S 有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≤≥+001k k a a

②若?

??><00

1d a ，则n S 有最小值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≥≤+001k k a a

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：()213n

n a n =-?；

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：

()11111n a n n n n =

=-++，()()1111212122121n a n n n n ??

==-

?-+-+??

等； ④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：

21n n a n =+-等；

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为d a d a -+和类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差； ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为q

a

aq 和

类型，这样可以相乘约掉。

第三章：不等式

1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n

n

a b a b n n >>?>∈N >；

⑧)0,1a b n n >>?>∈N >．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式2

4b

ac ?=- 0?> 0?= 0?<

二次函数

2y ax bx c =++

()0a >的图象

一元二次方程2

0ax

bx c ++=

()0a >的根

有两个相异实数根

1,22b x a

-±?=

()12x x <

有两个相等实数根

122b x x a

==-

没有实数根

一元二次不等式的解集

20ax bx c ++> ()0a >

{}

1

2

x x x x x <>或

2b x x a ??≠-???

?

R 20ax bx c ++< ()0a >

{}1

2x x

x x <<

?

?

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．

①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=下方的区域．

②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=上方的区域．

10、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

11、设a 、b 是两个正数，则2

a b

+称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数．

12、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥2

a b

+≥．

13、常用的基本不等式：

①()222,a b ab a b R +≥∈；

②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

．

14、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．