必修4平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、复习
向量共线定理：
向量
a(a 0) 与 b 共线的条件是，当且
仅当存在唯一的一个实数
, 使得 b a
当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍;
当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ，且 | b | 0 。
j o i
x
B
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。 那么i =（1 ， 0） j =( 0 ， 1 ) 0 =（ 0 ， 0）
y
a
y
A
j
O
i
x
x
a xi +y j
3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. 参考答案： A
D
M
C
e2
N
取基底 AB e1, AD e2 ,则有
1 DC e1 ; 2
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 2 e1 e2 2
OA xi +y j
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解 1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y a 2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ A(x, y) 两者相同 a j 向量a
一一对应
坐标（x ，y）
O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？
a e e
e
e
(3)由定理可将任一向量 的条件下进行分解；
a 在给出基底 e1 、e2
(4)基底 给定时，分解形式唯一. 1 , 2 是由 1 、 2 、 唯一确定的数量
e e
a
(5)特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： 1 = 使得:
(6)特别的，若
使得:
a 与 e1共线，则有，λ 0 a 1e1 0 e2 1e1
二、新课 问题1、已知不共线向量
e1 , e2 , 作出向量
a 2e1 3e2，b e1 2e2
问题2、已知不共线向量 e1 , e2 , 对于平面内的 任一向量 a 是否都可以用形如1 e1 2 e2 的向量表示？ 问题3、已知共线向量
e1 , e2 , 对于平面内的
任一向量 a 是否都可以用形如 1 e1 2 e2 的向量表示？
a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 A2 求它们的坐标． 解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j
A
a (2,3)
同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
F
2
F
三、重难点讲解
设 1 、 2 是同一平面内的两个不共线的 向量， 是这一平面内的任一向量， 我们研究 与 1 、 2 之间的关系。
a
e e
F
1
OM 1e1 ON 2e2
a
e e
a 1e1 2e2
1e1
M
a
N
A
e1
e1
e2
O
2e2
e2
平面向量基本定理: 如果
e1、 e2
2、已知向量
e1 , e2
不共线，向量
a 2e1 e2 ,
b e1 me2
共线，求 m 的值。
3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. A
D
M
C
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其他向 量用这组基底表示出来。
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
两个向量的夹角
§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数
a 1e1 2e2
我们把不共线的向量
1、2 使得
a
e1 、e2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
平面向量基本定理: 1 1 2 2 探究： (1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一 2 1 平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
y
7 4
D
j | ______, 1 1 （1）| i | _____,|
5 | OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
3 i 4 j OD _________. 5 i 7 j OC ________,
A1
d 2i 3 j (2,3)
2.3.3平面向量的坐标运算
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )．求 AB 解：AB OB OA
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
B
C
j o iA
x
3
5
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD 2 i 3 j
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则y来自CAa
D
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
2
0 0 e1 0 e2
2 = 0
1.设 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底，则 下面四组向量中，不能作为基底的是（B ）
A e1 e2和e1 e2
B 3e1 2e2和4e2 6e1 C e1 2e2和e2 2e1 D e2和e1 e2
数学必修4平面向量公式总结
数学必修4平面向量公式总结平面向量是高中数学必修4新教材中新增加的重要内容之一，是高中学生需要学习的重要知识点。
下面店铺给大家带来数学必修4平面向量公式总结，希望对你有帮助。
数学必修4平面向量公式高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y')向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=0高中数学学习方法抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。
必修4-2.3.2 平面向量基本定理
C
分别是AC，BC的中点，
D
E
DE DC CE
1 AC 1 CB
2
2
A
B
1 ( AC CB) 1 AB
2
2
所以 DE // AB且等于AB的一半 .
12
1. 如图，已知向量e1与e2不共线，求作向量2e1-3e2 .
e2 e1
2e1 - 3e2 3e2
2e1
13
2. 如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD
E G
答 物体受到的滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行
向上；所受斜面支持力大小为50 3N，方向与斜面垂直向上.
10
例5 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC 的中点，AB a，AD b，用a，b表示BF和DE.
解 因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，且
北师版必修4第二章 平面向量
3.2 平面向量基本定理
2015.01
1
1．知识与技能 了解平面向量基本定理及其几何意义．
2．过程与方法 通过共线向量和平面向量基本定理，感受和认识不 同维度中向量的表示． 3．情感、态度与价值观 进一步体会数学和实际生活的联系．
2
重点：平面向量基本定理及其应用． 难点：平面向量基本定理证明．
7
平面向量基本定理
如图，在平面内任取一点O，作OA e1，OB e2， OC a . 过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线
OA于点M，交直线OB于N，则有且只有一对实数1， 2，使得OM 1e1，ON 2e2 .
因为OC OM ON ，所以 a 1e1 2e2 .
MC
a
e1
(1) 试用a，b表示AD；
高一数学人教B版必修4课件：2-2-1 向量的分解与向量的坐标运算
[解析]
设 c＝xa＋yb.
则 c ＝ x(3e1 － 2e2) ＋ y( － 2e1 ＋ e2) ＝ (3x － 2y)e1 ＋ ( － 2x ＋ y)e2＝7e1－4e2.
3x－2y＝7 ∵e1、e2 不共线，∴ －2x＋y＝－4 x＝1 解；该平面内的任意 一个向量a都可用e1、e2线性表示，并且这 种表示方式是惟一的；对基底的选取不惟 一，只要是同一平面内的两个不共线向量 都可以作为一组基底；定理的证明，课本 中是用作图法证明了它的存在性，又用反 证法证明了它的惟一性．平面向量基本定 理为我们用坐标表示平面向量提供了理论 依据．
•(
• [解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的
线性组合形式，而不是空间内任一向量， 故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向 量a，实数λ1、λ2是惟一的．
• 4．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，
则
•( • • • •
• 3 ．如果 e1 、 e2 是平面 α 内所有向量的一组
基底，那么
•
•
• •
) A ．若实数 λ1 、 λ2 ，使 λ1e1 ＋ λ2e2 ＝ 0 ，则 λ1 ＝λ2＝0 B ．空间任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2，这里λ1、λ2是实数 C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面 α内 D ．对平面 α中的任一向量 a ，使 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2的实数λ1、λ2的实数λ1、λ2有无数对
• 2．直线方程的向量参数式 • 与 P 、 A 、 B 三点共线的条件是完全一致
的．其中线段中点的向量表达式，在用向 量解决平面几何总是时会经常用到，要熟 练掌握． • 3．要正确理解基底的概念 • 向量的基底是指平面内不共线的向量，事 实上，若 {e1 ， e2} 是基底，则必有 e1≠0 ， e2≠0 ， 且 e1 与 e2 不 共 线 ． 如 {0 ， e2} ， {e1,2e1} ， {e1 ＋ e2,2e1 ＋ 2e2} 等均不能构成 基底．
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
【高中数学必修四】2.3.1平面向量基本定理
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
N
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
显然： a OM ON
想一想：
确定一对不共线向量e1， e2 后， 是否平面内任意一个向 量都可以用
1 e1 2 e2来表示呢 ？
讨论：
⑴ 当a与e1或e2 共线时，可令
1或2为0即可使结论成立.
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
2.3.1
平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
a b
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件 ： o
A
P
B
OP OA 1 OB R
问题：如果e1 , e2 是同一平面内的两个不 共线的向量， a 是这一 平面内的任一向量，那 么 a 与 e1 , e2 之间有什么关系呢？ » 创设情境、提出问题 怎样探求这种关系？
C
e2
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理
(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.
2.3.1平面向量基本定理课件(新人教A版必修4)
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
必修4第二章《平面向量》
向量知识复习题一. 平面向量基本定理和向量共线定理1. 如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+ .2. 如果有一个实数λ，(0),b a a a b λ=≠使那么与是共线向量；反之，如果b a 与 (0)a ≠ 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使.b a λ=练习1：在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = _____（用a b 、表示） 2.设OA = a ，OB = b ，OC =c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点 二.利用数量积求角公式：______________________________练习：1.求(a b ==-的夹角。
2. 已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（I ）若,a b ⊥求;θ（II ）求a b + 的最大值。
3. 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=. (1)若 |c|=25，且c //a ，求c 的坐标；(2)若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a —2b 垂直，求a 与b三.向量的几何表示1.已知112233,),(,),(,),ABC A x y B x y C x y 三个顶点为（求证：（1）123123,)33x x x y y y ABC G++++ 的三条中线交于点（.（2）0GA GB BC ++= 2.如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 _;当12x =-时,y 的取值范围是 ___. 必修4第二章《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=②||||=③||||+=- ④||4||||22=+2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=- 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 8．与向量)5,12(=平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±± 9．若32041||-=-，5||,4||==，则与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π得到向量,则的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(- 11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是（ ）A ．),(k k =B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||=4，与的夹角为π32，则在方向上的投影为 .三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||= 3||=,与的夹角为60o,35+=,k +=3,当当实数k 为何值时，⑴∥ ⑵d c ⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.23、如图，已知4AD AB = ，4DE BC = ，试判断AC 与AE是否共线?24、已知向量33(cos ,sin )22x x a = ，(cos ,sin )22x xb =- ， [,]32x ππ∈-（1）求证：()a b - ⊥()a b + ； （2）13a b += ，求cos x 的值参考答案二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a 为非零向量又, ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k RT C 为21330312±=⇒=-+-⇒k k k 19．()212121432e e e e e e -=+--=-= 若A ，B ，D 三点共线，则共线，λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k 21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP则设=)221,22(r r --=∴ )0,22(:),22,1(r F r E 点为)22,122(r r --=∴22)221()22(||r r -+-=∴22)22()221(||r r -+-=∴故EF PA =⊥⇒=⋅0而 22.证:-=-=, 22222222||2||)(||||2||)(||PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥AC BD 故为直径222222||||||||||||+++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
第二章 平面向量基本定理
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2．两向量的夹角与垂直 → → (1)夹角：已知两个 非零向量 a 和 b，作OA＝a， ＝b， OB 则∠AOB＝θ，叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围： 向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°， 180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
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→ → 解法二：(方程思想)：设AB＝x，BC＝y，则有 → → → → → → → → AB＋BC＝AC，AD－AB＝BD且AD＝BC＝y. x＋y＝a， 1 1 1 1 1 → 1 即 ∴x＝ a－ b，y＝ a＋ b，即AB＝ a－ 2 2 2 2 2 2 y－x＝b. → 1 1 b，BC＝ a＋ b. 2 2
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向量夹角的概念 【例 4】 已知两非零向量 a 与 b 的夹角为 80°，试求下 列向量的夹角： (1)a 与－b； (2)2a 与 3b.
思路分析：作出向量 a，b，再作出相应的向量，依据向 量夹角的定义来确定．
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解：(1)由向量夹角的定义，如下图①，向量 a 与－b 的 夹角为 100°.(2)如下图②，向量 2a 与 3b 的夹角为 80°.
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规 律 归 纳 本类型题需不断地利用三点共线进行转化，最后通过利 用任意一向量基底表示的唯一性，即若 a＝λ1e1＋µ1e2 且 a＝ λ ＝λ ， 1 2 λ2e1＋µ2e2，则 来构建方程，使得问题获解． µ1＝µ2
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答案：C