平差数学模型
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测量平差函数模型课件
编程语言与工具
编程语言
Python是最常用的编程语言，因为它具有简单易学、代码可读性强、拥有丰富 的科学计算库等特点。R语言也是一个常用的选择，特别是在统计分析方面。
开发工具
PyCharm、Jupyter Notebook、RStudio等集成开发环境（IDE）提供了丰富 的功能，如代码高亮、自动补全、调试等，有助于提高开发效率。
评估模型在训练数据和测试数 据上的表现，以判断模型是否 过于复杂或过于简单。
鲁棒性
评估模型对异常值和噪声的抵 抗能力。
可解释性
评估模型是否易于理解，以及 是否能够提供有意义的解释。
模型性能优化
01
02
03
04
特征选择
通过选择与目标变量最相关的 特征，降低特征维度，提高模
型性能。
超参数调整
调整模型学习过程中的参数， 如正则化强度、批大小、学习
遥感图像处理
在遥感图像处理中，平差函数模型 用于校正图像的几何畸变和辐射误 差，提高图像质量和识别精度。
平差函数模型的重要性
提高测量精度
通过平差函数模型对测量数据进 行处理和修正，可以减小误差、 提高测量精度，为各种应用领域
提供更准确的数据支持。
促进科技发展
平差函数模型是测量数据处理和 分析的重要工具，其研究和应用 有助于推动相关领域的科技进步
平面控制网平差的原理
平面控制网平差采用最小二乘法原理，通过构建误差方程 式和法方程式，求解各未知参数的最优解，从而实现平差 处理。
平面控制网平差的步骤
包括数据采集、数据预处理、构建数学模型、平差计算、 精度评定等步骤。
高程控制网平差
01
高程控制网平差的应用
高程控制网平差主要用于高程测量数据的处理，通过对高程数据进行平
第一章(近代平差理论简介)
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
平差数学模型与最小二乘原理
第二章
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
测量平差的数学模型
本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。
本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。
教学内容：一、平差模型的定义与分类1 •从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2 •函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1 •函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。
2.函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。
对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。
函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4 ）式），总是要将其线性化。
（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。
1.条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
A图2-2在图2-1中，观测了三个内角，n=3, t=2，贝U r=n-1=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：L i L2 L3 -180 = 0令A13=[1 1 1]3 1 =[ L1 L2 L3 ] TA O=[-18O]则上式为AL A0 ~ 0（2-2-1 ）再如图2-2水准网，D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为〜〜[h i6 1 1〜〜〜〜〜h2 h3 h4 h5 h6 ]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是：F i（~） * -h2 -~4 =0F2（~）-~3 E = 0F3（~）=~ _忘 _~6 =0AL =0(2-2-2 )般而言，如果有 n 个观测值Ll ，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程,(2-2-3)如果条件方程为线性形式，则可以直接写为A ~ A 0 = 0r :：n n 1 r 1 r 〉」1将［二L •厶代入（2-2-4 ）式，并令(2-2-4)则（2-2-4 ）式为W - -(AL A o )(2-2-5)(2-2-6)（2-2-4 ）或（2-2-6 ）式即为条件平差的函数模型。
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
现代测量平差原理及其模型误差分析
D ( X q ) 0 2 ( A T q ) 1 A A T q 1 q ( A P T q ) 1A
D (X q)D (X )
E(02)E(vTfqq v)02
3)随机模型误差对函数模型的影响
函数模型
H 0 : E ( Y ) 0 ;H 1 : E ( Y ) Y
LA X G Y
阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模 但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似，例如非线性观测方程的线性化；
权的正确值应为p，现定权为q
型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更
为突出。
4、模型误差若干理论问题
1）函数模型不完善参数估计性质
函数模型不完善或者说存在函数模型误差，可理
解为所建模型的参数个数过多或不足。当参数
DXˆ
Q2
0 XˆXˆ
秩亏自由网平差
R（A）=t<u
d=u-t R(Q)=n X非随机
V T P V minX T X min
Xˆ Nm- ATP V AXˆ
QXˆXˆ N
ˆ02
VT PV nR(A)
VT PV nt
DXˆ 02QXˆXˆ
具有奇异协方差的平差模型
R（Q）=g<n R(A)=u X非随机
为核心的数据采集技术。 4、模型误差若干理论问题
4〕函数模型误差和随机模型误差相互转化
1、测量平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的
数学函数关系的模型，是确定客观实际的本 质或特征的模型。
随机模型是描述平差问题中的随机量
（如观测量）及其相互间统计相关性质的模 型。
经典平差模型
LAX
n1 nuu1 n1
第四章 平差数学模型
36
• 写成矩阵形式为：
L BX d CX Wx 0
• 可见，矩阵形式的特点是有两类！
37
附有限制条件的间接平差函数模型的特点：
➢ 特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个 数u＞t。
➢ 多选参数的个数s=u-t，这样，参数就不独立 了，之间会产生函数式。
➢ 函数模型的构成： 一种是间接平差的观测方程 另一是参数之间的条件方程
X1
X2
L1 X1 L2 X 2 L3 X1 X 2 1800
1 0 0
B
0
1
,
d
0
1 1 1800
L B Xd
3,1
3,2 2,1 3,1 24
观测方程的特点：
➢ 列立观测方程前需先选参数，且参数的个数 等于必要观测数t。
➢ t个参数独立（即不能存在确定的函数式）！
➢ 观测方程的个数等于观测值的个数n。
rn n1
r 1
r 1
➢ 值得注意： *一个平差问题中，条件形式不唯一！ 选取形式最简为易！ *各条件式之间必需是独立的！
18
ｎ=6，t=3，r=3，故应列出3个线性无关条 件方程：
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
1 0 0 1 -1 0 A= 0 1 0 0 1 -1
✓ 由r=ｎ-t求出多余观测
r；
✓选t个独立的参数；
✓ 列立r个独立的条件方
程（即观测量真值之间 ✓列立ｎ个观测方程（将
的几何条件式）。
每一个观测值表达成所选
参数的函数）；
✓ 即：
F(L) 0
✓即：
L F(X)
n,1
29
例：分别列立条件平差、间接平差的函数模型， 并将其写成矩阵形式且用一般形式表示。
• 写成矩阵形式为：
L BX d CX Wx 0
• 可见，矩阵形式的特点是有两类！
37
附有限制条件的间接平差函数模型的特点：
➢ 特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个 数u＞t。
➢ 多选参数的个数s=u-t，这样，参数就不独立 了，之间会产生函数式。
➢ 函数模型的构成： 一种是间接平差的观测方程 另一是参数之间的条件方程
X1
X2
L1 X1 L2 X 2 L3 X1 X 2 1800
1 0 0
B
0
1
,
d
0
1 1 1800
L B Xd
3,1
3,2 2,1 3,1 24
观测方程的特点：
➢ 列立观测方程前需先选参数，且参数的个数 等于必要观测数t。
➢ t个参数独立（即不能存在确定的函数式）！
➢ 观测方程的个数等于观测值的个数n。
rn n1
r 1
r 1
➢ 值得注意： *一个平差问题中，条件形式不唯一！ 选取形式最简为易！ *各条件式之间必需是独立的！
18
ｎ=6，t=3，r=3，故应列出3个线性无关条 件方程：
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
1 0 0 1 -1 0 A= 0 1 0 0 1 -1
✓ 由r=ｎ-t求出多余观测
r；
✓选t个独立的参数；
✓ 列立r个独立的条件方
程（即观测量真值之间 ✓列立ｎ个观测方程（将
的几何条件式）。
每一个观测值表达成所选
参数的函数）；
✓ 即：
F(L) 0
✓即：
L F(X)
n,1
29
例：分别列立条件平差、间接平差的函数模型， 并将其写成矩阵形式且用一般形式表示。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
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第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
建模方法：
将每一个观测量表达成所选参数的 函数，共列出r+u=r+t=n个这种函 数关系式。
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小 就可以了
⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两 角、任意的两边一角或者是三边。
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须 知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边 的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配 置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影 响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方 位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角 形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两 点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两 个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
c1
如果有n个观测值
L
n1
，必要观测个
数为t，则应列出r=n-t个条件方程。
现又增设了u个独立量作为未知参
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~
cn n1
B X~
cu u1
A0
c1
0
数，且0 <u<t,每增加一个参数应
增加一个条件方程，因此，共需列 出c=r+u个条件方程，以含有参数
将 L~ L 代入上式，并令
2020/4/12 1
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
4.必要观测个数
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必 要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中 的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此 不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。
L
n1
，必要观测个
平差法。
数为t，则应列出r=n-t个条件方程 : 建模方法：找出观测值真值之间应该满
2020/先4/12看书上例子
足的 r 个关系式。
5
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
一般而言，其一般形式为
2. 附有参数的条件平差法
F (L~, X~) 0
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
L~ L
一、函数模型
函数模型是描述观测量与待求量之 间的数学函数关系的模型。下面简
则：
述各种经典平差方法的线性函数模
W ( AL A0 )
A W 0
型及其建立方法。
上式即为条件平差的函数模型。以
1. 条件平差
此模型为基础的平差计算称为条件
如果有n个观测值
5.多余观测个数
假设对模型中的几何量总共观测n个，
n<t,显然无法确定模型的解；
n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发 现。
n>t，
r=n-t
r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。
2020/4/12 2
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F ( X~)
n1
或：
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
6.条件方程 现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。 L~1 L~2 L~3 180 0
sinS~1L~1 sinS~2L~2 0
每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系 式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式， 在测量平差中称为条件方程。
2020/4/12 3
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
7.平差的概念 多余观测
产生矛盾
平差
求改正数V
L1 L2 L3 180 0
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。
将 L~ L 代入上式，并令
则：
l Ld
B X~ l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
2020/4/12 7
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F ( X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1
(
X~ )
0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
的条件方程为平差函数模型的平差
W ( AL A0 )
方法，称为附有参数的条件平差法。
参见书中例子。
则得
A B X~W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数
2020/4/12
模型。建模方法：找出观测值真值 之间或观测值与参数真值之间应该 数学模型与最小二乘原理
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
L~ B X~ d
n1 nu u1 n1
C X~W 0
su u1 s1
c=r+u=r+t+s=n+s 个 ， 建 立 模 型 时 ， 除了列立n个观测方程外，还要增 因：
V称为观测值的改 正数
2020/4/12 4
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
进行抽象概括，用数学关系式来描 述它的某种特征或内在的联系，这
F (L~) 0
种数学关系式就称为数学模型。 或
本节详细介绍平差的随机模型和常 见的平差函数模型及其建立方法。 令：