高数第七章无穷级数知识点

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推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数发散 , 则强级数也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理二、比较审敛法三、比值审敛法四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列单调递增。
当

高等数学无穷级数

第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+n=1∞an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n1+2+3+ +n+1-1+1-1+ +(-1)n-1+2、定义Sn=∑uKK=1nan=Sn+1-Sn如{Sn}收敛，则∑an收敛n=1∞3、几个重要极限等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；n=0∞P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0n=1n→∞∞例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞20正项级数判别法∑un∞n=1un≥0正项级数部分和数列{Sn}单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散n=1n=1例、判别下列级数敛散性∞（1）∑n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于∞14n2+n≥14n2+n2=11⋅ 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1sin2（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn∞∞0<A<+∞时∑un，∑Vn，同时收敛，同时发散 n=1n=1A=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 nlnn+1∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1nn limn→∞1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12n2n2∵ ∑∞12n=1n 收敛∴原级数收敛lnn1（3）∵ >nn∴∑例、P2712、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散 n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足n=1∞un+1lim=ρ n→∞un则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定3、根值法设∑un为正项级数，如limun=ρn=1∞n→∞则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定正项级数判别其敛散性的步骤：⎧≠0发散首先考察limun⎨ n→∞=0需进一步判别⎩①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。

《数学分析》第七章无穷级数

第七章无穷级数一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论，它的本质就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加”的简单推广，两者有着本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总是成立，有限个连续函数的和也是连续函数，但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数.本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法，难点主要有以下几点：●数项级数收敛性判别方法；● 函数列与函数项级数一致收敛性判别法以及一致收敛的函数列与函数项级数的性质；● 幂级数的收敛半径以及和函数的性质，函数的幂级数展开； ● 将函数展成傅里叶级数的条件和方法.三、本章的基本知识要点（一）数项级数 1.级数的收敛性（1）级数收敛和发散的定义若数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛，称S 为数项级数的和，记为∑∞==1n n u S 或.∑=n u S若{}n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散.（2）级数收敛的条件① 级数收敛的必要条件：级数∑∞=1n nu收敛.0lim =⇒∞→n n u② 级数收敛的柯西准则（充要条件）（10）级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，有.21ε<++++++p n n n u u u（20）级数∑∞=1n nu发散⇔00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，+∈∃N p 0，使得.0210000ε≥++++++p n n n u u u（3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数∑nu和∑nv都收敛，则对任意常数d c ,，级数()∑+n ndv cu也收敛，且().∑∑∑+=+n n n nv d u c dv cu② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.③ 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 2.正项级数收敛性的判别（1）（充要条件）正项级数∑nu收敛⇔部分和数列{}n S 有界（即+∈∃R M ，+∈∀N n ，有.M S n ≤）（2）(比较原则) 设∑nu和∑nv是两个正项级数，且+∈∃N N ，N n >∀，有n n v u ≤，则① ∑nv收敛⇒∑nu收敛； ②∑nu发散⇒∑nv发散.（3）(比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，l v u nnn =∞→lim，则① 当+∞<<l 0 时，级数∑nu和∑nv同敛态；② 当0=l 且级数∑nv收敛⇒∑nu收敛；③ 当+∞=l 且级数∑nv发散⇒∑nu发散.（4）(比式判别法或称达朗贝尔判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及常数)1,0(∈q .① 0N n >∀有q u u nn ≤+1⇒∑n u 收敛； ② 0N n >∀有11≥+nn u u ⇒∑n u 发散. （5）(比式判别法的极限形式) 设∑n u 是正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则 ① 当1<q 时，级数∑nu收敛；② 当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.注当1=q 时不能用本法判别级数的敛散性.（6）(根式判别法或称柯西判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及正常数l .① 0N n >∀有1<≤l u n n ⇒∑nu收敛；② 0N n >∀有1≥n n u ⇒∑nu发散.（7）(根式判别法的极限形式) 设∑nu是正项级数，且l u n n =，则① 当1<l 时，级数∑nu收敛；② 当1>l 或+∞=l 时，级数∑nu发散.注当1=l 时不能用本法判别级数的敛散性.（8）(积分判别法) 设f 为],1[+∞上的非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.3.一般项级数收敛性的判别（1）(交错级数的莱布尼茨判别法) 若交错级数∑+-n n u 1)1(（0>n u ）满足条件：数列{}n u 单调递减且趋于0，则∑+-n n u 1)1(收敛.（2）级数条件收敛和绝对收敛的定义 ① 若级数∑nu 收敛，则称级数∑nu绝对收敛;② 若级数∑nu收敛而∑nu发散，则称级数∑nu条件收敛.③ 绝对级数的级数一定收敛.（3）(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则∑nn b a 也收敛.（4）(狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则∑nn ba 收敛.（二）函数列与函数项级数 1.函数列及其一致收敛性（1）函数列的收敛域及极限函数① 设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x f n ，若对E x ∈0，数列(){}0x f n 收敛，则称0x 为函数列(){}x f n 的收敛点，若数列(){}0x f n 发散，则称0x 为函数列(){}x f n 的发散点，函数列(){}x f n 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，数列(){}x f n 收敛，设)()(lim x f x f n n =∞→，则称)(x f 为函数列(){}x f n 的极限函数或称函数列(){}x f n 在D上点点收敛于函数)(x f ，记为.),()(lim D x x f x f n n ∈=∞→或)()(x f x f n → ),(∞→n .D x ∈② 函数列极限的N -ε定义：⇔∈=∞→D x x f x f n n ),()(lim 对每一固定的D x ∈，0>∀ε，恒存在正数),(x N N ε=（一般说来N 的值与ε和x 有关），使得当N n >时，总有.)()(ε<-x f x f n（2）函数列一致收敛的定义① 函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f ⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，有.)()(ε<-x f x f n记为)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈② 函数列(){}x f n 在D 上不一致收敛于函数)(x f ⇔00>∃ε，+∈∀R N ，总存在正整数N n >0与点D x ∈0，使得.)()(0000ε≥-x f x f n（3）函数列一致收敛的判别法① 利用函数列一致收敛的定义.② 柯西准则：)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当N m n >,时，对一切D x ∈，都有.)()(ε<-x f x f m n③ 确界极限判别法：函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x f x f n Dx n④ 优数列判别法：若+∈∃R N ，当N n >时，对一切D x ∈，有n n a x f x f ≤-)()(，且0lim =∞→n n a ，则函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于)(x f .注数列}{n a 称为优数列.（4）一致收敛函数列的性质① 连续性：若函数列(){}x f n 在D 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数)(x f 在D 上也连续，且D x ∈∀0，有).(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →→∞→∞→=② 可积性：若函数列(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ，且每一项都连续，则)(x f 在],[b a 上也可积，且.d )(lim d )(lim d )(⎰⎰⎰→∞→∞==bab a ban n n n x x f x x f x x f③ 可微性：设函数列(){}x f n 在],[b a 上有定义，若],[0b a x ∈为(){}x f n 的收敛点，(){}x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且(){}x f n '在],[b a 上一致收敛，则(){}x f n 在],[b a 上一致收敛，其极限函数)(x f 在],[b a 上可导，且()).(d d lim )(lim d d )(d d x f x x f x x f x n n n n →∞→∞==2.函数项级数及其一致收敛性（1）函数项级数的收敛域及和函数设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x u n ，称++++)()()(21x u x u x u n ，.E x ∈为定义在E 上的函数项级数，记为∑∞=1)(n nx u或∑).(x u n 并称)()(1x u x S nk k n ∑==，E x ∈， ,2,1=为函数项级数∑)(x u n 的部分和数列. 若E x∈0，部分和数列)}({0x S n 收敛，则称0x 为函数项级数∑)(x u n的收敛点，若数列)}({0x Sn发散，则称0x 为函数项级数∑)(x u n 的发散点. 级数∑)(x u n的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，级数∑)(x u n的和数列(){}x S n 收敛于函数)(x S ，则称)(x S 为级数∑)(x u n的和函数，记为)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，.D x ∈注函数项级数的收敛性指的就是它的和函数列的收敛性.（2）函数项级数一致收敛的定义设(){}x S n 是函数项级数∑)(x u n的部分和数列，若(){}x S n在D 上一致收敛于函数)(x S ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛，即0>∀ε，+∈∃R N ，N n >∀，D x ∈∀，有.)()(ε<-x S x S n（3）函数项级数一致收敛的判别法 ① 利用函数项级数一致收敛的定义. ② 柯西准则：函数项级数∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔0>∀ε，+∈∃RN ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有.)()(ε<-+x S x S n p n或.)()()(21ε<++++++x u x u x u p n n n注当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件：∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于零.③ 确界极限判别法：函数项级数∑)(x u n在D 上一致收敛于函数)(x S⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x S x S n Dx n④ 优级数判别法：设函数项级数∑)(x u n定义在数集D 上，∑nM为收敛的正项级数，若对一切D x ∈，有n n M x u ≤)(，,,2,1 =n 则级数∑)(x u n在D 上一致收敛.⑤ 阿贝尔判别法：设（10）∑)(x u n在区间I 上一致收敛；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的；（30）)}({x v n 在I 上一致有界.则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.⑥ 狄利克雷判别法：设（10）∑)(x u n的部分和数列在区间I 上一致有界；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的；（30）在I 上0)(→→x v n ).(∞→n则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.（4）一致收敛函数项级数的性质 ① 连续性：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在],[b a 上也连续.② 逐项求积：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰⎰∑=.d )(d )(babannx x u x x u③ 逐项求导：若函数项级数∑)(x u n在],[b a 上每一项都有连续的导函数，],[0b a x∈为∑)(x u n的收敛点，且)(x u n∑'在],[b a 上一致收敛，则∑=)()(x u x S n在上可导，且可逐项求导，即().)(d d)(d d ∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u xx u x n n （三）幂级数1.幂级数的一般形式：()∑∞=-0n nnx x a ；特殊形式：x an n n∑∞=0.2.阿贝尔定理：若幂级数x ann n∑∞=0在0≠=x x 收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数x ann n∑∞=0收敛而且绝对收敛；若幂级数x a nn n ∑∞=0在x x =发散，则对满足不等式x x >的任何x ，幂级数x a n n n ∑∞=0发散.3.幂级数的收敛半径和收敛区间幂级数x ann n∑∞=0的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.（1）当0=R 时，幂级数x ann n∑∞=0仅在0=x 处收敛；（2）当∞=R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(+∞-∞上收敛；（3）当0>R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(R R +-内收敛；对一切满足不等式R x >的x ，幂级数x ann n∑∞=0都发散；在R x ±=处，可能收敛也可能发散.（4）()R R ,-称为幂级数x ann n∑∞=0的收敛区间.4.幂级数收敛半径定理：对于幂级数x a n n n ∑∞=0，若ρ=→∞n n n a lim ，或ρ=+∞→nn n a a 1lim ，则（1）当+∞<<ρ0时，幂级数x a n n n ∑∞=0的收敛半径是ρ1=R ；（2）当0=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是+∞=R ；（3）当+∞=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是0=R .5.幂级数的一致收敛性质（1）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，则在它的收敛区间()R R ,-内任意闭区间],[b a 上幂级数都一致收敛.（2）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，且在R x =（或R x -=）时收敛，则幂级数在],0[R （或]0,[R -）上一致收敛.6.幂级数的分析性质（1）幂级数x ann n∑∞=0的和函数是()R R ,-内的连续函数；若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（或左）连续.（2）幂级数x ann n∑∞=0与其逐项求导及逐项积分所得的幂级数具有相同的收敛区间.（3）设幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数为()x f ，()R R x ,-∈∀，则① ()x f 在x 可导，且()∑∞=-=11n n nxnax f ；② ()x f 在0与x 这个区间上可积，且()x n a t t f n n n x11d +∞=∑⎰+=. （4）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数，则在()R R ,-内具有任意阶导数，求可逐项求导任意次，即() +++++='-x na x a x a a x f n n 1232132， () +-++⋅+=''-x a n n x a a x f n n 232)1(232， ()() +-++=+x a n n n a n x fn n n 12)1()1(!（5）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在0=x 的某邻域内的和函数，则幂级数的系数与()x f 在0=x 处的各阶导数有如下关系： ()()() ,2,1,!0,00===n n fa f a n n7.幂级数的运算（1）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在此邻域内相等.（2）幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内相等 ,2,1,0,==⇒n b a n n（3）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0的收敛半径分别为a R 与b R ，则有x a x ann n nn n∑∑∞=∞==0λλ，a R x <.()x b a x b x ann n n nn n nn n∑∑∑∞=∞=∞=+=±0，R x <. x c x b x a n n n n n n n n n ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛000,R x <. 其中λ为常数，},m in{b a R R R =，kn nk k n ba c -=∑=.8. 泰勒级数（1）设()x f 在0x x =处存在任意阶的导数，则称()()()()()()()() +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f 00200000!!2 为()x f 在0x 的泰勒级数，当00=x 时，称级数()()()()() +++''+'+x n f x f x f f nn !0!20002为函数的麦克劳林级数.（2）()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()()0lim =⇔∞→x R x f n n ，其中()x R n 为()x f 在0x 的泰勒公式余项.（3）余项的形式 ① 皮亚诺型余项()()()nn x x o x R 0-=，()()x o x R n n =.② 拉格朗日型余项 ()()()()()101!1++-+=n n n x x n fx R ξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()10001)!1(++-+-+=n n x x n x x x fθ，10<<θ. ()()()()xn fx R n n n 11!1+++=ξ（ξ介于0与x 之间）()()x n x fn n 11)!1(+++=θ，10<<θ. ③ 柯西型余项()()()()()01!x x x n fx R n n n --=+ξξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()()100011!++---+=n n n x x n x x x fθθ，10<<θ.()()()()x x n fx R n n n ξξ-=+!1（ξ介于0与x 之间）()()()()xn x x x fn nn 10011!++--+=θθ，10<<θ.④ 积分型余项()()()()t t x t f n x R nx x n n d !101-=⎰+.()()()()t t x t f n x R nx n n d !101-=⎰+.（4）五个基本展开式① R ,!!21e 2∈+++++=x n x x x nx .② ()()R ,!121!5!3sin 12153∈+--+-+-=--x n x x x x x n n . ③ ()()R,!21!4!21cos 242∈+-+-+-=x n x x x x nn .④ ()()()()1,!11!21112<++--++-++=+x x n n x x x nααααααα.⑤ ()()(]1,1,1321ln 132-∈+-+-+-=+-x nx xx x x nn . 9. 函数的幂级数展开的方法（1）直接法先求出函数在0x x =处的各阶导数，其次估计余项，证明()0lim =→∞x R n n ，最后写出函数的展开式.（2）间接法利用基本展开式，经过四则运算或变量替换得到函数的幂级数展开式，或在收敛区间内用逐项求导或逐项积分求出函数的导数或原函数，再经逆运算得到函数的幂级数展开式（四）傅里叶级数1.三角函数系与三角级数（1）函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 统称为三角函数列或三角函数系.（2）三角函数系具有正交性，即在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在[]ππ,-上的积分都等于零，而其中任何一个函数的平方在[]ππ,-上的积分都不等于零.（3）由三角函数系产生的形如()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的级数称为三角级数. （4）若级数 ()∑∞=++102n n n b a a 收敛，则级数 ()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.以π2为周期的函数的傅里叶级数（1）傅里叶系数公式若在整个数轴上()()∑∞=++=10sin cos 2n n n nx b nx a a x f 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系：()x nx x f a n d cos 1⎰-=πππ， ,2,1,0=n ， ()x x x f b n d sin 1⎰-=πππ， ,2,1=n .（2）以()x f 的傅里叶系数为系数的三角级数称为()x f 的傅里叶级数，记为()x f ～()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a .（3）收敛定理：若以π2为周期的函数()x f 在[]ππ,-上按段光滑，则在没一点[]ππ,-∈x ，()x f 的傅里叶级数收敛于()x f 在点x 处的左、右极限的算术平均值，即()()()∑∞=++=-++10sin cos 2200n n n nx b nx a a x f x f ，其中n n b a ,为()x f 的傅里叶系数.（4）收敛定理的推论：若()x f 是以π2为周期的连续函数，且在[]ππ,-上按段光滑，则()x f 的傅里叶级数在()+∞∞-,上收敛于()x f .3.以l 2为周期的函数的傅里叶级数设()x f 是以l 2为周期的函数，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ，其中()x l x n x f l a l l n d cos 1π⎰-=， ,2,1,0=n ，()x lx n x f l b l l n d sin 1π⎰-=， ,2,1=n ，称为函数()x f 的傅里叶级数，n n b a ,称为傅里叶系数.4.正弦级数与余弦级数（1）设()x f 是以l 2为周期的可积偶函数，或是定义在[]l l ,-上的可积偶函数，则()x f 可展成余弦级数()x f ～lx n a a n n πcos 210∑∞=+，其中 ()x lxn x f l a l n d cos 20π⎰=， ,2,1,0=n .（2）设()x f 是以l 2为周期的可积奇函数，或是定义在[]l l ,-上的可积奇函数，则()x f 可展成正弦级数()x f ～lxn b n n πsin1∑∞=，其中 ()x lxn x f l b l n d sin 20π⎰=， ,2,1=n . 5.贝塞尔不等式及其推论（1）贝塞尔不等式若函数()x f 在[]ππ,-上可积，则()()x x fb a a n nn d 1221222⎰∑-∞=≤++πππ，其中n n b a , 为()x f 的傅里叶系数.（2）推论1（黎曼-勒贝格定理）：若()x f 为可积函数，则()0d cos lim =⎰-∞→x nx x f n ππ，()0d sin lim =⎰-∞→x nx x f n ππ.（3）推论2：若()x f 为可积函数，则()0d 21cos lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π，()0d 21sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π. 5.傅里叶级数部分和的积分表达式若()x f 是以π2为周期的函数，且在[]ππ,-可积，则它的傅里叶级数部分和()x S n 可写成()()t t tn t x f x S n d 2sin221sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰-πππ，当0=t 时，被积函数中的不定式有极限212sin221sin lim 0+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n t tn t来确定.四、基本例题解题点击【例1】讨论下列级数的敛散性： 1.()∑∞=2ln ln 1n nn ； 2. ()∑-1na （1>a ）； 3. ∑nn n !； 4. ∑33n n .【提示】本题涉及到正项级数的几种常用的敛散性判别法，其中第三题困难之处在于寻找与()1-na 同阶无穷小，利用()1-a x 的泰勒展开式，将展开式中的x 替换为n1后即可知()1-na 与n1同阶. 【解】1. 当e 2>n 时，()21ln 1ln n n n <，而∑21n收敛，故()∑∞=2ln ln 1n n n 收敛. 2. 0ln 1lim 11lim 0>=-=-+→∞→a x a na x x nn ，而∑n 1发散，故()∑-1na 发散.3. 由于 1e 11lim lim 1<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→nn n n n n n u u ，故∑n n n!收敛.4. 由于1313lim lim 3<==∞→∞→nn n n n n u ，故∑33n n 收敛. 【例2】设∑a n2与∑bn 2都收敛，证明下列级数也都收敛：1.∑n n b a ； 2. ()∑+2n n b a ; 及 3. ∑na n. 【证明】1.由()b a b a n n n n 2221+≤及∑a n 2和∑b n 2的收敛性可知∑n n b a 收敛. 2. 由()b b a a n b a n n n n n 2222++≤+及∑a n2和∑bn 2的收敛性与上小题的结果可知()∑+2n nb a收敛.3. 由⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤a n n a n n 22121及∑a n 2与∑n21的收敛性可知∑n a n 收敛. 【例3】判断级数()nnn ln 1∑-的收敛性（中国地质大学2006年硕士研究生入学试题）. 【提示】考查交错级数收敛的判别法与级数的条件收敛性.【解】当e >x 时，0ln 1ln 2<-='⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x ，所以，当3≥n 时，n n ln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n ，由交错级数的莱布尼茨判别法可知()nn n ln 1∑-收敛，但是()n n n n 1ln 1≥-，而∑n1发散，故()nn n ln 1∑-条件收敛. 【例4】证明下列级数收敛:1. nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111cos ； 2.()∑∞=-12sin 1n nn n . 【证明】1. 设n n u n cos =，nn n v ⎪⎭⎫⎝⎛+=11.对于级数∑∞=1n n u ，由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→n n 及∑=nk k 1cos 有界，由狄利克雷判别法可知∑∞=1n nu收敛.又数列{}n v 单调递增有上界，根据阿贝尔判别法，原级数收敛.2. 由于22cos 1sin 2nn -=，故原级数收敛性证明可转化为下面两个级数的收敛性：()∑∞=-121n n n，()∑∞=+-1122cos 1n n nn .根据莱布尼茨判别法可知，级数()∑∞=-121n n n收敛.级数()()∑∑∞=+∞=+-=-11112cos 12122cos 1n n n n nn nn ，有数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→nn ，而()()∑∑=+=+-=-nk k nk k k k 11112cos 1cos 211cos 212cos 1 ()()()()1cos 112cos 12cos 13cos 5cos 1cos 3cos 1cos 211≤-++-++--+=+n n n . 由狄利雷判别法可知，级数()∑∞=+-1122cos 1n n nn 收敛. 因此级数()∑∞=-12sin 1n n nn收敛.【例5】讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：1. ()x x x f nnn +=1，（1） []1,0∈x ；（2） []δ-∈1,0x ()10<<δ.2. ()nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，[]1,0∈x .【解】1. （1）()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤==∞→.1,21,10,0lim x x x f x f n n 由于(){}x f n 中的每一项都在[]1,0上连续，而其极限函数()x f 在[]1,0上不连续，因此函数列(){}x f n 在[]1,0上不一致收敛.（2）因为 ()()0lim ==∞→x f x f n n，[]δ-∈1,0x . 又 ()()()()n nnn x n x x x x f x f δδδδ-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--≤≤-≤≤1111sup sup 1010. 所以，()()0sup lim 10=--≤≤∞→x f x f n x nδ，故函数列(){}x f n 在[]δ-1,0上一致收敛. 2. ()()e 1lim lim x nn n n n x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→∞→，[]1,0∈x .又 ()()()0e 11<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='--x n n n x x f x f ，故()()x f x f n -在[]1,0上严格单调递减，即有()()0e 111≤-≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-x f x f n n n .由此得 ()()()∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛+≤--n n x f x f n n 0e 111. 故函数列(){}x f n 在[]1,0上一致收敛.【例6】证明函数列 ()()nn x nx x f -=1 ),2,1( =n 在闭区间]1,0[上收敛，但不一致收敛.【证明】]1,0[∈∀x ，显然有()()01lim lim =-=∞→∞→n n n n x nx x f . 即()()nn x nx x f -=1在闭区间]1,0[上收敛于零，但是由于()∞→→⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n f nn e 1111，从而()00sup lim ]1,0[≠-∈∞→x f n x n，因此()x f n 在]1,0[上不一致收敛. 【例7】讨论下列函数项级数的一致收敛性： 1.()∑∞=++12n n nnn x x ，[]1,0∈x ；2.()∑∞=+-121n nxn ，()+∞∞-∈,x ；3.()∑∞=+-1cos 1n nxn ，.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππx 【解】1. 因为()n n n n nn x nx nn x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+∑∑∞=∞=+11122，故设()n x x u n 2=，()nn n x x v ⎪⎭⎫⎝⎛+=1.由优级数判别法，易证()∑∞=1n n x u 在[]1,0上一致收敛.[]1,0∈∀x ，数列(){}x v n 单调递增，且()e e ≤≤x n x v ，[]1,0∈x ，+∈N n ，由阿贝尔判别法可知，原级数在[]1,0上一致收敛.2. 此级数为交错级数，由莱布尼茨判别法易证该级数在()+∞∞-,上收敛，设()x S n 与()x S 分别为级数()∑∞=+-121n nxn 的前n 项部分和与和函数，则()()01cos 11→<++≤-nx n x S x S n ()∞→n .由柯西准则可知()∑∞=+-121n nxn 在()+∞∞-,上一致收敛.3. 设()()nn x u 1-=，()x n x v n cos 1+=. 则级数()∑∞=1n n x u 的部分和数列在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致有界. 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀2,2ππx ，(){}x v n 单调递减且趋于零. 并且 []()01lim 0sup lim 2,2==-∞→-∈∞→nx v n n x n ππ，即(){}x v n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛于零. 由狄利克雷判别法知，原级数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛.【例8】设()x x x u n n ln =，(]1,0∈x . 1. 讨论()∑∞=1n n x u 在(]1,0上的收敛性和一致收敛性.2. 计算()x x u n n d 11⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=.【解】1. ()∑∞=1n n x u 的部分和为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈--=.1,0,1,0,1ln 1x x xxx x x S n n由此可知()∑∞=1n n x u 在(]1,0上收敛且和函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=.1,0,1,0,1ln x x xx x x S 又()())1(1ln 1lim 1ln lim lim 111S x xx x x S x x x≠-=+-=-=+→+→+→，即和函数()x S 在(]1,0上不连续，因此()∑∞=1n n x u 在(]1,0上不一致收敛.2. ()()1d 1ln d ln d 1ln d 1ln d 10101010101+-=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰∑∞=x x x x x x x x x x x x x x u n n.6111d 1d 121211011011π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑⎰⎰∑∞=∞=-∞=-n n n n n n x n x x n x【知识扩展提示】利用极限函数或和函数的不连续性来证明函数列或函数项级数的不一致收敛性是一种非常简洁而又十分有效地办法.【例9】求下列幂级数的收敛半径和收敛域：1. ()x n nn n 111+∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+； 2. x n nn211∑⎪⎭⎫⎝⎛+. 【解】1. 因为 ()e 11lim 11lim 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→n n n n n n n n ,所以幂级数的收敛半径是e1=R . 当e 1±=x 时，()nn n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e 11e 11111，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 严格单调递减且收敛于e （当∞→n 时），从而有e 111>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ，即1e 111>⎪⎭⎫⎝⎛++n n ，所以有()0e 111lim 1≠⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n n ，由级数收敛的必要条件知，幂级数在e 1±=x 处发散，因此原幂级数的收敛域为.e 1,e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2. 【解法一】令y x =2，则原幂级数为y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.由于111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，故幂级数的收敛半径为.1=R 当1±=y 时，因为 ()0e 111lim ≠=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，所以幂级数y n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11在1±=y 处发散，故y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的收敛域为()1,1-，由()1,12-∈=y x 得 ()1,1-∈x ，即原幂级数的收敛域为()1,1-.【解法二】令()x n x u n nn 211⎪⎭⎫⎝⎛+=，则()()()()x x nx n x u x u nn n n n n n n 22221111111lim lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++∞→+∞→，由正项级数收敛的比式判别法可知，当12<x 即()1,1-∈x 时原幂级数绝对收敛，当12>x 时幂级数发散，因此幂级数的收敛半径为1=R ，易证当1±=x 时幂级数发散，故原幂级数的收敛域为()1,1-.【知识扩展提示】求幂级数的收敛域一般分为两步：首先求收敛半径，其次考虑级数在端点处的敛散性. 对于缺少偶次项或奇次项的幂级数（如第2题）可以用变量替换或用正项级数收敛性判别法来确定收敛半径和收敛域.【例10】求∑∞=+11n nn x的收敛域与和函数.【解】由于111lim =+→∞n n n ，故收敛半径为1=R ，又∑∞=+111n n 发散，()∑∞=+-111n n n 收敛，因此幂级数的收敛域为[).1,1- 令()∑∞=+=11n nn x x f ，()()∑∞=++==111n n n xx xf x g ，则()xxx x g n n -=='∑∞=11，所以 ()()().1ln d 1d 00x x t ttt t g x g xx---=-='=⎰⎰ 从而当0≠x 时，()()()x x x x g x f ---==1ln 1，又显然有()00=f ，故 ()()[)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=.0,0,1,00,1,1ln 1x x xx x f 【知识扩展提示】通常利用幂级数的四则运算性质、逐项求导性质及逐项积分性质来求幂级数的和函数【例11】求x sin 2在0=x 处的幂级数展开式.【解】因为 ()()∑∞=-=02!21cos n nnn xx ，R x ∈，所以()()()()()()∑∑∞=--∞=-=--=-=12121022!221!22121212cos 121sin n nn n n nn x n n x x x ，.R x ∈【例12】求函数()x x f 2=在ππ<<-x 上的傅里叶展开式，并计算∑∞=121n n.【解】补充定义()ππ2=f ，再把()x f 延拓为周期为π2的周期函数，则()x f 在R 上连续，且在[]ππ,-上按段光滑. 由收敛定理知，()x f 可以展成傅里叶级数，由于ππππ22032d 1==⎰-x x a .()nx nx x a nn 2241d cos 1-==⎰-πππ，,,2,1 =n0d sin 12==⎰-πππx nx x b n ， ,2,1=n .所以当ππ<<-x 时，()().cos 143122nx nx f n n ∑∞=-+=π当π=x 时，上面等式也成立，于是∑∞=+=1222143n nππ，故.61212π=∑∞=n n五、扩展例题解题点击【例1】利用柯西收敛准则证明： 1.()∑-nn 1收敛； 2.∑n 1发散.【证明】1. 0>∀ε，令ε11+=N ，则当N n >时，对+∈∀N p ，有（1）若p 为奇数，()pn n n p +-+++-+-112111ε<+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=11111312111n p n p n n n n . （2）若p 为偶数，则()pn n n p +-+++-+-112111 ε<+<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1111121312111n p n p n p n n n n . 所以，()∑-nn 1收敛.2. 取210=ε，0>∀N ，总存在正整数N n >0，00n p =，则000000021212121212111ε==++>+++++n n n n n n . 所以，∑n 1发散.【例2】讨论∑n1cos ln 的敛散性. 【提示】利用同阶无穷小.【解】由于 21cos 2sin limcos ln lim 020==-→→x x x xx x x ，所以 2111cosln lim 2=-→∞nn n ，又∑n21收敛，所以，∑n1cos ln 收敛. 【例3】证明：∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n11ln 1 收敛. 【证明】由nn n 111ln 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+，得 ()()nn n n n n n n n 23111111111ln 10<+++=+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<，而∑n231收敛，故∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 11ln 1 收敛. 【例4】设()x f 1在],[b a 上黎曼可积，令()()t t f x f xann d 1⎰=+， ,2,1=n 证明：(){}x f n在],[b a 上一致收敛于0（清华大学2003年硕士研究生入学试题）.【证明】由于()x f 1在],[b a 上黎曼可积，从而在],[b a 上有界，即存在0>M ，使得()M x f ≤1，从而有()()()a x M t t f x f xa -≤≤⎰d 12，()()()()22321d d a x M t a t M t t f x f xax a-=-≤≤⎰⎰，依次可推出()()()!11--≤-n a x M x f n n ，所以有()()()!11--≤-n a b M x f n n .易证正项级数()()∑---!11n a b n 收敛，由级数收敛的必要条件可知()()0!1lim 1=---∞→n ab n n ，故(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于0.【例5】设t t nt t a n d sin sin 320⎰⋅=π，证明∑∞=11n na 发散（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）.【证明】213230320d sin sin d sin sin d sin sin I I t t ntt t t nt t t t nt t nn +=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ππππ.2d d sin sin 2203301n t t n t t nt t I n πππ=<⋅=⎰⎰, 828d 2d sin sin 2332322n n t t t t t nt t I nn πππππππππ<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⋅=⎰⎰.因此，n a n π211>，由此得∑∞=11n na 发散. 【例6】设f 在0=x 的某邻域内有定义，()0f ''存在，证明：∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛的充要条件是()()000='=f f （南京大学2002年硕士研究生入学试题）.【证明】充分性. 由于()0f ''存在，故()()()()()02120lim 2lim lim 0020f x f x f x x f xx f x x x ''='-'='=→→→.从而，()()02111lim2f nn f n ''=∞→，而∑n21收敛，因此，∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛. 必要性. 由∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n f 1绝对收敛可知，01lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n f n ，又由于f 在0=x 处连续，故()00=f . 又()()()()x x f x f x f f x x 00lim 0lim 0→→=-='，从而有()01lim f n nf n '=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→，由于∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛，所以().00='f 【例7】设(){}x f n 是定义在],[b a 上的无穷次可微函数序列且逐点收敛，并在],[b a 上满足()M x f n ≤'.1. 证明：(){}x f n 在],[b a 上一致收敛；2. 设()()x f x f n n ∞→=lim ，问()x f 是否一定在],[b a 上处处可导，为什么（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）？【证明】1. 0>∀ε，将区间],[b a 分成K 等份，分点为()Ka b j a x j -+=，K j ,,2,1 =，使得ε<-Kab . 由于(){}x f n 在有限个点{}K j x j ,,2,1, =上收敛，因此N n m N >>∀>∃,0，使得()()ε<-j n j m x f x f 对每个K j ,2,1=都成立，于是，],[b a x ∈∀，设],[1+∈j j x x x ，则()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f n j n j n j m j m m n m -+-+-≤-()()()()()()()εηξ12+<-'+-+-'=M x x f x f x f x x f j n j n j m j m. 因此，(){}x f n 在],[b a 上一致收敛.2. 不一定. 令()nx x f n 12+=在]1,1[-上满足题中条件，但是()()x x f x f n n==∞→lim 在]1,1[-上不能保证处处可导（在0=x 处就不可导）.【例8】证明：函数()∑=nnx x f 3sin 在()+∞∞-,上连续，且有连续的导函数.【证明】由于对()+∞∞-∈∀,x ，有nnnx 331sin ≤， ,2,1=n且级数∑n31收敛，故由优级数判别法知∑nnx 3sin 在()+∞∞-,上一致收敛.又n nxn nx 23cos sin ='⎪⎭⎫ ⎝⎛，而n n nx 221cos ≤，() ,2,1,,=+∞∞-∈n x ，由∑n21收敛知∑nnx 2cos 在()+∞∞-,上一致收敛. 又nnx 2cos () ,2,1=n 在()+∞∞-,上连续，从而由可积性定理知()x f 在()+∞∞-,上具有连续的导函数，从而()x f 也在()+∞∞-,上连续.【例9】将所有有理数排成一个数列{}n r ，试讨论函数()()∑-=2sng nn r x x f 的连续性（厦门大学2006年硕士研究生入学试题）.【解】因为()212sng nnn r x ≤-，且∑21n收敛，故由优级数判别法知()∑-2sng nn r x 在R 上一致收敛. R 0∈∀x ，当{}n r x ∉0时，通项()2sng nn r x -在0x x =处连续，由一致收敛函数项级数的和函数连续性定理知，()x f 在0x x =处连续. 当{}n k r r x ∈=0时，因为()()()2sng 2sng kk kn nn r x r x x f -+-=∑≠，右边第一项在k x x =处连续，第二项在k x x =处间断，因此()x f 在k x x =处不连续. 综上所述，()x f 在所有无理点处连续，在所有有理点处不连续.【例10】求下列级数的收敛域：1. ()()n x x n n 2111+++∑； 2. .113212nn n x x n ⎪⎭⎫⎝⎛+-++∑ 【解】1. 令x x y 21++=，则原级数为()y n n n ∑+11，易求得其收敛域为[]1,1-，即当1112≤++≤-x x 时，原级数收敛，解次不等式得01≤≤-x . 因此原级数的收敛域为[].0,1-2. 令x xy +-=11，则原级数为y nn n n ∑++2321. 由于3321lim 2=++∞→n n nn n，所以幂级数y n n n n ∑++2321的收敛半径为31，易求得其收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31，因此当311131≤+-≤-x x 时，原级数收敛，解不等式得 221≤≤x ，故原级数的收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【例11】设有幂级数x n nnn n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1221，求1. 收敛半径与收敛域.2. 和函数在收敛域内的导函数.【解】1. 由于n n nn n n22n 21222n ≤+≤，且222lim 2lim 2==→∞→∞n n n n n n ，故2n 21lim 2n=+→∞n n n ，因此收敛半径为21=R . 当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+12121212121n n n nn n n n n 收敛，故收敛域为.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 2. 令()x n nx f n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1221，.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈x 因为 ()∑∞=-=-11ln n n n xx ，[).1,1-∈x故 ()()().21ln 11211121111xx x nx x x x n x f n nn n n---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=-∞= 【例12】求幂级数()∑∞=+11n nxn n 的收敛域及和函数.【解】由于 ()11lim =+→∞nn n n ，故()∑∞=+11n n x n n 的收敛半径为1=R ，又当1±=x 时，级数()()∑∞=±+111n nn n 发散，因此，()∑∞=+11n nxn n 的收敛域为()1,1-.令()()∑∞=-+=111n n xn n x f ，()1,1-∈x ，则由幂级数的逐项可积性，得()()()∑∑⎰⎰∞=∞=-+=+=11011d 1d n n n x n xx n t tn n t t f .()().1d 1d 1211101xx xt t n t tn n n n xnx n n-==+=+∑∑⎰⎰∑∞=∞=+∞= 所以， ()()22211211x x x x x x n n n --='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∑∞=，()()()2221212x x x x x f -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此()()()21121x xx xf xn n n n-==+∑∞=. 【例13】求级数()∑∞=+1!1n n n的和. 【解】令()()x n n x f nn ∑∞=+=1!1，易求得该幂级数的收敛域为()+∞∞-,. 由幂级数的逐项求导和逐项积分性质，有()()()∑∑∞=∞==--=-='11e !11!1n x n n n x n x x n x x f . 故 ()()e x t e t x f x xt 11d 0-+==⎰. 从而有()().11!11==+∑∞=f n nn【知识扩展提示】利用幂级数求数项级数的和，要记住几个基本幂级数展开式.【例14】将下列函数在0=x 处展成幂级数： 1. ()t ttx f xd sin 0⎰=； 2. ()()x x f 22ln +=. 【解】1. 因为()()!121sin 120+-=+∞=∑n t t n n n，R t ∈，从而()()!121sin 20+-=∑∞=n t t t nn n ，于是()()()()()()∑∑⎰⎰∞=+∞=+⋅+-=+-==0120020!12121d !121d sin n n n n x n n xn n x t n t t t t x f ，R x ∈ 2. 因为()()nxx nn n ∑∞=--=+1111ln ，(]1,1-∈x ，所以。

无穷级数知识点

无穷级数知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊无穷级数这个有意思的知识点。

啥是无穷级数呢？简单来说，就是把一堆数按照一定规则加起来，不过这堆数有无穷多个呢！就好像你有无限多的糖果，然后把它们一个一个地加起来。

无穷级数有很多种类型哦。

比如说正项级数，这些数都是正数呢。

那怎么判断一个正项级数收不收敛呢？有好多方法呀！就像我们判断一件事情能不能成功一样，有各种标准。

还有交错级数，这些数一会儿正一会儿负，就像坐过山车一样起起伏伏。

对于交错级数，也有专门的判别法来看看它是不是收敛的。

那无穷级数有啥用呢？哎呀，用处可大啦！比如在数学的很多领域都能看到它的身影。

它就像是一把万能钥匙，可以打开很多知识的大门。

想象一下，如果没有无穷级数，很多数学问题就没办法解决啦，那该多可惜呀！它就像一个神奇的工具，帮助我们更好地理解和探索数学的奥秘。

在物理学中，无穷级数也常常出现呢！比如在研究一些波动现象的时候，无穷级数就能发挥大作用啦。

总之，无穷级数是数学中非常重要的一部分，它充满了魅力和神奇。

它让我们看到了数学的无限可能，让我们对知识的追求永无止境。

所以呀，大家可别小看了无穷级数哦，它真的超级厉害的！。

无穷级数知识点总结

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

无穷级数知识点总结简短

无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。

2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。

如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。

3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。

这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。

4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。

这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。

5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。

例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。

总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。

无穷极数知识点总结

无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。

无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。

2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。

收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。

无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。

3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。

无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。

4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。

绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。

5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。

比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。

6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。

无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。

7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。

无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。

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高数第七章无穷级数知识
点
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
1、形如∑∞
=-11
n n aq
的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1
≥q 时发散。

2、形如∑∞
=1
1
n p
n
的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

3、⇒
≠∞
→0lim n n U 级数发散；级数收敛
lim =⇒∞
→n n U
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数
∑∞
=1
n n
U
，满
足条件l
U U n n n =+∞→1
lim
：
当1<l 时，级数收敛；
当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）；
当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞
=1n n
U
，满
足条件λ
=∞→n n n U lim ：
当1<λ时，级数收敛；
当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；
当1=λ时，无法判断。

注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。

（通过不等式的放缩）推论：若∑∞
=1n n
U 与∑∞
=1
n n
V 均为正项级数，且
l
V U n
n
n =∞→lim
（n V 是已知敛散
性的级数) 若+∞<<l 0，则级数∑∞
=1n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
有相同的敛散性；
若0=l 且级数∑∞
=1
n n
V
收敛，则级数
∑∞
=1
n n
U
收敛；
若+∞=l 且级数∑∞
=1
n n
V
发散，则级数∑∞
=1
n n
U
发散。

7、定义判断：若
⇒
=∞
→C S n n lim 收敛，若n
n S ∞→lim 无极限⇒发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：满足1+≥n n U U ，⇒
=∞
→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：
1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

2、收敛的无穷级数
∑∞
=1
n n
U
，其和为S ，则∑∞
=1
n n
aU
，其和为aS （0≠a ）
（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。

（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散）
加括号后级数收敛，原级数未必收敛。