含有圆的组合图形的面积(方与圆)
外圆内方圆的面积公式
外圆内方圆的面积公式在数学的奇妙世界里，各种图形的面积计算总是引人入胜。
今天，咱们就来好好探讨一下外圆内方圆的面积公式。
首先，咱们得弄清楚啥是外圆内方圆。
简单说，就是一个大圆里面套着一个正方形，正方形的四个顶点都在圆上。
这种组合图形在实际生活和数学问题中可不少见呢！那怎么来计算它的面积呢？咱们分开来看。
先说说圆的面积。
圆的面积公式大家应该都不陌生，那就是 S ＝πr²，这里的 S 表示圆的面积，π是圆周率，约等于 314159，r 呢则是圆的半径。
再看看正方形。
要计算正方形的面积，就得先知道它的边长。
对于外圆内方的情况，这个正方形的对角线长度正好就是圆的直径。
假设圆的半径是 r，那么直径就是 2r。
因为正方形的对角线把正方形分成了两个全等的等腰直角三角形，根据勾股定理，正方形的边长 a 就可以算出来啦，a²＋ a²＝（2r)²，也就是 2a²＝ 4r²，所以 a²＝ 2r²，那么正方形的面积就是 S 正＝ a²＝ 2r²。
接下来，咱们就可以算出外圆内方圆的面积啦。
外圆内方圆的面积＝圆的面积正方形的面积，也就是 S ＝πr² 2r²＝（π 2)r² 。
为了更好地理解这个公式，咱们来举个例子。
假设圆的半径 r 是 5 厘米，那么圆的面积就是 314×5²＝ 785 平方厘米，正方形的面积是2×5²＝ 50 平方厘米，外圆内方圆的面积就是（314 2)×5²＝ 285 平方厘米。
可能有人会问了，这个公式有啥用呢？用处可大啦！比如说在建筑设计中，要设计一个圆形花坛中间有一个正方形的雕塑底座，知道了花坛的半径，就能很快算出除去雕塑底座所占面积后，还能用来种花的面积有多少。
在制作圆形的糕点，中间要放上一个方形的夹心，也能通过这个公式算出周边糕点部分的面积。
苏教版五年级下《圆的组合图形面积的计算》
苏教版五年级下《圆的组合图形面积的计算》《苏教版五年级下〈圆的组合图形面积的计算〉》在我们的数学学习中，图形的面积计算一直是一个重要的部分。
当我们遇到圆与其他图形组合而成的复杂图形时，如何准确、快速地计算出它们的面积，就成为了一项具有挑战性但又十分有趣的任务。
今天，就让我们一起来探索苏教版五年级下《圆的组合图形面积的计算》。
首先，我们要明确什么是圆的组合图形。
简单来说，就是由圆和其他常见图形（如三角形、矩形、梯形等）组合在一起形成的新图形。
比如，一个半圆和一个矩形拼在一起，或者一个圆里面挖去了一个三角形。
那为什么要学习圆的组合图形面积的计算呢？这是因为在我们的日常生活和实际应用中，很多物体的形状并不是简单的单一图形，而是由多种图形组合而成的。
比如，一个圆形花坛周围有一圈矩形的小路，要计算这条小路的面积，就需要用到圆的组合图形面积的计算方法。
接下来，让我们看看计算圆的组合图形面积的基本思路。
第一步，要仔细观察图形，把组合图形分解成我们熟悉的基本图形。
这就像是把一个复杂的大问题分解成一个个小问题，逐个解决。
第二步，分别计算出各个基本图形的面积。
对于圆的面积，我们都知道公式是 S ＝πr²，其中π通常取 314，r 是圆的半径。
而对于三角形的面积公式是 S ＝ 1/2 ×底 ×高，矩形的面积是 S ＝长 ×宽，梯形的面积是 S ＝（上底＋下底）×高 ÷ 2 。
第三步，再根据图形的组合方式，把各个基本图形的面积进行相加或者相减，就能得到组合图形的面积。
举个例子，假设有一个图形是由一个正方形和一个半圆组成的。
正方形的边长是 8 厘米，半圆的直径等于正方形的边长。
我们先分别计算正方形和半圆的面积。
正方形的面积＝ 8×8 ＝ 64 平方厘米。
半圆的半径＝ 8÷2 ＝ 4 厘米，半圆的面积＝ 1/2×314×4²＝ 2512 平方厘米。
圆的组合图形的面积
假设有一个半径为5cm的圆 和一个底边长为8cm、高为 6cm的三角形，相交部分面
积为18.84cm^2。
05 圆的组合图形面积计算的 扩展应用
Байду номын сангаас
在几何图形设计中的应用
图案设计
圆的组合图形可以用于各种图案 设计，如地板、墙纸、纺织品等，
为设计提供丰富的视觉效果和创 意灵感。
建筑设计
在建筑设计中，圆的组合图形可以 用于外观设计、室内装饰和景观规 划，增加建筑的艺术感和美感。
微积分是通过微积分学中的定 积分概念，将不规则图形的面 积转化为求曲线下面积的问题 进行求解。
03 圆的组合图形面积计算
圆与圆的重叠
总结词
计算重叠部分的面积
详细描述
当两个或多个圆重叠时，需要分别计算各个圆的面积，并从总面积中减去重叠 部分的面积。重叠部分的面积可以通过计算重叠部分的弧长和半径来得出。
04 圆的组合图形面积计算实 例
实例一：圆与圆的重叠面积计算
总结词
计算重叠部分的面积
详细描述
当两个圆部分重叠时，需要计算重叠部分的面积。可以通 过计算两个圆的面积，然后减去两个圆不相交部分的面积 来实现。
公式
重叠部分的面积 = 两个圆的面积 - 不相交部分的面积
示例
假设有两个半径分别为3cm和5cm的圆，重叠部分面积为 12.56cm^2。
实例二：圆与矩形的组合面积计算
计算圆与矩形相交部分的面积
输入 标题
详细描述
当圆与矩形相交时，需要计算相交部分的面积。可以 通过计算矩形和圆的面积，然后减去矩形与圆不相交 部分的面积来实现。
总结词
公式
假设有一个半径为4cm的圆和一个长为8cm、宽为 6cm的矩形，相交部分面积为25.12cm^2。
常见组合图形面积计算实例
1、求左面阴影部分的面积。
（单位：米）提示：环形面积=外圆面积-内圆面积1.已知圆的半径，求面积，用圆周率乘以半径的平方可以得到。
2.已知圆的半径，求面积，用圆周率乘以半径的平方可以得到。
3.最后用外圆的面积-内圆面积得到阴影部分的面积。
答案：3.14×10×10=314平方米3.14×6×6=113.04平方米314 - 113.04=200.96平方米求左面阴影部分的面积。
（单位：米）提示：阴影面积=外半圆面积-内半圆面积1、已知圆的半径，求圆的面积，用圆周率乘以半径的平方可以得到。
再求圆面积的1/2,就用圆的面积乘以1/2。
2、已知圆的半径，求圆的面积，用圆周率乘以半径的平方可以得到。
再求圆面积的1/2,就用圆的面积乘以1/2。
3、最后用外半圆的面积-内半圆面积得到阴影部分的面积。
答案：3.14×72×72×1/2=8138.88平方米3.14×43×43×1/2=2902.93平方米8138.88 - 2902.93=5235.95平方米求左面阴影部分的面积。
（单位：米）提示：阴影部分面积可以用正方形的面积减去圆形的面积。
1、求正方形面积已知正方形的边长，求面积，用边长乘以边长可以得到。
2、求圆面积已知圆的直径，求面积，先用直径除以2得到半径，再用圆周率乘以半径的平方可以得到。
3、求阴影面积，用正方形面积减去圆的面积答案：1、正方形面积32×32=1024平方米2、圆面积32÷2=16米3.14×16×16=803.84平方米3、阴影面积1024- 803.84=220.16平方米求左面阴影部分的面积。
（单位：米）提示：阴影部分面积可以三角形面积减去右空白面积。
三角形面积是长方形面积的一半，右空白面积是长方形面积与半圆面积差的一半。
长方形的长就是圆的直径，宽是圆的半径。
六年级上册数学第五单元集体备课表格式教案(新审定人教版)
六年级上册数学第五单元集体备课表格式教案（新审定人教版）第五单元《圆》集体备课教案六年级上册设计者：施教者：教学内容含有圆的组合图形的面积（环形）课型新授课教学目标 1、让学生结合具体情境认识组合图形的特征，掌握计算组合图形的面积的方法，并能准确掌握和计算简单组合图形的面积。
2、通过自主合作，培养学生独立思考、合作探究的意识。
一、探索交流，解决问题 4．导入新课：这节课我们一起来探讨环形的知识。
(板书课题：圆环的面积) 二、创设情境，认识圆环 1．师：我们来欣赏一组美丽的图片。
课件出示圆形花坛、圆形水池外的圆形甬路、奥运五环标志、光盘…… 2．同学们，你们从图中发现了什么？(它们都是环形的) 3．教师拿出环形光盘说明：像这样的图形，我们称它为圆环或环形。
你还知道生活中有哪些环形的物体？它们给我们的生活带来了怎样的变化？三、学习新知 1．画一画，剪一剪，发现环形特点。
(1)画一画。
让学生在硬纸板上用同一个圆心分别画一个半径为10厘米和5厘米的圆。
(2)剪一剪。
指导学生先剪下所画的大圆，再剪下所画的小圆。
3．课件出示例2。
光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2 cm，外圆半径是6 cm。
圆环的面积是多少？四、巩固练习，拓展提高完成教材68页做一做第2、题。
板书设计或要点圆环的面积圆环面积＝外圆面积－内圆面积 S环＝πR2－πr2或S环＝π×(R2－r2)第五单元《圆》集体备课教案六年级上册设计者：施教者：教学内容含有圆的组合图形的面积（方与圆）课型新授课教学目标 1、让学生结合具体情境认识组合图形的特征，掌握计算组合图形的面积的方法，并能准确掌握和计算简单组合图形的面积。
2、通过自主合作，培养学生独立思考、合作探究的意识。
教学重点组合图形的认识及面积计算、图形分析教学难点组合图形的认识及面积计算、图形分析教具学具圆规、直尺教学内容个人修改设计一、探索交流，解决问题上一节课我们一起来探讨环形的知识。
五年级下圆环及圆的组合图形的面积
注意事项：计 算时要考虑圆 与矩形或三角 形是否相切， 以及圆心是否 在矩形或三角
形内部
举例说明：给 出具体例子， 展示如何计算 组合图形面积
计算方法：先分别求出圆和圆环的面积，再根据组合图形的特点进行计算
注意事项：考虑圆与圆环的相对位置，注意圆心与半径的确定
举例说明：通过具体例子展示组合图形面积的计算过程
培养空间思维和 逻辑推理能力
圆的组合图形在艺术领域的应用：在艺术设计中，圆环和圆的组合图形被广泛应用于 各种艺术作品的创作中，如雕塑、绘画等，以增加作品的美感和视觉效果。
理解问题的背景和要求 分析问题中的已知条件和未知条件 运用圆的组合图形的面积公式计算面积 结合实际，考虑实际情况，确定最终解决方案
实际应用中，要考 虑到实际情况，如 圆环的大小、位置 等。
结论：组合图形的面积计算需要灵活运用圆的面积公式和圆环的面积公式，同时要注意图形 的特点与计算方法的结合。
定义：由两个 或两个以上的 圆组成的图形
计算方法：先 计算每个圆的 面积，再根据 组合图形的特 点进行相加或
相减
注意事项：确 保每个圆的半 径和位置都正 确，避免计算
错误
举例：通过具 体例子展示多 个圆的组合图 形面积计算过
力
圆环和圆相切：使用圆环面积公式和圆面积公式计算 圆环和圆相交：分解为多个图形，分别计算面积再相加 圆和圆外其他图形组合：分解为多个图形，分别计算面积再相加 圆内嵌套其他图形：使用分割法，将图形分割成多个部分，分别计算面积再相加
掌握圆环和圆的 面积计算方法
理解图形组合的 解题思路
学会运用辅助线、 分割法等技巧
计算面积时，需要 考虑到圆环的内外 半径及高。
在组合图形中，需 要考虑圆与其他图 形的关系及相互作 用。
圆的组合图形的面积计算
答：光盘的面积是32π平方厘米。
如果我们用S 表示圆环的面积，R 表示大圆的 圆环
半径，r 表示小圆的半径。圆环的面积公式可以怎 么表达？
S ＝πR²－πr² 圆环
或 S 圆环＝π（R²－r²）
一扇窗户由一个正方形和一个半圆形组合而成 （如右图）。这扇窗户的面积是多少平方米？
圆的组合图形的面积计算
五年级数学·（下册）
复习 平面图形的面积计算公式
长方形面积 = 长×宽
三角形面积 =底×高÷2
正方形面积 =边 长×边长
梯形面积 =( 上底+下底)×高÷2
平行四边形面积 = 底×高
圆的面积 s＝πr²
r
求下面各圆的面积。
（1）r＝7dm
π×7²＝ 49 π（dm²）
（2）d＝1.2m
π×112÷2－π×5.5²÷2
面积之和
16
24
涂色部分的面积＝长方形的面积+半圆的面积 16÷2＝8（毫米）……圆的半径
24×16＋ π×82÷2
14
面积之差
涂色部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积 14×2＝28（毫米）……三角形的底
π×142÷2－28×14÷2
计算组合图形的面积我们可以分几步走？
1.看 2.想 3.算
看组合图形是由哪些基本图形组合而成的。
想组合图形的面积是这些基本图形的面积之和 还是面积之差。
找到数据之间的相互联系，正确地运用公式进 行计算。
课后作业
课后作业
感谢您的莅临指导
长方形面积：8×4=32（cm2）
= 9π÷2
半圆面积： π×42找÷2到数据之间）
(完整版)圆的组合图形面积及答案
圆的组合图形面积姓名：【知识与方法】要解决与圆有关的题目，需要注意以下几点：1、熟练掌握有关圆的概念和面试公式：圆的面积= 圆的周长=扇形的面积= 扇形的弧长=（n是圆心角的度数）2、掌握解题技巧和解题方法：加减法、分割重组法、旋转平移法、对折法、抵消法、等积变形法、等量代换法、添辅助线法。
例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
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店上联校枣臻小学导案
年级六备课时间课型新授主备人李红梅审核人课时
备课内容含有圆的组合图形的面积（方与圆）
教学目标
1.让学生结合具体情境,认识组合图形的特征,掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积的方法。
2.通过自主合作,培养独立思维,合作探究的意识。
教学
重难
点
组合图形的认识及面积计算、图形分析
教法
指导
引导学生小组合作交流，讨论总结规律方法。
教具
运用
圆规、直尺、多媒体课件
导学流程
一、知识铺垫
生活中我们经常能看到圆形的物体,还常常看到圆和其他图
形组成的图形，像这样有几个简单的图形组合而成的图形叫组合
图形。
组合图形在日常生活中有着广泛的应用,
二、自主探究
1.实践操作
(1)这两种设计有什么联系和区别？
左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是
( )的里面是( )的。
都是由( )和( )这两个图形组
成的。
我们可以将上述特征分别概括地称为外( )内
( )、外( )内( )。
(2)用学具组合出这两个图形。
二次备课及
备课诠释
导学流程
2．解决问题
3.回顾反思，理解算法
（1）如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。
（2）右图中正方形和圆之间部分的面积怎样算呢？
三、课堂达标
1.圆的周长是6
2.8厘米，求正方形的面积。
2.圆的半径是4分米，求圆和正方形之间部分的面积。
3.求阴影部分面积。
4.正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。
板书设计
方与圆的面积
d＝a r＝
左图外方内圆右图外圆内方
S
正
－S圆＝2r2－3.14r2＝0.86r2 S圆－S正＝3.14r2－×2＝1.14r2
教后反思
店上联校枣臻小学学案
年级六科目数学课型新授课学习主人学习时间课时
学习内容含有圆的组合图形的面积（方与圆）
学习目标
1.让学生结合具体情境,认识组合图形的特征,掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积的方法。
2.通过自主合作,培养独立思维,合作探究的意识。
学习
重难
点
组合图形的认识及面积计算、图形分析
学法
指导
小组合作交流，讨论总结规律方法学具
运用
学案
学习流程
一、知识铺垫
生活中我们经常能看到圆形的物体,还常常看到圆和其他图形组成的图形，像这样有几个简单的图形组合而成的图形叫组合图形。
组合图形在日常生活中有着广泛的应用,
二、自主探究
1.实践操作
(1)这两种设计有什么联系和区别？
左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是( )的里面是
( )的。
都是由( )和( )这两个图形组成的。
我们可以将上述特征分别概括地称为外( )内( )、外( )内
( )。
(2)用学具组合出这两个图形。
学习流程
2．解决问题
3.回顾反思，理解算法
（1）如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。
（2）右图中正方形和圆之间部分的面积怎样算呢？
三、课堂达标
1.圆的周长是6
2.8厘米，求正方形的面积。
2.圆的半径是4分米，求圆和正方形之间部分的面积。
3.求阴影部分面积。
4.正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。