分销网络设计的数学建模

Q [ sk xk wk (1 x k )]
k 1 2 3 10 10 3 2
10
2
10
i 1 k 1 l 1, k l
aikl blj ykl cijk zijk
i 1 j 1 k 1 10 2 l 1 j 1
10
3
2
10
d ij zijk zijk xk f k (1 xl ) g l blj
§3 模型假设
⒈运输费用与运输量成正比，与运输距离成线性关系； ⒉分销中心与工厂之间的订货提前期是确定的， 订货的分销中心能及时地为分销 点补充库存； ⒊不考虑分销点库存成本；
§4 符号说明
符号 说明 工厂序号 需求地序号 产品序号 产品 j 由第 k 分销中心到第 l 个分销点的单位运费 第 l 个需求地对产品 j 的需求量 产品 j 由工厂 i 到第 k 个分销中心的单位运输费用 工厂 i 生产产品 j 的单位生产成本 建设管理第 k 个分销中心所需固定费用 建设管理第 k 个分销点所需固定费用 产品第 k 个分销中心的单位流转费用 产品第 l 个分销点的单位流转费用 工厂 i 对产品 j 的生产能力系数 工厂 i 对基准产品的生产能力 第 k 个分销中心对产品 j 的存储能力系数 第 k 个分销中心对基准产品的存储能力
i 1 j 1 k 1 k 1 i 1 j 1
要求对分销网络进行设计，使得总成本最小，则该问题目标函数为 min Q 5.1．1 约束条件 （1）需求地的分销机构唯一，因此存在以下约束条件。
xl
k 1, k l
y
10
kl
1, (l 1, ,10)
（2）只有被选为分销中心后可向分销点供货，同时每个分销中心可供货的分销 点数量最少 2 个，最多 3 个。
nkj mk , (i 1,2,3; j 1,2)
式中， nkj 表示第 k 个需求地（分销中心）对产品 i 的存储能力系数， mk 表示第 k 个需求地（分销中心）对基准产品的存储能力。 综上所述，建立以下二级分销网络的最小成本优化问题的 0-1 整数规划模型：
min Q [ sk xk wk (1 x k )]
Q2
2
10
i 1 k 1 l 1, k l
a
10
ikl lj
b ykl
式中， aikl 表示产品 j 由分销中心 k 运往分销点 l 的单位运费， blj 表示产品 j 由分 销点 l 的数量。 （3）产品从各分厂到各分销中心的运输费用，由工厂向分销中心运送产品的单 位运输费用与由工厂运往分销中心产品数量的乘积得到，则可表示为：
Q1 [ sk xk wk (1 x k )]
k 1 10
式中，sk 表示在第 k 个需求地建立和经营分销中心所需固定费用，wk 表示在第 k 个需求地建立和经营分销点所需固定费用，(1 xk ) 为分销点选址的 0-1 决策变量。 （2）产品从各分销中心到各分销点的运输费用，由分销中心运往分销点产品的 单位运费与产品在分销点需求量的乘积构成，则可表示为：
qL xk
l 1,l k
y
10
kl
qU xk , (k 1,,10; qL 2, qU 3)
（3）供需平衡，即工厂供货量=分销点与分配中心需求量
l 1,l k
b y
lj
10
kl
bkj xk zijk , ( j 1,2; k 1,,10)
i 1
分 销 中 心
分 销 点
点费用
·流转管理 费 ·运输费
·建立分销 中心费用
图 1 二级分销网络结构以及系统总成本构成图 根据该网络图，可知确定分销中心的选址，分销中心与分销点的供货关系， 工厂运往分销中心产品种类与数量，工厂根据需求状况生产的产品种类和数量， 各分销中心运往各分销商产品种类和数量是实现最优的关键， 因此该问题属于典 型的“分配-选址”问题。对于该类问题，首先需对其优化目标，即系统总成本 进行分析得到目标函数， 其次需对该分销网络因具体实际情况所产生的约束条件 进行分析。 优化目标系统总成本 Q 构成： （1）建立和经营分销网络所需固定费用： Q1 （2）产品从各分销中心到各分销点的运输费用： Q 2 （3）产品从各分厂到各分销中心的运输费用： Q3 （4） 产品生产的成本： Q 4 （5）产品在分销机构中的流转量产生的管理费用： Q5 则优化目标函数可表示为： Q Q1 Q 2 Q3 Q 4 Q5 由实际情况所产生的约束条件： （1）需求地的分销机构唯一 （2）只有被选为分销中心后可向分销点供货，同时限定每个分销中心可供货的 分销点数量上下限。 （3）供需平衡，即工厂供货量=分销点与分配中心需求量 （4）工厂产品供应量不超过其生产能力，产品生产能力=基准产品生产能 （5）工厂产品供应量不超过各分销中心的存储能力平衡 由此结合优化目标函数和约束条件建立 0-1 整数规划模型。
Q3 cijk zijk
i 1 j 1 k 1
3
2
10
式中， （分销中心） 运送产品 j 的单位运输费用， cijk 表示由工厂 i 向第 k 个需求地
zijk 表示由工厂 i 运往第 k 个需求地（分销中心）产品 j 的数量。
（4）产品生产的成本，由工厂生产产品单位生产成本与工厂运往分销中心产品 数量的乘积构成，则可表示为
5.2 模型的求解
本模型网络线路复杂，可行解数量多，若采用传统的分支定界法，程序的时 间复杂度较高。对此本文设计了遗传算法。 5.2.1 算法描述 Step1 基因编码 分销中心位置及分销中心—分销点路线安排采用 11 个 10 进制数编码，前 10 位为 1~10 的随机排列，最后一位为 1~3 之间的一个随机整数。 该编码的前三位的数字所代表的位置作为分销中心位置 k1 k2 k3，4、5 位 的数字所代表的位置由 k1 负责供货，6、7 位的数字所代表的位置由 k2 负责供 货，8、9 位的数字所代表的位置由 k3 负责供货，最后一位数字决定第 10 位的 数字所代表的位置由 k1~k3 中哪一个负责供货。 例如，编码 8 10 9 1 2 5 3 7 6 4 1 的含义为： 8,9,10 号位置作为分销中心，8 负责 1,2,4 号位置的供货，9 负责 6,7 号位 置的供货，10 负责 3,5 号位置的供货。 每次编码后， 计算各分销中心的总需求量并与该分销中心的存储能力进行比 较，验证编码的合理性。若所编码路线不合理，则重新编码。 分销中心位置及分销中心-分销点路线安排一经确定，各分销中心的总需求 量也就确定，以工厂-分销中心过程总成本最小为目标函数，各工厂供货总量不 超过其产能和供货量能达到各分销中心需求量为约束条件，建立线性规划模型， 计算工厂-分销中心供货安排。 Step2 适应度计算 适应度计算公式如下：
关键词：二级分销网络
整数规划
遗传算法
§1 问题重述
随着市场的全球化趋势,供应链企业要为地理上分散的多个用户提供产品和 相关的服务，由于用户需求的多样性，为了加快响应速度，往往建立多个分厂。 各分厂可生产该企业产品集合中的某些产品，该企业有多个需求地。为加强对分 销环节的管理， 考虑在这些需求地中选择一些建立分销中心，在分销中心建立仓 库， 而在没有被选为分销中心的需求地建立分销点，且每个分销点只能由一个分 销中心供货。
Q5 zijk xk f k (1 xl ) g l blj
k 1 i 1 j 1 l 1 j 1
10
3
2102来自式中， f k 表示产品在第 k 个需求地（分销中心）的单位流转量管理费用， g l 表示 产品在第 l 个需求地（分销点）的单位流转量管理费用。 综上所述，则系统总成本可表示如下：
现某制造企业有 3 个分厂，生产两种产品,两种产品可以在任意分厂加工制 造，共有 10 个需求地， 每个分销中心分管的分销点最少 2 个，最多 3 个，详细 数据见附录。 现为该企业设计分销网络，使得计划期内建立和经营分销网络所需 费用及产品的生产和运输费用最小。需完成如下设置： （1） 选择哪些需求地建立分销中心，每个分销中心负责为哪些分销商供货。 （2） 如何根据需求情况合理地安排各分厂的生产， 即确定各分厂生产产品的种 类和数量。 （3） 决定如何安排运输流， 即确定各分厂运送到分销中心的产品种类和数量及 各分销中心运送到各分销商的产品种类和数量。
3
（4）工厂产品供应量不超过其生产能力
z
k 1
10
ijk ij
h pi , (i 1,2,3; j 1,2)
式中， hij 表示工厂 i 对产品 j 的生产能力系数， pi 表示工厂 i 对基准产品的生产 能力。 （5）工厂产品供应量不超过各分销中心的存储能力平衡
z
k 1
10
ijk
分销网络设计问题
摘要
本文针对多供应商、多产品、多经销商的分销配送网络的优化设计问题，建 立了整数规划模型，利用遗传算法，找出了成本最小的供应链。 针对题目中既定制造厂商以及需求地， 要求最优分销网络以实现建立和经营 分销网络所需费用及产品的生产和运输费用总和最小的分销的供应网络的问题， 以分销网络建立和经营费用、运输费用以及产品生产费用之和最小为目标函数， 以每个分销中心可对应分销点数量的上下限、 各工厂对分销中心的供货量应满足 由该分销中心供货的各个需求点的总需求、 各工厂供应的各种商品的总和不超过 其生产能力以及各分销中心的仓储能力的限制等条件为约束， 建立了整数规划模 型。由于网络线路复杂，可行解数量多，若采用传统的分支定界法，程序的时间 复杂度较高。 本文通过设计遗传算法，对决策变量——分销中心选址以及各分销 中心到分销点的供货路线安排进行编码，计算出了最优分销网络：将需求地 4,5,9 分别建为分销中心，最少费用为 38511124 元，具体商品配送方式见表 1。 本文针对分销配送网络设计问题，采用经典的整数规划模型，将复杂的分配 关系通过经典的整数规划模型表示，并设计遗传算法对计算过程进行了优化，提 高了模型的可操作性。