测量平差中各种模型的等价转换关系
第１８卷第１期测绘学院学擐
ｖ０１．１８Ｎｏ．１捌年３月蛔ｌ丑ｌ０ｆⅫ蛐ｄｓＬ唰ｇ“＾．哪岵肚２００ｌ文章编号：１００９－４２７Ｘ（２００１）０１．０００１．０３
测量平差中各种模型的等价转换关系
周世健，减德彦，鲁铁定
（华东地质学院洲量系。江西临川３４４０００）
摘要：基于测量平差中各种平差方法其函数模型的表达，文中重点论证了各种平差方法之闻的等价转换及箕相互关系，得到的结果有利于各种平差方法的理解与渗透，对测重教据处理理论曲分析和应用具有一定的参考价值。
关■词：平差方法；函数模型；等价转换；关系
中图分类号：啪文献标识码：Ａ
测量平差理论发展至今，其经典理论已趋于完善，特别是测量平差中各种平差方法的研究与实践，较为成熟。众所周知，平差方法的不同是因函数模型而异，即函数模型确定了平差方法的异同，但随机模型对同一平差问题总是一致的。目前对平差方法的研究，主要是概括平差模型的研究，用一概括模型从总体上来描述各种平差模型，各种平差方法的模型则为概括平差模型的特例，在这一方面的研究主要有文献［１，２］，且主要体现在一般与特殊的关系上，真正的平差计算仍按原有的平差方法进行，只是在公式的导出上可由概括平差模型简化导出。在测量乎差的参考书中，对各种平差方法均进行了详细的公式导出，并说明了概括平差模型与各种平差模型的一般与特殊关系，对各种平差模型之间的关系未能进行论述。这样在测量平差理解上有一定的问题，各种平差方法显得孤立，对初涉此领域的人，仍觉模糊，易于混淆与不解。本文作者力求在各种平差方法（条件平差、间接平差、附有未知数的条件平差和附有条件的间接平差）之间的等价转换关系上进行必要的推导与论证，以利于得到各种平羞方法的等价性以及各种平差方法的联系性。
１各种平差方法的等价转换关系
１．１条件平差与间接平差的关系
对同一平差问题，不管用何种平差方法进行解算，结果应为一致。考虑改正数向量的协因数矩阵，用条件平差解算为
Ｑ。‘＝ＱＡ’Ⅳ：Ａ口（１）
式中，Ｑ为观测值向量的协因数矩阵；Ａ为条件平
差中条件方程的系数矩阵（ｒ×ｎ），Ｒ（Ａ）＝ｒ；Ⅳ－＝Ａ舭１ｏ
用间接平差进行解算，改正数向量的协因数
矩阵为
Ｑ：＝Ｑ一捌‰。口７（２）式中，Ｂ为间接平差中误差方程的系数矩阵（ｎ×
＃），Ｒ（口）＝ｆ；以＝Ｂ’ＰＢ；Ｐ＝口～。
对同一平差问题，上述的２个协因数矩阵应
相等，即Ｑ，‘＝Ｑ。’，则有
舛７Ⅳ－一ＡＱ＝Ｑ—Ｊ日批。一口７
上式两边右乘列满矩阵ＰＢ，有
ＱＡｌⅣ－＿１ＡＱ只８＝ＱＰＢ一丑Ⅳ－＿１８１ＰＢ
故得
ＱＡ‘Ⅳ：Ａ口＝０
上式两边左乘行满矩阵Ａ，有
ＡｐＡ’＾０一ＡＢ＝０
由于Ａ必’Ⅳ＿～＝Ｉ，所以
（盘㈨Ｂ。Ｊ＝０（３）条件方程为
ＡＶ—Ｗ＝０（４）
间接平差的误差方程为
’，＝风一ｆ（５）将（５）代人（４）式，得
拙一ＡＩ—Ｗ＝０
顾及（３）式，则有
收藕日期：２０００．０９．０４；傣回日期：２０００．１０—１０
基盒项目：国亲自端科学基盎赞琦顷目（硎ｌｏ“）
作者筒介：周世健（１９６６一），男，江西安梧人，教授，博士，主要从事测量空『可数据赴毫与吏形监测舟析研究。
２测绘学院学报２００１年Ｗ：一Ａ１（６）一Ｖ＋Ｂｘ—ｆ＝０（１３）
从（３）式与（６）式可知，条件平差与间接平差函数模型的系数矩阵之乘积等于０，常数向量则存在关系式（６），所以这两种平差方法建立相应的函数模型时，虽然没有什么联系，但组成后的系数矩阵满足恒等式（３）式，可用（３）式来验证组成的系数矩阵的正确性。从线性空间理论上去理解，则得到两个系数矩阵所构成的线性空间为互补空间，日为线性空间Ａ的零空间，若有一系数矩阵，可通过解算得到相应的系数矩阵。由常数项的关系式（６），从而也可由其中一个方程的常数向量，得到另一个方程的常数向量并进行两个常数向量的检核。
广义平差中的许多方法是基于间接平差原理进行推导的，若依据关系式（３），则可导出基于条件平差原理的相应公式。诸如观测值的方差分量估计等则可仿此进行。
１．２间接平差与附有未知数的条件平差
附有未知数的条件平差的数学模型为
ＡＶ＋Ｂｘ—Ｗ＝０，Ｐ（７）此模型通过变换可得到相应间接平差的模型，令
矿＝ＡＶ（８）则（７）式成为
ｙ＝一（１ｌｘ—Ｗ）（９ａ）相应的随机模型为
Ｑ，，＝ＡＱＡｌ（９ｂ）（９）式按间接平差原理解得未知参数估值为
ｘ＝（Ｂ１Ｎ２Ｂ）“Ｂ’Ⅳ。－１ｗ（１０）改正数向量的确定则对（９ａ）式变化为
ＡＶ＋（蠡一ｗ）：０（１１）（１１）式中的蕊一ｗ视为常数向量，故上式按条件平差原理解算得到改正数向量为
Ｖ＝ＱＡｌＫ（１２ａ）其中
ｘ＝Ⅳ：（ｗ—Ｂｘ）
＝Ⅳ：（Ｗ一丑（Ｂ’Ｎ２Ｂ）－１８１Ｎ２Ｗ）
（１２ｂ）需要说明的是，下文所用的联系数向量均用Ｋ表示，但向量的维数和表达式都不同。
很明显，（１０）与（１２）式所得的；和ｙ与按附有未知数的条件平差原理解算所得到的结果完全相同，故附有未知数的条件平差可按间接平差原理进行解算，这样也得到了附有未知数的条件平差的另一解法，这种解法也是阶段平差解法。
间接平差的函数模型（５）式可变为
上式与附有未知数的条件平差模型（７）式进行比较可知，此模型是（７）式的特例，即Ａ＝一ｌ，ｌ＝ｗ。所以（１３）式按附有未知数的条件平差原理解算，其法方程式为
（罢，钏匀一ｍ０（１４，由（１４）式的第１式，得
Ｋ：只函一ＰＩ
上式代入（１４）式的第２式，得
Ｂ７喊一Ｂ７Ｐ１：０（１５）（１５）式即为间接平差的法方程式，可知间接平差可按附有未知数的条件平差原理进行解算，且可把间接平差视为附有未知数的条件平差的特例。１．３条件平差与附有条件的间接年差
条件平差按附有条件的间接平差模型进行解算，是选ｎ个未知数，即选ｎ个观测值的平差值作为未知参数，￡＝工＋ｙ＝Ｆ＋ＸＬ，由于必要观测数为ｔ，多余观测数为ｒ，ｒ＝ｎ—Ｉ，所选的未知参数多于必要观测数，故未知参数之间存在条件方程，方程的个数为ｒ，形式可由条件平差的函数模型来确定，此时的函数模型为
ｙ＝茸ｃ１（１６）
Ａｘ—Ｗ＝０Ｊ
易知，此模型是附有条件的间接平差函数模型的特例（Ｂ＝Ｉ，１＝０，Ｃ＝Ａ，眦＝Ｗ）。
（１６）式按附有条件的间接平差原理解算，法方程为
掣洲》（々）＝。ｍ，由（１７）式的第１式，得
ｘＬ＝０，４１置
代人（１７）式的第２式，有
置＝Ｎ２Ｗ（１８）从而易得
ｙ＝丑＝舭１Ｎ２Ｗ（１９）（１９）式与按条件平差原理进行解算得到的结果完全相同。
附有条件的间接平差模型可分成两个平差模型（间接平差模型、条件平差模型）进行解算。附有条件的间接平差模型为
ｌ。戤一，Ｐｌ（２０）
Ｑ一巩＝０Ｊ
式中，ｃ为ｓד维系数矩阵，Ｒ（ｃ）＝５。
第１期周世健等：测量平差中各种模型的等价转换关系３
；７（王≠；，），而需对；７进行修正才可进行相应的“‘曼矗２Ｉ暇一砜。１矿㈣１（２４）
附有未知数的条件平差，可按附有条件的间
前ｎ个未知参数与１．３中所选的观测值平差值一样，其余的ｕ一／１，个未知参数之间函数独立。显然
存在函数关系，未知参数之间的条件方程即为附
ｙ．（Ｉｏ）㈡１（２５）
Ａｈ＋ｍ—Ｗ：０Ｊ
（２５）式与（２０）式比较可知，（２５）式为（２０）式
（２５）式按附有条件的间接平差进行解算，法雕甜料…，
Ａ舭７Ｋ＋瓜一Ｗ＝０
（≥托）一㈤＝。ｃ刀，
（ｉ１）ｙ＋（：）ｚ一（：。）＝。ｃ２８，∽蚓料…，
Ｋ，：蕊一Ｐ／（３０）
（Ｎｃ－训≯（Ｂ眶Ｔｐ／，／－＝。㈤，间接平差的法方程。所以附有条件的间接平差可
关系是：间接平差是附有条件的间接平差的特例差的扩展模型。上述各种平差模型的等价转换关
图１各种平差方｛岳的等价转换关系
２结论
１）条件平差与间接平差之间存在关系式ＡＢ：０，Ｗ：一Ａｆ，利于进行条件方程与误差方程的
（下转第７页）
第１期爨钢等：数字水准仪综合精度检测方法研究７量误差与相关因素的关系，可以发现在一般测量中无法发现的问题。如测量精度不但与距离有关，还与编码规则、高差读数等有关（２８ｍ两个粗差的重复出现）；４）这种方法也有局限性，由于电子水准仪的
最小读数一般为０．０１ｍ，这样可能分辨不出尺长误差小于０．０１ＩＩｔⅡＩａ／Ｉ！Ｑ（即１０ｘ１０“）的数值，不如用光电显微镜测标尺的精度高，后者可以分辨小于１×１０“的尺长误差。数字水准仪检测方法的研究在国内还刚刚开始，有许多问题有待进一步研究和解决。我们希望通过对不同厂家仪器的试验和分析研究，进一步完善上述检测方法。
致谢信息工程大学测绘学院９９本２班娄原松、朱晓露２位同学参加了部分试验工作，在此表示感谢。
参考文献：
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［３］孝广云，樊铜．亭宗春藏频激光干涉仪在洲距仪精度自珊植测中的应用［Ｊｊ解放军测绘学院学报，１９９９，（３）
ＭｅａｓｕｒｉｎｇＡｃｃｕｒａｃｙ豫旺嚷ｏｆｔｈｅ埘ｇｉ锄Ｌｅｖｅｌｓ
ＦＡＮＧａｎｇ，ＺＨＡＯＲｕｉ，ＬＩＧｕａｎｇ－ｐｍ，ＸＵＥＺｈｉ－ｈｏｎｇ
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脚瞄：蝴㈨；删豳；ｋ鼬；㈣责任编辑陶太欣
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检核与转换。特别是广义平差中，许多方法是基于间接平差模型导出的，利用此关系式就可直接得到基于条件平差模型的相关公式。
２）问接平差可按附有未知数的条件平差模型进行解算，且为其特例；附有未知数的条件平差同样可按间接平差原理进行解算，为阶段平差解算方法，均可保证结果的一致性。３）条件平差可按附有条件的间接平差模型进行解算，且为其特例（选ｎ个观测值的平差值作为未知参数）；附有条件的间接平差也可按间接平差与条件平差原理进行解算，也为阶段平差解算方法，同样可保证结果的一致性。４）附有未知数的条件平差可按附有条件的间接平差模型进行解算，并可认为是其特例；附有
条件的间接平差也可按附有未知数的条件平差模型进行解算，解算的结果都可保证其正确性。参考文献：
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ＴｈｅＥｑｕｉｖａｋｍｔＴｒｔｍｇｆｏｒｍａｔｉｏｎＲｄａ删ｐｏｆｔｈｅＶａｒｉｔｍｓＡｌＩｊ．】神ｆＭｔＭ蚰ｄ
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测量平差中各种模型的等价转换关系
作者：周世健， 臧德彦， 鲁铁定
作者单位：华东地质学院测量系,
刊名：
测绘学院学报
英文刊名：JOURNAL OF INSTITUTE OF SURVEYING AND MAPPING
年，卷(期)：2001，18(1)
被引用次数：6次
参考文献(6条)
1.於宗俦.于正林测量平差原理 1990
2.王新洲广义平差的概括模型[期刊论文]-武汉测绘科技大学学报 2000(03)
3.於宗俦.鲁林成测量平差基础 1983
4.黄维彬近代平差理论及其应用 1992
5.武汉测绘科技大学平差教研室测量平差基础 1983
6.陈永奇变形观测数据处理 1988
相似文献(7条)
1.会议论文张方仁.于正林平差函数模型、观测数据的诊断和平差方法的选择1987
2.学位论文隋立芬高精度GPS网的统一与数据处理若干问题研究2001
该文系统地研究了高精度GPS网的统一与数据处理的理论与方法,针对高精度GPS网联合处理中的平差方法与参考基准、全球IGS基准站的使用、商精度GPS网联合平差的函数模型和随机模型的建立、各GPS子网与高精度GPS网的联测、观测历元之间的地壳运动和形变、联合平差中系统参数和地壳运动参数的设置等问题,展开了较深入的研究.
3.期刊论文杨元喜.郭春喜.刘念.丘其宪绝对重力与相对重力混合平差的基准及质量控制-测绘工程2001,10(2) 绝对重力与相对重力测量混合平差是综合利用各种重力测量资料确定重力网基准，提高重力网综合质量的有效途径。文中首先从重力观测的系统误差入手，讨论重力网平差的函数模型，进而根据两类重力现测信息对重力基准的贡献，分析了不同平差方法所对应的各类基准及其统计意义与可靠性
；最后对重力网平差的质量控制方法进行了讨论。
4.学位论文林国庆GPS与地面测量数据联合平差方法研究及软件研制2010
近年来，随着GPS定位技术的飞速发展，应用GPS技术建立和改造各种大地和工
程控制网引起了测绘界的重视。本文从GPS与地面测量数据联合平差的函数模型与随机
模型的建立两方面进行了论述与探讨。
本文首先从GPS与地面测量数据联合平差基本原理出发，详细论述了GPS与地面
测量数据联合平差数据处理中较为常用的4种数学模型，包括：在参心空间直角坐标系
中平差的数学模型、在参心大地坐标系中平差的数学模型，以及在二维平面直角坐标系
中平差的两种模式的数学模型，并对这4种联合平差的数学模型进行了比较与分析，总
结了各种联合平差数学模型的优缺点，及其适用范围。
然后，对GPS与地面测量数据联合平差中不同类观测值的定权方法进行了研究，并
通过比较经验定权法与赫尔默特方差分量估计定权法的联合平差结果，得出了不同的定
权方法将会影响联合平差的结果。为了得到参数的最优估计和合理的精度评定，应利用
赫尔默特方差分量估计法进行联合平差处理。
最后，基于GPS与地面测量数据联合平差的函数模型与随机模型的理论基础，采用
Visual C++作为开发工具，研制了能满足不同实际工程需要的GPS与地面测量数据联合
平差软件(UnionAdj)。
关键词：GPS;地面测量数据；联合平差；方差分量估计
5.期刊论文袁江红.YUAN Jianghong以坐标差为因子的导线平差-上海地质2007,""(4)
根据全站仪可以直接测量导线坐标的特点,以基本的测量平差知识为基础,探讨了以测量所得的坐标差为观测因子来建立平差函数模型,并依据间接平差原理进行平差的方法.平差结果和传统的平差方法的结果进行了比较,得出了这种平差方法的可行性.
6.期刊论文查明.欧阳桂崇区域GPS网与地面网3维联合处理-测绘学报2001,30(3)
随着GPS和传统地面测量技术的发展,两种技术的组合应用常常是适宜的选择.显然,有关GPS网与地面网联合处理的研究在GPS测量技术应用中是重要的.本文对区域GPS网与地面网3维联合平差方法进行了研究,给出了相应的函数模型,解决了经典3维平差中天文经纬度缺乏和垂直折光差改正两龉丶际跷侍?此外,为节省计算机存储和运算时间,笔者建议采用变带宽存储法和剖面极小化算法.文章的最后简要介绍了CPSTGD数据处理软件.父
7.学位论文黄观文GPS精密单点定位和高精度GPS基线网平差研究及其软件实现2008
随着空间技术的发展，GPS定位技术应用越来越广泛，人们对GPS的定位精度要求也越来越高，因此，研究精密单点定位(PPP)和高精度GPS网平差的数据处理方法具有重要的理论和实际价值。
对于本文的研究内容，主要包括两大部分：一是精密单点定位模型和卫星钟差研究及P3TEXT软件实现；研究涉及利用频谱分析法分析精密星历卫星钟差精度；精密单点定位数学模型的建立，以及基于自适应滤波的PPP算法，并编写相应的软件P3TEXT等。二是高精度GPS网平差数据处理方法研究，其中包括采用附加系统参数和附加基准条件的平差处理方法，编制了相应的高精度GPS网平差软件HPGPSADJ。
概括起来，本文主要做了以下几方面的工作：
(1)论述了GPS单点定位的观测模型以及线性组合。分析了各种误差源以及相应的改正模型，总结了精密单点定位中的主要关键技术。
(3)研究了GPS精密单点定位的数学模型，包括函数模型和随机模型。针对卡尔曼滤波容易发散的缺点，引入了三种自适应滤波模型，并将其运用于精密单点定位中。
(4)GPS动态定位中，如采用序贯平差求解，模糊度参数变化以及参考星升降时，前后历元的承接关系异常复杂，这使得序贯平差模型变得十分复杂，针对这个问题，本文详细推导了序贯平差统一模型，并通过算例验证了模型的正确性和高效性。
(5)论述了高精度GPS网的四种平差方法和三种参考基准，并分析了不同参考基准的几何意义。同时，当参考基准不一致时，需要在基线处理阶段或网平差处理阶段统一基准。
(6)重点研究了高精度GPS形变监测网的平差数学模型，包括平差函数模型、随机模型以及附加系统参数的平差基准模型等。推导了系统参数对坐标估值的影响公式，提出形变监测网数据处理时，应在平差模型中考虑系统参数的影响，同时须选择合适的基准模型。
(7)编制了精密单点定位软件P3TEXT和高精度GPS网平差软件HPGPSADJ，展示了软件的基本思路以及程序框架。
引证文献(6条)
1.杨元喜.张丽萍中国大地测量数据处理60年重要进展第一部分:函数模型和随机模型进展[期刊论文]-地理空间信息 2009(6)
2.夏永刚再论条件平差和间接平差函数模型的等价性[期刊论文]-江西测绘 2008(2)
3.朱煜峰.周世健.鲁铁定提高《误差理论与测量平差基础》课程教学质量的探讨[期刊论文]-江西测绘 2008(2)
4.牛贵兰.张书毕多元回归分析的间接平差算法[期刊论文]-铁道勘察 2006(1)
5.康壮.隋立芬论经典平差模型的几何统一[期刊论文]-测绘科学技术学报 2006(4)
6.鲁铁定.周世健.官云兰.张立亭概括平差模型解算的统一转换[期刊论文]-工程勘察 2003(1)
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空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类 正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。 在测量中常用的坐标系有以下几种： 一、空间直角坐标系 空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用图2-3来表示： 图2-3 空间直角坐标系 二、空间大地坐标系 空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。空间大地坐标系可用图2-4来表示：
图2-4空间大地坐标系 三、平面直角坐标系 平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。在我国采用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。 高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。 高斯投影满足以下两个条件： 1、 它是正形投影； 2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。 将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下图２－５右侧所示。 图2-5 高斯投影 x 方向指北，y 方向指东。 可见，高斯投影存在长度变形，为使其在测图和用图时影响很小，应相隔一定的地区，另立中央子午线，采取分带投影的办法。我国国家测量规定采用六度带和三度带两种分带方法。六度带和三度带与中央子午线存在如下关系： 366 N L ＝中； n L 33＝中 其中，N 、n 分别为6度带和3度带的带号。
(完整word)高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
坐标转换之计算公式
坐标转换之计算公式 一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换 1名词解释： A ：参心空间直角坐标系： a) 以参心0为坐标原点； b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合； c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合； d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直，构成右手直角坐标系0-XYZ ； e) 地面点P 的点位用（X ，Y ，Z ）表示； B ：参心大地坐标系： a) 以参考椭球的中心为坐标原点，椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合； b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ； c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度L ； d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ； e) 地面点的点位用（B ，L ，H ）表示。 2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标： ?? ???+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2 公式中，N 为椭球面卯酉圈的曲率半径，e 为椭球的第一偏心率，a 、b 椭球的长短半 径，f 椭球扁率，W 为第一辅助系数 a b a e 2 2-= 或 f f e 1*2-= W a N B W e =-=22sin *1( 3 参心空间直角坐标转换参心大地坐标
[]N B Y X H H e N Y X H N Z B X Y L -+=+-++==cos ))1(**)()(*arctan( )arctan(2 2222 二 高斯投影及高斯直角坐标系 1、高斯投影概述 高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形 高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关，与方向无关； 3. 离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工 程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。 2、高斯投影正算公式： 5 2224253 2236 4254 42232)5814185(cos 120 )1(cos 6 cos )5861(cos sin 720 495(cos sin 24 cos sin 2l t t t B N l t B N Bl N y l t t B B N l t B B N Bl B N X x ηηηηη-++-++-+=+-+++-++=） 3、高斯投影反算公式：
高等数学等价无穷小替换
无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ） 函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n
定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系:
高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=
等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=
大地坐标转换成施工坐标公式
大地(高斯平面)坐标系工程坐标系转换大地坐标系--->工程坐标系 ======================== 待转换点为P，大地坐标为：Xp、Yp 工程坐标系原点o: 大地坐标：Xo、Yo 工程坐标：xo、yo 工程坐标系x轴之大地方位角：a dX=Xp-Xo dY=Yp-Yo P点转换后之工程坐标为xp、yp: xp=dX*COS(a)+dY*SIN(a)+xo yp=-dX*SIN(a)+dY*COS(a)+yo 工程坐标系--->大地坐标系 ======================== 待转换点为P，工程坐标为：xp、yp 工程坐标系原点o: 大地坐标：Xo、Yo 工程坐标：xo、yo 工程坐标系x轴之大地方位角：a dx=xp-xo dy=yp-yo P点转换后之工程坐标为xp、yp: xp=Xo+dx*COS(a)-dy*SIN(a)
yp=Yo+dx*SIN(a)+dy*COS(a) 坐标方位角计算程序 置镜点坐标：ZX ZY 后视点坐标：HX HY 方位角：W 两点间距离: S Lb1 0← ｛A, B, C, D｝← A〝ZX=〞:B〝ZY=〞:C〝HX=〞:D 〝HY=〞:W=tg1((D-B)÷(C-A)):(D-B)>0=>(C-A)>0=>W=W:∟∟(D-B)>0=>(C-A)<0=>W=W+180:∟∟(D-B)<0=>(C-A)<0=>W=W+180:∟∟(D-B)<0=>(C-A)>0=>W=360+W∟∟W=W◢ S=√((D-B)2+(C-A)2) ◢ Goto 0← CASIO fx－4500p坐标计算程序 根据坐标计算方位角 W＝W＋360△W：“ALF(1~2)＝”L1 A“X1＝”：B“Y1＝”：Pol(C“X2”－A，D“Y2”－B：“S＝”▲W＜0 直线段坐标计算 L1 X“X(0)”：Y“Y(0)”：S“S(0)”：A“ALF” L2 Lb1 2 L3 {L}：L“LX”
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞ →+∞→∞→∞ →∈00 0x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即 ()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都 不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0l i m =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim ()()(),x x x f x A f x A x α? =? +其中)(x α是自变量在同一变化过程 0x x →（或∞→x ）中的无穷小.
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数公式整合： 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB- cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB- cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα
大地坐标与直角空间坐标转换计算公式
大地坐标与直角空间坐标转换计算公式 一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换 1名词解释： A ：参心空间直角坐标系： a) 以参心0为坐标原点； b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合； c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合； d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直，构成右手直角坐标系0-XYZ ； e) 地面点P 的点位用（X ，Y ，Z ）表示； B ：参心大地坐标系： a) 以参考椭球的中心为坐标原点，椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合； b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ； c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度L ； d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ； e) 地面点的点位用（B ，L ，H ）表示。 2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标： ?? ? ?? +-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2 公式中，N 为椭球面卯酉圈的曲率半径，e 为椭球的第一偏心率，a 、b 椭球的长短半径，f 椭球扁率，W 为第一辅助系数 a b a e 2 2-= 或 f f e 1 *2-= W a N B W e = -=22 sin *1( 西安80椭球参数： 长半轴a=6378140±5（m ）
短半轴b=6356755.2882m 扁 率α=1/298.257 3 参心空间直角坐标转换参心大地坐标 [ ] N B Y X H H e N Y X H N Z B X Y L -+= +-++==cos ))1(**)() (*arctan() arctan(2 22 2 2 二 高斯投影及高斯直角坐标系 1、高斯投影概述 高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形 高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关，与方向无关； 3. 离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。 2、高斯投影正算公式： 52224253 2236 425442232)5814185(cos 120 )1(cos 6 cos )5861(cos sin 720 495(cos sin 24cos sin 2l t t t B N l t B N Bl N y l t t B B N l t B B N Bl B N X x ηηηηη-++-++-+=+-+++-++ =） 3、高斯投影反算公式：
坐标转换模型
坐标转换模型 1.空间直角坐标系间的转换模型（七参数模型） ①公式（布尔莎模型）： ②分析： (1)将O-XYZ中的长度单位缩放l+m倍，使其与O'-X'Y'Z'的长度单位一致； (2)从X反向看向原点O，以O为旋转点，让O-XYZ绕X轴顺时针旋转Wx角，使经过旋转后的Y轴与O'-X'Y'Z’平面平行； (3)从Y反向看向原点O，以O为旋转点，让O-XYZ绕Y轴顺时针旋转Wy角，使经过旋转后的X轴与O'-X'Y'Z'平面平行。显然，此时Z轴也与Z'轴平行； (4)从Z反向看向原点O，以O点为旋转点，O-XYZ绕Z轴顺时针旋转Wz角，使经过旋转后的X轴与X’轴平行。显然，此时O-XYZ的三个坐标轴己与O'-X'Y'Z’中相应的坐标轴平行； 原坐标为O-XYZ，转换到新坐标O-X’Y’Z’.(两坐标系都为空间直角坐标系）其中（dX dY dZ）为坐标原点的平移参数，即将坐标O-XYZ的原点分别沿三个坐标轴平移-dX,-dY,-dZ，使原坐标轴与O-X’Y’Z’的点重合。m为尺度参数，（w1 w2 w3）分别为坐标轴的旋转参量（角度），构成的旋转矩阵分别为： 分别将R1 R2 R3代入上式，可得：
当旋转角度w1 w2 w3很小时（<=10),cos(w)=1,sin(w)=0;在误差允许范围内可以将模型简化为：(同样七参数模型） 四参数模型是在七参数模型的特例，没有考虑坐标轴的旋转量，只考虑坐标轴的平移。 总结： 类似布尔莎模型（以坐标原点为参考点），还有莫洛金斯基坐标模型（以目标点为变换中心）、武测转换模型和范士转换模型（以控制网参考点的站心地平坐标系的三个坐标轴为旋转轴），这些坐标转换模型很容易实现相关坐标在不同坐标系的转换，但是参考位置的偏移向量的相关参数，在实际运用中这些参量是很难测定的，并且受地球重力等物理因素的影响，两个坐标系统即使经过相似变换，仍可能存在较大的残差，所以这些模型适用于简单且规则模型中。 ④程序： clc clear all dX=input('please input value of dX=');
大学高等数学等价无穷小#(精选.)
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
坐标转换之计算公式
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 坐标转换之计算公式 一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换 1名词解释： A ：参心空间直角坐标系： a) 以参心0为坐标原点； b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合； c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合； d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直，构成右手直角坐标系0-XYZ ； e) 地面点P 的点位用（X ，Y ，Z ）表示； B ：参心大地坐标系： a) 以参考椭球的中心为坐标原点，椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合； b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ； c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度 L ； d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ； e) 地面点的点位用（B ，L ，H ）表示。 2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标： ?? ? ?? +-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2 公式中，N 为椭球面卯酉圈的曲率半径，e 为椭球的第一偏心率，a 、b 椭球的长短半径，f 椭球扁率，W 为第一辅助系数
a b a e 2 2-= 或 f f e 1 *2-= W a N B W e = -=22 sin *1( 3 参心空间直角坐标转换参心大地坐标 [ ] N B Y X H H e N Y X H N Z B X Y L -+= +-++==cos ))1(**)() (*arctan() arctan(2 22 2 2 二 高斯投影及高斯直角坐标系 1、高斯投影概述 高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形 高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关，与方向无关； 3. 离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。 2、高斯投影正算公式：
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴
不同坐标系之间的变换
不同坐标系之间的变换 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
§10.6不同坐标系之间的变换 10.6.1欧勒角与旋转矩阵 对于二维直角坐标，如图所示，有： ?? ? ?????????-=??????1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8) 在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为： ①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋 转至0 0,OY OX ； ②绕0 OY 旋转Y ε角 10 ,OZ OX 旋转至0 2 ,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角， 0,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。 Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与 它相对应的旋转矩阵分别为： ???? ? ?????-=X X X X X R εεεεεcos sin 0sin cos 00 01 )(1 (10-10)
????? ?????-=Y Y Y Y Y R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11) ???? ? ?????-=10 0cos sin 0sin cos )(3Z Z Z Z Z R εεεεε (10-12) 令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10- 13) 则有： ???? ? ?????=??????????=??????????1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入： ???? ??? ??? +-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取： sin sin sin sin sin sin sin ,sin ,sin 1cos cos cos =========Z Y Z X Y X Z Z Y Y X X Z Y X εεεεεεεεεεεεεεε 于是可化简
等价无穷小公式大全
1，x\sim \tan x\sim \sin x\sim \arcsin x\sim (e^x-1)\sim\arctan x\sim ln(1+x)\sim ln(x+\sqrt{1+x^2})x～tanx～sinx～arcsinx～(ex?1)～arctanx～ln(1+x)～ln(x+1+x2) 2，(1-\cos x)\sim\frac{1}{2}x^2(1?cosx)～21x2 3，log_a(1+x)\sim\frac{x}{lna}loga(1+x)～lnax 4，(x - \sin x)\sim\frac{1}{6}x^3\sim(\arcsin x-x)(x?sinx)～61x3～(arcsinx?x) 5，(\tan x -x)\sim\frac{1}{3}x^3\sim(x-\arctan x)(tanx?x)～31x3～(x?arctanx) 6，(1+bx)^a-1\sim abx(1+bx)a?1～abx 7，(\tan x-\sin x)\sim \frac{1}{2}x^3(tanx?sinx)～21x3 8，a^x-1\sim xlnaax?1～xlna 9，(\sqrt[n]{1+x}-1)\sim \frac{x}{n}(n1+x?1)～nx 等价无穷小替换公式如下: 以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。 扩展资料: 求极限时，使用等价无穷小的条件： 1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0； 2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。
推导坐标旋转公式
推导坐标旋转公式 数学知识2010-09-12 21:03:53 阅读151 评论0 字号：大中小订阅 在《Flash actionScript 3.0 动画教程》一书中有一个旋转公式： x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y; y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x; 其中x，y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转angle 后相对于旋转点的坐标 从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式： 1。设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β 2。求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ) 3。求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β) 4。显然dist1=dist2，设dist1=r所以： r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β) 5。由三角函数两角和差公式知： sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β) cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β) 所以得出：
c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β) d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β) 即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关 从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。 上面公式是相对于B点坐标来的，也就是假如B点位（0,0）可以这么做。现在给出可以适合任意情况的公式： x0 = dx * cos(a) - dy * sin(a) y0 = dy * cos(a) + dx * sin(a) 参数解释： x0,y0是旋转后相对于中心点的坐标，也就是原点的坐标，但不是之前点旋转后的实际坐标，还要计算一步，a旋转角度，可以是顺时针或者逆时针。 dx是旋转前的x坐标-旋转后的x坐标 dy是旋转前的y坐标-旋转后的y坐标 x1=b+x0; y1=c+y0; 上面才是旋转后的实际坐标，其中b，c是原点坐标 下面是上面图的公式解答： x0=(x-b)*cos(a)-(y-c)*sin(a); y0=(y-c)*cos(a)+(x-b)*sin(a); x1=x0+b; y1=y0+c;
考研数学等价无穷小代换
考研数学等价无穷小代换 更多技巧尽在考研数学（https://www.360docs.net/doc/2213936344.html,/u/2461250915）每周至少更新两次 众所周知，考研数学里面一部分题目需要求极限，大多数同学处理这类问题的方法是洛必达法则，但是，运用洛必达法则运算量大，运算步骤繁琐，因而也就容易出错，稍有不慎，则会算错，尤其对于选择填空题，一旦算错，一分也没有，而且，洛必达法则需要的时间也较多，如果一味的使用洛必达法则，则有可能浪费大量的时间，得不偿失。这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0 常见代换：x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x 幂函数代换：(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数 指数函数代换：e x ~x + 1 a x ~ lna·x + 1 对数代换：ln(1+x) ~ x log a(1+x) ~ x/lna 差代换：1.二次的：1－cos x ~ x2/2 x－ln(1+x) ~ x2/2 2三次的：(1)三角的：x －sin x ~ x3/6 tan x －x ~ x3/3 tan x －sin x ~ x3/2 (2)反三角的：arcsin x －x ~ x3/6 x －arctan x ~ x3/3 arcsin x －arctan x ~x3/2 下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用 例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。 当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。 lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2 大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。 需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
坐标系转换步骤以及公式
一、各坐标系下椭球参数 二、WGS84转北京54一般步骤（转80一样，只是椭球参数不同） 前期工作：收集测区高等级控制点资料。 在应用手持GPS 接收机观测的区域内找出三个以上分布均匀的等级点（精度越高越好）或GPS “ B ”级网网点，点位最好是周围无电磁波干扰，视野开阔，卫星信号强。并到测绘管理部门抄取这些点的54北京坐标系的高斯平面直角坐标(x 、y)，大地经纬度（B 、L ），高程h ，高程异常值ξ和WGS-84坐标系的大 地经纬度（B 、L ），大地高H 。 如果没有收集到WGS-84下的大地坐标，则直接用手持GPS 测定已知点B 、L 、H 值 。 转换步骤： 1、把从GPS 中接收到84坐标系下的大地坐标（经纬度高程B 、L, H ，其中B 为纬度，L 为经度，H 为高程），使用84坐标系的椭球参数转换为84坐标系下的地心直角坐标（空间坐标）： 式中，N 为法线长度， 为椭球长半径，b 为椭球短半径， 为第一偏心率。 2、使用七参数转换为54坐标系下的地心直角坐标（x ，y ，z ）： x = △x + k*X- β*Z + γ*Y+ X y = △y + k*Y + α*Z - γ*X + Y z = △z + k*Z - α*Y + β*X + Z
其中，△x，△y，△z为三个坐标方向的平移参数；α，β，γ为三个方向的旋转角参数；k为尺度参数。（采用收集到的控制点计算转换参数，并需要验证参数） 在小范围内可使用七参数的特殊形式即三参数，即k、α、β、γ都等于0，变成： x = △x+ X y = △y+ Y z = △z + Z 3、根据54下的椭球参数，将第二步得到的地心坐标转换为大地坐标（B54,L54,H54） 计算B时要采用迭代，推荐迭代算法为： 4、根据工程需要以及各种投影（如高斯克吕格）规则进行投影得到对应的投影坐标，即平面直角坐标。（投影正算） 三、北京54转WGS84一般步骤（80转84一样，只是椭球参数不同） 1、将所有点的BJ54高斯平面直角坐标（x，y）化算为大地坐标(B,L )。（投影 反算） 2、顾及水准高h后将三维大地坐标（B，L，h），按54椭球参数化算为地心直 角坐标（X，Y，Z ）。（公式同上面第一步） 3、根据公共点求转换七参数或多项式拟合系数并将54下的（X,Y,Z）转为84 下的（X,Y,Z）。（公式同上面第二步）. 4、将转换后的三维直角坐标WGS-84XYZ化算为大地坐标WGS-84(BLH) 。（公式同上面第三步） 5 、引入基于WGS-84椭球的高程异常值由水准高求得基于WGS-84椭球的大 地高H 。