湖南省株洲市茶陵县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 (1)

湖南省株洲市茶陵县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线22(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)2．若()350a b b =≠，则下列各式一定成立的是（ ） A ．35a b = B ．53a b = C ．35a b = D ．145a b += 3．在Rt ABC 中，∠C=90°，如果sin cos A A =，那么A ∠的值是（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A ．平均数变小，方差变小 B ．平均数变小，方差变大 C ．平均数变大，方差变小D ．平均数变大，方差变大5．方程x （x ﹣5）=x 的解是（ ） A ．x=0B ．x=0或x=5C ．x=6D ．x=0或x=66．在ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A 为圆心，以3为半径画圆，则点C 与⊙A 的位置关系是（ ） A ．在⊙A 外B ．在⊙A 上C ．在⊙A 内D ．不能确定7．已知点(,1),(,3)A m B n 都在反比例函数(0)ky k x=>的图像上，那么（ ） A ．m n < B ．m n =C ．m n >D ．m n 、的大小无法确定8．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．810．如图，若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-，则：①二次函数的最大值为a b c ++ ；②0a b c -+<；③当1x >时，y 随x 的增大而增大；④当0y >时，13x，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．已知关于x 的方程230x x m +-=的一个解为3-，则m=_______． 12．已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝____.13．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB 的坡度是1：3 ，滑梯的水平宽是6m ，则高BC 为_______m ．14．如图,A B C 、、是⊙O 上的点,若100AOB ∠=,则ACB ∠=___________度．15．已知ABC DEF ∽△△，且916ABC DEF S S =△△ ，且ABC 与DEF 的周长和为175 ，则ABC 的周长为 _________．16．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．17．已知1x ，2x 是方程2510x x --=的两个实根，则2212x x +=______．18．如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=13CE 时，EP+BP= ．三、解答题19．计算：()0sin 4512|3tan30︒-++︒ 20．解下列方程：（1）3(2)(2)x x x -=- （2）2430x x ++=21．某学校从360名九年级学生中抽取了部分学生进行体育测试，并就他们的成绩（成绩分为A 、B 、C 三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题：（1）补全频数分布表与频数分布直方图；（2） 如果成绩为A 层次的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？22．如图，点E 是弧BC 的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于点D ． （1）求证：2•BE AE DE ；（2）连接OB ，OC ，若⊙O 的半径为5，BC=8，求OBC 的面积．23．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD .求AC 的长和cos ∠ADC 的值．24．如图，某反比例函数图象的一支经过点A （2，3）和点B （点B 在点A 的右侧），作BC ⊥y 轴，垂足为点C ，连结AB ，AC ．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．25．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．△≌△；（1）求证：AEB CGB（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；∽？（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有BEH BAE26．已知ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．参考答案1．D 【分析】根据抛物线的顶点式解答即可． 【详解】解：抛物线22(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于基础题型，熟知抛物线的顶点式是解此题的关键． 2．B 【分析】由0,b ≠ 等式的两边都除以3b ，从而可得到答案． 【详解】 解：()350,a b b =≠∴ 等式的两边都除以：3b ，35,33a bb b ∴= 5.3a b ∴= 故选B ． 【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．C 【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可． 【详解】解：由已知，sin BCA AB=，cos AC A AB =∵sin cos A A = ∴BC AC =∵∠C=90° ∴A ∠=45° 故选：C 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解． 4．A 【解析】分析：根据平均数的计算公式进行计算即可,根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案.详解：换人前6名队员身高的平均数为x =1801841881901921946+++++=188，方差为S 2=()()()()()()22222211801881841881881881901881921881941886⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦=683； 换人后6名队员身高的平均数为x =1801841881901861946+++++=187，方差为S 2=()()()()()()22222211801871841871881871901871861871941876⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦=593∵188＞187，683＞593，∴平均数变小，方差变小， 故选A.点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立. 5．D 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（x﹣5）﹣x=0，x（x﹣5﹣1）=0，x=0或x﹣5﹣1=0，∴x1=0或x2=6．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．6．B【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．【详解】解：由勾股定理得：3,AC===∵AC=半径=3，∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外．掌握以上知识是解题的关键．7．C【分析】由反比例函数的比例系数为正，那么图象过第一，三象限，根据反比例函数的增减性可得m 和n的大小关系．【详解】解：∵点A（m，1）和B（n，3）在反比例函数kyx=（k＞0）的图象上，1＜3，∴m＞n．故选：C．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限，用到的知识点为：k＞0，图象的两个分支分布在第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．8．B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 9．C【详解】∵直径AB 垂直于弦CD ，∴CE=DE=12CD ， ∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE ，设OE=CE=x ，∵OC=4，∴x 2+x 2=16，解得：即：，∴，故选C ．10．B【分析】①根据二次函数的图象可知，1x =时，二次函数取得最大值，将1x =代入二次函数的解析式即可得；②根据1x =-时，0y =即可得；③根据二次函数的图象即可知其增减性；④先根据二次函数的对称性求出二次函数的图象与x 轴的另一个交点坐标，再结合函数图象即可得．【详解】由二次函数的图象可知，1x =时，二次函数取得最大值，将1x =代入二次函数的解析式得：y a b c =++，即二次函数的最大值为a b c ++，则命题①正确；二次函数的图象与x 轴的一个交点为(1,0)-，0a b c ∴-+=，则命题②错误；由二次函数的图象可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则命题③错误；设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(,0)m ，二次函数的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-，112m -+∴=，解得3m =， 即二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(3,0)，由二次函数的图象可知，当0y >时，13x，则命题④正确；综上，正确命题的个数是2，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性、最值）等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．11．0【分析】把3x =-代入原方程得到关于m 的一元一次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：把3x =-代入原方程得： ()()23330,m ∴-+⨯--=0.m ∴=故答案为：0.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程的解的含义是解题的关键． 12．4．【解析】∵AB ∥CD ， 223103AO BO AO OD OC AO ∴===-，即， 解得，AO=4，故答案是：4．【点睛】运用了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．2【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，即可求出坡面的铅直高度．【详解】∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC=6m，∴BC= 13×6=2m．故答案为：2．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．14．130°.【分析】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理先求出∠ADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解即可.【详解】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=100°，∴∠ADB=12∠AOB =50°，∴∠ACB=180°﹣∠ADB=130°．故答案为130°．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键．15．75【分析】根据相似三角形的性质得△ABC 的周长:△DEF 的周长=3:4，然后根据ABC 与DEF 的周长和为175即可计算出△ABC 的周长．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 的面积比为9：16，∴△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，∴△ABC 的周长：△DEF 的周长=3：4，∵ABC 与DEF 的周长和为175 ，∴△ABC 的周长=37×175=75． 故答案是：75．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．16．11【解析】【分析】设参加聚会的有x 名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x 的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设参加聚会的有x 名学生，根据题意得： ()x x 1110-=，解得：1x 11=，2x 10(=-舍去)，即参加聚会的有11名同学，故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．17．27【分析】根据根与系数的关系，由x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，即可得到答案.【详解】∵x1，x2是方程 x2−5x−1=0的两根，∴x1+x2=5，x1∙x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=52-2×（-1）=27；故答案为27.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，并正确进行化简计算.18．12．【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=13CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC．∴∠M=∠CBM．∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM ．∴∠M=∠PBM ．∴BP=PM ．∴EP+BP=EP+PM=EM ．∵CQ=13CE ， ∴EQ=2CQ ．由EF ∥BC 得，△MEQ ∽△BCQ ， ∴EM EQ 2BC CQ==． ∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 19．3【分析】分别根据特殊角三角函数值、零次幂、绝对值的代数意义进行化简，最后进行加减运算即可．【详解】解：()0sin 451|2|3tan30︒-++︒=1233+-⨯3=． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零次幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（1）121,23x x ==；（2）121,3x x =-=- 【分析】（1）把方程右边的项作为整体移到左边，利用因式分解的方法解方程即可；（2）利用配方法把方程化为：()221,x +=再利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：（1）原方程可化为： ()()3220,x x x ---=∴ ()()3120x x --= 解得：121,23x x == （2）∵24311x x +++=()221,x ∴+=∴ 21x +=±解得：1213x x =-=-，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解与配方法解方程是本题的解题关键． 21．（1）见解析；（2）144人【分析】（1）首先利用C 组的数据可以求出抽取了部分学生的总人数，然后利用频率或频数即可补全频数分布表与频数分布直方图；（2）根据（1）的几个可以得到A 等级的同学的频率，然后乘以360即可得到该校九年级约有多少人达到优秀水平．【详解】（1）补全频数分布表如下：补全直方图如下：（2）∵A 层次的同学人数为40人，频率为0.40，∴估计该校九年级约有 0.4×360=144人达到优秀水平. 【点睛】本题考查的知识点是频率分布表及用样本估计总体以及频率分布直方图，解题的关键是熟练的掌握频率分布表及用样本估计总体以及频率分布直方图.22．（1）见解析；（2）12【分析】（1）由点E 是BC 的中点根据圆周角定理可得∠BAE=∠CBE ，又由∠E=∠E （公共角），即可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．（2）过点O 作OF ⊥BC 于点F ，根据垂径定理得出BF=CF=4 ，再根据勾股定理得出OF 的长，从而求出OBC 的面积【详解】（1）证明：∵点E 是弧BC 的中点∴∠BAE=∠CBE=∠DBE 又∵∠E=∠E∴△AEB ∽△BED∴AE EB BE ED= ∴2•BE AE DE =（2）过点O 作OF ⊥BC 于点F ，则BF=CF=4在Rt OFB ∆中，3OF === ∴11831222OBC S BC OF ∆=⨯=⨯⨯=【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23．AC ＝4； cos ∠ADC ＝35 【详解】解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝8，1tan 2B =， ∴AC ＝4．设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，由勾股定理，得（8－x ）2＋42＝x 2．解得x ＝5． ∴3cos 5DC ADC AD ∠==．24．（1）y 6x=；（2）y 12=-x +4． 【解析】【分析】(1)把A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；(2)作AD ⊥BC 于D ，则D(2，b)，即可利用a 表示出AD 的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b 的方程，求得b 的值，进而求得a 的值，根据待定系数法，可得答案．【详解】(1)由题意得：k ＝xy ＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y 6x=； (2)设B 点坐标为(a ，b)，如图，作AD ⊥BC 于D ，则D(2，b)，∵反比例函数y 6x =的图象经过点B(a ，b)， ∴b 6a=， ∴AD ＝36a-， ∴S △ABC 12=BC•AD 12=a(36a -)＝6， 解得a ＝6，∴b 6a==1， ∴B(6，1)，设AB 的解析式为y ＝kx+b ，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得2361k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AB 的解析式为y 12=-x+4． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC ，AD 的长是解题的关键．25．（1）见解析；（2）当12x =，y 有最大值14；（3）当点E 是AD 的中点 【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG ，从而全等三角形可证；（2）先证明△ABE ∽△DEH ，得到AB AE DE DH =，即可求出函数解析式y=-x 2+x ，继而求出最值．（3）由（2）12EH HD BE EA ==，再由12AE AB =，可得12EH AE BE AB ==，则问题可证． 【详解】 （1）证明： ∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG在△AEB 和△CGB 中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC ， ∠ABE=∠CBG∴△AEB ≌△CGB （ASA ）（2）如图∵四边形ABCD ，四边形BEFG 均为正方形∴∠A=∠D=90°, ∠HEB=90° ∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°∴∠DHE=∠AEB∴△ABE ∽△DEH ∴AB AE DE DH= ∴11x x y=- ∴2211()24y x x x =-+=--+故当12x =，y 有最大值14 （3）当点E 是AD 的中点时有 △BEH ∽△BAE ．理由：∵ 点E 是AD 的中点时由（2）可得1124AE DH ==， 又∵△ABE ∽△DEH∴12EH HD BE EA ==， 又∵12AE AB = ∴12EH AE BE AB == 又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH ∽△BAE【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式．26．（1）(3﹣m ，0)；（2）2(1)y x =-；（3）见解析【分析】（1）AO=AC−OC =m−3，用线段的长度表示点A 的坐标；（2）ABC 是等腰直角三角形，因此AOD △也是等腰直角三角形，即可得到OD =OA ，则D (0，m−3)，又由P (1，0)为抛物线顶点，用待定系数法设顶点式，计算求解即可；（3）过点Q 作QM ⊥AC 与点M ，过点Q 作QN ⊥BC 与点N ，设点Q 的坐标为2(,(1))x x -，运用相似比求出FC ，EC 长的表达式，而AC =m ，代入即可．【详解】解：（1）由B (3，m)可知OC=3，BC =m ，∴AC =BC =m ，OA =m ﹣3，∴点A 的坐标为(3﹣m ，0)（2）∵∠ODA =∠OAD =45°∴OD =OA = m ﹣3，则点D 的坐标是(0，m ﹣3)又抛物线的顶点为P (1，0)，且过B 、D 两点，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-得：221(31)4(01)3a a m m a m =⎧-=⎧⎨⎨=-=-⎩⎩解得：∴抛物线的解析式为：2(1)y x =-（3）证明：过点Q 作QM ⊥AC 与点M ，过点Q 作QN ⊥BC 与点N ，设点Q 的坐标为2(,(1))x x -，则2(1)3QM CN x MC QN x ==-==-，∵QM ∥CE∴△PQM ∽△PEC 则2(1)12(1)2QM PM x x EC x EC PC EC --===-即得 ∵QN ∥FC∴△BQN ∽△BFC 则234(1)441QN BN x x FC FC BC FC x ---===+即得 又∵AC =m=4 ∴[]44()42(1)2(1)811FC AC EC x x x x +=+-=⨯+=++ 即()FC AC EC +为定值8【点睛】本题主要考查了点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，合理做出辅助线，运用相似三角形的性质求出线段的长度是解题的关键．。