08第八章 概括平差函数模型14页word文档
测量平差函数模型课件
编程语言与工具
编程语言
Python是最常用的编程语言，因为它具有简单易学、代码可读性强、拥有丰富 的科学计算库等特点。R语言也是一个常用的选择，特别是在统计分析方面。
开发工具
PyCharm、Jupyter Notebook、RStudio等集成开发环境（IDE）提供了丰富 的功能，如代码高亮、自动补全、调试等，有助于提高开发效率。
评估模型在训练数据和测试数 据上的表现，以判断模型是否 过于复杂或过于简单。
鲁棒性
评估模型对异常值和噪声的抵 抗能力。
可解释性
评估模型是否易于理解，以及 是否能够提供有意义的解释。
模型性能优化
01
02
03
04
特征选择
通过选择与目标变量最相关的 特征，降低特征维度，提高模
型性能。
超参数调整
调整模型学习过程中的参数， 如正则化强度、批大小、学习
遥感图像处理
在遥感图像处理中，平差函数模型 用于校正图像的几何畸变和辐射误 差，提高图像质量和识别精度。
平差函数模型的重要性
提高测量精度
通过平差函数模型对测量数据进 行处理和修正，可以减小误差、 提高测量精度，为各种应用领域
提供更准确的数据支持。
促进科技发展
平差函数模型是测量数据处理和 分析的重要工具，其研究和应用 有助于推动相关领域的科技进步
平面控制网平差的原理
平面控制网平差采用最小二乘法原理，通过构建误差方程 式和法方程式，求解各未知参数的最优解，从而实现平差 处理。
平面控制网平差的步骤
包括数据采集、数据预处理、构建数学模型、平差计算、 精度评定等步骤。
高程控制网平差
01
高程控制网平差的应用
高程控制网平差主要用于高程测量数据的处理，通过对高程数据进行平
概括平差函数模型
• 概括平差函数模型概述 • 概括平差函数模型的构建 • 概括平差函数模型的优化 • 概括平差函数模型的应用实例 • 概括平差函数模型的挑战与展望
01
概括平差函数模型概述
定义与特点
定义
概括平差函数模型是一种数学模型， 用于描述数据之间的关系和变化，并 通过对数据的拟合和预测来解决问题 。
提供支持。
机器学习
机器学习中，概括平差函数模型常常被用 于分类、回归和聚类等问题，通过训练数 据来学习数据的内在规律和模式。
图像处理
在图像处理中，概括平差函数模型用于图 像的平滑、去噪和压缩等处理，提高图像 质量。
模型的基本假设
数据完整性
概括平差函数模型假设所使用的数据是完整 的，没有缺失或异常值。
诊断检验
通过残差图、正态性检验等手段，检查模型是否 合适。
3
修正模型
根据检验结果，对模型进行修正，以提高拟合效 果。
模型评估与选择
评估模型性能
通过比较模型的残差、拟合优度等指标，评估模型的性能。
选择最优模型
根据评估结果，选择最优的概括平差函数模型。
可行性分析
对选定的模型进行可行性分析，确保其在实际应用中的适用性和 稳定性。
数据整理
对数据进行分类、编码和转换，使其适合于模型构建。
模型参数估计
选择合适的模型
根据研究问题和数据特点，选择 合适的概括平差函数模型。
估计模型参数
利用已知数据，通过最小二乘法 、最大似然法等统计方法，估计 模型的参数。
模型检验与修正
1 2
检验模型假设
检查模型是否满足线性、同方差性、无自相关等 假设。
具体来说，概括平差函数模型可以用来拟合时间序列数据，并揭示其潜在的规律 和趋势。通过参数估计和模型选择，可以预测未来的数据点，并评估预测的不确 定性。
测量平差 平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
间接平差法：
L~ F ( X~)
n1
t1
ntr
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• 附有参数的条件平差法：
• 附有条件的间接c平F1(差L~法, X：~) 0 n t r c r u 0 u t
nsL~11(uX~1F)
( X~) u1
0
n t r u t s, u t
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• 若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 • 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项
•
必要元素之间函数独立
• 问题 ：
仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？
• 多余观测： r=n-t
n>t
• 条件方程：
•
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测
量平差得以实现
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几何量符号表 示
•1、必要观测次数 t（个数和类型）
•2 、 实 际 观 测 次 数 n
•3、多余观测次数 r
D(ˆ1 ) D(ˆ2 ) D(ˆ ) min
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• 一、参数估计及最优性质
•
数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，
所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，
最佳估计也称为最优线性无偏估计。
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•二 、 最 小 二 乘 原 理
• 三、必要观测
• 必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 • 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 • 用符号t表示。
• 必要元素的特点： • （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 • （2）必要元素之间函数独立
平差数学模型与最小
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教学ppt
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4
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
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12
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
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9
必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
09概括平差函数模型
试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和参数的限制
条件。
B
24
A
3
7
1
P1 5
8 11
9 10
P3
6
12
P2
§9-2 附有限制条件的条件平差原理
解：n 12 , t 2 3 1=5 , r 12 5 7 , u 2 , s 1 c r u s 7 2 1=8
Lˆ1 Lˆ5 Lˆ8 Lˆ11 360 0 圆周条件
P1A P1B P1P2 P1P3 1 0 极条件 P1B P1P2 P1P3 P1 A
Xˆ1 Xˆ 2 (BA ˆBP2 ) 0 限制条件
B
24
A3 7
1 5P1 8 11
一般条件式， 9 10
若选∠AOB， ∠BOC和∠AOC的平差值为参数，试按附有限制条件
的条件平差列出条件方程和参数的限制条件。
解：n 6 , t 3 , r 6 3 3 , u 3 , s 1
A
crus 5
Lˆ1 Xˆ1 0 Lˆ2 Xˆ 2 0
O
14 2
B
一、条件方程的形式
F (Lˆ) 0 F (Lˆ, Xˆ ) 0
Lˆ F ( Xˆ )
( Xˆ ) 0
一般条件方程式，
用 c 表示个数
限制条件式
§9-1 基本平差方法的概括函数模型
二、参数与平差方法
1.条件平差法
u 0, c n t r
2.附有参数的条件平差法
平差模型与最小二乘准则20页
可见 x的方差最小，最有效。
还应有“有效性”要求
最小方差性：
若有一无偏估 ˆ， 计使 D 量ˆ m 2 （ in 最
小方差），则该即估满计足量有效性又满 致性。是最优估值。
•4-４最小二乘准则
一、最小二乘法 设有误差方程： VAx ˆl
n
在满足约束： vi2v12v2 2vn 2m下in，
（2）精度评定－－即是求D(X)的估值。
•4-3 估计值的最优性质
点估计的几种方法： 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截
尾法
用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计 ，会产生不同的估值。
最优估值标准： （1）无偏 性 （2）一致性 （3）有效性
最优估计应具有性质：
估计量ˆ 能在参数真值附近摆动，随着子样容
数理统计问 限题 个： 抽 获 通 样 得 过 x1子 ,有 x2, 样 xn
n有限 构成统 推 计断 量 n母 无体 限
2、常用数理统计方法 （1）参数估计 （2）统计假设检验 （3）回归分析 （4）方差分析
3、对抽样的要求
a、代表性：要求子样的各个分量x i与母体同分布
。即 Exi EX Dxi DX
量的增大，摆幅越来越小，n为时，ˆ 依概率
收敛于 。
一、无偏性
设 ˆ是参数 的 真估 值值，E若 ˆ满
则称 ˆ是 的无偏估计。
问： x是否是母体均估 值计 的？ 无子 偏 s样 2是方
否是母体 Dx方 差 2的无偏估计？
结论
数理统计中
x
1 n
n i1
xi
s 2
1 n
n
(xi
i1
x )2
例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。
空间误差分析平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
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§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
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§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
~ h3
§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
~ h6
04平差数学模型
HC X
选C点高程为参数，则增加一 个条件式，为：
H A h1 X 0
写成距阵式为：
1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 L X 0 0 0 5,1 0 1,1 H A HB 0 0 1 0
例.（1）t=2，选D，C点的高程为参数：
X1 H C X2 HD
（2）列立5个观测方程：
X H h1 1 A
X H h2 1 B X H h3 2 A h4 X 2 H B X X h
附有参数的条件平差的函数模型的特点：
可以看出，它是“特殊的条件平差”； 它特殊在也选了参数，但又不同间接平差；参 数的个数ｕ不能大于或等于t（0＜ｕ＜t）； 函数模型的总数ｃ且ｃ=r+ｕ；
函数模型由两大类构成： 1)一类是条件平差的条件方程； 2)另一类是含有参数的条件方程。
F ( L, X ) 0
例：t=2，选2个参数。
选：X 1 L1 X L
2
2
X1
X2
L1 X 1 L X
2
2
L3 X 1 X 2 1800
1 0 0 B 0 1 ,d 0 0 1 1 180
ｎ=6，t=3，r=3，故应列出3个线性无关条件 方程：
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h h h 0
3 4 6
1 0 0 1 -1 0 A= 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 1 0 -1 L h1 h2 h3 h4 h5 T h6
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第八章 概括平差函数模型§8.1概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。
若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：（1）、条件平差：0)ˆ(=LF ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -=（2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+=（3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X L F ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。
（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。
选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。
所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX。
方程数c=n ＋s 。
由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。
另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。
为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。
在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内：t u ≤≤0。
也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。
在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。
由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。
注意：并非选u ＝t 或u ＞t 个参数，u 个参数间就一定彼此函数独立，选u ﹥t 个参数，也不一定包含t 个函数独立参数。
对于任意一个平差问题，若选用了u 个参数，不论t u <、t u =还是t u >，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=u r +。
如果在u 个参数中存在有s 个函数不独立的参数，或者说，在这u 个参数（包括t u <、t u =以及t u >，但是其中没有t 个独立参数的情况）之间存在s 个函数关系式，则方程总数c 中除s u r -+个一般条件方程外，还包含s 个限制条件方程。
若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是u r c +=，也就是条件方程数c 等于多余观测数r 与所选参数u 之和。
平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。
少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。
§8.2 基础方程和它的解将平差函数模型：0)ˆ(=LF ，)ˆ(ˆX F L =视为0)ˆ,ˆ(=X L F 的特殊形式，则各种平差函数模型可统一表示为：线性化后表示为⎪⎭⎪⎬⎫=+=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111100s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A δδ(8-2-3)而平差的随机模型是在这一函数模型中，待求量是n 个观测值的改正数v 和u 个参数，而方程的个数是u n s c +<+，所以有无穷多组解。
为此，应当在无穷多组解中求出满足min =PV V T 的特解。
按照求条件极值的方法组成函数，设：令:022=-=∂Φ∂A K P V VT T 022=--=∂Φ∂C K B K x TS T δ，转置后得：于是统一平差模型的基础方程为其中方程数u n s c +++，未知数是n 个V 、u 个 未知参数、c 个对应于一般条件式的联系数K 、s 个对应于限制条件式的联系数s K ，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。
解基础方程，由（3）得K QA V T =带入（1）式得：0=++W x B K AQA T δ则得统一模型的法方程⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=++000X S T T T W x C K C K B W x B K AQA δδ （8－2－10）或者000000111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯s X u c s S u c s s us cs s u T u u c u T s c u c c c aaW W K x K CC B B N δ，其中Tcc aa AQA N =⨯ 由此可以得到：X cc T bb aa T bb cc T bb bbW N C N W N B CN N C N N x 1111111----------=)(δ 以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。
例如：（1）、若没有选未知数，即1⨯u x δ=0，则函数模型变为AV ＋W=0,基础方程中（2）、（4）不存在，平差方法为普通条件平差。
（2）、若所选未知数u ＝t 且函数独立，则条件方程取得特殊形式111⨯⨯⨯⨯+=c u u c n l x B V δ，基础方程（2）、（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是间接平差法。
（3）、若选u<t ，且未知数参数独立，条件方程中含未知参数x δ，线性形式为11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ。
这时基础方程（2）不存在，0=S k ，基础方程（4）变为110,,,u c c u T K B =这是附有参数的条件平差法。
（4）、如果选t u >，且包含t 个函数独立的未知参数，则同样Lˆ可表示所有x δ的函数，)ˆ(ˆX F L=成立，条件方程取得特殊形式l x B V +=δ。
同时由于t u >，存在s t u =-个多余参数，产生限制条件方程s 个，线性形式0W x =+x c δ。
基础方程中（1）变为l x B V +=δ，（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是附有限制条件的间接平差法。
由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足t 时,平差方法取得（8－2－10）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。
显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价值。
§8.3 精度评定一、单位权方差的估计值公式其中，c 是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。
二、协因素阵统一将各基本向量W, x δ,K, S K ,V, Lˆ表示为L 的线性函数。
已知1-=P Q LL ,应用协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表8-1（P140）。
三、平差值函数的协因素设有未知数向量函数并且线性化后得：x F f X X X f T u δϕ+==021)ˆ,,ˆ,ˆ(Λ＋…。
则：四、概括平差的公式汇编函数模型：11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =平差的随机模型是：12020-==P Q D σσ法方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111110000s X u c s S u c s s us cs s u T u u c u Ts c u c cc aa W W K x K CC B B N δ 其中T cc aa AQA N =⨯，B N B N aaT uu bb 1-⨯=，T bb ss cc C CN N 1-⨯= 单位权方差：)(ˆ2s u c PVV r PV V T T --==σ平差值函数的权倒数和中误差：XF T ˆ=ϕ §8.4各种平差方法的共性和特性迄今为止，已经介绍了5种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。
目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。
原因是（1）、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。
（2）、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即X X Q N ˆˆ1=-，因此评定精度较简单。
条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述4种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。
§8.5 平差结果的统计性质参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性： 1、θθ=)ˆ(E2、1)ˆ(lim =+-∞→εθθεθππP n 3、min )ˆ(=θD本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。
由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。
一、估计量Lˆ和X ˆ具有无偏估计 证：L LE ~)ˆ(=，.~)(~)ˆ(x x E X X E =⇒=δ 根据概括平差的函数模型：11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =。
对应11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++∆c c u u c n n c W x B A ~（8-2-1）a1110⨯⨯⨯⨯=+s s X u u s W x C δ， )(0X W X Φ= 。
对应 1110⨯⨯⨯⨯=+s s x u u s W x C ~ (8-2-1）b分别对（8-2-1）a ，（8-2-1）b 取期望，并顾及0)(=∆E ，得：)(~W E x B =-，－X X W W E x C ==-)(~， 其中)(0X W X Φ=，不是随机变量。
对X cc T bb aa T bb cc T bb bbW N C N W N B CN N C N N x 1111111----------=)(δ取期望，顾及到B N B N aa T bb =，得到：即x δ是x ~得无偏估计值。