高中数学必修四1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
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高中数学必修4课件：141_正弦函数、余弦函数的图像
的函数图.
2、解方程：cos x 2 2
3、当x∈[0,2π]时,求不等式cos x
1 2
的解集.
0,1, π ,0, π,-1, 3π ,0, (2 ,1)
2
2
y
1
O
π
2π x
-1
2
2
典例讲评
例1、用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
3
函数
f
x
(sxi)nx
0
a0(a
210)的0图象-21可2以0 由函数
y
-2
0
2
x
知识探究
例4.解方程：sin x 1 2
y 1
-2
-
o 5
2
3
x
4
-1 6 6
y=sinx，xR
知识拓展
例5.求方程12sin x x 实数根的个数.
y 1
-2
-
o
-1
y x 12
x
2
3 12 4
知识拓展
根据图象求满足 sin x
y 1
-2
-
o
2
-1 3 3
3 的x的范围.
复习引入
y
P
M
o
正弦线变为一个点 余弦线：OM 正切线变为一个点
Tx A(1,0)
复习引入
2、函数y=f(x)的图象向 左平移 2 个
单位得到函数y=f(x+ 2)的图象.
3、函数y=sinx的图象向 左平移 2 个
单位得到函数y=sin(x+ )的图象.
2
2、解方程：cos x 2 2
3、当x∈[0,2π]时,求不等式cos x
1 2
的解集.
0,1, π ,0, π,-1, 3π ,0, (2 ,1)
2
2
y
1
O
π
2π x
-1
2
2
典例讲评
例1、用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
3
函数
f
x
(sxi)nx
0
a0(a
210)的0图象-21可2以0 由函数
y
-2
0
2
x
知识探究
例4.解方程：sin x 1 2
y 1
-2
-
o 5
2
3
x
4
-1 6 6
y=sinx，xR
知识拓展
例5.求方程12sin x x 实数根的个数.
y 1
-2
-
o
-1
y x 12
x
2
3 12 4
知识拓展
根据图象求满足 sin x
y 1
-2
-
o
2
-1 3 3
3 的x的范围.
复习引入
y
P
M
o
正弦线变为一个点 余弦线：OM 正切线变为一个点
Tx A(1,0)
复习引入
2、函数y=f(x)的图象向 左平移 2 个
单位得到函数y=f(x+ 2)的图象.
3、函数y=sinx的图象向 左平移 2 个
单位得到函数y=sin(x+ )的图象.
2
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图像新人教A版必修4PPT课件
的图象上的关键点：
y sin x, x 0, 2
五点作图法
图象的最高点
( ,1) 2
图象与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点 (3 , 1) 2
Page 7
二.用五点法作y=sinx , x∈[0,2π]的简图
x
0
2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0 -1 0
y
1
.
.
O -1
Page 2
的终边
y
T
P(x,y)
1
sin MP
A(1,0)
-1
o
M1 x
cos OM tan AT
-1
三角函数
sin cos tan
定义域 R R
{ | k , k Z}
2
值域 [-1,1] [-1,1]
R
2.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关 系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数； 同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数 .其定义域都是实数集R
o
2
2
-1
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
Page 12
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
cosx 1 - cosx -1
2
0
-1
3 2
2
0
1
0
1
0
-1
y
y=cosx，x[0, 2]
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
y sin x, x 0, 2
五点作图法
图象的最高点
( ,1) 2
图象与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点 (3 , 1) 2
Page 7
二.用五点法作y=sinx , x∈[0,2π]的简图
x
0
2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0 -1 0
y
1
.
.
O -1
Page 2
的终边
y
T
P(x,y)
1
sin MP
A(1,0)
-1
o
M1 x
cos OM tan AT
-1
三角函数
sin cos tan
定义域 R R
{ | k , k Z}
2
值域 [-1,1] [-1,1]
R
2.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关 系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数； 同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数 .其定义域都是实数集R
o
2
2
-1
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
Page 12
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
cosx 1 - cosx -1
2
0
-1
3 2
2
0
1
0
1
0
-1
y
y=cosx，x[0, 2]
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
人教A版高中数学必修四1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象
自主预习 认真阅读教材P30－33回答下列问题． 1．正、余弦函数图象的画法 (1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图 象，是把角x的 正弦线 向右平移，使它的起点与x轴上的点x重 合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到 函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向 左、 右 平行移动(每次2π个单 位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．
下列各点中，不在y＝sinx图象上的是( )
A．(0,0)
B．(π2，1)
C．(32π，－1)
D．(π，1)
[答案] D
x轴与函数y＝cosx的图象的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
[答案] D
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向 1 “五点法”画函数简图
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简 图．
伸长后的图象向上平移 3 个单位长度就得到函数的图象.
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cosx 1 0 －1 0 1
3＋2cosx 5 3 1 3 5
命题方向 2 三角函数的图象变换
利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]． (2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图 象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移 1个单位．如图(1)所示．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图 象的步骤是：
①列表：
x
0
高一数学(人教版) 必修4课件：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(共16张PPT)
1
1-
6 -4 -34
-2 2 -
oo
-1-
-1
2 2
43
4 6 5
6x x
函数y sin x x R的图象
正弦曲线
三、“五点法”画正弦、余弦函数图象：
问题3：我们在作二次函数草图时，是利用哪几个 关键点？类比到作正弦函数图象时，我们应抓住哪 些关键点？
y
1
2
(0,0)
o
2
-1
( ,1) ( ,0)
y2
2
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
函数y cos x x R的图象余弦曲线
问题4：类比于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余
弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下表，然
后作出 y cos x，x [0,2 ] 的简图。
x
0
2
3
2
2
cosx 1 0 1 0 1
y 1
o
2
2
-1
3
2
x
2
例1.(1)画出函数y 1 sin x，x [0,2 ] 的简图：
x
0
sinx
0
1+sinx 1
y 2
1
2
3
2
2
1
0
-1
0
210
1
y=1+sinx，x[0, 2]
o
2
2
-1
3
2
x
2
y=sinx，x[0, 2]
结论: y f x向上平移一个单位得到y f x 1.
y sin x y
1.4.1正弦、余弦函数的图象
y=sinx是一个函数，称为正弦函数；同 样y=cosx也是一个函数，称为余弦函数， 这两个函数的定义域是什么？
正弦函数的图象
y=sinx ( x∈[0,2] )
2 y
5
6
3
2
31
6
● ●
●
7
6 4
2
●
0
11
3 5 6 -1
632
3 23
●
7 4 3 5 11
●
6 3 2 3 6 2
2 5 ●
（2）用五点作图法画正弦、余弦函数的简图
作业：1.课本P46. 1题，《导学案》1题
2.预习1.4.2
函数y=sinx, x[0,2]
y
1
. 函数y=sinx, x[0,2]的图象
.
.
.
o /2 3/2 2
xห้องสมุดไป่ตู้
-1
.
关键点：
(0,0)、(
2
,1)、(
,
0)、(
3
2
,-1)、(
2
,
0)
y=sinx的图象与y=cosx的图象之间的关系
y=cosx=sin(x + ), xR
2
y y = sin x, x∈R 1
x
0
sinx 0
2
3
2
2
1 0 -1 0
1+sinx 1
21 0 1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1●
● 2
●
y=sinx，x[0, 2]
3
2
x
2
●
正弦函数的图象
y=sinx ( x∈[0,2] )
2 y
5
6
3
2
31
6
● ●
●
7
6 4
2
●
0
11
3 5 6 -1
632
3 23
●
7 4 3 5 11
●
6 3 2 3 6 2
2 5 ●
（2）用五点作图法画正弦、余弦函数的简图
作业：1.课本P46. 1题，《导学案》1题
2.预习1.4.2
函数y=sinx, x[0,2]
y
1
. 函数y=sinx, x[0,2]的图象
.
.
.
o /2 3/2 2
xห้องสมุดไป่ตู้
-1
.
关键点：
(0,0)、(
2
,1)、(
,
0)、(
3
2
,-1)、(
2
,
0)
y=sinx的图象与y=cosx的图象之间的关系
y=cosx=sin(x + ), xR
2
y y = sin x, x∈R 1
x
0
sinx 0
2
3
2
2
1 0 -1 0
1+sinx 1
21 0 1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1●
● 2
●
y=sinx，x[0, 2]
3
2
x
2
●
人教版A版高中数学必修4：正弦函数余弦函数的图象
3
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
●
2 0 2 5
●
x
11
6 32 3 6
●
●
5
6
-1
●
●
●
3
思考4：当x∈[2π，4π]时, y=sinx的图象 如何得到？
正弦曲线
y=sinx,x∈R
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
y
y sin x x [0, 2 ]
1-
-
-1
o
6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 图象上，起关键作用的点有： 最高点：(2 ,1)
最低点：(32 ,1)
与x轴的交点：(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1
x
余弦曲线： y cos x x R y
1
-1
x
“波浪连波浪，峡谷接峡谷”
y
T
P(x,y)
高中数学必修4;1.4.1_正弦函数、余弦函数的图像课件
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
7
6 4
●
01
2
●
0
11 6 3 2
3 5 6 -1
●
2 5
●
36
●
●
●
●
x ●
3 23
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
y
终边相同的角的同一 三角函数值相等。
y=sinx, xR
1
-4π -3π -2π
-
o /2 3/2 2π
3π 4π
x
3
查表
y
sin
3
0.8660
x
1(x,sinx).
-
描点
(
3
,0.8660)
y
y
P
1-
3
O M 1x
0
32
1 -
3 2
2
从 标巧 位 几
而 系妙 圆 何
x
确 定 对 应 的 点
内地 ，移
动
到 直 角 坐
中法
角作
的 正 弦
图 的 关 键
线是
，如
几何法：作三角函数线得三角函数值,描点 (x,sin x) ,连线
cos x 1 的解集.
y2
1 y1 2
O
π
5 2π x
-1 3 2
23
0
，
3
5
3
，2
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
变式 当x∈[0，2π]时，求不等式 sin x 1 的解集.
y2
1
3π
π
2
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y cos x sin( x )
2
发现问题：余弦函数 y cos x, x R与函数y sin( x ), x R 2
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
回顾
1、任意角三角函数的定义
2、
,
,
什么? y PT
A(1,0)
-1
OM
xx
的几何意义是 正弦线MP 余弦线OM
正切线AT
3.函数y=sinx，对于任意一个实数x，是 否都有唯一确定的值sinx与之对应？
引例
简谐运动实验
一、作正弦函数 y=sinx (x∈R) 的图象
1-
6
4
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦曲线
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
想一想:余弦函数图象又该如何作图?
探索画图方法
(1)、描点法 (2)、几何法（利用三角函数线） (3)、利用图象平移法
3
5
11
2
2
3
6
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图x 象的最低点 (,1)
-1 -
三.用五点法作y=sinx , x∈[0,2π]的简图
x
0
2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0 -1 0
y
1
.
.
O
π
2
-1
.
π
3π
.
2π x
2.
四、应用举例 例1：画出y=1+sinx , x∈[0，2]的简图
x0 sinx 0
ππ
2
10
3π 2
2
-1 0
1sinx 1 2 1 0 1
2y . 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
练习：画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
x
0
cosx 1
π
π 3π 2π
2
2
0
-1
0
1
- cosx-1 0
1
0 1
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点
(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
y cosx , x [0,2π]
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点 (0,1)
1-
与x轴的交点 (2,1)
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
2
余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦曲线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
2
3
4
5 6 x
y
y sin x, x 0,2
1-
图象的最高点
(
2
,1)
-
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x 与x轴的交点
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1 -
x0 sinx 0
ππ
2
10
3π 2
2
-1 0
1sinx 1 2 1 0 1
2y . 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
练习：画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
x
0
cosx 1
π
π 3π
2
2
0
-1
0
- cosx-1 0
1
0
y
1
y cosx , x [0,2π]
2π
1
-1
O
π 2
π
3π 2
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
小结
1.体会推导新知识时的数形结合思想； 2.理解解决类三角函数图像的整体思想； 3.对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
作业 习题1.4 A组1；B组1
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
2 y
5
6
3
2
31
6
● ●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
7
6 4
●
01
2
●
0
2 5 ●
11 6 3 2 3 6
● ●
3 5 6 -1
●
●
●
x ●
3 23
y=sinx ( x [0, 2] )
y
三、正弦函数y=sinx, x∈R的图象
y2
1
O
π
5 2π x
-1 3
3
0
，
3
5
3
，2
变式 当x∈[0，2π]时，求不等式 sin x 1 的解集.
y2
1
3π
π
2π
O
6
π
5 6
x
-1
小结
通过本节课你学到了什么？
作业 习题1.4 P46 A组1（作业本）
思考：用图像的方法解B组1
四、例题讲解 例1：画出y=1+sinx , x∈[0，2]的简图
y
1
y cosx , x [0,2π]
O
π 2
π
3π 2
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象 有什么关系？
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象 有什么关系？
例2、当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x 1 的解集.
（一）先作出函数 y sin x, x 0,2 的图象
1、描点法
(1).列表
x
0
6
3
2 5
2
3
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2).描点 y
1-
-
0
2
1 -
(3).连线
3 2
2
x
（二）用几何方法作正弦函数y=sinx，x[0，2]的图象：
2
发现问题：余弦函数 y cos x, x R与函数y sin( x ), x R 2
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
回顾
1、任意角三角函数的定义
2、
,
,
什么? y PT
A(1,0)
-1
OM
xx
的几何意义是 正弦线MP 余弦线OM
正切线AT
3.函数y=sinx，对于任意一个实数x，是 否都有唯一确定的值sinx与之对应？
引例
简谐运动实验
一、作正弦函数 y=sinx (x∈R) 的图象
1-
6
4
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦曲线
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
想一想:余弦函数图象又该如何作图?
探索画图方法
(1)、描点法 (2)、几何法（利用三角函数线） (3)、利用图象平移法
3
5
11
2
2
3
6
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图x 象的最低点 (,1)
-1 -
三.用五点法作y=sinx , x∈[0,2π]的简图
x
0
2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0 -1 0
y
1
.
.
O
π
2
-1
.
π
3π
.
2π x
2.
四、应用举例 例1：画出y=1+sinx , x∈[0，2]的简图
x0 sinx 0
ππ
2
10
3π 2
2
-1 0
1sinx 1 2 1 0 1
2y . 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
练习：画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
x
0
cosx 1
π
π 3π 2π
2
2
0
-1
0
1
- cosx-1 0
1
0 1
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点
(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
y cosx , x [0,2π]
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点 (0,1)
1-
与x轴的交点 (2,1)
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
2
余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦曲线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
2
3
4
5 6 x
y
y sin x, x 0,2
1-
图象的最高点
(
2
,1)
-
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x 与x轴的交点
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1 -
x0 sinx 0
ππ
2
10
3π 2
2
-1 0
1sinx 1 2 1 0 1
2y . 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
练习：画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
x
0
cosx 1
π
π 3π
2
2
0
-1
0
- cosx-1 0
1
0
y
1
y cosx , x [0,2π]
2π
1
-1
O
π 2
π
3π 2
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
小结
1.体会推导新知识时的数形结合思想； 2.理解解决类三角函数图像的整体思想； 3.对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
作业 习题1.4 A组1；B组1
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
2 y
5
6
3
2
31
6
● ●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
7
6 4
●
01
2
●
0
2 5 ●
11 6 3 2 3 6
● ●
3 5 6 -1
●
●
●
x ●
3 23
y=sinx ( x [0, 2] )
y
三、正弦函数y=sinx, x∈R的图象
y2
1
O
π
5 2π x
-1 3
3
0
，
3
5
3
，2
变式 当x∈[0，2π]时，求不等式 sin x 1 的解集.
y2
1
3π
π
2π
O
6
π
5 6
x
-1
小结
通过本节课你学到了什么？
作业 习题1.4 P46 A组1（作业本）
思考：用图像的方法解B组1
四、例题讲解 例1：画出y=1+sinx , x∈[0，2]的简图
y
1
y cosx , x [0,2π]
O
π 2
π
3π 2
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象 有什么关系？
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象 有什么关系？
例2、当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x 1 的解集.
（一）先作出函数 y sin x, x 0,2 的图象
1、描点法
(1).列表
x
0
6
3
2 5
2
3
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2).描点 y
1-
-
0
2
1 -
(3).连线
3 2
2
x
（二）用几何方法作正弦函数y=sinx，x[0，2]的图象：