231-2平面向量基本定理
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231平面向量的基本定理(共23张PPT)
3.在梯形ABCD中，AD ∥ BC, O为梯形所在平面内任意 一点， 设OA a, OB b, OC c, OD d .E , F分别为AB, CD的中点，则（） 1 (a b c d ) 2 1 C.EF (c d a b) 2 A.EF 1 (a b c d ) 2 1 D.EF (a b c d ) 2 B.EF
1 1 解析：如图， EF ( AD BC) [(d a ) (c b)] 2 2 1 (c d a b ) 2
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2.在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 CD，BC 的中点， 设 → → → → AM＝a，AN＝b.试以 a，b 为基底表示向量AB和AD.
OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 +2 e2
平面向量基本定理：
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如果 e1 , e2 是同一平面内两个不 共线的向量，那么对这 一平面内任 意一个向量a , 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e2 .
其中e1， e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底 .
一、①λ
a 的定义及运算律 ②向量共线定理 ( a ≠0) 向量a与b 共线 b a
A,B,C三点共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
2.3.1 平面向量的基本 定理及坐标表示
一个重要结论
如图, OA、 OB 不共线, 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理 课件
∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－ 2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2
不共线，∴3x－2y＝7， －2x＋y＝－4.
解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.
→ 例 2 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，
→ OB＝b
探究点三 向量的夹角
思考1 已知a、b是两个非零向量，过点O如何作出
它们的夹角θ？两个非零向量夹角的范围是怎样规定
的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？
→
→
答 过点 O 作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB＝θ，就是a与b的夹角. 两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时 要注意先使向量的始点相同，再确定大小.
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
探究点一 平面向量基本定理的提出
思考 1 如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示 →→→→ →
向量AB，CD，EF，GH，HG，a.
答 通过观察，可得：
A→B＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，E→F＝4e1－4e2，
→
→
GH＝－2e1＋5e2，HG＝2e1－5e2，a＝－2e1.
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作 O→A＝a，O→B＝b，
则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. ①范围：向量a与b的夹角的范围是 [0°，180.°] ②当θ＝0°时，a与b 同向 .
2.3.1.2平面向量的基本定理
(3,4) , c
(6,19),求和,
使c
a+
b.
3, 4
yy A(x1,y1) 55
如图，向量AB
44
B . 33
.C
AB=OB -OA =（x2 , y2 ) – (x1 , y1 )
=(x2 – x1 , y2 – y1)
22
A.
11
D (Bx,(yx)2 ,y2) 结论4：一个向量的坐标等
平面向量的坐标运算
五 例题与练习
1
已知a
(2,1),
b
a
+
b
(1,5)
(3,4),
求a+
b,
a b (5,3)
a b,3a+
3a+
4b
4b 的坐标.
(6,19)
已变知 式一a+：b
(1,5),
a
b
(5,3),
求a,
b 的坐标.
a (2,1) b (3,4)
变式二：
已知a
(2,1),b
平面向量的基本定理
复习：
1、设e1 、e2 是同一平面内两个不共线的 向量，作出向量3e1 + 2e2 ， e1 - 2e2 。
思考？
平面内的任一向量 a 是否都可以用形如： λ 1e1 + λ 2 e2 的向量来表示呢？
平面向量基本定理：
如果 e1 、e2 是同一平面内两个不共线 的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数λ1 、λ2 ，使：a =λ1e1 + λ2 e2 , 把不共线向量 e1 、e2 叫做这一平面 内所有向量的一组基底。
结论3： 实数与向量积的坐标 等于用这个实 数乘原来向量的坐标
平面向量基本定理
有且只存有在 一对实数， 1, 2 ,
性性
使 a 1e1 2 e2
思考： 上述表达式中的 1,2 是否唯一？
2019年8月4日星期日
思 考 一、 平 面 内 用 来 表 示 一 个 向量 的 基 底 有
多 少 组? （有无数组）
B
a
e1 O e2
M A
2019年8月4日星期日
B
a的方向与a相反;
(3) 0时,a 0.
2019年8月4日星期日
向量的数乘运算律:
(1)(a) ()a; (2)( )a a a; (3)(a b) a b.
特别地,我们有()a (a) (a)
(a b) a b.
问题2 : 平面内的任一向量是否都可以用形如
1e1 2 e2的向量表示呢?
2019年8月4日星期日
问题3．学生活动：
已知 e1, e2, 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量． ♦ 探究１：a 与 e1, e2, 的关系
想 e1 一 想 ？
2019年8月4日星期日
a
e2
2019年8月4日星期日
2. 在实际问题中的指导意义在于 找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 e1与 e2），从而将 问题转化为关于e1、e2 的相应运算。
2019年8月4日星期日
a x
Oy
M A
思考二、 若基底选取不同,则表示同一向量
的实数1, 2是否相同? 可以相同,也可以不同
B
M
B
M
a
a
e1
O e2
A
a 3e1 2e2
mx
课件3：2.2.1 平面向量基本定理
3.直线的向量参数方程式 已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点(如图所示)，对直线 l
上 任意 一点 P，存在唯一的实数 t 满足向量等式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B；
反之，对每个实数 t，直线 l 上都有 唯一 的一个点 P 与之对应．向量 等式O→P＝ (1－t)O→A＋tO→B 叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实数 t 叫做参变数，简称 参数 ．
解：设O→M＝ma＋nb (m，n∈R)， 则A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b. 因为 A，M，D 三点共线，所以m－－11＝1n，即 m＋2n＝1.
2
而C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b， 又因为 C，M，B 三点共线，所以m－－1414＝n1，即 4m＋n＝1.
解：(1)由题意，点 A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B， 由平行四边形法则，O→B＋O→C＝2O→A. ∴O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b. (2)E→C＝O→C－O→E＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，D→C＝2a－53b. ∵E→C∥D→C，∴2－2 λ＝15，
跟踪训练 1 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别
为 DC，BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，
试用 c，d 表示A→B，A→D.
解：设A→B＝a，A→D＝b，则A→M＝A→D＋D→M＝A→D＋12A→B＝12a＋b，①
A→N＝A→B＋B→N＝A→B＋12A→D＝a＋12b.
谢谢！！！
解析 若a＝λ1e1＋λ2e2，则这样的a只能与e1，e2在同一平面内， 且λ1，λ2唯一确定．
平面向量基本定理 课件
平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
定
理
基
底
条 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向
件 量
结 对于这一平面内的任意向量 a,有且
论 只有一对实数 λ 1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e 2
把不共线的向量 e 1,e 2 叫做表示这一平
面内所有向量的一组基底
2.两向量的夹角与垂直
定义
已知两个非零向量 a 和 b,作=a, =b,则
解析:(1)如图所示,延长 AC 到 D,使 A于∠BCD+∠
ACB=180°,∠ACB=60°,
则∠BCD=180°-60°=120°,
即θ=120°.
(2)如图所示,作=a,=b,
且∠AOB=60°.
以 OA,OB 为邻边作▱OACB,
探究二用基底表示平面向量
【例 2】 已知在梯形 ABCD 中,AB∥DC,且 AB=2CD,E,F 分别是
DC,AB 的中点,设 =a,=b,试以 a,b 为基底表示 , , .
分析:把要表示的向量放在三角形或平行四边形中,运用向量的
加、减法及数乘运算求解.
解:如图,连接 FD,
60°
忽略作为基底的两个向量是不共线的
典例已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为(
)
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ=0
错解:A
错因分析:在应用平面向量基本定理时,忽视了等式a=λ1e1+λ2e2中
e1,e2不共线这个条件.若没有指明,则对e1,e2共线的情况需加以考虑.
正解:D
∵DC∥AB,AB=2CD,E,F 分别是 DC,AB 的中点,∴DC�FB,
1.平面向量基本定理
定
理
基
底
条 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向
件 量
结 对于这一平面内的任意向量 a,有且
论 只有一对实数 λ 1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e 2
把不共线的向量 e 1,e 2 叫做表示这一平
面内所有向量的一组基底
2.两向量的夹角与垂直
定义
已知两个非零向量 a 和 b,作=a, =b,则
解析:(1)如图所示,延长 AC 到 D,使 A于∠BCD+∠
ACB=180°,∠ACB=60°,
则∠BCD=180°-60°=120°,
即θ=120°.
(2)如图所示,作=a,=b,
且∠AOB=60°.
以 OA,OB 为邻边作▱OACB,
探究二用基底表示平面向量
【例 2】 已知在梯形 ABCD 中,AB∥DC,且 AB=2CD,E,F 分别是
DC,AB 的中点,设 =a,=b,试以 a,b 为基底表示 , , .
分析:把要表示的向量放在三角形或平行四边形中,运用向量的
加、减法及数乘运算求解.
解:如图,连接 FD,
60°
忽略作为基底的两个向量是不共线的
典例已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为(
)
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ=0
错解:A
错因分析:在应用平面向量基本定理时,忽视了等式a=λ1e1+λ2e2中
e1,e2不共线这个条件.若没有指明,则对e1,e2共线的情况需加以考虑.
正解:D
∵DC∥AB,AB=2CD,E,F 分别是 DC,AB 的中点,∴DC�FB,
平面向量基本定理 课件
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表写出下面向量的夹角？ →→ →→ →→ →→
a.AB、AC b.AB、CA c.BA、CA d.AB、BA →→
答 a.AB与AC的夹角为 60°； b.A→B与C→A的夹角为 120°；
→→ c.BA与CA的夹角为 60°； d.A→B与B→A的夹角为 180°.
∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D ＝23O→D＝23(a＋b)，M→N＝O→N－O→M＝12a－16b.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边 形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细 观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面 向量基本定理解决.
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作 O→A＝a，O→B＝b，
则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. ①范围：向量a与b的夹角的范围是 [0°，180.°] ②当θ＝0°时，a与b 同向 .
③当θ＝180°时，a与b 反向 .
(2)垂直：如果a与b的夹角是 90° ，则称a与b垂直，记作 a⊥b .
探究点三 向量的夹角
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表写出下面向量的夹角？ →→ →→ →→ →→
a.AB、AC b.AB、CA c.BA、CA d.AB、BA →→
答 a.AB与AC的夹角为 60°； b.A→B与C→A的夹角为 120°；
→→ c.BA与CA的夹角为 60°； d.A→B与B→A的夹角为 180°.
∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D ＝23O→D＝23(a＋b)，M→N＝O→N－O→M＝12a－16b.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边 形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细 观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面 向量基本定理解决.
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作 O→A＝a，O→B＝b，
则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. ①范围：向量a与b的夹角的范围是 [0°，180.°] ②当θ＝0°时，a与b 同向 .
③当θ＝180°时，a与b 反向 .
(2)垂直：如果a与b的夹角是 90° ，则称a与b垂直，记作 a⊥b .
探究点三 向量的夹角
平面向量基本定理(完整版)
量基本定理结合向量共线，推证结论.
O 课本P97例2
O
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
向量 c 与 d 能否作为基底 .
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则 下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量 【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝ ，B→D＝ ，试用 ， 表示A→B，B→C.
O
a
的夹角．注 是同意起:两点向的量必须
A
r 特别的： a
r ObB
0
rr a 与 b同向
r
B
A
r
a
Bb O
180
rr
a 与 b 反向
r
A
b
O
r a
A
r r 90 r
r
夹角的范围：
a 与b 垂直， 记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
r j
y)
Or
x
i
平面向量的坐标表示
注意： r
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)(2)
r i
rr i0j
(1, 0)
O 课本P97例2
O
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
向量 c 与 d 能否作为基底 .
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则 下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量 【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝ ，B→D＝ ，试用 ， 表示A→B，B→C.
O
a
的夹角．注 是同意起:两点向的量必须
A
r 特别的： a
r ObB
0
rr a 与 b同向
r
B
A
r
a
Bb O
180
rr
a 与 b 反向
r
A
b
O
r a
A
r r 90 r
r
夹角的范围：
a 与b 垂直， 记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
r j
y)
Or
x
i
平面向量的坐标表示
注意： r
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)(2)
r i
rr i0j
(1, 0)
平面向量基本定理
b
M
思考1 AM呢？
1 1 AM a b 2 2
A
a
B
小小基底作用大！
思考 2 在OAB中, 点C为直线AB上一点, 且 AC CB 1 , 设OA a, OB b, 试用基底a, b表示OC.
合作交流 自我总结
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、 A、B、C三点共线 OC xOA yOB x y 1
4、思想方法总结：
(1)证明：设a =λ ( R)， b 则e1 - 2e2 =(e1 + 3e2 )，由e1， 不共线得 e2
(2)解:设c = m a + n b(m,n R)得 3e1 - e2 m(e1 - 2e2 ) n(e1 + 3e 2 )
类型四：基本定理的应用
探究
例2.设e1,e2是不共线的非零向量， 且a = e1 - 2e2 ,b = e1 + 3e2
（ ）证明： 可以作为一组基底； 1 a,b （2）以a,b为基底，求向量c= 3e1 - e2的分解式；
A
a
OC 1 OA OB 1 1
O
C
A、B、C三点共线 OC xOA yOB x y 1
b
B
练一练
（2011年中山高一检测）已知三 角形ABC中，D为AB上一点， 若AD=2DB，CD=1/3CA+xCB, 则x=---------- 2/3
M
思考1 AM呢？
1 1 AM a b 2 2
A
a
B
小小基底作用大！
思考 2 在OAB中, 点C为直线AB上一点, 且 AC CB 1 , 设OA a, OB b, 试用基底a, b表示OC.
合作交流 自我总结
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、 A、B、C三点共线 OC xOA yOB x y 1
4、思想方法总结：
(1)证明：设a =λ ( R)， b 则e1 - 2e2 =(e1 + 3e2 )，由e1， 不共线得 e2
(2)解:设c = m a + n b(m,n R)得 3e1 - e2 m(e1 - 2e2 ) n(e1 + 3e 2 )
类型四：基本定理的应用
探究
例2.设e1,e2是不共线的非零向量， 且a = e1 - 2e2 ,b = e1 + 3e2
（ ）证明： 可以作为一组基底； 1 a,b （2）以a,b为基底，求向量c= 3e1 - e2的分解式；
A
a
OC 1 OA OB 1 1
O
C
A、B、C三点共线 OC xOA yOB x y 1
b
B
练一练
（2011年中山高一检测）已知三 角形ABC中，D为AB上一点， 若AD=2DB，CD=1/3CA+xCB, 则x=---------- 2/3
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当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ，使得 b =λa
二.新课引入：
如何作出 e1 + e2 ?
注意：
1.e1 , e2均为非零向量； 2.e1 , e2不唯一，一般为事先给出； 3.1, 2唯一确定； 4.当2 0时，a与e1共线;当1 0时，a与e2共线； 当1 2 0时，a 0.
2.向量的夹角
B
已知两个非零向量a和b如图，
则∠AOB=θ （0 ° ≤θ≤180°）
b
叫做向量的夹角
解：∵AP = t AB
O
A
∴OP = OA + AP
= OA + t AB = OA + t（OB – OA）
= OA + tOB – tOA =（1 - t）OA + tOB
另法：OP = OB + BP （思考）
例4.设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG
j
a=( x , y )
Oi
x
那么i =（1 ，0） j =( 0 ，1 ) 0 =（ 0 ，0）
例4．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、
c 、d ，并求它们的坐标．
A2
A A1
例3 已知：OA,OB不共线,AP=tAB,（t∈R），
用OA,OB表示OP。
P
B 分析：OP = OA + AP 或 OP = OB + BP
A
F
E
G
B
D
C
课堂小结：
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于 这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 １、２使
a = １ e1+ ２e2
2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角
3.基本定理的应用 x
e1+ μe2= xe1+ ye2 y 4.向量的坐标表示
思考:平面内,向量 e1, e2是否唯一？
C
E
M
a
N
F
o
三.新课讲解：
1.平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这个平面内的任意一个向
量 a ，有且只有一对实数λ1 ， λ2 使
a = λ1 e1 + λ2 e2 其中不共线向量 e1 ，e2 叫做表示这个平 面内的所有向量的一组基底。
当θ =0° 时，a与b同向 当θ =180°时， a与b反向
o
a
共起点
A
a与b的夹角是90 °，则a与b垂直，记作a ⊥ b
A
思考:正△ABC中,向量
AB与BC的夹角为几度?
B
C
D
3.例题与练习：
例1 已知：向量 e1 ，e2
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
e1
e2
C
作法：
1、任取一点O作OA = -2.5 e1
把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，任一向
量a ，用这组基底可表示为a =xi + yj， （x，y）叫做向量a的坐标
e1
A
C
e2
e1
o e2 B
OC可以分解成 e1 ，e2
任意一个向量 a 是否可以分解成 λ 1e1 ， λ2e2 ?
e1
M
C
e2
A
OM与OA共线
o
BN
OM = λ1OA = λ1e1
同理ON= λ2OB = λ2 e2
∴a = λ1e1 + λ2 e2
因为平行四边形的做法唯一，所以1，2的取值是唯一的.
将其他向量化到基底上进行运算,证明.
Байду номын сангаас
4.平面向量的正交分解及坐标表示：
把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示
一.温故知新：
a
b
1.向量的加法(三角形法则) a+b
a
2.向量的加法(平行四边形法则)
a+b
3.向量的减法(三角形法则） a b
4.向量的数乘运算：
a-b
对λa b
(1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
OB = 3 e2 2、以OA,OB为邻边作 OACB
A
-2.5 e1
3、OC为所求
B o
例2.如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB延长 线上,AB=BM,点N是BC中点,用向量方法证明: M、N、D三点共线
D
C
N
A
B
M
平面内的所有向量都可以用一组基底来表示,这为
我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法:
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ，使得 b =λa
二.新课引入：
如何作出 e1 + e2 ?
注意：
1.e1 , e2均为非零向量； 2.e1 , e2不唯一，一般为事先给出； 3.1, 2唯一确定； 4.当2 0时，a与e1共线;当1 0时，a与e2共线； 当1 2 0时，a 0.
2.向量的夹角
B
已知两个非零向量a和b如图，
则∠AOB=θ （0 ° ≤θ≤180°）
b
叫做向量的夹角
解：∵AP = t AB
O
A
∴OP = OA + AP
= OA + t AB = OA + t（OB – OA）
= OA + tOB – tOA =（1 - t）OA + tOB
另法：OP = OB + BP （思考）
例4.设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG
j
a=( x , y )
Oi
x
那么i =（1 ，0） j =( 0 ，1 ) 0 =（ 0 ，0）
例4．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、
c 、d ，并求它们的坐标．
A2
A A1
例3 已知：OA,OB不共线,AP=tAB,（t∈R），
用OA,OB表示OP。
P
B 分析：OP = OA + AP 或 OP = OB + BP
A
F
E
G
B
D
C
课堂小结：
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于 这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 １、２使
a = １ e1+ ２e2
2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角
3.基本定理的应用 x
e1+ μe2= xe1+ ye2 y 4.向量的坐标表示
思考:平面内,向量 e1, e2是否唯一？
C
E
M
a
N
F
o
三.新课讲解：
1.平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这个平面内的任意一个向
量 a ，有且只有一对实数λ1 ， λ2 使
a = λ1 e1 + λ2 e2 其中不共线向量 e1 ，e2 叫做表示这个平 面内的所有向量的一组基底。
当θ =0° 时，a与b同向 当θ =180°时， a与b反向
o
a
共起点
A
a与b的夹角是90 °，则a与b垂直，记作a ⊥ b
A
思考:正△ABC中,向量
AB与BC的夹角为几度?
B
C
D
3.例题与练习：
例1 已知：向量 e1 ，e2
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
e1
e2
C
作法：
1、任取一点O作OA = -2.5 e1
把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，任一向
量a ，用这组基底可表示为a =xi + yj， （x，y）叫做向量a的坐标
e1
A
C
e2
e1
o e2 B
OC可以分解成 e1 ，e2
任意一个向量 a 是否可以分解成 λ 1e1 ， λ2e2 ?
e1
M
C
e2
A
OM与OA共线
o
BN
OM = λ1OA = λ1e1
同理ON= λ2OB = λ2 e2
∴a = λ1e1 + λ2 e2
因为平行四边形的做法唯一，所以1，2的取值是唯一的.
将其他向量化到基底上进行运算,证明.
Байду номын сангаас
4.平面向量的正交分解及坐标表示：
把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示
一.温故知新：
a
b
1.向量的加法(三角形法则) a+b
a
2.向量的加法(平行四边形法则)
a+b
3.向量的减法(三角形法则） a b
4.向量的数乘运算：
a-b
对λa b
(1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
OB = 3 e2 2、以OA,OB为邻边作 OACB
A
-2.5 e1
3、OC为所求
B o
例2.如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB延长 线上,AB=BM,点N是BC中点,用向量方法证明: M、N、D三点共线
D
C
N
A
B
M
平面内的所有向量都可以用一组基底来表示,这为
我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法: