平口单峰函数
单峰、双峰、宽峰、多峰的定义
单峰、双峰、宽峰、多峰的定义1.引言1.1 概述概述部分的内容：单峰、双峰、宽峰和多峰是在统计学和数据分析领域中常用的概念，用于描述数据分布的特征。
数据分布是指一组数据中各个取值出现的频率或概率分布情况，而单峰、双峰、宽峰和多峰则是对数据分布形态的不同描述。
首先，单峰是指数据分布具有一个主要的峰值或高峰。
这意味着在数据中存在唯一的最频繁出现的取值或范围。
单峰数据分布通常表示数据集中的一个主要趋势或中心集中点。
相反，双峰是指数据分布具有两个主要的峰值或高峰。
这表示数据集中存在两个不同的主要取值或范围，可能代表了两个不同的数据子集或两种不同的趋势。
而宽峰是指数据分布具有宽而平坦的特点，没有明显的高峰或峰值。
这意味着数据集中的值相对均匀地分布在整个取值范围内，而没有明显的集中趋势。
最后，多峰则指数据分布具有多个主要的峰值或高峰。
这表示数据集中存在多个不同的主要取值或范围，可能代表了多个不同的数据子集或多种不同的趋势。
通过对这些不同的数据分布形态进行定义和描述，我们可以更好地理解和解释数据的特点和趋势，并且在数据分析和决策过程中提供更有价值的信息。
在接下来的文章中，我们将详细介绍和探讨单峰、双峰、宽峰和多峰的定义及其相关特性。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕单峰、双峰、宽峰和多峰进行定义和探讨。
文章将按照以下结构进行展开：2.1 单峰的定义2.1.1 第一个要点：介绍单峰的基本概念和定义，解释何谓单峰分布。
2.1.2 第二个要点：阐述单峰分布的特点和应用领域，举例说明单峰分布的实际案例。
2.2 双峰的定义2.2.1 第一个要点：介绍双峰的概念，解释双峰分布的特性。
2.2.2 第二个要点：阐述双峰分布的实际背景和应用场景，以及双峰分布的意义和作用。
2.3 宽峰的定义2.3.1 第一个要点：探讨宽峰的基本概念和定义，解释宽峰分布的特征。
2.3.2 第二个要点：说明宽峰分布的应用领域和意义，分析宽峰分布的可能原因和影响因素。
导数专题书目录
导数专题书目录第一篇独孤九剑——导数基础专题1总诀式——导数的前世今生第一讲导数基本定义第二讲导数运算法则第三讲复合函数求导第四讲同构函数求导专题2破剑式——数形结合遇导数第一讲导数的几何意义第二讲在点的切线方程第三讲过点的切线方程专题3破刀式——基本性质与应用第一讲单调性问题第二讲极值与最值第三讲恒能分问题专题4破枪式——抽象函数的构造第一讲求导法则与抽象构造第二讲幂函数及其抽象构造第三讲指数函数与抽象构造第四讲对数函数与抽象构造第五讲三角函数与抽象构造第六讲平移与奇偶抽象构造专题5破鞭式——分类讨论的策略第一讲不含参的四类问题第二讲含参数的五类问题专题6破索式——三次函数的探究第一讲基本性质第二讲切线问题第三讲四段论界定第四讲三倍角界定专题7破掌式——指对的破解逻辑第一讲指数模型第二讲对数模型专题8破箭式——六大同构函数论第一讲六大同构函数第二讲外部函数同构第三讲极值底层逻辑专题9破气式——零点与交点问题第一讲零点相关定理第二讲曲线交点问题第三讲零点个数问题第二篇如来神掌——导数选填的奇思妙解专题1心中有佛——秒解抽象函数构造第一讲抽象函数的积分构造第二讲“网红解法”的利弊专题2佛光初现——妙解参数取值范围第一讲零点比大小问题妙解双参比值问题第二讲零点比大小妙解指对单参数的问题第三讲恰到好处的取点妙解双参系列问题专题3金顶佛灯——数轴破整数个数解第一讲对数的取点技巧第二讲指数的取点技巧专题4佛动山河——平口单峰函数探秘第一讲平口二次函数问题第二讲平口对勾函数问题第三讲平口三次函数问题第四讲平口函数万能招数第五讲构造平口单峰函数第六讲必要探路最值界定第七讲倍角定理最值界定专题5佛问伽蓝——拉格朗日插值妙用第一讲三大微分中值定理简述第二讲拉格朗日中值定理应用专题6迎佛西天——构造函数速比大小第一讲构造基本初等函数第二讲构造母函数比大小第三讲构造混阶型比大小专题7天佛降世——琴生不等式破选填第一讲函数的凹凸性第二讲凹凸性的应用专题8佛法无边——极限思想巧妙应用第一讲前世今生论第二讲洛必达法则专题9万佛朝宗——选填压轴同构压制第一讲母函数原理概述第二讲同等双参需同构第三讲同构引出的秒解第三篇无涯剑道——导数三板斧升级篇专题1问剑求生——同类同构第一讲双元同构篇第二讲指对同构篇第三讲朗博同构篇第四讲零点同构篇第五讲同构保值篇第六讲同构导中切专题2持剑逆道——分类同构第一讲分而治之型第二讲端点效应型第三讲志同道合型第四讲分道扬镳型第五讲柳暗花明型专题3迎剑归宗——切点同构第一讲切线问题的进阶处理第二讲公切线问题几何探秘第三讲基本函数的切线找点第四讲跨阶函数的切线找点第五讲双变量乘积处理策略第四篇逍遥功——泰勒与放缩专题1逍遥剑法——泰勒展开第一讲泰勒基本展开式第二讲泰勒与切线找点第三讲泰勒与极值界定第四讲无穷阶极值界定第五讲泰勒与切线界定专题2逍遥刀法——京沪专线第一讲指数型“0”线第二讲对数型“0”线第三讲三角型“0”线专题3逍遥拳法——京九专线第一讲指数型“1”线第二讲对数型“1”线第三讲“e”线放缩论“n”线放缩论第四讲指对混阶放缩论第五讲指对三角放缩论第六讲高阶借位放缩论第七讲充分必要放缩论第八讲数列放缩系统论第五篇武当神功——点睛之笔专题1梯云纵——极点极值第一讲极值点本质第二讲唯一极值点第三讲存在极值点第四讲莫有极值点专题2太和功——隐点代换第一讲直接应用第二讲整体代换第三讲反代消参第四讲降次留参第五讲矛盾区间专题3峰回掌——跨阶找点第一讲找点初步认识第二讲找点策略阐述第三讲高次函数找点第四讲指对函数找点第五讲三角函数找点专题4太极剑——跳阶找点第一讲指对混阶找点第二讲指数三角找点第三讲对数三角找点第四讲终结混阶找点专题5八卦阵——必要探路第一讲端点效应第二讲极点效应第三讲显点效应第四讲隐点效应第五讲内点效应第六讲外点效应第七讲拐点效应第八讲弧点效应第六篇六脉神剑——明元之家专题1少商剑——三三来迟第一讲飘带函数减元第二讲点差法第三讲韦达定理的应用专题2商阳剑——四曾相识第一讲极值点偏移第二讲构造法第三讲拐点偏移第四讲泰勒公式专题3中冲剑——不讲五德第一讲换元构造第二讲对数平均不等式第三讲指数平均不等式第四讲广义对均第五讲深度剖析专题4関冲剑——七晴六遇第一讲零点差模型第二讲极值模型第三讲混合模型专题5少泽剑——第一讲复数三角形式第二讲棣莫弗定理第三讲复数的应用专题6少冲剑——第一讲斜率成等差等比问题第一讲数据逻辑及相关定理第二讲破解逻辑及突破压轴。
平口单峰函数
关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。
【导数经典技巧与方法】第26讲 最大值的最小值问题-原卷版
第26讲最大值的最小值问题知识与方法求函数g(x)=|f(x)−(ax+b)|(a,b为参数,x∈[m,n])最大值中的最小值问题,在历年高考、自主招生、竞赛题中都有出现.由于含有两个参数,若分类讨论处理一般都异常复杂.此类问题的解决方法有:构造平口单峰函数、利用纵向距离、利用三点控制、三角换元等. 引理1:若f(x)为[m,n]上连续的单峰函数,且f(m)=f(n),x0为极值点,则当a,b变化时,g(x)=|f(x)−(ax+b)|的最大值中的最小值为|f(m)−f(x0)|,当且仅当a=0,b=2f(m)+f(x0)时取得.2这个引理的几何意义十分明显,如下图所示.引理2:拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在区间(a,b)内至少存成立.在一点x0(a<x0<b),使等式f′(x0)=f(b)−f(a)b−a的解x0,就是与曲线相切且与封口直线平行切线的横坐标. 【点睛】f′(x0)=f(b)−f(a)b−a定义1:平口单峰函数我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数.定义2:纵向距离我们把|f(x0)−g(x0)|称为f(x)与g(x)在x=x0处的纵向距离.|f(x0)−g(x0)|的代数意义就是f(x)与g(x)在x=x0处的函数值之差的绝对值;|f(x0)−g(x0)|的几何意义就是直线x=x0与两函数f(x)与g(x)图象交点间的距离.【点睛】求函数g(x)=|f(x)−(ax+b)|(a,b∈R,x∈[m,n])最大值中的最小值时,用两条平行线去夹住曲线f(x),当两平行线间的纵向距离最小时,其距离的一半就是g(x)最大值的最小值.典型例题二次函数型【例1】设命题p:存在x0∈[1,2],使得|x02+ax0+b|⩾c,其中a,b,c∈R.若无论a,b取何值时,命题p都是真命题,则c的最大值为 .【例2】已知a,b∈R,f(x)=|2√x+ax+b|,若对于任意的x∈[0,4],f(x)⩽12恒成立,则a+ 2b= .对勾函数型【例3】已知函数f(x)=|x+1x −ax−b|(a,b∈R),当x∈[12,2]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .单调函数型【例4】设函数f(x)=|√x−ax−b|,a,b∈R,若对任意实数a,b,总存在实数x0∈[0,4],使得不等式f(x0)⩾m成立,则实数m的取值范围是 .三次函数型【例5】设函数f(x)=|x3+ax2+bx+c|,a,b,c∈R,若对任意实数a,b,c,总存在实数x0∈[0,4]使得不等式f(x0)⩾m成立,求实数m的取值范围.【例6】已知函数f(x)=8x3−ax2−bx,是否存在实数a,b,使得对任意x∈[−1,1],均有|f(x)|⩽2.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【例7】已知函数f(x)=x3+ax+b的定义域为[−1,2],记|f(x)|的最大值为M,则M的最小值为（）A.4B.3C.2D.√3强化训练−ax−b|,若对于任意实数a,b,总存在x0∈[1,2],使得f(x0)⩾m成立,则1.设函数f(x)=|2x实数m的取值范围是 .+ax+b|,若对任意的实数a和实数b,总存在x0∈[1,3],使得f(x0)⩾m,则2.设函数f(x)=|2x实数m的最大值是 .x成立,则实数a的取值3.若对于任意的b∈R,都存在x∈[1,a],使得不等式|ax2+bx−1|⩾54范围是 .4.已知函数f(x)=|x3−6x2+ax+b|对于任意的实数a,b总存在x0∈[0,3]使得f(x0)⩾m 恒成立.则m取最大值时,a+b= .A.7B.4C.−4D.−75.已知函数f(x)=lnx−ax−b,对任意的a<0,b∈??,都存在x0∈[1,m],使得|f(x0)|⩾1成立,则实数m的取值范围为 .6.已知函数f(x)=|x3−ax−b|,当x∈[−1,1]时,f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .。
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”吴剑（野猪）1、1()42,(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈,若对任意的1[0,1],()2x f x ∈恒成立，则b =_______ 2、设函数4()||,f x ax x=−若*a R ∀∈总0[1,4]x ∃∈,使得0()f x m ,则实数m 的取值范围是_______ 3、设函数()||,,f x x ax b a b R =−−∈，若,a b R ∀∈，总0[0,4]x ∃∈,使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围为________4、已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为,(,,0M a b R c ∈>为常数)，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则________a b c ++=5、已知2()(4)3f x x a x a =+−+−,[0,4]a ∀∈,均存在0[0,2]x ∈使得0|()|f x t 成立，则t的取值范围是______ 6、已知函数2()||f x ax b x=−−,若*,a b R ∀∈,总存在0[1,2]x ∈,使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围_______7、设函数2()||f x x ax b =++,若*,a b R ∀∈,总存在0[0,4]x ∈使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是_______ 8、已知函数1()||f x x ax b x=+−−,当1[,2]2x ∈时设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为_______9、函数2()f x x px q =++中，找出使得2||,[1,1]max x px q x ++∈−取得最小值时的函数表达式10、（09湖北压轴）在R 上定义运算1:()()4(,3p q p c q b bc b c ⊗⊗=−−−+为常数)，记21()2f x x c =−2()2f x x b =−,x R ∈,令12()()()f x f x f x =⊗记()|()|,[1,1]g x f x x '=∈−的最大值为M 若M k 对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值 11、()ln(1),[0,1]f x x ax b x =+++∈,对任意的,a b R ∈,求|()|f x 的最大值的最小值 引理：若)(x f 为],[n m 上的连续单峰函数，且0),()(x n f m f =为极值点，则当b k ,变化时，b kx x f x g −−=)()(的最大值的最小值为2)()(0x f n f −.当且仅当2)()(,00x f n f b k +==时取得.这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是写点废话证明一下 不妨以0(,)m x 上单调递减，0(,)x n 上单调递增为例：如图下面用反证法证明,km b kn b ++均等于0()()2f n f x +(1) 若两者其一小于0()()2f n f x +,不妨设0()()2f n f x kn b ++<此时0()()()()2f n f x f n kn b −−+>，矛盾(2) 若00()()()(),22f n f x f n f x km b kn b ++++>或00()()()(),22f n f x f n f x km b kn b+++>+ 则有00()()2f n f x kx b ++>此时000()()()2f n f x kx f x −−>矛盾所以0()()2f n f x km b kn b ++=+=,引理得证例题1、题目8、已知函数b ax xx x f −−+=1)(，当]2,21[∈x 时，设)(x f 的最大值为),(b a M ，则),(b a M 的最小值为 . 方法①：惊喜的发现xx 1+当]2,21[∈x 时已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运，所以),(b a M 的最小值为4122-221=+. 方法②：令)}2(),1(),21(max{),(f f f b a M t ==，即}2125,225,2max{),(b a b a b a b a M t −−−−+−==，则 b a t b a t b a t −−≥−−≥+−≥2125,225,2，所以 b a t b a t b a t 252,225,3366−−≥−−≥+−≥，所以2325656=+−≥t .所以41≥t .所以),(b a M 的最小值为41.例题2、题目7、设函数2()||f x x ax b =++,若*,a b R ∀∈,总存在0[0,4]x ∈使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是_______解析：现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其实一次函数都是酱油，系数丑与不丑无所谓，所以可以考虑给2x 配凑一个一次式，使得2x x λ+成为[0,4]上的“平口单峰”函数，那么很明显，由0，4函数值相等可以求出4λ=−2()|4(4)|,f x x x a x b =−+++()f x 的最大值的最小值为0(4)22−−= 所以2m也可以顺便得到(4)0,2a b −+=−= 例题3、题目6：已知函数2()||f x ax b x=−−,若*,a b R ∀∈,总存在0[1,2]x ∈,使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围_______分析：（大神）很明显，我们需要给2x凑一个一次式，使得2x x λ+为[1,2]上的“平口单峰”函数。
【高中数学】关于平口单峰函数的一些秒杀方案
305专题5 关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案秒杀秘籍：第一讲 平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响．在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换=揪揪揪揪井=-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++?时，()f x c £，求c 最小值问题．由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围．图1 图2 图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理： ①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；①以对称轴为中心，每增加m D 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n L ，增加的蝶高n D 比为1:3:5::21n L -； ①如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q+-=时，()()()min 22b b g x M m f q f f p f 骣骣琪琪=-=--=--琪琪桫桫； 综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f 骣+琪=琪桫，()()M f p f q ==． 【例1】在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-＃取得最小值时的函数表达式为 ．【例2】设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是 ．秒杀秘籍：第二讲 平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,af x x b x p q x =++?时，()f x c £，求c 最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()f p f q =，如图4，求出参数a 以后再根据())0f p fa +=确定参数b ．306定理：当仅当a pq =时，对勾函数在区间[],p q 才能构成平口对勾函数，()f x 去最小值时取到了[],p q 的几何平均数中点．图4【例3】（2018•台州期末）已知()1f x x ax b x =+--，当1,22x 轾Î犏犏臌时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 最小值为 ．【例4】（2018•青浦二模）设函数()2f x ax b x=--，对于任意的实数,a b ，总存在[]01,2x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围是 ．秒杀秘籍：平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若[]12x ∈-，，我们可在此区间构造单峰函数．【例5】（2019•武汉调研）已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．3秒杀秘籍：第三讲 关于平口函数的万能招数所有的平口函数()y f x =一定满足一个共性：出现求()maxmin f x ，[],x p q Î时，一定为平口函数，若()y f x =有一个极值点，也叫平口单峰函数，若()maxf x M =，()minf x m =，()()0f p f q M m ì=ïíï+=î此为平口单峰函数的万能招数．既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了．建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的．307【例6】（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数[]00,4x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为 ．【例7】（2018•秋杭州期中）已知()ln f x x ax b =--，对于任意的0a <，b R Î，都存在[]01,x m Î使得()01f x ³成立，则实数m 的取值范围为 ．【例8】求()[]min max ln 101x ax b x a b R ，，、+++挝．下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程：若函数()f x 在区间[],p q 为连续的单峰函数，且()()f p f q =，此函数为平口单峰函数，0x 为其极值点．秒杀秘籍:()()max g x f x ax b =++的最小值为()()02f p f x -，当仅当0a =，()()02f p f x b +=-时取得．【例9】（2018•台州月考）已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为()M a b ，，则()M a b ，的最小值是（ ）A ．2B ．21C ．4D ．41 秒杀秘籍：第四讲 构造平口函数若题目给的基本函数为非“平口单峰”，则我们需要构造“平口单峰”， 此处注意：构造平口单峰函数的后边应为一次函数．下面以几道最近模拟考非常火又颇有难度的题作为例题，秒杀之．【例10】（2019•济南二模）已知函数()22x f x ax bx -=--+，若对任意的实数a b ，，总存在[]012x ∈-，，使得()0f x m≥成立，则实数m 的取值范围是 ．A ．14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．(]1-∞，【例11】（2019•武汉调研）已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．3【例12】（2019•青浦二模）设函数()()2f x ax b a R x=-+∈,若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得()0f x m ≥，求实数m 的最小值为 ．308【例13】（2016•天津理）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[0，2]上的最大值不小于14．秒杀秘籍：第五讲 常见方法之三点控制（多点控制）在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么取点控制：①对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点；①对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点； ①对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等分点．注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定． （注：此公式参考微信公众号《万卷归宗文献》） 【例14】已知函数()2f x x ax b=++，[]01x ∈，，若()f x 的最大值是M ，则M 的最小值是 ．【例15】已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．【例16】已知函数()f x x ax b -，a b R ∈、，若对任意的[]004x ∈，，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是 ．309达标训练1．（2018•永康模拟）记()()ln 0f x x ax b a =++>在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若(){},ln 2t b M a b a R ≥+=，则实数t 的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．34D ．232．已知34a ≥-，0b ≥，函数()3f x x ax b =++，11x -≤≤，设()f x 的最大值为M ，对任意的,a b R ∈恒有M k ≥，则实数k 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．12D ．143．（2016•沙坪坝月考）已知函数()()3223(33)1,f x x x a x +b a b R =-+-≥∈，当[]0,2x ∈时，记()f x 的最大值为M ，有M k ≥，则实数k 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2018•诸暨二模）已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0，]c 内的最大值为(M a ，b R ∈，0c >位常数） 且存在实数a ，b ，使得M 取最小值 2 ，则a b c ++= ． 5．（2017•温州二模）若存在]1,1[0-∈x 使得不等式0001|421|2x x x a +-⋅+…成立，则实数a 的取值范围是 ．6．（2016•浙江二模）设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于[0x ∀∈，1]，1|()|2f x …都成立， 则b = ． 7．函数()2f x x ax =-在[]01，上的最大值的最小值为 ，此时a = ．8．函数()2f x x ax =-在[]36，上的最大值的最小值为 ，此时a = ． 9．函数()2f x x ax =-在[]13，上的最大值的最小值为 ，此时a = ．10．若函数()224f x x ax b π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭在302x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上最大值为M ，则的M 最小值为 ． 11．已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为M ，则的M 最小值为 ．12．若存在实数a b 、使得()221x ax b m x ++≤+对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，则的m 最小值为 ．13．设函数()32f x x ax bx c a b c R=+++∈，、、，若对任意的实数a b c 、、，总存在[]00,4x ∈，使得不等式()0f x M≥成立，则实数M 的取值范围是 ．14．（2018•温州期末）已知函数2()(4)3f x x a x a =+-+-． （1） 若()f x 在区间[0，1]上不单调， 求a 的取值范围；（2） 若对于任意的(0,4)a ∈，存在0[0x ∈，2]，使得0|()|f x t …，求t 的取值范围 ．31015．（2009•湖北）在R 上定义运算：1()()4(3p q p c q b bc b ⊗=---+、c R ∈是常数），已知21()2f x x c =-，2()2f x x b =-，12()()()f x f x f x =⊗．（1）如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b 、c 的值；（2）求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；（3）记()|()|(11)g x f x x ='-剟的最大值为M ，若M k …对任意的b 、c 恒成立，试求k 的取值范围．（参考公式：323234()(2))x bx b x b x b -+=+-16．（2016•浙江二模）已知函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈，记M 是|()|f x 在区间[0，1]上的最大值． （1）当0b =且2M =时，求a 的值； （2）若12M …，证明01a 剟．17．（2016•天津）设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[1-，1]上的最大值不小于14．。
平口单峰函数
平口单峰函数一、定义平口单峰函数是指在一定区间内，函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值的一个函数。
它的图像呈现出一个平缓的口形，并且只有一个峰顶。
二、特点1. 函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值。
2. 只有一个峰顶，呈现出平缓的口形。
3. 通常用于模拟人体感知过程中的响应曲线。
三、数学表达式平口单峰函数可以用以下数学表达式表示：f(x) = (x-a)^2e^{-b(x-a)}\cos(c(x-a))其中a,b,c为常数，x为自变量。
该函数图像如下所示：四、Python实现下面给出Python实现平口单峰函数的代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef unimodal_function(x, a=0, b=1, c=1):return (x - a) ** 2 * np.exp(-b * (x - a)) * np.cos(c * (x - a))x = np.linspace(-5, 5, 1000)y = unimodal_function(x)plt.plot(x, y)plt.show()```五、参数调节通过调节参数a,b,c可以改变函数的形态。
下面给出一些例子：1. 增大参数b，使得函数在峰顶处更加陡峭。
```pythony = unimodal_function(x, b=5)```2. 增大参数c，使得函数在峰顶处更加平缓。
```pythony = unimodal_function(x, c=5)```3. 改变参数a，可以改变函数的位置。
平口单峰函数-单峰
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。
二：引理证明bug 修正。
下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。
大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。
然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。
本文将给出一种极其简洁的做法及解释。
1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。
2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。
3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。
4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。
5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。
6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。
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关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。
解：根据题意，需要找到()max ,04f x x，不妨设()[]2,0,4g x x ax b x =++Î，()max ,g x M =()min g x m =，根据平口二次函数定理：当()()04M g g ==242aa Þ-=Þ=-；且()2424m g ab b ==++=-，又由于+0M m =，故402b b b +-=Þ=，()max 2f x =，综上，当2t £时，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立.总结：平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称.平口二次函数由于其特殊的对称性，能在区间的算数平均数中点取到另一个最值.二．平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,af x x b x p q x=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()f p f q =，如图4，求出参数a 以后再根据()()0f p fa +=确定参数b ；定理：当仅当a pq =时，对勾函数在区间[],p q 才能构成平口对勾函数，()f x 去最小值时取到了[],p q 的几何平均数中点.图4例3：（2018台州期末）已知()1f x x ax b x =+--，当1,22x Î时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 最小值为解：(),M a b 为最小时，函数一定为平口函数，构造()11,,22g x x ax b x x =+--Î，根据平口函数性质可得：()122gg =0a Þ=，又因为()()91204g g b +=Þ=，\(),M a b 最小值为()114g =.例4：（2018青浦区二模）设函数()2f x ax b x=--，对于任意的实数,a b ，总存在[]01,2x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围是。
解：由()0f x m ³，可知()f x 为平口函数，构造()2g x ax b x=--，一定有()()12g g =，则1a =-，又因为当2x =时，()g x 取得最小值，()()3221202g g b ++=Þ=，()()max 32212g x g m -\==³.三．平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若[]12x ∈-，，我们可在此区间构造单峰函数.【例5】（2019•武汉调研）：已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.4B.3C.2D.3解：构造平口单峰()()333f x x x a x b =-+++，不难发现33y x x =-在[1,2]x ∈-为平口单峰，且极值点01x =，根据秒杀秘籍得M 的最小值为()()()022222f p f x ---==，故答案选C .秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数所有的平口函数()y f x =一定满足一个共性：出现求()max min f x ，[],x p q Î时，一定为平口函数，若()y f x =有一个极值点，也叫平口单峰函数，若()max f x M =，()min f x m =，()()0f p f q M m ì=ïíï+=î此为平口单峰函数的万能招数.既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了.建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的.例6：（2018呼和浩特期中）设函数(),,,f x x ax b a b R =-Î若对于任意的实数,a b 总存在实数[]00,4x Î，使得()f x m ³成立，则实数m 的取值范围为。
解：令[],0,2x t t =Î，()2,,,f t t at b a b R =--Î，令()2,,,g t t at b a b R =--Î一看是平口二次函数模型，直接上秒杀()()()()102210104a g g g gb ì=ïì=Þ+=î=ïî，故()2max max 111244f t t t m =--=³.例7：（2018秋杭州期中）已知()ln f x x ax b =--，对于任意的0a <，b R Î，都存在[]01,x m Î使得()01f x ³成立，则实数m 的取值范围为.解：min max ln 1x ax b --³，()10f x a x¢=->，故()f x 为单调增函数，无峰最值只能在两端，根据平口函数理论()()()212ln 12ln 2f m f m a m m m e ---，注意，没有峰的函数，一定用()()2f q f p c -³，这个方法百试不爽.例8：求()[]min max ln 101x ax b xa b R ，，、+++；解：令()()ln 1f x x ax b =+++，无峰不最值，当()()01ln 2f f a =Þ=-，此时()1ln 21f x x ¢=-+，当11ln 2x =-时()0f x ¢=，()()ln ln 2ln 211100ln 22f f b -+-+=Þ=，故()()min ln ln 2ln 21max ln 12x ax b -++++=.下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程：若函数()f x 在区间[],p q 为连续的单峰函数，且()()f p f q =，此函数为平口单峰函数，0x 为其极值点.秒杀秘籍:()()max g x f x ax b =++的最小值为()()02f p f x -，当仅当0a =，()()02f p f x b +=-时取得.证明：若0a ¹时，如图5，图6，则端点值的增量为()a p q -，而极值点的增量为()0a x p -或者()0a x q -，由于{}00max ,p q x p x q ->--故()()()min min max max g x f x ax b f x b =++>+，故不符合题意，即0a =图5图6例9：（2018•台州月考）：已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为()M a b ，，则()M a b ，的最小值是（）A.2 B.12C.4D.14解：因为1x x +在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，为“平口单峰函数”，且极值点01x =，根据秒杀秘籍得()M a b ，的最小值为()()012212224f p f x +--==.欢迎指正!。