一元二次方程的解法易错点剖析

一元二次方程易错题剖析

一、 在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数

a

0 题目1关于X 的方程(k 2

-1)x 「心+ x + k =0是一元二次方程，求 错解：T k 2-2k -1=2

即 k 2- 2k -3=0

k i = 3, k 2 = — 1.

错因：方程ax 2+ bx + c =0 ( a 0)为一元二次方程，这里强调 —1时，使k 2 - 1 = 0,原方程是一元一次方程. 正解：

2

k -2k —仁 2, 2

…k = 3.

k 2-1 0,

二、 在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数

题目2关于X 的一元二次方程(m + 1)x 2+ 2、、3mx + 3m -2=0有实根, 错解：T 方程有实根，二 > 0, 即(2.3m)2-4(m + 1)(3m -2) >0,

• • —4m+8》0,. • m W 2.

错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足 m + 1 0,

正解：

• m W 2,且 m — 1.

三、 忽视根的判别式和二次项的系数 a

应满足的条件

题目3已知关于X 的方程x 2- mx - n = 0的两根之积比两根之和的 根的平方和为22,求m , n 的值.

k 的值.

a 0.当 k 2 =

a

求m 的取值范围.

2

倍小f ，并且两

错解：设两根分别为X1 , X2，则x1+ x2= m , x1x2= - n .

1

由题意，得2(

X1

+X 2)

—X1X

尸2, X 2+X

；

=22. m != 7,

解得 27 或 ni = —亍

错因：因为方程有两根，说明根的判断式

> 0,即m 2+ 4n >0,但m = 7和n =—

27

不满足，应舍去•又这里二次项系数a = 1是已知的，解题时可不考虑。

2

正解：

当m = 7, n = —

27

时，=72

- 4

27

V 0,不合题意，舍去；

2 2 当 m = — 3, n =匹时， =(—3)2 + 4 逻>0,

2 2 1

3 ..m = 一 3, n =

.

2

四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a 为何值时，方程 亠+注=空也只有一个实数根.

x +1

X X(X + 1)

错解：原方程化为2X 2— 2X + (1— a) = 0.

此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， . =(—2)2— 4 2(1 — a)=0 ,

. 1

…a= —.

2

错因：当方程2X 2—2X +(1— a) = 0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原 方程的根时，命题也成立. 正解：

把 X = 0代入 2X 2—2X + (1— a)= 0，得 a = l ; 把 X = — 1 代入 2X 2— 2X + (1— a)=0，得 a = 5.

二当a 1=寸,a 2 = 1, a 3 = 5时，原分式方程只有一个实数根.

五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是二次方程时的情况，忽视是一次方 程时的情况.

2m + n =-,

2

m 2+2 n =22,

m 2=—3

13

题目5已知关于x的方程(k-1)x2+ 2kx+ k= 0有实根，求k的取值范围.

0 k 1

错解：当k 12U，即k J 2时，方程有实根，

(2k)2-4k(k -1) 0, 4k2-4k2+4k 0

••• k > 0且k 1时，方程有实根.

错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有

“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.

正解：

当k — 1 = Q即k = 1时，

方程化为2x+1=0，二x =-丄.

2

•••当k >0时，方程有实根.

六、不理解一元二次方程的定义

题目6方程(m—1)x m+1+ 2m>—3= 0是关于x的一元二次方程，求m的值.

错解：由题意可得m+ 1 = 2，二m=± 1.

错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次

数为2；③整式方程.方程经整理可转化为一般形式：ax2+ bx+ c= 0(a^ 0).本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件.

正解：由题意可得，m+ 1 = 2，且m—1工0，• m=± 1且1，• m的值是一1.

七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆

题目7用配方法求2x2- 12x + 14的最小值.

错解：2x2- 12x + 14 = x2- 6x + 9-2= (x —3)2-2.

•••当x= 3时，原多项式的最小值是一2.

错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1,方程两边同时除以二次项系

数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.要注意等式与

代数式变形的区别.

正解：2x2—12x + 14 = 2( x2-6x + 7) = 2(x2—6x+ 9-2) = 2( x —3)2-4. •••当x= 3时，原多项式的最小值是-4.

八、解方程中错误使用等式的性质

题目8解方程x2= 6x.

错解: x = 6x，解这个方程，得x= 6.

错

因：

本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式.

正解：

x2= 6x,

x2—6x= 0, x(x —6) = 0,

• X i= 0, X2 = 6.

九、题目9关于x的方程「2x—4—x + k= 1,有一个增根为4,求k的值.

1. 对增根概念理解不准确

错解1:把x= 4代入原方程，得-2X 4—4—4+ k= 1,解得k= — 3. 错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立.实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理.

2. 忽略题中的隐含条件

错解2:将原方程化为整式方程，得4( x + k) = (x —5—k)2. (*) 把x= 4代入整式方程(*)，得4(4 + k) = (4 — 5 —k)2.

解之，得k1= —3, k2= 5.答：k的值为一3或5.

错因：本解法已经考虑到增根的定义.增根是在将无理方程化为整式方程时产

生的，所以题目中的增根x = 4肯定是在解整式方程(*)时产生的.将x=4代入