多元函数微积分第二章答案

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多元函数微积分第二节

量，记为 z ，
即 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
2、偏增量
如果 y 0，即只给自变量
引起的函数增量
以增量
x
x z f ( x x, y ) f ( x, y )
由此 x
叫做函数
在点对应的自变量的增
z f ( x, y )
+ )
（依偏导数的连续性）
= (, ) + 1
且当 x 0, y 0 时， 1 0 .
同理
1 + 2
∵
≤ 1 + 2

当 y 0 时， 2 0 ,
→ 00,
z
f y ( x , y )y 2 y
(0 < 1 < 1)
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z A x B y o( )
总成立,
当 y 0 时，上式仍成立，此时 | x |,
= + + ()
A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y )

2×1+3×2=8,

| = 1=2 =

3×1+2×2=7.
RT
p
RT
证 p

2;
V
V
V
RT

RT
RT
=
⇒
=− 2;

V

p

= ;

=
⇒
pV

微积分第二章详细答案

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答

习题 1—1 解答 1．设 f ( x, y ) xy
x 1 1 x 1 ，求 f ( x, y ), f ( , ), f ( xy , ), y x y y f ( x, y)
解 f ( x, y ) xy
1 1 1 y x 1 y x ； f( , ) ; f ( xy , ) x 2 y 2 ; 2 x y xy x y f ( x, y) xy x y
z c -a
-b a x
O
b
y
（4） D ( x, y, z ) x 0, y 0, z 0, x 2 y 2 z 2 1

z
１
O x
4．求下列各极限：（1） lim
x 0 y 1
１
y
１
1 xy 1 0 = 1 x2 y2 0 1
ln( x e y ) x2 y2 ln(1 e 0 ) 1 0 ln 2
y x y 1 1 x e , z y e x , dz 2 e x dx e dy ; 2 x x x x
y
y
y
y
5.(1) z x
(2) z
y y x 1 x z dz dx dy ; , , ln( x 2 y 2 ) , z x 2 y 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x y2
(2) z x a sin 2(ax by), z y b (ax by), z xy 2ab cos 2(ax by), z yy 2b 2 cos 2(ax by) .
3
f x y 2 2 xz , f y 2 xy z 2 , f z 2 yz x 2 , f xx 2 z, f xz 2 x, f yz 2 z,

微积分第二章习题参考答案

f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ),
即f ( x )为奇函数;
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1. ey sec 2 ( r ) ; 2. csc 2 ( r ) ; 2 2 y 1 sec ( r )
x 0
1 2 x
1.
二.解1.(1).
y ln( x 1 x 2 ) ln x ,
1 x
1 y (1 ) x x 1 x2 1 x2 1 . x 2 1 x 2 x(1 x 2 )
(2) 1 y 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 sec 3 (ln x )tan(ln x ). x
x 1 dy k 2e ,当 0时, , dx 0 y0
切线方程为 y 2e( x 1), 1 法线方程为 y ( x 1). 2e
四.
解 : s ( t ) x ( t ) 9,
2 2
ds dx s( t ) x ( t ) 0, dt dt ds 已知 160, s 5, x 4, dt dx 200, v 200 120 80. dt
(sin 2 x ) f (cos 2 x )]sin 2 x . [f 1 (3) y f ( x ); 2 1 f ( x)
(4) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解.(一) lim f ( x ) lim
1 1 2( 1)2 2( 1)2 y , y 2 2 , 3 3 ( t 2) ( t 1) ( t 2) ( t 1)

《高等数学》多元函数微分学部分练习题答案

八、多元函数的微积分：（一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂，关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分：（1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ：设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ：用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ：将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ：将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。

经济数学基础微积分第二章习题解答

1 ex x0 15.设有函数f ( x) a x x 0
解： e 0 lim
x 0 1 x x 0
问常数a为何值时， f ( x)存在？ lim
x0
lim (a x) a
当a 0时， f ( x)存在. lim
x0
16.求下列极限： tan 2 x 2 arctan 5 x 3x sin 3 x (2) lim (3) lim 5 (1) lim lim 6 x 0 sin 5 x x 0 arcsin x x 0 x 0 x x 5 sin 2 2 1 x2 sin x2 (5) lim 1 lim 4 x 1 x 0 (4) lim x sin lim 2 x x 0 x 2 sin ( ) x ( ) x x 1 2 2 x tan 2 x sin x tan 2 x sin x 2 1 1 (6) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
e 4
x x x 1 2 3 lim (17 ) lim ln(1 x x x ) x 0 x 0 x x
2
3
1
1
1 n 2 n 3 n n n n n n (18) lim(1 2 3 4 ) lim 4 [1 ( ) ( ) ( ) ] 4 x x 4 4 4 17.求下列极限：
x 1 x 1
1 或 lim 2 0 n x
y
解：lim f ( x) lim f ( x) 2 f (1)
x 2是第一类可去间断点
0
x
若f (1) 2, 则为连续 .
(2) x 0第二类无穷间断点 (3) x 0第一类跳跃间断点 (4) x 0第一类可去间断点 x 1第二类无穷间断点 (5) x 0第一类跳跃间断点 (6) x 0第一类可去间断点

微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富钮海第二章习题解答(下)

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元σd 上的压力微元σρg x d dF =，所以，该平面薄片一侧所受的水压力⎰⎰=Dgxd F σρ2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M y yDσ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy（2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=xx y ydy y x f dx dx y x f dy 2/4022),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=1121222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=eexey dx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 06、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y xxxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ （3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dyx σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以ar ≤≤≤≤-0,22πθπ，故()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(432022022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y dx x d yx x x D σ （2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21a r c2121)1(41121211211************21010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr rr r d r dr dr r r dr r rrdr rr rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示，故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y xbaD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在x o y平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz xxy 另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。

微积分II(甲)多元函数积分学练习解答

微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答１.计算二重积分22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域．解：222121x xDx xyd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()231124x x dx =-=⎰ ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．解：202yy Dxyd dy xydx σ=⎰⎰⎰⎰2234003338322y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰ ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.解：21021)9x I dx ==⎰⎰４．计算二重积分2,{(,)Dy xd D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）12222DD D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2211222101x xdx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰11424111146(22)2215x dx x x dx --=+-+=⎰⎰．５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．解：32233220cos cos =cos cos =4DDDr r rdrd r drd d r dr d r dr ππσθθθθθθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．2解：Ｉ＝2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．解：Ｉ＝2cos 402(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解设所求体积为V ，则有=V ()221Dxy d σ--⎰⎰，其中 (){}22,1D x y xy =+≤，于是=V ()()22211D Dxy d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰=()212012d r rdr ππθ-=⎰⎰.9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积．解设所求体积为V ，则有=V ()⎰⎰--Dd y xσ226，其中 (){}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是=V ()⎰⎰--Dd y xσ226=()112206x dx xy dy ---⎰⎰()1323011766136x x x x dx ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦⎰10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．解设该薄板所在区域为D ，则该均质薄板的面积为 0sin 2S xdx π==⎰，又有 sin 00x Dxd dx xdy πσπ==⎰⎰⎰⎰，及sin 04x Dyd dx y dy ππσ==⎰⎰⎰⎰，由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛8,2ππ．二、三重积分11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．解xydV Ω⎰⎰⎰111x dx dy xydz -=⎰⎰⎰=1100x dx xydy -⎰⎰()120111224x x dx =-=⎰． 12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．解 ()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =()1121318821x dx x dy x y -⎡⎤-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成．解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：221211122200012401224(1).21r r d r dr zdz r dr z r r dr πθπππΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．解球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为2222243x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为,1=z 223x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r πθ20≤≤，利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有2243r z r -≤≤，所以I 23r DzdV rdrd θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2203r d zdz πθ=⋅⎰⎰⎰π413=． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕρϕρd d d dV z y xsin 42222140004sin 5d d d ππθϕϕρρπ==⎰⎰⎰16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．解在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,40πϕ≤≤πθ20≤≤，故所求体积V ⎰⎰⎰Ω=dV 224sin d d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰340)2sin 3d ππϕϕ=⋅⎰.)12(343a -=π 17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．解在球面坐标下计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕρϕρd d d dV V sin 222cos 24sin a d d d ππϕθϕϕρρ=⎰⎰⎰3334082cos sin 3a d a ππϕϕϕπ==⎰．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )，求Ω的质量m ．解据题意得，密度函数为,),,(22y x K z y x +=ρ所以.),,(22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+==dV y x K dV z y x m ρ利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为},1),({22≤+=y x y x D故222212122001()r Dr m Kr rdrd dz K r drd dzK d r dr dzπθθθ-Ω-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220162(1)15KK r r dr ππ=+=⎰．三、曲线积分19．计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若li m n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n nn n n n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…；(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证：（1）略。

专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)

专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)(总分：99.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.设z=ln(x2+y)，则等于A． B． C． D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为B)2.设z=(lny)xy∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(lny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为C)3.设z=sin(xy2)∙ A.-2xycos(xy2)∙ B.-y2cos(xy2)∙ C.2xycos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*]．(答案为C)4.已知f(xy，x-y)=x2+y2∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算．f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y2，[*]，[*]．(答案为A)5.函数z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分dz|(1，1)等于∙ A.4dx-3dy∙ B.4dx+3dy∙ C.8dx+9dy∙ D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，[*]，dz|(1，1)8dx+9dy．(答案为C)6.______∙ A.{(x，y)|x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0，y≠0}∙ D.{(x，y)|x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.______∙ A.{(x，y)|0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)|0≤x2+y2≤2}∙ C.{(x，y)|0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)|0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：8.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则f(x，y)=______A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)10.，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为[*]．如果将第一自变量u用[*]替换，第二自变量v用[*]替换，则有 [*]11.f(x，y)=2x2+y2，则f(xy，x2-y2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x4+y4）解析：[解析] f(xy，x2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y4．12.f(x+y，x-y)=x2-y2，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：xy）解析：[解析] 解法Ⅰ (置换法)令[*]解得[*]代入给定函数，则有 [*]，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f(x，y)=xy 解法Ⅱ (拼凑法)由于f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x2+y2+xy，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：3x+y2）解析：[解析] 由于f(xy，x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有f(x，y)=3x+y2．14.设函数z=x2+ye x．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x+ye x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．[*]=2x+ye x．15.设z=sin(x2y)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2cos(x2y)）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数． [*]．16.设z=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法Ⅰ [*]，[*]．解法Ⅱ 由于是求函数[*]在点(1，0)处对x的偏导数，可先求出z(x，0)，即将y=0代入函数[*]，可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数．[*]，[*]．17.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]， [*]．18.设z=ln(x+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：dx）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分．解法Ⅰ [*]，[*]，[*]．解法Ⅱ [*]，[*]．19.设z=x2y+siny．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数． [*]．20.函数z=z(x，y)是由方程x2z+2y2z2+y=0确定，则dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 两种解法如下．解法Ⅰ (公式法)令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]，[*]解法Ⅱ (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[解析] 解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为f(2，-2)=8．22. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：{(x，y)|1＜x2+y2≤2}）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．（分数：55.98）3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x，y)|0＜x2+y2≤4}，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1)．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1＞0，即y2＞2x-1．所以D={(x，y)|y2＞2x-1}，此函数的定义域是以点([*]，0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])解析：3.11）正确答案：(对于函数arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|≤1，则有 [*]即[*] 所以D={(x，y)|-2≤x≤2，-3≤y≤3}，此函数的定义域是直线x=-2，x=2，y=-3，y=3所围成的有界闭区域(如下图)．[*]) 解析：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x，y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x，y)|y2≤4x，x2+y2＜1且x≠0，y≠0}，此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(5).，求 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]， [*]．)解析：(6).设z=e u sinv，u=xy，v=x+y 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有[*]=e xy sin(x+y)y+e xy cos(x+y)=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，[*]=e xy sin(x+y)x+e xy cos(x+y)=e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．)解析：(7).设z=f(u，v)，而u=x2y，，其中f(u，v) 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数． [*])解析：(8).设z=f(xy，x2+y2)，且f 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．设z=f(u，v)，u=xy，v=x2+y2，[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分． [*])解析：(10).dz．（分数：3.11）正确答案：([*])解析：(11).设函数f(u，v)dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分． [*]， [*])解析：(12).设函数z=ln(2-x+y) 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(13).设函数z=ln(1-x+y)+x2y 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(14).设函数，求 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(15).设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2-xyz2=0 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(16).设z=f(x，y)是由方程F(x+mz，y+nz)=0所确定，其中m、n为常数，F(u，v)为可微分函数，数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数．设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， [*] [*])解析：(17).设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=yz+x2+z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(18).设函数z=z(x，y)是由方程z=x+ye z 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x+ye z-z，[*])解析：。

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5、解：（1）积分区域如图 2-1-2 所示，所以（2）积分区域如图 2-1-3 所示，所以（3）积分区域如图 2-1-4 所示，所以（4）积分区域如图 2-1-5 所示，所以
∫
2
0
dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
0 0
y
1
1
x
∫ dy ∫
0
2
2y
习题 2-1
1、解：在任意一个面积微元 dσ 上的压力微元 dF = ρgxdσ ，所以，
该平面薄片一侧所受的水压力 F =
∫∫ ρgxdσ
D
2、解：在任意一个面积微元 dσ 上的电荷微元 dF = µ ( x, y ) dσ ，所以，该平面薄片的电荷总量 Q =
∫∫ µ ( x, y)dσ
D
2 2
1
1
x2 + y2
x
0
f (x, y, z )dz
3、解：积分区域 Ω 如图 2-2-1 所示
∫∫∫ xzdxdydz = ∫
Ω
1
−1
xdx ∫ 2 dy ∫ zdz = ∫ xdx ∫ 2
x
0 −1
1
y
1
1
x
1 2 1 1 y dy = ∫ x(1 − x 6 )dx = 0 2 6 −1
另解：因为积分区域 Ω 关于坐标面 yoz 对称，又 f ( x, y, z ) = xz 关于第一坐标是奇函数，所以
a
y −a
( x 2 + y 2 )dx = ∫ (2ay 2 − a 2 y +
a
3a
a3 )dy = 14a 4 3
（4）积分区域如图 2-1-17 所示，令 x = r cos θ , y = r sin θ ，所以 0 ≤ θ ≤ 2π , a ≤ r ≤ b ，
1 2π
故
2 2 2 ∫∫ ( x + y ) 2 dσ =∫ dθ ∫ r dr =
0 Ω
1
1− x
0
dy ∫
x2 + y2
0
f (x, y, z )dz
2
（2）因为积分区域 Ω 的上曲面为开口向下的抛物柱面 z = 2 − x 与下曲面为开口向上的旋转抛物面 z = x + 2 y 围成，二曲面的交线在 xoy 平面上的投影为圆 x + y = 1 ，即
2 2 2 2
−1 ≤ x ≤ 1 ⎧ 1 1− x 2 2− x 2 ⎪ dy ∫ 2 2 f (x, y, z )dz Ω : ⎨− 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 ，所以 ∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫ dx ∫ 2 −1 − 1− x x +2 y Ω ⎪ x2 + 2y2 ≤ z ≤ 2 − x2 ⎩
−1
0
= ∫ (ee2 x − e −1 )dx + ∫ (e − e −1e 2 x )dx = e − e −1
−1
（4）积分区域如图 2-1-9 所示，所以
∫∫ ( x
D
2
+ y 2 − x)dσ = ∫ dy ∫
0
2
2 ⎛ 19 3 ⎞ 13 ( x 2 + y 2 − x)dx = ∫ ⎜ y 3 − y 2 ⎟dy = y/2 0 24 8 ⎠ 6 ⎝
0 0 Ω
2π
1
2−r 2
r
zrdz = 2π ∫
1
0
1 7π 。 r 2 − r 2 − r 4 dr = 2 12
(
)
（2 ）因为积分区域 Ω 的上曲面为平面 z = 2 ，下曲面为开口向上的旋转抛物面 2z = x + y ，将 z = 2 代入 2 z = x + y 得 x + y = 4 ，所以积分区域 Ω 在 xoy 坐标面上的投影区域
Ω 2 2
2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域 Ω 的上曲面为开口向上的旋转抛物面 z = x + y ，下曲面为 z = 0 ，积分区域 Ω 在 xoy 坐标面上的投影区域 D xy : 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 1 − x ，所以
∫∫∫ f (x, y, z )dv = ∫ dx ∫
2 1 1− r 1− x2 − y 2 π 1 1− r2 2 dθ d σ = ⋅ rdr = rdr ∫0 ∫0 1 + r 2 2 ∫0 1 − r 4 1+ x2 + y2 1 ⎞ π⎛ 1 r r3 ⎜∫ ⎟ dr − dr ∫ ⎟ 0 0 4 4 2⎜ 1 − r 1 − r ⎝ ⎠ 2 4 π ⎛ 1 1 dr 1 1 d (1 − r ) ⎞ ⎟ = ⎜ + ∫ ∫ 0 0 4 4 ⎟ 2⎜ 2 4 1 − r 1 − r ⎝ ⎠
2
V = ∫∫∫ dv = ∫ dy ∫ 2 dx ∫
−1 Ω
1
1
1− x
y
0
1 1 1⎛ 1 1 ⎞ 8 dz = ∫ dy ∫ 2 (1 − x)dx = 2∫ ⎜ − y 2 + y 4 ⎟dy = −1 y 0 2 2 ⎠ 15 ⎝
6、利用柱面坐标计算下列三重积分解：（1）因为积分区域 Ω 的上曲面为开口向上的上半球面 z = 口向上的旋转抛物面 z = x 2 + y 2 ，将 z = x 2 + y 2 代入 z =
图 2-1-2
图 2-1-3
图 2-1-4
图 2-1-5
图 2-1-6
图 2-1-7
图 2-1-8
图 2-1-9
图 2-1-10
图 2-1-11
图 2-1-12
图 2-1-13
图 2-1-14
图 2-1-15
图 2-1- 2-2 1、解： Q =
∫∫∫ µ ( x, y, z )dv
∫∫∫ xzdxdydz = 0 。
Ω
4、解：积分区域 Ω 如图 2-2-2 所示，当 0 ≤ z ≤ h 时，过 (0,0, z ) 作平行与 xoy 面的平面，
2 ⎧ 2 R ⎞ ⎛ 2 R πR 2 2 ⎪x + y ≤ ⎜ z ⎟ 与立体 Ω 的截面为圆 D z : ⎨ ，因而 D 的半径为 z ，面积为 z ， z 2 ⎝h ⎠ h h ⎪z = z ⎩
x+ y ∫∫e dσ = ∫ dx∫
−1 0 0 1+ x −1− x
2 ∫∫ xy dσ =∫ dy∫
2
4− y 2
D
−2
0
xy2dx = 2∫
1 2 64 y (4 − y 2 )dy = 0 2 15
2
D
e x+ y dy + ∫ dx∫
0 1 0
1
1− x
−1+ x
e x+ y dy = ∫ e x (e1+ x − e −1− x )dx + ∫ e x (e1− x − e −1+ x )dx
b
D
0
a
2π 3 b − a3 3
(
)
10、解：积分区域如图 2-1-18 所示，由图形的对称性得： S = 4 S1 = 4
∫∫ dσ ，所以
D1
S = 4∫ dθ ∫
π 4 0
a sin 2θ
0
rdr = 2∫ a 2 sin 2θdθ = −a 2 cos 2θ
π 4 0
π 4 0
= a2
图 2-1-1
)
0 ≤ x ≤1 0 ≤ y ≤1
∫∫ ln(x + y + 1)dσ
4、解：积分区域 D 如图 2-1-1 所示，所以该物体的质量
M = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dσ = ∫ dy ∫
D
0
1
2− y
y
1 8 8 4 ( x 2 + y 2 )dx = ∫ ( − 4 y + 4 y 2 − y 3 )dy = 0 3 3 3 1
故
∫∫∫ zdxdydz = ∫ zdz ∫∫ dxdy =
0 Ω
h
Dz
πR 2 h2
∫
h
0
z 3 dz =
πR 2 h 2 4
5、求下列立体 Ω 的体积解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图 2-2-3 所示），用柱面坐标计算：
V = ∫∫∫ dv = ∫∫∫ rdrdθdz = = ∫ dθ ∫ dr ∫r 2
0
e
e
6、解：（1）积分区域如图 2-1-6 所示，所以
∫∫ x
D
y dσ = ∫ dx ∫ 2
0
1
x
x
2 2⎛ 4 1 ⎞ 6 x y dy = ∫ x x 3 / 4 − x 3 dx = ⎜ x 11 / 4 − x 5 ⎟ = 0 3 3 ⎝ 11 5 ⎠ 0 55
1
1
(
)
（2）积分区域如图 2-1-7 所示，所以（3）积分区域如图 2-1-8 所示，所以
2 − x 2 − y 2 ，下曲面为开
2 − x2 − y2 得 z = 2 − z ，
2 2
解此方程得 z = 1 积分区域 Ω 在 xoy 坐标面上的投影区域 D xy : x + y ≤ 1 ，由柱坐标公式得： D xy : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 1
∫∫∫ zdv = ∫ dθ ∫ dr ∫ 2
2 2 2 2
2
2
D xy : x 2 + y 2 ≤ 4 ，由柱坐标公式得： D xy : 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2