课时分层作业18 平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si ，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1．平面向量基本定理定理条件e 1，e 2是同一平面内的两个__不共线__向量结论对于这一平面内的__任意__向量a ，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a ＝__λ1e 1＋λ2e 2__基底 把__不共线__的向量e 1，e 2叫做表这一平面内所有向量的一组__基底__[知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．2．两向量的夹角与垂直 定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__∠AOB __叫做向量a 与b 的夹角图示特殊情况θ＝0° a 与b __同向__ θ＝180° a 与b __反向__ θ＝90° a 与b __垂直__，记作 a ⊥b[知识点拨](1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线． (2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC 中，∠BAC 不是CA →与AB →的夹角，∠BAD 才是CA →与AB →的夹角．1．若a ，b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( B ) A ．a ＝b ，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝02．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( D ) A ．45° B ．90° C ．120°D ．135°3．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( B )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④[解析] ②中DA →与BC →和④中OD →与OB →为共线向量，不能做为基底． 4．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( A )A ．12(5e 1＋3e 2)B ．12(5e －3e 2)C ．12(2e 2＋5e 1)D ．12(5e 2＋3e 1)[解析] OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2)．命题方向1 ⇨对基底概念的理解典例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( B ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2．④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②[思路分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e 1与e 2不共线和平面内向量a 用基底e 1、e 2表示的唯一性求解．[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．『规律总结』 根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．〔跟踪练习1〕设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不．能作为平面内所有向量的一组基底的是__③__.(写出所有满足条件的序号)[解析] ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不可作为一组基底；④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解， ∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底． 命题方向2 ⇨求两向量的夹角典例2 在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求： (1)AD →与BD →的夹角大小； (2)DC →与BD →的夹角大小．[思路分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题．[解析] (1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，∴AB 2＋BC 2＝(3)2＋12＝22＝AC 2， ∴△ABC 为直角三角形．∵tan A ＝BC AB ＝13＝33，∴A ＝30°．∵D 为AC 的中点，∴∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°． ∴AD →与BD →的夹角为120°． (2)∵AD →＝DC →，∴DC →与BD →的夹角也为120°．『规律总结』 求两向量夹角时，一定要让两向量共起点，否则会出现错误． 〔跟踪练习2〕如图，已知△ABC 是等边三角形．(1)求向量AB →与向量BC →的夹角；(2)若E 为BC 的中点，求向量AE →与EC →的夹角． [解析] (1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°． 如下图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则AB →＝BD →，∴∠DBC 为向量AB →与BC →的夹角．∵∠DBC ＝120°，∴向量AB →与BC →的夹角为120°． (2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →的夹角为90°． 用基底表示平面向量用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加法或数乘运算将所求向量用基底表示出来．典例3 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →．[思路分析] 把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解．[解析] 如图，连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB ，∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a ．〔跟踪练习3〕如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2P A →，则( A )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB ．∴x ＝23，y ＝13．忽略两个向量作为基底的条件典例4 已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件为( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0[错解] A[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件．若没有指明，则应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．[思路分析] 当e 1∥e 2时，a ∥e 1，又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又e 1≠0，故a 与b 共线；当λ＝0时，则a ∥e 1.又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又因为e 1≠0，故a 与b 共线．[正解] D[点评] 当条件不明确时要分类讨论．〔跟踪练习4〕已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于__3__．[解析] ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝62x －3y ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3， ∴x －y ＝3．1．向量的夹角θ的范围是( B ) A ．0°≤θ<180° B ．0°≤θ≤180° C ．0°<θ<180°D ．0°<θ≤180°2．设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A ．e 1、e 2一定平行 B ．e 1、e 2的模相等C ．同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D ．若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) [解析] 由平面向量基本定理可知，选项D 正确．对于任意向量e 1，e 2，选项A 、B 不正确，而只有当e 1与e 2为不共线向量时，选项C 才正确．3．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( B )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．4．在锐角△ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是( B ) A ．AB →与BC →的夹角是锐角 B ．AC →与AB →的夹角是锐角 C ．AC →与BC →的夹角是钝角D ．AC →与CB →的夹角是锐角[解析] 由向量夹角的定义可知，AB →与AC →的夹角为∠A ，为锐角． 5．在▱ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底{a 、b }表示AB →、BC →． [解析] 如图，设AC 、BD 相交于点O ，则有AO →＝OC →＝12a ，BO →＝12BD →＝12b ，∴AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC →＝BO →＋OC →＝12a ＋12b ．A 级 基础巩固一、选择题1．e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2[解析] 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1是共线向量，不能作为一组基底．2．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a 、b 的判断正确的是( B ) A ．a 与b 一定共线 B ．a 与b 一定不共线 C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少一个为0[解析] 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B ．3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD →＝DB →，CD →＝23CA →＋λCB →，则λ等于( A )A ．13B ．－13C ．23D ．－23[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋13AB →＝CA →＋13(CB→－CA →)＝23CA →＋13CB →，所以λ＝13．方法二 因为A ，B ，D 三点共线，CD →＝23CA →＋λCB →，所以23＋λ＝1，所以λ＝13．4．(2018·湖南长沙市中学期末)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →( A )A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] EB →＝AE →＋AB →＝－12AD →＋AB →＝－12×12(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →．5．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( D ) A ．π6B ．56πC ．π3D ．23π[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π6，所以可推知a 与b 的夹角为2π3.故选D ．6．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( C ) A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2可以不唯一C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＝λ2e 2，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．二、填空题7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表示向量AM →＝ b ＋12a ．[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ．8．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝__0__．[解析] ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝03x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0，∴x ＋y ＝0． 三、解答题9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →．[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →．10．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点．若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →．[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12a ．∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a ．B 级 素养提升一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2为实数C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m ，n ，使a ＝m e 1＋n e 2[解析] 选项B 中应为“平面内任一向量”，C 中m e 1＋n e 2一定在此平面上，选项D 中，m ，n 应是唯一的，只有A 正确．2．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( B ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ，∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴a 与b 的夹角为120°．3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( A )A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝13AB →＋43AC →，故选A ．4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→，则OP →＝( D ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb 1＋λ[解析] ∵P 1P →＝λPP 2→， ∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝λb ＋a 1＋λ．二、填空题5．向量a 与b 的夹角为25°，则2a 与－32b 的夹角θ＝__155°__． [解析] 作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝25°，如图所示．延长OA 到C ，使OA ＝AC ，则OC →＝2a ．延长BO 到D ，使OD ＝32BO ，则OD →＝－32b ． 则θ＝∠DOA ，又∠DOA ＋∠AOB ＝180°，则∠DOA ＝180°－25°＝155°，则θ＝155°．6．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝__－2__．[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)．又∵e 1、e 2不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题7．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝2e 1－3e 2，，试用a ，b 表示c ．[解析] 设c ＝x a ＋y b ，则2e 1－3e 2＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)，即(3x －2y )e 1＋(y －2x )e 2＝2e 1－3e 2．又e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝2，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以c ＝4a ＋5b ．8．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →．[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2，又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2．而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2． C 级 能力拔高 如图，点L 、M 、M 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，AN AB＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0．求证：l ＝m ＝n ．[证明] 令AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则由BL BC＝l 得，BL →＝lb ； 由CM CA ＝m 得CM →＝m c ； 由AN AB＝n 得AN →＝n a ． ∵AL →＋BM →＋CN →＝0，∴(AB →＋BL →)＋(BC →＋CM →)＋(CA →＋AN →)＝0．即(a ＋l b )＋(b ＋m c )＋(c ＋n a )＝0，∴(1＋n )a ＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0．又∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，∴(1＋n )(－b －c )＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0，即(l －n )b ＋(m －n )c ＝0．∵b 与c 不共线，∴l －n ＝0且m －n ＝0，∴l ＝n 且m ＝n ，即l＝m＝n．。
平面向量基本定理(教案)
平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。
1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。
基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。
2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。
基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。
教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。
例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。
3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。
线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。
教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。
在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。
4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。
向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。
教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。
例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。
5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
平面向量基本定理
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4.已知非零向量O→A，O→B不共线，且 2O→P＝xO→A＋yO→B，若P→A＝λA→B(λ∈R)，
则 x，y 满足的关系式是
√A.x＋y－2＝0
C.x＋2y－2＝0
B.2x＋y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
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解析 由P→A＝λA→B，得O→A－O→P＝λ(O→B－O→A)， 即O→P＝(1＋λ)O→A－λO→B.又 2O→P＝xO→A＋yO→B， 所以xy＝ ＝－ 2＋22λ，λ， 消去 λ 得 x＋y＝2. 即x＋y－2＝0.
二、用基底表示向量
例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用基底 a，b 表示D→C，E→F.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不能作为平面
向量的基底的是
√A.e1－e2，e2－e1 √C.2e2－3e1,6e1－4e2
√B.2e1－e2，e1－
1 2
e2
D.e1＋e2，e1＋3e2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c， 则以 a，b 为基底时，A→C可表示为___a_＋__b__，以 a，c 为基底时，A→C可 表示为__2_a_＋__c__.
平面向量基本定理
为中点，，相交于点.试用, 表示.
推论 若, , 三点共线，且满足 = ( ∈ ൯，是平面上的任
意一点，则有如下等式成立：
= (1 − ) +
用基底表示向量的一般步骤：
1. 选定基底，分析图形
2. 结合图形，向量运算
3. 保留结果，未完继续
跟踪训练1 在平行四边形ABCD中,设 = , = ,试用基
2. 翻译命题，向量运算
3. 反译结果，得出结论
跟踪训练3 如图所示，在三角形中，试用向量方法证明中位线定理：
若, 分别是，的中点，则
我们在本节课中学习了如下知识：
平面向量基本定理的内容
用基底表示向量的一般方法
三点共线的重要性质
用向量方法证明简单的几何命题
思考 如图所示，在三角形中，为线段上靠近的三等分点，
6.3.1 平面向量基本定理
首先思考物理上的“力的分解”的知识：在光滑水平地面上，一个物
体受到如图1所示的斜向上的拉力.在光滑斜面上，物体受到同样的拉
力，拉力方向与斜面不平行，如图2所示.分别有如下分解方式：
图1
图2
我们发现，同一个力可以根据研究的需要，进行不同的分解.
只需要根据平行四边形法则，在不同的方向上进行分解即可.
这提示我们：两个不共线的向量可以表示一个向量.
选定平面内任意两个不共线的向量1 , 2 .设向量, 与1 , 2
都不共线，试将向量, 按1 , 2 的方向进行分解.
用信息技术展示向量分解的动态图象：
设1 , 2 是同一平面内两个不共线的向量，则该平面内的任意
一个向量，都存在唯一的一对实数1 , 2 ，使得：
底, 表示,.
跟踪训练2
平面 向量基本定理
平面向量基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量基本定理是解析几何中的一个重要定理，它是平面向量运算的基础，也是矢量分析的核心概念之一。
在平面几何中，研究平面向量的性质和应用是非常重要的，通过掌握平面向量基本定理，可以更好地理解和解决平面几何中的各种问题。
平面向量基本定理是指，在平面直角坐标系中，两个不共线的向量可以唯一确定一个平面，并且这个平面也能确定这两个向量。
换句话说，如果在平面直角坐标系中给定两个不共线的向量a和b，那么这两个向量确定的平面就是以这两个向量为基底的平面，任意一个平面向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合。
下面我们来详细解释一下平面向量基本定理的内容和应用。
我们知道，在平面直角坐标系中，每个向量都可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别是向量在坐标系的x轴和y轴上的分量。
向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1,b2)。
两个向量的和是它们对应分量的和，两个向量的数量积是它们对应分量的乘积之和。
根据向量的加法和数量积的定义，我们可以得出平面向量加法的交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，以及数量积的分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这些性质是平面向量基本定理的重要基础。
根据平面向量基本定理，我们可以推导出平行向量的性质。
如果两个向量a和b平行，那么它们的数量积等于它们的模长乘积。
即a·b=|a|*|b|*cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
这个公式是计算两个向量夹角的重要方法之一，也是解决平面向量问题的关键步骤之一。
根据平面向量基本定理，我们还可以推导出向量的线性相关性和线性无关性的概念。
如果两个向量a和b线性相关，那么存在不全为零的实数k，使得a=k*b或者b=k*a。
反之，如果不存在这样的实数k，那么向量a和b就是线性无关的。
通过判断向量的线性相关性和线性无关性，我们可以确定向量组的秩，从而求解平面向量的线性组合问题。
高考数学 考点一遍过 专题18 平面向量的基本定理及坐
考点18平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122λλ+=a e e .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标. 三、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB u u u r =（x 2－x 1，y 2－y 1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），|a |=2211+x y ，|a ＋b |=221212(+)+(+)x x y y . 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA u u u r =a ，OB uuu r=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一平面向量基本定理的应用1．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.典例1在OAB △中，14OC OA =u u u r u u u r ，12OD OB =u u u r u u u r，与交于点，设，，请以、为基底表示．【解析】设，)，则，12AD OD OA =-=-u u u r u u u r u u u r b a ．所以14114m n -=-，即，由2141m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得1737mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1377OM=+u u u u ra b．1．如图,在OAB△中,为线段上一点,,且,则A．21,33x y==B．12,33x y==C．13,44x y==D．31,44x y==考向二平面向量的坐标运算1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．典例2已知，，为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且，设，则的值为A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C 【解析】∵，设，则，又，，根据向量的坐标运算知，所以32225x x λλλ=-⎧⇒=⎨-=-⎩. 典例3已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，设AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CA =u u u rc .（1）求33+-a b c ；（2）求满足m n =+a b c 的实数m ，n .2．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且∥a b ，则23+=a b A ．)10,5(--B ．)6,3(--C ．)8,4(--D ．)4,2(--考向三向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB u u u r 与AC u u ur 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.典例4 已知e 1,e 2是平面内两个不共线的非零向量,=2e 1+e 2,=−e 1+λe 2,=−2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线.（1）求实数λ的值; （2）若e 1=(2,1),e 2=(2,−2),求的坐标;（3）已知点D (3,5),在（2）的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形, 求点A 的坐标.∴1+2k=0且1+λ−k=0, 解得k=−12,λ=−32.故实数λ的值为−32.（2）由（1）知,=−e 1−32e 2,则=+=−3e 1−12e 2=−3(2,1)−12(2,−2)=(−6,−3)−(1,−1)=(−7,−2).（3）∵A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴=.设A (x ,y )，则=(3−x ,5−y ).由（2）知,=(−7,−2),∴3752x y -=-⎧⎨-=-⎩,解得107x y =⎧⎨=⎩,∴点A 的坐标为(10,7).3．已知向量.若与平行,则实数的值是A．4 B．1C．D．1．已知向量,则A．B．C．D．2．已知且,则A．B．C．D．3．已知向量，，且与共线，，则A．π3B．π6C ．π3或2π3D ．π6或7π64．如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且=2，3,232OB OC ==u u u r u u u r, 若(), 则A ．B ．8332，λμ==C ．423，λμ==D ．3423，λμ== 5．设OA u u u r =（1，－2），OB uuu r =（a ，－1），OC u u u r=（－b ，0），a > 0，b > 0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12+a b的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．86．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =u u u r u u u r，点Q 是AC 的中点.若()()4,3,1,5PA PQ ==u u u r u u u r，则BC =u u u r __________．（用坐标表示） 7．如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量,那么_______.8．已知向量a =(2,0),b =(1,4). （1）求2a +3b ,a −2b ;（2）若向量k a +b 与a +2b 平行,求k 的值.9．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，0πβα<<<. （1）若||2-=a b ，求,a b 的夹角θ的值；（2）设(0,1)=c ，若+=a b c ，求,αβ的值.1．（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r，则向量BC =u u u rA ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)2．（2015福建文科）设(1,2)=a ，(1,1)=b ，k =+c a b ．若⊥b c ，则实数k 的值等于 A ．32-B ．53- C ．53D ．323．（2015四川文科）设向量(2,4)=a 与向量(,6)x =b 共线，则实数x =A ．2B ．3C ．4D ．64．（2015江苏）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若(9,8)m n +=-a b (,m n ∈R ), 则n m -的值为______.5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2OAu u u r 与OC u u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．1．【答案】D2．【答案】C【解析】()()()() ,122,4,2321,232,44,8m m∴⨯=⨯-∴=-∴+=+--=--Q∥a b a b.故选C.3．【答案】D【解析】+=,由+与平行,得,解得．故本题正确答案为D.1．【答案】D考点冲关变式拓展【解析】因为向量,所以.2．【答案】C 【解析】∵，∴（3，4）=α（2，5）+β（1，6）=（2α+β，5α+6β），∴23564αβαβ+=⎧⎨+=⎩，解得21αβ=⎧⎨=-⎩，故α+β=1．3．【答案】D【解析】因为与共线，所以，，所以sin 3tan cos 3，θθθ==又因为，所以π6θ=或7π6. 4．【答案】C因为，所以有()3333,32,4λμμ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，即43μ=，所以.故选C. 5．【答案】D【解析】由题意可得，OA u u u r =（1，－2），OB uuu r =（a ，－1），OC u u u r =（－b ，0），所以AB u u u r =OB uuur －OA u u u r =（a －1，1），AC u u u r =OC u u u r －OA u u ur =（－b －1，2）.∵A ，B ，C 三点共线，∴AB u u u r ∥AC u u ur ，即（a －1）×2－1×（－b －1）=0，∴2a ＋b =1.∵a >0，b >0，∴12+a b =12(+)a b (2)a b +=44+(+)b aa b≥4＋4=8（当且仅当=2b a 时取“=”），故选D. 6．【答案】()6,21-【解析】依题意3BC PC =u u u r u u u r ，因为点Q 是AC 的中点，所以2PA PC PQ +=u u u r u u u r u u u r，所以()22,7PC PQ PA =-=-u u u r u u u r u u u r ，故()36,21BC PC ==-u u u r u u u r．7．【答案】3【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为,又因为,所以2423x y y x +=⎧⎨-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩所以故答案为3.【易错警示】本题的易错点是进行平面向量加、减运算时,易把横、纵坐标的加、减搞混,一定要注意两平面向量相加、减时,应当是对应的横、纵坐标进行加、减. 9．【解析】（1）由()cos ,sin αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，得()cos cos ,sin sin αβαβ-=--a b ，由()()222||cos cos sin sin αβαβ-=-+-a b ()22cos cos sin sin 2αβαβ=-+=，得cos cos αβ+sin sin 0αβ=，则0⋅=a b ，故,a b 的夹角为90o.（2）由()()cos cos ,sin sin 0,1αβαβ+=++=a b ，得cos cos 0sin sin 1αβαβ⎨+=+=⎧⎩①②，22+①②得()1cos 2αβ-=-.∵0πβα<<<，∴0παβ<-<，∴2π3αβ-=，2π3αβ=+， 代入②得2π31πsin sin cos sin sin 13223βββββ⎛⎫⎛⎫++=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ππ4π333β<+<，∴ππ32β+=，π6β=，5π6α=. 综上所述，5π6α=，π6β=.1．【答案】A【解析】∵AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r =（3,1），∴BC =u u u r ()7,4AC AB =---u u u r u u u r，故选A.2．【答案】A3．【答案】B【解析】由向量(2,4)=a 与向量(,6)x =b 共线，可得426x =⨯，解得3x =. 4．【答案】3-【解析】由题意得29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 5．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，直通高考易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n n +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．。
【精选】_高中数学第二章平面向量第18课时平面向量基本定理课件新人教B版必修4
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
1 说基础·名师导读 知识点 1 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面 内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使 a＝a1e1＋a2e2. 2．基底 把不共线向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1，e2}的分 解式．
2 说方法·分类探究 类型一 对基底概念的理解 【例 1】 若向量 a，b 不共线，且 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底．
解析：设存在实数 λ 使得 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即 (2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于 a，b 不共线，从而 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存 在的，从而 c，d 不共线，故 c，d 能作为基底.
解析：因为 3λ＋(1－3λ)＝1 且 λ∈R， 所以结合直线的向量参数方程式可知点 C 的轨迹是直线 AB.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
平面向量基本定理
平面向量基本定理一、知识精讲 1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA＝a ，OB＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.(3)垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .[小问题·大思维]1．关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③基底中的向量一定不是零向量．提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故①不正确，②③正确．2． 在△ABC 中，向量AB 与BC的夹角是∠B 对吗？提示：不对，是π－B .二、典例精析[例1] 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.变式练习：设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2 解析：∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为平面的基底． 答案：B例2、如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，AB＝a ，AD＝b ，试用基底a 、b 表示MC、MA 、MB.本例条件若变为“AF ＝13AB”，试表示MF.变式练习：如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN＝12NC，BN 与CM 相交于E ，设AB＝a ，AC＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE.例3、在等边三角形ABC 中，向量AB与向量BC 的夹角为________，E 为BC 中点，则向量AE与EC的夹角为________． [答案] 120° 90°变式练习：若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．三、课后检测一、选择题1．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP等于( ) A ．λ(AB ＋AD)，λ∈(0,1) B ．λ(AB ＋BC)，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD)，λ∈(0,1) D ．λ(AB －BC)，λ∈(0，22) 解析：∵AC ＝AB ＋AD ,0<|AP |<|AC|， ∴AP ＝λAC ＝λ(AB ＋AD)，0<λ<1. 答案：A2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC＝( )A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23bD ．－23a ＋23b解析：设AD 与BE 交点为F ，则AF＝23a ，BF ＝23b .由AB ＋BF ＋FA ＝0，得AB＝23(a －b )，所以BC ＝2BD ＝2(AD －AB)＝23a ＋43b .答案：B3．如图，在矩形ABCD 中，若BC ＝5e 1，DC ＝3e 2，则OC＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：OC＝12AC＝12(AB ＋BC )＝12(DC ＋BC )＝12(5e 1＋3e 2)．4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a解析：如图，a ＝12(OR ＋OQ )，b ＝12(OQ→＋OR )，相减得b －a ＝12(OR－OP )．∴PR＝2(b －a )． 答案：B 二、填空题5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |， 所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ， 即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°6．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB ，AC表示AD ，则AD＝________________.解析：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD＝14BC＝14(AC －AB )∴AD＝AB ＋BD ＝AB＋14(AC－AB )＝34AB＋14AC . 答案：34AB＋14AC7．等腰直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，则AB 与BC的夹角是________．解析：作线段AB 的延长线AD ，则∠DBC 是AB 与BC的夹角．又∠DBC ＝180°－∠ABC ＝180°－45°＝135°.8．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC ＝a ，CA＝b ，给出下列结论：①AD＝－12a －b ；②BF ＝a ＋12b ；③CF＝－12a ＋12b ；④EF ＝12a .其中正确结论的序号为________． 解析：如图，AD ＝AC ＋CD＝－b ＋12CB ＝－b －12a ，①正确；BE ＝BC ＋CE＝a ＋12b ，②正确； AB＝AC ＋CB＝－b －a ，CF＝CA＋12AB ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确； ④EF＝12CB ＝－12a ，④不正确．答案：①②③ 三、解答题9．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD ＝a ，AB ＝b ，试用a ，b 表示DC，EF，FC.解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，∴FC ＝AD＝a ，DC＝AF＝12AB＝12b .EF＝ED ＋DA ＋AF＝－12DC－AD ＋12AB＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .10．如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝b ，AB＝a ，M 为AB 中点，N为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．证明：在△ABD 中，BD ＝AD －AB， 因为AB ＝a ，AD ＝b ，所以BD＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN＝13BD＝13(b －a )．∵BC＝b ，∴CN ＝BN －BC＝13(b －a )－b＝－13a －23b .①∵M 为AB 中点，∴MB＝12a ，∴CM ＝－MC ＝－(MB ＋BC)＝－⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＝－12a －b .②由①②可得CM＝32CN.由共线向量定理知CM ∥CN，又∵CM 与CN有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．。
平面向量概念及基本定理 - 解析版
平面向量概念及基本定理（讲案）一、向量的有关概念【知识点】 1. 向量的定义①向量：既有长度又有方向的量，表示为a AB 或。
②平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任一向量平行。
③相等向量：长度相等且方向相同的向量。
④相反向量：长度相等且方向相反的向量。
⑤向量的模：向量的长度叫做向量的模，是实数，表示为||a 。
⑥单位向量：模长等于1个单位长度的向量。
⑦零向量：模长等于零的向量，它的方向是任意的。
注意：两个向量只能比较是否相等，不能比较大小；向量的模可以比较大小。
2. 向量的线性运算向量的加法：求两个向量和的运算，如果两个向量首尾相连，遵循三角形法则；如果两个向量共起点，遵循平行四边形法则。
满足交换律和结合律。
向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，满足三角形法则。
例如()a b a b −=+−向量的数乘：求实数λ与a 的积的运算。
当0λ>时，a λ与a 的方向相同；当0λ<时，a λ与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=。
a λ的模等于||||||a a λλ=。
3. 共线向量定理向量(0)a a ≠与向量b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ使得b a λ=。
【例题讲解】★☆☆例题1．判断下列命题是否正确。
（1）向量就是有向线段； （2）零向量没有方向（3）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 （4）若||||a b =，则a b = （5）单位向量都相等（6）方向相同或相反的向量是平行向量 （7）若a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 （8）两相等向量若起点相同，则终点也相同 （9）若,a b b c ==，则a c = （10）若//,//a b b c ，则//a c（11）a b =的充要条件是||||a b =，且//a b （12）,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 平行（13）若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件 （14）若四边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC BC AD ==.答案：（1）错误（2）错误（3）正确（4）错误（5）错误（6）错误（7）错误（8）正确（9）正确（10）错误（11）错误（12）错误（13）正确（14）正确解析：向量指既有长度又有方向的量，只有长度相等，方向相同时，两个向量才是相等向量；注意零向量的存在★☆☆练习1．下列说法中正确的个数是（ ）。
高中数学学业分层测评18平面向量基本定理(含解析)新人教B版必修4(2021学年)
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学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时:45分钟）[学业达标］一、选择题1.(20１6·衡水高一检测）设e１，ｅ２是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中，不能作为基底的是（）Ａ。
e1＋e2和e1－e２B。
3e１-4e2和６e１－8e２Ｃ.e1＋2e2和2e1＋ｅ2D。
ｅ1和ｅ１+ｅ2【解析】 B中,∵6e１-８e2＝2(3e1－4e2）,∴(6ｅ１－8e２）∥（３e1－4ｅ2）,∴３e1-4e２和6e１-8e2不能作为基底。
【答案】 B２。
(20１6·合肥高一检测)如图２。
２。
9，向量a－b等于( )图2.29A.-4e1－２e2B。
－２e1-4e2C。
ｅ1-3e2D。
3e1-e2【解析】不妨令a=错误!,b=错误!,则ａ-b=错误!－错误!=错误!，由平行四边形法则可知错误!=e1-3e2.【答案】 C３.(2016·大连高一检测)如图2.210，已知Ｅ，F 分别是矩形ＡＢＣD的边BC，CD的中点,ＥF 与AC交于点Ｇ,若错误!=a,错误!＝b,用a、b表示错误!=（）图2.210Ａ.＼f(１，4)ａ＋＼ｆ（1，４)b B．＼f(１,3）ａ+１3 bC.错误!a-错误!ｂD.错误!ａ＋错误!b【解析】易知错误!=错误!错误!,错误!=错误!错误!。
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课时分层作业(十八)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ，y 的值分别为( )
A ．0，0
B ．1，1
C ．3，0
D ．3，4
D [因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，
10－y ＝2x ，
解方程组得x ＝3，y ＝4.] 2．已知e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是( )
A ．e 1＋e 2和e 1－e 2
B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1
C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1
D ．e 2和e 1＋e 2
B [∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B.]
3．锐角三角形ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( ) A ．AB
→与BC →的夹角是锐角 B ．AC
→与AB →的夹角是锐角 C ．AC
→与BC →的夹角是钝角 D ．AC →与CB →的夹角是锐角
B [因为△AB
C 是锐角三角形，所以∠A ，∠B ，∠C 都是锐角．由两个向
量夹角的定义知：AB →与BC →的夹角等于180°－∠B ，是钝角；AC
→与AB →的夹角是∠A ，是锐角；AC →与BC →的夹角等于∠C ，是锐角；AC →与CB →的夹角等于180°－∠C ，是钝角，所以选项B 说法正确．]
4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，
则BF
→等于( )
A ．－a ＋15b
B ．a －15b
C ．23a －13b
D ．13a ＋23b
A [∵AE →＝15A
B →，∴BE →＝－45AB →.
又∵EF ∥BC ，∴EF →＝15BC →＝15
(AC →－AB →)， ∴BF →＝BE →＋EF →＝－45AB →＋15
(AC →－AB →) ＝15AC →－AB →＝－a ＋15b .]
5．设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( )
A ．BO →＝－16A
B →＋12
AC → B ．BO →＝16AB →－12
AC → C ．BO →＝56AB →－16
AC → D ．BO →＝－56AB →＋16AC →
D [如图，D 为中点，O 为靠近A 的三等分点，BO
→＝BA →＋AO →＝－AB →＋13AD →＝－AB →＋13×12(AB →＋AC →)＝－AB →＋16AB →＋16
AC →＝－56AB →＋16AC →.]
二、填空题
6．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1
＋e 2可以表示为以a ，b 为基向量的线性组合，即e 1＋e 2＝ ．
23a －13b [由a ＝e 1＋2e 2①，b ＝－e 1＋e 2②，由①＋②得e 2＝13a ＋13b ，代入
①可求得e 1＝13a －23b ，
所以e 1＋e 2＝23a －13b .]
7．若向量a ＝4e 1＋2e 2与b ＝k e 1＋e 2共线，其中e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则k 的值为 ．
2 [∵向量a 与b 共线，
∴存在实数λ，使得b ＝λa ，
即k e 1＋e 2＝λ(4e 1＋2e 2)＝4λe 1＋2λe 2.
∵e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4λ，
1＝2λ，
∴k ＝2.] 8．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE
→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2
的值为 ．
12 [如图，由题意知，D 为AB 的中点，
BE →＝23BC →，
所以DE
→＝DB →＋BE → ＝12AB →＋23BC →
＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，
所以λ1＝－16，λ2＝23，
所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.]
三、解答题
9．如图，平行四边形ABCD 中，AB
→＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM
→与HF →.
[解] 在平行四边形ABCD 中，AB
→＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，
∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12
a ， HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13
b －12b ＝a －16
b . 10．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC
＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC
→＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．
[解] 在矩形OACB 中，OC
→＝OA →＋OB →， 又OC →＝λOE →＋μOF →
＝λ(OA
→＋AE →)＋μ(OB →＋BF →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →＋13OB →＋μ⎝ ⎛⎭
⎪⎫OB →＋13OA → ＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →，
所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，
所以λ＝μ＝34.
[能力提升练]
1．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
B [AB →|AB
→|为AB →上的单位向量， AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB
→|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，
∴λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同． 而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD
→上移动， ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．]
2．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.则△ABM
与△ABC 的面积之比 ．
1∶4 [如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，
令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC
＝14，即面积之比为1∶4.]。