机器人控制技术动力学PPT
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智能机器人PPT教学课件 第4章 动力学分析和力
0 1 1 0 A P 0 0 0 0
11
T2.19
T2 1
0.92 0 0.39 0
0 1 0 0
0.39 0 0.92 0
3.82 6 3.79 1
（公式：2.31）
12
F r
T1 y0 A x0 z0
I1 l 1, I2 l 2,
D m2
B
C
m1
1
若物体绕某轴的转动惯量为I，转 动的角速度为ω ，则转动动能
E 1 2 I 2
2自由度极坐标机械臂
解：注意，在本例中，机械臂可以做伸缩线运动。定义外机械臂中心到旋 转中心距离为r，它是系统的一个变量，机械臂总长度为r+( l2 /2)。利用和 前面相同的方法，推导拉格朗日函数并求取合适的导数，结果如下： K K1 K2 2 2 2 当回转轴过 1 11 1 2 2 K1 I1,A m1l1 m1l1 杆的端点并 2 23 6 垂直于杆时
1 2 1 2 K mv mx 和 P 1 kx 2 2 2 2
拉格朗日函数的导数是
1 1 L K P mx2 kx2 2 2
d L ( m x ) m x kx ， 和 x dt x 于是求得小车的运动方程 F m x kx
mx
为用牛顿力学求解上述问题，首先画出小车的受力图，其受力方程如下：
mlml当回转轴过杆的端点并垂直于杆时d点伸缩d点旋转若物体绕某轴的转动惯量为i转动的角速度为则转动动能dtdtdtdt运动旋转44多自由度机器人的动力学方程动能
第四章 动力学分析和力
1
为了使物体加速，必须对它施加力。
为了使旋转物体产生角加速度，则必须对其施加力矩（如下图）。 所需的力及力矩为
第三讲：机器人运动学和动力学_PPT幻灯片
讲座内容
位置姿态描述 齐次坐标及齐次变换 机器人连杆参数及D-H坐标变换 机器人运动学方程 微分运动学的概念 机器人动力学方程
位置姿态描述
空间点的描述
zA
px
AP
py
pz oA
xA
Ap
yA
位置姿态描述
刚体位姿
P
A B
R
A pBO
zA
旋转矩阵
A
B
R
A xB
A yB
A zB
yB zB
连杆的简化：
机器人连杆参数及D-H坐标变 换
转动关节连杆的参数：
机器人连杆参数及D-H坐标变
换
移动关节连杆的参数：
沿垂关两直节个于i关两轴关节个线节轴轴方轴线线向线i的，和的夹两i平+角1个面沿公内公垂，垂线两线之个的间公距的垂离距线离。 投影的夹角。
连杆长度ai ：
连杆扭角 i
偏置di ：
关节角 i
本方法由 Denavit 和 Hartenberg于
原点 Oi
Zi 轴
Xi 轴
机器人连杆参数及D-H坐标变换 1.当关节i轴线与关节i+1轴线 相交时，取交点。
与关节i+1的轴 线重合。
2. 当关节i轴线与关节i+1轴线
异面时，取两轴线的公垂线
沿连杆i两关 轴线之公垂 线，并指向关
节i+1。
连杆坐标系的建与关立节及i+D1的-H交坐点。标变换
cos3
0
a3
sin3
0
0 1 0
机器人运动学方程的应用
一、正向运动学
建立机器人运动学方程，已知各关节变量 时，求取终端（手部）位姿。
位置姿态描述 齐次坐标及齐次变换 机器人连杆参数及D-H坐标变换 机器人运动学方程 微分运动学的概念 机器人动力学方程
位置姿态描述
空间点的描述
zA
px
AP
py
pz oA
xA
Ap
yA
位置姿态描述
刚体位姿
P
A B
R
A pBO
zA
旋转矩阵
A
B
R
A xB
A yB
A zB
yB zB
连杆的简化：
机器人连杆参数及D-H坐标变 换
转动关节连杆的参数：
机器人连杆参数及D-H坐标变
换
移动关节连杆的参数：
沿垂关两直节个于i关两轴关节个线节轴轴方轴线线向线i的，和的夹两i平+角1个面沿公内公垂，垂线两线之个的间公距的垂离距线离。 投影的夹角。
连杆长度ai ：
连杆扭角 i
偏置di ：
关节角 i
本方法由 Denavit 和 Hartenberg于
原点 Oi
Zi 轴
Xi 轴
机器人连杆参数及D-H坐标变换 1.当关节i轴线与关节i+1轴线 相交时，取交点。
与关节i+1的轴 线重合。
2. 当关节i轴线与关节i+1轴线
异面时，取两轴线的公垂线
沿连杆i两关 轴线之公垂 线，并指向关
节i+1。
连杆坐标系的建与关立节及i+D1的-H交坐点。标变换
cos3
0
a3
sin3
0
0 1 0
机器人运动学方程的应用
一、正向运动学
建立机器人运动学方程，已知各关节变量 时，求取终端（手部）位姿。
机器人学ppt完整版
视觉传感器
通过图像采集和处理获取 环境信息。
听觉传感器
通过声音采集和处理获取 环境信息。
触觉传感器
通过接触力、压力等检测 获取环境信息。
信息融合与处理技术
数据级融合
直接对原始数据进行融合处理。
特征级融合
提取各传感器数据的特征后进行融合。
信息融合与处理技术
决策级融合
在各传感器做出决策后进行融合。
信号处理
机器人结构组成
机器人本体
包括基座、腰部、臂部 、腕部等部分，构成机
器人的主体结构。
驱动系统
驱动机器人各关节进行 运动，通常由电机、减
速器等组成。
控制系统
实现对机器人运动的控 制，包括控制器、传感
器等部分。
感知系统
获取机器人内部和外部 环境的信息，如位置、
姿态、力等。
关节与连杆描述
关节描述
机器人的关节可分为转动关节和移动 关节，分别用旋转角度和平移距离来 描述。
稳定性分析与优化
李雅普诺夫稳定性分析
轨迹优化
通过构造李雅普诺夫函数，判断机器人系 统的稳定性，为控制器设计提供依据。
基于最优控制理论，对机器人运动轨迹进 行优化，提高机器人的运动性能和效率。
鲁棒性优化
控制分配与优化
针对机器人系统中存在的不确定性和干扰 ，设计鲁棒控制器，提高系统的稳定性和 抗干扰能力。
控制策略与方法
PID控制
通过比例、积分和微分环节对机器人 关节误差进行调节，实现关节位置、 速度和加速度的精确控制。
滑模控制
设计滑模面，使系统状态在滑模面上 滑动，从而实现对机器人关节的鲁棒 控制。
自适应控制
根据机器人动态特性的变化，实时调 整控制器参数，以保证系统性能的最 优。
第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
机器人课件机器人控制ppt
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
如果给系统加上一个幅值为T的阶跃力矩 干扰,则系统的稳态误差为:
T lim sT(s)keTKm
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
5.1.3机器人示教编程方式
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
5.1 概述
构成机器人控制系统的要素主要有：计算机硬 件系统及控制软件；输入／输出设备；驱动器； 传感器系统。它们之间的关系如图所示：
简化后:
d (s)
Ke
Km JS ( f KmKv)
1 S
(s)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第五章 机器人的控制基础PPT课件
3. 力（力矩）控制方式 在完成装配、抓放物体等工作时，除要
准确定位之外，还要求使用适度的力或力 矩进行工作，这时就要利用力（力矩）伺 服方式。
4. 智能控制方式 详见第六章。
三、机器人控制的基本单元
机器人控制系统的基本要素包括电动机、 减速器、运动特性检测的传感器、驱动电 路、控制系统的硬件和软件。
1－电枢绕组；2－电枢铁心；3－机座；4－主磁极铁心； 5－励磁绕组；6－换向极绕组；7－换向极铁心；8－主磁极
极靴；9－机座底脚； 直流电机横剖面示意图
2．直流电机的额定值
（1）额定功率：是指轴上输出的机械功率，单 位为kW。
（2）额定电压：安全工作的最大外加电压或输 出电压，单位为V(伏)。
•快速响应好 直流伺服电机：传统型和低惯量型两种类型。
传统型按定子磁极的种类分为两种，永磁式和 电磁式。永磁式的磁极是永久磁铁；电磁式的磁 极是电磁铁，磁极外面套着励磁绕组。
低惯量分为盘形电枢直流伺服电机、 空心杯电枢永磁式直流伺服电机及无槽电 枢直流伺服电机。
1一定子；2一转子 图5－3 盘型直流电机结构
• 1一转子(导线绕6空心杯1)；2一内定子； 3一外定子；4一磁极；5一气隙；6—导 线；7一内定子中的磁路
• 图5－4 杯型直流电机结构
在电枢控制方式下，直流伺服电机的主 要静态特性是机械特性和调节特性。
1．机械特性 直流伺服电机的机械特性公式，
n
Ua
CT
R
CeCT 2
n0
RT
CeCT 2
2. 交流伺服电机的转子有三种结构型式：
（1）高电阻率导条的鼠笼转子
国内生产的SL系列的交流伺服电机就 是采用这种结构。
（2）非磁性空心杯转子
《机器人控制技术》课件
运动学与动力学在机器人控制中的应用
通过运动学和动力学模型，可以实现对机器人的精确控制，提高机器人的运动性能和稳定性。
机器人运动学的定义
机器人运动学是研究机器人在空间中的位置和姿态如何随时间变化的科学，主要关注速度和加速度等运动参数。
机器人自主控制技术
CATALOGUE
05
环境感知
机器人通过传感器获取周围环境的信息，包括障碍物、地形、光照等，并进行识别、分类和跟踪。
模块化
工业自动化
机器人控制技术在工业自动化领域有着广泛的应用前景，能够提高生产效率和降低成本。
家庭服务
随着人口老龄化的加剧，家庭服务机器人需求越来越大，机器人控制技术在家庭服务领域有着广阔的应用前景。
医疗护理
机器人控制技术在医疗护理领域的应用也越来越广泛，如康复机器人、护理机器人等。
农业
在农业领域，机器人控制技术可以用于自动化种植、施肥、采摘等方面，提高农业生产效率和质量。
执行器
机器人的末端执行器，负责与环境进行交互。
开环控制系统和闭环控制系统。
根据控制方式
根据任务类型
根据系统结构
位置控制系统、速度控制系统和力控制系统。
集中式控制系统和分布式控制系统。
03
02
01
研究机器人末端执行器与关节之间的几何关系，以及如何通过关节角度计算出末端执行器的位置和姿态。
运动学
研究机器人运动过程中力与运动之间的关系，用于精确控制机器人的动态行为。
《机器人控制技术》ppt课件
目录
contents
机器人控制技术概述机器人控制系统机器人感知与感知技术机器人运动控制技术机器人自主控制技术机器人控制技术的前沿研究与展望
机器人控制技术概述
通过运动学和动力学模型，可以实现对机器人的精确控制，提高机器人的运动性能和稳定性。
机器人运动学的定义
机器人运动学是研究机器人在空间中的位置和姿态如何随时间变化的科学，主要关注速度和加速度等运动参数。
机器人自主控制技术
CATALOGUE
05
环境感知
机器人通过传感器获取周围环境的信息，包括障碍物、地形、光照等，并进行识别、分类和跟踪。
模块化
工业自动化
机器人控制技术在工业自动化领域有着广泛的应用前景，能够提高生产效率和降低成本。
家庭服务
随着人口老龄化的加剧，家庭服务机器人需求越来越大，机器人控制技术在家庭服务领域有着广阔的应用前景。
医疗护理
机器人控制技术在医疗护理领域的应用也越来越广泛，如康复机器人、护理机器人等。
农业
在农业领域，机器人控制技术可以用于自动化种植、施肥、采摘等方面，提高农业生产效率和质量。
执行器
机器人的末端执行器，负责与环境进行交互。
开环控制系统和闭环控制系统。
根据控制方式
根据任务类型
根据系统结构
位置控制系统、速度控制系统和力控制系统。
集中式控制系统和分布式控制系统。
03
02
01
研究机器人末端执行器与关节之间的几何关系，以及如何通过关节角度计算出末端执行器的位置和姿态。
运动学
研究机器人运动过程中力与运动之间的关系，用于精确控制机器人的动态行为。
《机器人控制技术》ppt课件
目录
contents
机器人控制技术概述机器人控制系统机器人感知与感知技术机器人运动控制技术机器人自主控制技术机器人控制技术的前沿研究与展望
机器人控制技术概述
《机器人控制》课件
总结词
描述机器人轨迹规划的方法和步骤。
详细描述
介绍机器人轨迹规划的定义、目的和意义，以及基于时间、基于距离、基于加速 度等轨迹规划方法，并给出相应的规划步骤和实例。
04
机器人控制算法
基于规则的控制算法
基础且常用
基于规则的控制算法是机器人控制中最为基础和常用的算法之一。它根据预先设 定的规则或逻辑，对机器人的运动进行控制。这种算法通常比较简单，易于实现 ，适合于一些简单的、确定性强的任务。
详细描述
介绍机器人运动学的定义、研究内容 、坐标系建立、运动学方程的建立等 基本概念，以及正运动学和逆运动学 的求解方法。
机器人动力学基础
总结词
描述机器人动力学的基础概念和原理。
详细描述
介绍机器人动力学的基本概念，如牛顿-欧拉方程、拉格朗日方程等，以及机器 人在各种运动状态下的动力学特性。
机器人轨迹规划
服务机器人应用实例
家庭服务
服务机器人进入家庭，提 供清洁、烹饪、照看老人 和儿童等服务，提高家庭 生活质量。
医疗护理
服务机器人在医疗护理领 域协助医生诊断、护理病 人，提高医疗服务水平。
旅游导览
服务机器人在旅游景区提 供导览服务，为游客提供 详细的信息和便利的导航 。
特种机器人应用实例
深海探测
特种机器人潜入深海进行资源勘探、海洋生物研 究等，拓展人类对海洋的认识。
《机器人控制》ppt课件
• 机器人控制概述 • 机器人感知与决策 • 机器人运动控制 • 机器人控制算法 • 机器人应用实例
01
机器人控制概述
机器人控制的基本概念
机器人控制
控制系统的目标
指通过预设的算法或指令，使机器人 按照要求完成一系列动作或任务的过 程杂、精确的 任务。
描述机器人轨迹规划的方法和步骤。
详细描述
介绍机器人轨迹规划的定义、目的和意义，以及基于时间、基于距离、基于加速 度等轨迹规划方法，并给出相应的规划步骤和实例。
04
机器人控制算法
基于规则的控制算法
基础且常用
基于规则的控制算法是机器人控制中最为基础和常用的算法之一。它根据预先设 定的规则或逻辑，对机器人的运动进行控制。这种算法通常比较简单，易于实现 ，适合于一些简单的、确定性强的任务。
详细描述
介绍机器人运动学的定义、研究内容 、坐标系建立、运动学方程的建立等 基本概念，以及正运动学和逆运动学 的求解方法。
机器人动力学基础
总结词
描述机器人动力学的基础概念和原理。
详细描述
介绍机器人动力学的基本概念，如牛顿-欧拉方程、拉格朗日方程等，以及机器 人在各种运动状态下的动力学特性。
机器人轨迹规划
服务机器人应用实例
家庭服务
服务机器人进入家庭，提 供清洁、烹饪、照看老人 和儿童等服务，提高家庭 生活质量。
医疗护理
服务机器人在医疗护理领 域协助医生诊断、护理病 人，提高医疗服务水平。
旅游导览
服务机器人在旅游景区提 供导览服务，为游客提供 详细的信息和便利的导航 。
特种机器人应用实例
深海探测
特种机器人潜入深海进行资源勘探、海洋生物研 究等，拓展人类对海洋的认识。
《机器人控制》ppt课件
• 机器人控制概述 • 机器人感知与决策 • 机器人运动控制 • 机器人控制算法 • 机器人应用实例
01
机器人控制概述
机器人控制的基本概念
机器人控制
控制系统的目标
指通过预设的算法或指令，使机器人 按照要求完成一系列动作或任务的过 程杂、精确的 任务。
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2 m2 图6.1 两连杆的机械手
6. 2. 1 动能和势能 ( The Kinetic and Potential Energy )
动能的一般表达式为
K
1 2
mv，2 质量m1的动能可直接写出
K1
1 2
m1d1212
(6.3)
势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出
p1m 1g1 d Co (1s )
(6.4)
对于质量m2，由图6.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分， 以便得到速度
x 2 d 1 S(i1 )n d 2 S(i1 n2 ) y 2 d 1 C (1 o ) d 2 s C (1 o 2 s )
(6.5) (6.6)
速度的直角坐标分量为
x 2 d 1 C ( 1 ) 1 o d 2 C s ( 1 o 2 ) 1 s ( 2 ) (6.7) y 2 d 1 S ( 1 ) i 1 n d 2 S ( 1 i2 n ) 1 ( 2 ) (6.8)
速度平方的值为
V 2 2 d 1 2 1 2 d 1 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
2 d 1 d 2 C (1 ) o C ( s 1 o 2 ) s 1 ( 2 1 2 )
2 d 1 d 2 S ( 1 ) i S ( n 1 i2 n ) 1 2 ( 1 2 )
d 1 2 1 2 d 1 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 2 d 1 d 2 C ( 2 ) 1 2 o ( 1 2 )
(6.9)
从而动能为
K 2 1 2 m 2 d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
( m 1 m 2 ) g 1 C d (1 ) o m 2 g s 2 C d (1 o 2 )s (6.12)
6. 2. 3 动力学方程 ( The Dynamics Equations )
为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分
L 1 ( m 1 m 2 ) d 1 2 1 2 m 2 d 2 2 1 2 m 2 d 2 2 2 2
2 m 2 d 1 d 2 S ( 2 ) i 1 2 n m 2 d 1 d 2 S ( 2 ) i 2 2 n（6.14）
L 1 ( m 1 m 2 ) g 1 S d (i1 ) n m 2 g2 S d (i1 n2 )
（6.15）
根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩
为了说明问题，我们看一个具 体例子，假定有如图6.1所示的两连 杆的机械手，两个连杆的质量分别 为 m1、m2， 由 连 杆 的 端 部 质 量 代 表 ， 两 个 连 杆 的 长 度 分 别 为 d1、d2， 机 械手直接悬挂在加速度为g的重力场
中，广义坐标为θ1和θ2。
y
x
1 d1
m1 d2
第六章 动力学 Chapter Ⅵ Dynamics
6.1 引言 6.2 拉格朗日力学 6.3 机械手的动力学方程
6.1 引言 ( Introduction )
动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究 机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一 种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特 性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题， 因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学 方程。本章的主要内容如下：
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
d L dtqi
L qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
拉格朗日算子 L = K – P 可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得
L 1 2 ( m 1 m 2 ) d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
m 2 d 1 d 2 C (o 2 ) s 1 ( 2 1 2 )
m 2 d 1 d 2 C (2 o ) 1 ( 2 s 1 2 )
(6.10)
质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是
p 2 m 2 g 1 C d (1 ) o m 2 s g 2 C d (1 o 2 ) s
(6.11)
6. 2. 2 拉格朗日算子 ( The Lagrangian )
2 m 2 d 1 d 2 C (2 ) o 1 m s 2 d 1 d 2 C (2 ) o 2s （6.13）
d d L t 1 [m ( 1 m 2 ) d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 C (o 2 ) 1 ] s
[m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2 C(o 2 ) s ] 2
运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；
介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；
推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。
6.2 拉格朗日力学 —— 一个简例 ( Lagrangian Mechanics — A Simple Example )
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
T 1 [ m 1 ( m 2 ) d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 C (2 ) o 1 d 2 C(o 2 ) s ] 2
6. 2. 1 动能和势能 ( The Kinetic and Potential Energy )
动能的一般表达式为
K
1 2
mv，2 质量m1的动能可直接写出
K1
1 2
m1d1212
(6.3)
势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出
p1m 1g1 d Co (1s )
(6.4)
对于质量m2，由图6.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分， 以便得到速度
x 2 d 1 S(i1 )n d 2 S(i1 n2 ) y 2 d 1 C (1 o ) d 2 s C (1 o 2 s )
(6.5) (6.6)
速度的直角坐标分量为
x 2 d 1 C ( 1 ) 1 o d 2 C s ( 1 o 2 ) 1 s ( 2 ) (6.7) y 2 d 1 S ( 1 ) i 1 n d 2 S ( 1 i2 n ) 1 ( 2 ) (6.8)
速度平方的值为
V 2 2 d 1 2 1 2 d 1 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
2 d 1 d 2 C (1 ) o C ( s 1 o 2 ) s 1 ( 2 1 2 )
2 d 1 d 2 S ( 1 ) i S ( n 1 i2 n ) 1 2 ( 1 2 )
d 1 2 1 2 d 1 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 2 d 1 d 2 C ( 2 ) 1 2 o ( 1 2 )
(6.9)
从而动能为
K 2 1 2 m 2 d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
( m 1 m 2 ) g 1 C d (1 ) o m 2 g s 2 C d (1 o 2 )s (6.12)
6. 2. 3 动力学方程 ( The Dynamics Equations )
为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分
L 1 ( m 1 m 2 ) d 1 2 1 2 m 2 d 2 2 1 2 m 2 d 2 2 2 2
2 m 2 d 1 d 2 S ( 2 ) i 1 2 n m 2 d 1 d 2 S ( 2 ) i 2 2 n（6.14）
L 1 ( m 1 m 2 ) g 1 S d (i1 ) n m 2 g2 S d (i1 n2 )
（6.15）
根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩
为了说明问题，我们看一个具 体例子，假定有如图6.1所示的两连 杆的机械手，两个连杆的质量分别 为 m1、m2， 由 连 杆 的 端 部 质 量 代 表 ， 两 个 连 杆 的 长 度 分 别 为 d1、d2， 机 械手直接悬挂在加速度为g的重力场
中，广义坐标为θ1和θ2。
y
x
1 d1
m1 d2
第六章 动力学 Chapter Ⅵ Dynamics
6.1 引言 6.2 拉格朗日力学 6.3 机械手的动力学方程
6.1 引言 ( Introduction )
动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究 机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一 种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特 性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题， 因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学 方程。本章的主要内容如下：
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
d L dtqi
L qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
拉格朗日算子 L = K – P 可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得
L 1 2 ( m 1 m 2 ) d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
m 2 d 1 d 2 C (o 2 ) s 1 ( 2 1 2 )
m 2 d 1 d 2 C (2 o ) 1 ( 2 s 1 2 )
(6.10)
质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是
p 2 m 2 g 1 C d (1 ) o m 2 s g 2 C d (1 o 2 ) s
(6.11)
6. 2. 2 拉格朗日算子 ( The Lagrangian )
2 m 2 d 1 d 2 C (2 ) o 1 m s 2 d 1 d 2 C (2 ) o 2s （6.13）
d d L t 1 [m ( 1 m 2 ) d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 C (o 2 ) 1 ] s
[m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2 C(o 2 ) s ] 2
运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；
介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；
推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。
6.2 拉格朗日力学 —— 一个简例 ( Lagrangian Mechanics — A Simple Example )
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
T 1 [ m 1 ( m 2 ) d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 C (2 ) o 1 d 2 C(o 2 ) s ] 2