2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021合肥市高三理科数学一模试卷及答案
15.－16
16.27
三、解答题：
17.(本小题满分 12 分)
解：(1)
P
1
7 8
6 7
5 6
3 8
；
…………………………5 分
(2)设每个坯件的加工成本为 元，则
P
70
1 8
，P
130
7 8
1 7
1 8
， P
160
7 8
6 7
3 4
，
∴ 的分布列为
70
130
160
P
∴ E
70
1 8
130
，
x1x2 m2.
当k 1 时， AB 4 2m 2 .
∴ AB 1 k 2 x1 x2 2 4mp 2 p2 4 2m 2 ，化简得( p 2m 2)( p 2) 0 .
∵ p 0, m 0 ， ∴ p 2 . ∴抛物线 E 的方程为 y2 4x .
…………………………6 分
z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 P (0，0，1)，
C
(0，1，0)，
B
(1，2，0)，
A
(2，1，0)，G
1 2
，1，1 2
.
∴
AG
3 2
，0，1 2
，CP
0，
1，1
，CA
2，0，0
.
设平面 PAC 的法向量n x，y，z .
由
nn
CP CA
0 0
得
y
2
x
z 0.
高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）
21.(本小题满分 12 分)
解：(1)
f
x
安徽省合肥市2021届高三数学第一次教学质量检测试题理（含解析）
设 ，由几何关系可知：点 为四面体 外接球的球心，
△ABD是边长为2的等边三角形，那么 ,
二面角 的大小为 ,那么 ，
据此，在 中， ，
四面体 外接球的半径为 .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，肯定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
结合二次函数的性质可得函数 的值域为 ，即： ，
结合交集的概念可得： .
此题选择B选项.
4. 假设双曲线 的一条渐近线方程为 ，该双曲线的离心率是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的核心位于 轴，那么双曲线的渐近线为 ，结合题意可得： ，
双曲线的离心率： ，
此题选择C选项.
5. 执行如图程序框图，假设输入的 等于10，那么输出的结果是〔 〕
又∵ ，∴平面 平面 .
〔2〕由， 平面 ， 是正方形.
∴ 两两垂直，如图，成立空间直角坐标系 .
设 ，那么 ，从而 ，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 .
令 ，那么 ，从而 .
∵ ，设 与平面 所成的角为，那么
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 在平面直角坐标系中，圆 交 轴于点 ，交 轴于点 .以 为极点， 别离为左、右核心的椭圆 ，恰好通过点 .
试题解析：
〔1〕由可得，椭圆 的核心在 轴上.
设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ，那么 ，
∴ ，∴椭圆 的标准方程为 .
2021届安徽省合肥一中等六校教育研究会高三上学期第一次素质测试数学(理)试题Word版含解析
2021届安徽省合肥一中等六校教育研究会上学期第一次素质测试高三数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ）A.φB.{|42}x x -<≤C.{ |4<<3}x x -D.{|12}x x -<≤ 【答案】D【解析】解对数不等式求出集合N 的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案。
【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<，所以24x <<， 所以{}24U C N x x x =≤≥或，则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。
2．已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A ．2i --B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】D【解析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A.130,0a d dS >>B.130,0a d dS ><C.130,0a d dSD.130,0a d dS <<【答案】C【解析】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，利用等差数列的通项公式可得（211125a d a d a d +=++）（）（） ，解出11020a d a d ＜，+= ．即可． 【详解】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，可得（211125a d a d a d +=++）（）（），即2120a d d +=，∵公差d 不等于零， 11020a d a d ∴+=＜，．23133302dS d a d d ∴=+=（）＞． 故选：C ．【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A 1B C D 【答案】A【解析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =，又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得：()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得：1e =本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程.5．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A ．23B ．43C ．13D ．213【答案】B 【解析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43．故选：B ．6．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期段一测试理科数学试题及答案
合肥一中2019级高三第一学期段一测试数学（理）试题考试时长：120分钟试卷分值：150分命题人：梁方志审题人：张瑜琦一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为A. B. C. D.2.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的零点所在的区间是A. B. C. D.4.函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.5.已知函数的图象如右图所示，则此函数可能是A. B.C. D.6.已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为A. B. C. D.7.若函数在处有极大值，则常数c为A.2B.6C.2或6D.2-或6-8.若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为A.1B.2C. D.9.已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.10.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比。
按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约增加了参考数据：A.B. C.D.11.对任意实数x ，恒有成立，关于x 的方程有两根为，，则下列结论正确的为（）A.B.C.D.12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数2)1()(32+-=x x f 的极值点是_______________．14.已知命题p ：“)2,1(∈∀x ，”，若为假命题，则实数a 的取值范围为______．15.已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是．16.已知函数，若函数有两个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共72分）17.已知；，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．求函数的解析式；解不等式．19.已知函数，，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数a的取值范围．20.已知函数．1）当时，求曲线在点处的切线方程；2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．21.如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP内种花，，垂足为Q，PQ将扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为．求关于的函数关系式；求当为何值时，总造价最小，并求出最小值．22.已知函数．若恒成立，求实数a的取值范围．若函数的两个零点为，，证明：．合肥一中2019级高三第一学期段一测试数学（理）答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）题号123456789101112答案CBCDDDBDBBBA二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.x=014.]2,( 15.16.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共72分）17.解：由p ：，由q 可得，是的必要不充分条件，是q 的充分不必要条件，解得：．所以．18.解：因为为定义在上的奇函数，所以．当时，，则，又因为为奇函数，所以．所以函数的解析式为：；因为，在上为增函数，且，由得：，解得或，所以的解集为：或．19.解：由题意知，因为，若，由得：当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；若，由得：或，且，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；若，由知：在上单调递增，若，由得：或，且，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在，上单调递增；在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；（2）由（1）知，当时，，不满足题意，当时，，，不满足题意，当时，，不满足题意，所以，当时，，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增；所以对恒成立所以，当时，，在上单调递增；在上单调递减；所以，所以，综上可知：20解：（1）当时，的定义域为，，，又，曲线在点处的切线方程为：，即；2）对任意的，要使成立，只需任意的， ( ) ≥0.又)1()1(1)('2≥+-=+-=x xa x x a x x f当11≤+a 即0≤a 时，)(x f 在),1[+∞上是增函数，所以只要min )(x f =0)1(≥f ，从而0211ln )1(21)1(=-+-=a f ，所以0≤a 满足题意。
2021届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷(带解析)
2021届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷(带解析)2021届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷（带解析）一、选择题 1.已知复数A．表示复数的共轭复数，则 D．6（）B．5 C．【答案】B．【解析】试题分析：考点：1．共轭复数的概念；2．复数模长的计算． 2.设集合A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】试题分析：①当时，若，则“．综上得“”是“”是“”的充分条件；②”的充分不必要条件．则“”是“”的（），故选B．或考点：1．充分条件和必要条件的判断；2．一元二次不等式的解法；3．集合的包含关系． 3.过坐标原点O作单位圆使得（A．点B．点C．点的两条互相垂直的半径），则以下说法正确的是（），若在该圆上存在一点，一定在单位圆内一定在单位圆上一定在单位圆外时，点在单位圆上D．当且仅当【答案】B．【解析】试题分析：使用特殊值方法求解．设在单位圆上，故选B．．在圆上，考点：1．平面向量基本定理；2．点和圆的位置关系． 4.过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（） A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：，又．考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】试题分析：由三视图还原该几何体得它是一个直四棱柱等的等腰梯形，棱平面（如图），，其中为全梯形的高，，故选C．考点：1．几何体的三视图；2．几何体表面积的计算． 6.已知函数A．B．，则一定在函数图象上的点是（）C．D．【答案】C．【解析】试题分析：根据的解析式，求出断四个选项是否在图象上．为奇函数，考点：函数的奇偶性．，判断函数的奇偶性，由函数．的奇偶性去判在图象上．故选C．7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C．【解析】试题分析：由程序框图运算得的输出值为7，故选C．考点：算法初步与程序框图． 8.在中，已知，，则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形【答案】B．【解析】试题分析：由已知及正弦定理，得，，得．三角形，故选B．考点：综合应用正余弦定理及三角恒等变换判断三角形的形状．，．由为等腰直角9.已知满足时，的最大值为1，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D．【解析】试题分析：由线性规划将图画出，由的最大值为 1，找出的最大值时图上的点，进而求得在处有最大值．与矛盾，故不能用均值不等式求最值．设时，的最小值．由图象知，当且仅当，即．由对勾函数性质得，考点：线性规划参数最值问题．有最小值，．10.对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数A．B．C．是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（） D．【答案】D．【解析】试题分析：由已知得当时，，由；当数”；当时，，则．，得时，显然是“可构造三角形函．综上所述：，故选D．考点：函数的性质（有界性、最大值和最小值）．二、填空题 1.若随机变量【答案】0．8413．【解析】试题分析：由题意可知正态分布密度函数的图象关于．考点：正态分布密度函数的图象及其性质． 2.已知数列满足且，则．对称，得，且，则__________．【答案】2021．【解析】试题分析：由题意可知．考点：等差数列、等比数列通项公式的求法．3.某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有种．是以为首项，2为公比的等比数列，【答案】144．【解析】试题分析：由题意可知满足条件的不同安排方法分两类：一类是并排坐在第二排，有种；一类是并排坐在第三排，有种，故共有种．考点：有限制条件的排列组合问题． 4.若展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中项的系数为_____________．【答案】－15．【解析】试题分析：，得展开式的各项系数绝对值之和与．设．令考点：二项式定理的应用． 5.已知直线：出下列命题：①当时，中直线的斜率为；（为给定的正常数，为参数，）构成的集合为，给展开式中含的项为第，得展开式的各项系数和相等，令项，则．，含项的系数为②中所有直线均经过一个定点；③当④当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等；时，中的两条平行直线间的距离的最小值为；⑤中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．【答案】③④．【解析】试题分析：且把直线圆既满足直线的方程代入椭圆的切线．①当时，点在圆时，的方程，也满足椭圆的方程可得直线的方程，为椭①错；②为椭圆切线不经过定点，②错；③当上，圆心到圆上的距离相等，∴③正确；④当时，为椭圆切线，当中两直线分别与椭圆相切于的短轴两端点时，它们间的距离为，∴④正确；⑤为椭圆切线，不可覆盖整个平面．综上所述：③④正确．考点：1．椭圆的几何性质；2．直线和椭圆的位置关系．三、解答题 1.已知（1）（2）【答案】（1）【解析】试题分析：（1）利用两角和与差的余弦公式将已知式开化简，即可求得的值，再利用平方关系求的值，最后将拆成展；．；（2）．求：，利用两角和与差的正弦公式求得的值，可先求出的值，再利用商关系将的值．的值；（2）利用平方关系，由（1）中中的正切化为正余弦，将，的值，代将入即可求得试题解析：（1）即，注意到2分，故，从而． 7分5分（2）． 12分（或者，，==）．，，=考点：1．三角恒等变换；2．两角和与差的三角函数公式；3．三角函数基本关系式． 2.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF 中，，是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．（1）求证：；的余弦值．（2）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是，试求【答案】（1）详见试题解析；（2）【解析】．试题分析：（1）证明线线垂直，可转化为证明线面垂直．要证，只要证平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性质定理知，只要证．在等腰梯形ABCD中，由已知条件及平面几何相关知识易得；（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即为直线DE与平面ACEF 所成的角．在中由锐角三角函数可求得的长，再在中由锐角三角函数即可求得的余弦值．试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，． 3分平面，故平面，且平面平面． 6分，平面，而平面（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形平面平面，故DM⊥平面．于是，角． 9分为菱形，∴DM⊥AC，注意到即为直线DE与平面ACEF所成的设AD=DC=BC=,则MD=中，，，．依题意，，∵，，在=AM，四边形AMEF为平行四边形，． 12分，考点：1．空间垂直关系的证明；2．空间角的计算． 3.已知函数（1）若函数的极小值是在，求处取得极小值．；上单调递（2）若函数的极小值不小于，问：是否存在实数，使得函数减？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）【解析】试题分析：（1）对列出方程组实数k，使得函数．由得解这个方程组，可得在求导，得的值，从而求得；（2）存在实数，满足题意．，结合已知条件可以的解析式；（2）假设存在=0两根为，由，解得，则，上单调递减．设，的递减区间为的递减区间为在．由条件有有这个条件组可求得，即可求得的值．的值．利用函数上单调递减，列出不等式组试题解析：（1），由知，解得 4分． 6分上单调递减．设，．的递减区间为，由=0两根为，检验可知，满足题意．（2）假设存在实数，使得函数，则解得，．由的递减区间为由条件有，解得 10分函数在上单调递减．由．∴存在实数，满足题意． 12分考点：1．导数与函数的极值；2．导数与函数的单调性；3．含参数的探索性问题的解法． 4.已知椭圆，如图．的右焦点为，设左顶点为A，上顶点为B且（1）求椭圆的方程；（2）若，过的直线交椭圆于两点，试确定；（2）的取值范围．．【答案】（1）椭圆的方程为【解析】的取值范围为试题分析：（1）首先写出，，，由运算，可得方程，又由椭圆中关系得及向量数量积的坐标，解这个方程组得的值，从，此时，，而得椭圆的标准方程；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，＝；若直线斜率存在，设，代入椭圆方程消去得关于的一元二次的取值方程，利用韦达定理，把范围．试题解析：（1）由已知，∵，∴表示成斜率的函数，求此函数的值域，即得，，解得，，∴，此时，则由，∴椭圆，，得：． 4分＝；．（2）①若直线斜率不存在，则②若直线斜率存在，设，∴，，，则由，∴消去得：＝，∴．．∵，∴，∴综上，的取值范围为． 13分考点：1．椭圆的标准非常及其几何性质；2．直线和椭圆的位置关系；3．利用向量的数量积运算解决椭圆中的取值范围问题．5.某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用表示编号为的样品首轮同时被抽到的概率．（1）求的值；的和．；（2）所有的的和为10．（2）求所有的【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，从而可求得的值；（2）采用分类讨论思想，分别求满足①当时，②当时，③当时的的值，最后求和即得所有的的和．试题解析：（1）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故＝． 4分（2）①当②当③当∴所有的时，时，时，＝＝的和为＝＝，而这样的有有=36个；＝，而这样的＝，而这样的×36＋=15个；有=54个．×15＋×54＝10． 13分考点：1．分层抽样的基本思想；2．古典概型的概率计算． 6.已知函数，记函数（1）求；（2）求证：＜（3）设为数列；的前项和，求证：＜．来，（＞0，图象与三条直线，以点为切点作函数图象的切线所围成的区域面积为．【答案】（1）【解析】试题分析：（1）先对；（2）详见试题分析；（3）详见试题分析．求导，根据切点坐标及导数的几何意义，求出切线的斜率，计算图象与三条直线写出切线的方程，最后利用定积分所围成的区域面积，可求得数列（≥0），求导可得递减，故，从而证得当＞0时，，∴=＜＜的通项公式；（2）构造函数，从而函数成立，故（≥0）单调＜，由放缩法得＜；（3）由（2）：＜，再结合裂项相消法即可证明来＜．试题解析：（1）易知即（2）构造函数，∴（≥0），则，（≥0）单调递减，而∴当＞0时，＜＜．成立，∴知＜，∴，等号在，∴=，切点为，则方程为=，即函数时取得，（3）＜＜＜，∴当时，=＜；当＜．时，方法二：（1）（2）同方法一；（3）由（2）知＜，（），，又综上所述：对一切，都有＜．，，∴考点：1．导数的几何意义；2．定积分的计算；3．利用导数证明不等式；4．利用放缩法和裂项相消法证明不等式．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
安徽省合肥市2021届新高考数学一模试卷含解析
安徽省合肥市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 2．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 3．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -C ．6-D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算． 【详解】因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的运算．属于简单题．4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人C ．108人D ．115人【答案】D 【解析】 【分析】先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10050023x=，解得115x =人. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 5．若函数22y sin x ϕπ⎛⎫<+=的图象经过点0π⎛⎫，，则函数22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-【答案】B 【解析】 【分析】 由点012π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项. 【详解】 由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=- 所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π= 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.6．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．0【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯=故选：B 【点睛】考查线性规划，是基础题.7．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【答案】B 【解析】 【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】AP OP OA =-=λ（AB AC AB cosBAC cosC+⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭，本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．8．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．9．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ） A．122-+ B．122i -+ C．12-D．122i --由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ 的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OB 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ ＝(0，1)，将OZ 绕原点O 逆时针旋转6π得到OB ， 设OB ＝(a ，b)，0,0a b <>， 则3cos62OZ OB b OZ OB π⋅===， 即32b =， 又221a b +=， 解得：13,22a b =-=， ∴13,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，对应复数为1322i -+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.10．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 11．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由于111113579-+-+-中正项与负项交替出现，根据S S i =+可排除选项A 、B ；执行第一次循环：011S =+=，①若图中空白框中填入(1)21n i n -=+，则13i =-，②若图中空白框中填入(1)2ni i -=+，则13i =-，此时20n >不成立，2n =；执行第二次循环：由①②均可得113S =-，③若图中空白框中填入(1)21ni n -=+，则15i =，④若图中空白框中填入(1)2ni i -=+，则35i =，此时20n >不成立，3n =；执行第三次循环：由③可得11135S =-+，符合题意，由④可得13135S =-+，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21ni n -=+，12．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．25【答案】B 【解析】 【分析】先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况，因此，所求事件的概率为415P =. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
安徽省合肥市2021届高三一模数学试题及答案(理科)
合肥市2021年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（解析版） （考试时间：120 分钟满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A.33i 22+ B.33i 22-C.13i 22+ D.13i 22- 【答案】C 【详解】()()()()=-+--=+-=i i i i i i z 111212i 2321-，所以i z 2321+=， 故选：C.2.已知集合{}2xA y y ==，{B x y ==，则A B ⋂=（ ）A.∅B.[]0,1C.()0,1D.(]0,1【答案】D 【详解】{}x y y A 2==()∞+=，0，{}(]1,1∞-=-==x y x B ，所以(]1,0=B A ， 故选;D.3.某商场2020年部分月份销售金额如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为6.171.38ˆ-=x y，则a =（ ） A.198.2 B.205 C.211 D.213.5 【答案】B 【详解】 由题意知，5108642++++=x 6=，5850536828613264aa y +=++++=， 因为样本中心点()y x ,在回归直线方程6.171.38ˆ-=x y上， 所以6.1761.385850-⨯=+a，解得205=a ， 故选：B.4.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足321n n S a =-，则5a =（ ）A.32B.321C.116- D.16- 【答案】D 【详解】当1=n 时，12311-=a a ，11-=a ，当2≥n 时，12311--=-n n a S ，又123-=n n a S ，两式相减，得1-223n n n a a a -=， 即1-2n n a a -=()2≥n ，所以数列{}n a 为以1-为首项，以2-为公比的等比数列， 所以()()162145-=-⨯-=a ，故选：D.5.已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 上一点()2,1P 关于原点的对称点为Q ，若PQF △的周长为则a b -=（ ）B.2【答案】A 【详解】取椭圆E 的右焦点F '，连接F P '，F Q '，则四边形F QFP '为平行四边形，则QF F P ='，因为PQF ∆的周长为5224+，所以5224+=++PQ QF PF ，所以52242+=+'+PO F P PF ，由椭圆定义知，a F P PF 2='+，因为()1,2P ，所以51222=+=PO ，所以5224522+=+a ，解得22=a ， 又点()1,2P 在椭圆E 上，所以11422=+ba ， 解得2=b ，所以2222=-=-b a ，故选：A.6.自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（）A.5712元B.8232元 C.11712元 D.33000元【答案】A 【详解】由题意知，应纳税所得额为()-%20-12496008232060000456052800=--， (]144000,3600082320∈，所以税率为%10，则此人全年应缴纳个人所得税应该为57122520%1082320=-⨯， 故选：A.7.在ABC △中，2AB =，3AC =，2BD DC =，AE EB =，则AD CE ⋅=（ ）A.76-B.76C.163- D.163【答案】C 【详解】+=+=AB BD AB AD ()AC AB AB AC AB BC 32313232+=-+=+，AC AB AC AE CE -=-=21， 所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AC AB AC AB CE AD 21323131633226132612222-=⨯-⨯=-AC AB ，故选：C. 【点睛】关键点睛：⑴用向量AB ，AC 作基底表示向量AD ，CE ；⑵用平面向量的数量积运算公式计算CE AD ⋅的值.8.设函数()21log 20,0x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩.若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A.(B.⎡⎣C.()0,2D.[)1,2【答案】B 【详解】因为⎪⎩⎪⎨⎧≤->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,0,21log )(2x x x x x f ，所以()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1,11,23log )1(2x x x x x f ， 方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点，画出)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象，如图所示，由图象可知31<≤k ，故选：B.【点睛】关键点睛：⑴准确画出函数)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象；⑵方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点.9.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P ABCD -，PA AB AD ==，E ，F 分别为棱PB ，PD 的中点.以下四个结论：①PB ⊥平面AEF ；②EF ⊥平面PAC ；③平面PBD ⊥平面AEF ：④平面AEF ⊥平面PCD .其中正确的是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】D 【详解】因为AD AB =，四边形ABCD 为矩形，所以四边形ABCD 为正方形， 因为四棱锥ABCD P -有一条侧棱与底面垂直，且AB PA =AD =， 所以⊥PA 平面ABCD ，所以AP AD AB ,,两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,0,1E ，()1,1,0F ，对①：因为()2,0,2-=PB ，()1,1,0=AF ，()0212-1002≠-=⨯+⨯+⨯=⋅AF PB ， 所以PB 和AF 不垂直，所以PB 与平面AEF 不垂直，故①错误； 对②：()0,1,1-=EF ，()2,0,0=AP ，()0,2,2=AC ，因为()200101⨯+⨯+⨯-=⋅AP EF 0=，()0002121=⨯+⨯+⨯-=⋅AC EF ， 所以AP EF ⊥，AC EF ⊥，A AC AP = ，所以⊥EF 平面PAC ，故②正确； 对③：()2,0,2-=PB ，()0,2,2-=BD ，()1,1,0=AF ，()0,1,1-=EF ，设平面PBD 的法向量为()z y x m ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BD m PB m ，得⎩⎨⎧=+-=-022022y x z x ，令1=x ，则()1,1,1=m，设平面AEF 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF n AF n ，得⎩⎨⎧=+-=+00y x z y ，令1=x ，则()1,1,1-=n，因为01≠=⋅n m，所以平面PBD 与平面AEF 不垂直，故③错误；对④：()2,2,0-=PD ，()0,0,2-=CD ，设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CD a PD a ，得⎩⎨⎧=-=-02022x z y ，令1=y ，则()1,1,0=a ， 又平面AEF 的法向量为()1,1,1-=n，且()0111110=-⨯+⨯+⨯=⋅n a，所以平面⊥AEF 平面PCD ，故④正确； 故②④正确， 故选：D.10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ）A.6π B.4π C.3πD.23π 【答案】A【详解】由正弦定理和余弦定理得R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =，bc a c b A 2cos 222-+=，由A C b C c A a cos sin 2sin 2sin =+，得⋅⋅=⋅+⋅R c b R c c R a a 22222bc a c b 2222-+， 化简得2222b c a =+，即2222c b a -=，代入bca cb A 2cos 222-+=，得bcc b c b A 22cos 2222--+=234324322=⋅⋅≥+=bc c b bc c b ，当且仅当c b 3=时等号成立，所以⎥⎦⎤⎝⎛∈30π，A ，所以A 的最大值为3π， 故选：A.11.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，曲线C 上一点P到x 轴的距离为2a ，12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）B.1+C.2+D.4【答案】C 【详解】因为双曲线C 上一点P 到x 轴的距离为a 2， 由等面积法得，212121sin 21221PF F PF PF a F F ∠⋅⋅⋅=⋅⋅， 即︒⋅⋅⋅=⋅⋅120sin 21222121PF PF a c ，所以ac PF PF 3821=， 由余弦定理得，+=21221PF F F ︒-120cos 22122PF PF PF ，即()()22122PF PF c -=213PF PF +，即()2122122212PF PF PF PF PF PF +-=+，即()()2222a c =ac 383⨯+，整理得-+ac c 232032=a ， 两边同时除以2a ，得03232=-+e e ，解得23+=e 或23-=e （舍），故选：C.12.若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ） A.516 B.14 C.524D.16【答案】D 【详解】如图，在正方体中作出两个四面体，结合立体图形可知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体， 将该正八面体分为上、下两个完全相同的正四棱锥，且每个正四棱锥的棱长均为22，高为21，所以该正八面体的体积21223122⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=V61=，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查空间几何体的特征、多面体体积的求解.解题关键是：⑴在正方体中作出两个正四面体；⑵结合立体图形知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若实数x，y满足条件10,10,220,x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则32x y-的最小值为 .【答案】2-【详解】由线性约束条件画出可行域，如图中阴影部分，设yxz23-=，则223zxy-=，画出直线23xy=，平移直线，当直线经过()1,0A时，直线的纵截距最大，则yxz23-=取得最小值，所以()2120323min -=⨯-⨯=-y x . 故答案为：2-. 14.若函数()ln a xf x x=的图象在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=垂直，则a 的值等于 . 【答案】 4 【详解】2ln )(x x a a x f -='，因为直线014=-+y x 的斜率为41-， 所以4)1(='f ，即4=a . 故答案为：4.15.在521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的偶次项系数之和是 .【答案】16- 【详解】521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第1+r 项为()rr r rr r r x C x x C T 355255111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以当5,3,1=r 时，对应的项为偶次项，所以x 的偶次项系数之和为16553515-=---C C C .故答案为：16-.16. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】27【详解】 2021年共有365天，记2021年1月1日为第一天，大张三天休息一天，小张每周一或周五休息，他俩同时在2021年1月1日休息， 记集合{}3651,,14≤≤∈+==x Z k k x x A ，{}3651,4717≤≤∈+=+==y Z k k y k y y B ，或，则集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数.①当171421+=+k k ，则2174k k =()Z k k ∈21,，所以()Z k k k ∈=3317， 因为3651411≤+≤k ，所以9101≤≤k ，则91703≤≤k ，即()Z k k ∈≤≤33130， 所以符合条件的3k 有14个；②当471421+=+k k ，则37421+=k k ()Z k k ∈21,，所以()()134221+=-k k k ， 所以()132+k 是4的倍数，所以()Z k k k ∈=+33241，所以()Z k k k ∈-=33214，因为3654712≤+≤k ，所以7361732≤≤-k ，则736114733≤-≤-k ，即()Z k k ∈≤≤3379271，所以符合条件的3k 有13个. 综上，2021年“家庭日”的个数为271314=+. 故答案为：27【点睛】本题考查等差数列的通项、集合的运算.关键点睛：⑴将大张和小张的休息日用等差数列的通项公式表示并用集合的形式表示；⑵集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数；⑶利用3651411≤+≤k 和3654712≤+≤k ，得到3k 的范围.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A 、B 、C 三道工序，三道工序相互独立.工序A 的加工成本为70元/件，合格率为78，合格品进入工序B ；工序B 的加工成本为60元/件，合格率为67，合格品进入工序C ：工序C 的加工成本为30元/件，合格率为56.每道工序后产生的不合格品均为废品.（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；（2）已知坯件加工成本为A 、B 、C 三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.【答案】（1）83；（2）答案见解析 【详解】⑴ 每道工序生产的都是合格品的概率为85657687=⨯⨯， 则一个坯件在加工过程中成为废品的概率83851=-=P ； ⑵设每个坯件的加工成本为ξ元，则ξ的可能取值为70，130，160()8187170=-==ξP ；()8176187130=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==ξP ；()437687160=⨯==ξPξ∴的分布列为14543160811308170=⨯+⨯+⨯=∴ξE ,所以每个坯件加工成本的期望为145. 18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角ϕ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：223x y +=与x 轴正半轴的交点是0P .若圆C 上一动点从0P 开始，以rad /s π的角速度逆时针做圆周运动，t 秒后到达点P .设()2f t AP =.（1）若3πϕ=且()0,2t ∈，求函数()f t 的单调递增区间；（2）若123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，536ππϕ<<，求56f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31；（2）22-4【详解】由已知条件和三角函数的定义得，()ϕϕsin ,cos A ，()t t Pππsin 3,cos 3，则()()222sin 3sin cos 3cos )(t tAP t f πϕπϕ-+-==t t πϕπϕsin sin 32cos cos 324--=()ϕπ--=t cos 324⑴若3πϕ=，则⎪⎭⎫⎝⎛--=3cos 324)(ππt t f 令()Z k k t k ∈+≤-≤πππππ232，解得()Z k k t k ∈+≤≤+234231 又()2,0∈t ，)(t f ∴的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31. ⑵由2)31(=f ，653πϕπ<<，得23cos 324=⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕπ 即333cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ， 032<-<-ϕππ ， 所以 363sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ 2243sin 32465cos 324)65(-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ϕπϕπf . 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点.以EF 为折痕把DEF △折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点.（I ）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（I ）答案见解析；（2）105【详解】⑴连接BE 交AC 于点M ，连接GM ，CE由已知可得，四边形ABCE 是正方形，M ∴是线段BE 的中点，G 为线段PB 的中点，GM PE ∥∴⊂GM 平面GAC ，⊄PE 平面GAC ，∥PE ∴平面GAC ，F E , 分别为线段CD AD ,的中点，AC EF ∥∴,⊂AC 平面GAC ，⊄EF 平面GAC ，∥EF ∴平面GAC ，又E EF PE = ，⊂EF PE ,平面PEF ，∴平面∥GAC 平面PEF .⑵ 平面⊥PEF 平面ABCFE ，平面 PEF 平面EF ABCFE =，EF PF ⊥，⊥∴PF 平面ABCFE ，FP FC FE ,,∴两两垂直.以点F 为原点，FP FC FE ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0P ，()0,1,0C ，()0,2,1B ，()0,1,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛21,1,21G ， ⎪⎭⎫⎝⎛-=∴21,0,23AG ，()1,1,0-=CP ，()0,0,2=CA设平面PAC 的法向量()z y x n ,,=由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CA n CP n ，得⎩⎨⎧==+-020x z y ，令1=y ， 则()1,1,0=n， 设直线AG 与平面PAC 所成角为θ，则10522521cos sin =⨯===nθ 所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为105. 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l ：()()0y k x m m =->与抛物线E 交于A ，B 两点，与抛物线E 的准线交于点N .（1）若1k =时，AB =求抛物线E 的方程；（2）是否存在常数k ，对于任意的正数m ，都有2FA FB FN =⋅？若存在，求出k 的值：若不存在，说明理由.【答案】（1）x y 42=；（2）1±=k 【详解】⑴设()11,y x A ，()22,y x B由()⎩⎨⎧-==m x k y px y 22，消去y 得，()0222222=++-m k x p m k x k ， l 与抛物线E 交于两点，0≠∴k ，又0,0>>p m ，04822>+=∆∴p mp k 恒成立，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴22122122m x x k p m x x ，当1=k 时，22122421p mp x x k AB +=-+=， 因为224+=m AB ，所以2242422+=+m p mp ， 整理得，()()0222=-++p m p ，0,0>>p m ，2=∴p ，所以抛物线E 的方程为x y 42=； ⑵假设存在常数k 满足题意.抛物线E 的方程为px y 22=，其焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线方程为2p x -=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∴2,2p m k p N ，从而22222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=p m k p FN 由抛物线的定义得，21p x FA +=，22px FB += ， ()222221212124222k p p m p x x p x x p x p x FB FA +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴由2FN FB FA =得，22222222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m k p k p p m ，即()0212222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k p p m k因为022>⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m ，022>k p ，012=-∴k ，即1±=k .所以存在1±=k ，使得2FN FB FA =对于任意的正数m 都成立. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x=++有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：1241e x x <（e为自然对数的底数）. 【答案】（1）20-<<e a ；（2）答案见解析 【详解】⑴)(x f 的定义域为()∞+，0，2)(xax x f -=' ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在()∞+，0上单调递增，)(x f 至多有一个零点，不符合题意；②当0>a 时，0)(='a f ，且当()a x ,0∈时，0)(<'x f ；当()+∞∈,a x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在()a ，0上单调递减，在()+∞,a 上单调递增，从而)(x f 的最小值为2ln )(+=a a f .（i ）若0)(≥a f ，即2-≥e a ，此时)(x f 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）（ii ）若0)(<a f ，即20-<<e a ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，0)(<a f ，01)1(>+=a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()+∞,a 内有且只有一个零点.又 )(x f 在()a ，0上单调递减，且0)(<a f ，考虑11ln 2)(2++=a a a f 的正负. 令11ln 2)(++=xx x g ，()2,0-∈e x ， 则012)(2<-='xx x g ，)(x g ∴在()2,0-e 上单调递减， 03)()(22>-=>∴-e e g x g ，即011ln 2)(2>++=aa a f ， a a <<20 ，0)(2>∴a f ，0)(<a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()a ，0内有且只有一个零点.所以，当20-<<e a 时，)(x f 恰有两个零点，符合题意.综上得，20-<<e a .⑵由条件得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++01ln 01ln 2211x a x x a x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∴2121212111ln ln 211ln ln x x a x x x x a x x()2ln 112ln ln 21111ln ln ln ln 12121212212121121221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=---+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 要证421-<e x x ，即证4ln ln 21-<+x x ，即证42ln 11121212-<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ， 即证2ln 11121212-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ，即证2ln 11121212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ①，设12x x t =，不妨设21x x <，由2210x e x <<<-知，1>t 证①式，即转化为证明：当1>t 时，2ln 11>-+t t t ， 设112ln )(+-⋅-=t t t t h ，则()()()22211141)(+-=+-='t t t t t t h ， ∴当1>t 时，0)(>'t h 恒成立，即)(t h 在()+∞,1上单调递增， ∴当1>t 时，0)1()(=>h t h ，所以4211e x x <成立. 解法二：不妨设21x x <，由⑴可知，()2,0-∈ea ，()a x ,01∈，()+∞∈,2a x ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，要证4211e x x <，即证4121e x x <，即证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<4121e x f x f ， 即证03ln 141>+--x ae x ，即证0-3ln 141<+x ae x由01ln )(111=++=x ax x f ，得()1ln 11+-=x x a ， ∴只需证()01ln 3ln 12141<+++x x e x ①，令()1ln 3ln )(24+++=x x e x x h ，则()3ln 21)(4++='x x e xx h ， 令()3ln 21)(4++=x x e x x ϕ，则()()5ln 215ln 21)(42442++-=++-='x e xe x e x x ϕ， 由20-<<e x ，得2ln -<x ，241xe <，0)(<'∴x ϕ，)(x ϕ∴在(]2,0-e 上单调递减，且0)(2=-e ϕ， (]2,0-∈∴e x ，0)(>x ϕ，即0)(>'x h ，)(x h ∴在(]2,0-e 上单调递增，且0)(2=-e h ，而21-<<e a x ， 0)()(2=<∴-e h x h ，即①式得证，所以4211ex x <成立. 【点睛】方法点睛：⑴研究函数)(x f 零点问题，方法一：令0)(=x f ，参变分离，得到)(x g a =的形式，借助数形结合（几何法）求解；方法二：整体含参通过求导讨论)(x f 的单调性、极值的符号，由数形结合可知函数)(x f 的图象与x 轴的交点情况即函数)(x f 的零点情况. ⑵处理极值点偏移问题的基本策略是利用极值点满足的等式构建不等式，再利用导数讨论不等式对应的函数的单调性即可.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y βββ=⎧⎪⎨=⎪+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程：（2）若点M ，N 为曲线C 上两点，且满足3MON π∠=，求2211OMON-的最大值.【答案】（1）()Z k k ∈+≠+=,2sin 31122ππθθρ；（2）233 【详解】⑴化简曲线C 的参数方程得，⎪⎩⎪⎨⎧==ββ2sin 212cos y x （β为参数，且ππβk +≠2，Z k ∈） 消去参数β得曲线C 的普通方程()11422-≠=+x y x .化成极坐标方程为()()()Z k k p ∈+≠=+,21sin 4cos 22ππθθθρ，θρ22sin 311+=∴()Z k k ∈+≠,2ππθ.⑵ 不妨设()θρ，1M ，⎪⎭⎫⎝⎛+32πθρ，N ，则1ρ=OM ，2ρ=ON , - ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+∴3sin 31sin 31112222πθθON OM⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=32sin 2332cos 492sin 433πθθθ 当且仅当()Z k k ∈+=ππθ127时，2211ONOM +取得最大值为233. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22f x x a x a =--+. （1）若()11f ≥，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()20f x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】⑴⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,；（2）0【详解】⑴由1)1(≥f ，得11212≥+--a a ，()⎩⎨⎧≥++--≤∴112211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤<-11221211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->1121221a a a 解得1-≤a 或211-≤<-a ， a ∴的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,.⑵ 设t x =2()0≥t ，由已知得，对任意0≥t ，使得0)(≤t f 成立，0)(≤t f ，则a t a t +≤-22，即()()2242a t a t +≤-，即01232≥+at t ，当0=t ，R a ∈；当0>t ，04≥+a t 恒成立，即0≥a ，0≥∴a ，即a 的最小值为0.。
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2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，故；由，解得，故，因此.故本题正确答案为点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解对数不等式和一元二次不等式，在解对数不等式的过程中，要注意真数大于零.在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集、并集和补集的题目.2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故的共轭复数为.故本题正确答案为3．要想得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向左平移个单位，再向上平移1个单位B. 向右平移个单位，再向上平移1个单位C. 向左平移个单位，再向下平移1个单位D. 向右平移个单位，再向下平移1个单位【答案】B【解析】因为，故只需将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到函数的图象.故本题正确答案为4．执行如图的程序框图，则输出的为（）A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】C【解析】由程序框图可知，，由，解得，故输出的的值为.故本题正确答案为5．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（）A. 1B.C.D. 4【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线相交于,所以的面积为，解得.故本题正确答案为6．的内角的对边分别为,若，，则的外接圆面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，（为外接圆半径）.利用两角和公式得，即,因为，所以,所以.故的外接圆面积为.故本题正确答案为7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设命题：“若，则”.可知命题是祖暅原理的逆否命题，由命题的性质可知必然成立.故是的充分条件；设命题：“若，则”，对此可以举出反例，若比在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积多一些，且多的总量与少的总量相抵，则它们的体积还是一样的.所以命题：“若，则”是假命题，即不是的必要条件.综上所述，是的充分不必要条件.故本题正确答案为8．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线的方程为）的点的个数的估计值为（）A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【答案】B【解析】由图象可知，空白区域的面积，故阴影部分的面积；由几何概型可知，落入阴影部分的点的个数的估计值为故本题正确答案为9．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据如图所示的三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱体，如图所示.则该几何体的表面积为.故本题正确答案为10．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与-18，则展开式所有项系数之和为（）A. -1B. 1C. 32D. 64【答案】D【解析】因为的展开式中项的系数为，所以；又因为的展开式中项的系数为，所以，解得，或，令，故展开式所有项系数之和为.故本题正确答案为11．已知函数在在上的最大值为,最小值为,则（）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】因为函数，所以，当时，；而，当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，函数在上的最值在端点处取得，因为，，故.故本题正确答案为点晴：本题考查的是导数在研究函数中的应用.解决本题的关键是先求导函数，通过判断导函数的正负，判断原函数的增减情况，得到函数的最值.在本题中当时，，但是当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，最值在端点处取到.12．已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据已知条件，作出函数的图象，如图所示.因为方程至多有两个实数解，，则方程有六个不同的实数解等价于存在四个实数，使得，同时存在两个实数使得,由图象可知，，，由韦达定理可知，，则，，故的取值范围是.故本题正确答案为D.点晴：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断.解决本题首先根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，结合方程有六个不同的实数解，并且方程至多有两个实数解，，得到，，再由由韦达定理可知，，可得的取值范围是.二、填空题13．命题：“”的否定为__________．【答案】，【解析】因为命题的否定是将命题的条件和结论全部否定，故原命题的否定为，.故本题正确答案为，.14．已知，，且，则实数__________．【答案】-6【解析】因为，且，，所以，解得.故本题正确答案为.15．已知，则__________．【答案】1或【解析】因为，且，解得，或，.当时，；当，，故或.故本题正确答案为或..16．已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则__________．【答案】2【解析】设，则，所以，则,设，则，当时，.因为的最小值为，故将代入，解得，所以，得，故.故本题正确答案为.点晴：本题考查的是转化与化归思想及导数在研究函数中的应用.首先利用转化与化归思想把图象交点问题转化为新的函数为关于的函数的最值问题，再利用导数知识根据函数的最小值为求得，进而得到.三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析: （1）根据已知条件求出的首项和公差，即可求出数列的通项公式. （2）将（1）中求得的代入，利用等差数列和分组并项求和公式即可求出.试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，所以（Ⅱ）∵∴当时，，∴当时，，∴∴点晴：本题考查的是数列中的求通项和数列求和问题.第一问中关键是根据已知条件求出数列的通项公式;第二问中的通项，分成两组求和即可，一组是等比数列，一组是与的奇偶有关，采用分组并项求和即可.18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为．第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【答案】（Ⅰ）见解析；（2）方案甲较划算．【解析】试题分析: （1）计算出取值时的概率，画出分布列.（2）比较选择方案甲和方案乙进行抽奖所获奖金的均值，选择更大的一种方案.试题解析：，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金(元）的分布列为0 500 1000（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金的均值若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则抽奖所获奖金的均值故选择方案甲较划算．19．如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，．（Ⅰ）若为中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，可证，又因为底面，可得，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，又∵为中点∴，由得∴∵底面，底面∴，又∵∴平面（Ⅱ）∵四边形为菱形，，，得，，∴又∵底面，分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系、、、∴，，设平面的一个法向量，则有，令，则∴直线与平面所成角的正弦值．点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合得到结论.20．已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知条件得，，椭圆的方程与直线联立，根据求出的值，即可求出椭圆的方程。
（2）根据第（1）问可得，则. 当直线与轴垂直时，由解得；直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，将直线的方程与椭圆的方程联立，由，解得，即. 试题解析:（Ⅰ）由题意，得，，则椭圆为：．由，得．∵直线与椭圆有且仅有一个交点，，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵直线与轴交于，∴当直线与轴垂直时，，∴由，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由，依题意得，，且∴∴∵，∴，综上所述，的取值范围是．21．已知函数（，为自然对数的底数），是的导函数．（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析；（2）2.【解析】试题分析:（1）根据已知条件求出，设.根据得出在上为增函数，即可得证.（2）令，则只能取或.当时，设，求出.由得在上是减函数，在是增函数，即.故对一切恒成立. 试题解析：（Ⅰ）当时，，则令，则令，得，故在时取得最小值∵，∴在上为增函数．∴．（Ⅱ），由，得对一切恒成立当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1,2下面证明当时，不等式恒成立设，则由（Ⅰ）∴∴当时，；当时，即在上是减函数，在上是增函数∴当时，不等式恒成立所以的最大值是22．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的方程为:．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析:（1）将，代入，即可求出曲线的直角坐标方程.（2）将代入，即可求出直线与曲线的交点坐标。
试题解析:（Ⅰ）∵∴即（Ⅱ）将代入得，即从而，交点坐标为所以，交点的一个极坐标为.23．选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）将代入，去掉绝对值符号，即可求出不等式的解集.（2）根据题意得由，，即可求出的取值范围.试题解析:（Ⅰ），．当时，由或，得∴不等式的解集为．（Ⅱ）不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意的实数，恒成立，即∵∴又，所以．。