圆锥截线的故事
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
12圆锥和球的截交线
5’(6’) 6’’ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5’’
1’(2’)
62 4
3 51
圆锥截交
圆锥截交
圆锥截交（例2）(3)
柱锥截交2
球体形成 形成 圆绕任一直径回转一周形成。
球体的作图
投影特点：在任一
投影面的投影都 是圆。注意几个 圆的转向线
球的尺寸标注
球的尺寸标注： 完整的球只要一个尺 寸，标SΦ或SR，如： SΦ20或SR10
圆锥体形成
形成 有一轴线，有一母线和
轴线相交，母线绕轴线转一周形 成圆锥面。
形成 圆沿着轴线做直线匀速 运动，同时圆的直径线性减小， 也能形成圆锥面。
圆锥体的投影
投影特点 因为圆锥表面是光
滑的，所以正面、侧面的两条 轮廓线在水平投影上不反映。
圆锥尺寸标注
60
圆锥面上取点法（一）
m’
m’’
1’
1’’
a
b
c
d
选择题2
a
b
c
d
选择题3
a
b
c
d
选择题4
a
b
c
d
球柱1(改错)
球柱2
球锥1
作业（机类）
P27 (1) (2) (3) (5)
m 1
圆锥面上取点法（二）
(n’)
(n’’)
n
圆锥面上取点
1’
3’ (2’)
(2”)
1” 3”
2
1 3
圆锥面上表面取线
圆锥的截交线
α
α
θ
θ
α
α
θ
过锥顶 θ=90°
两相交直线
圆
90°＞θ＞α
圆锥的截交线PPT课件
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 θ=90° 两相交直线 圆
90°＞θ＞α
完椭整版圆课件
θ＝α 抛物线
0°≤θ＜α 双曲11线
例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
如何找椭圆另一 根轴的端点？
截截交交线线的的 投空影间特形性状？？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
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22
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教学难点
两个以上复习回顾
回转体 截交线 的性质
求回转 体的截 交线的 方法
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圆柱体 截交线 的空间 形状
4
复习回顾
1. 回转体截交 线的性质有哪 些？
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5
回转体 截交线 的性质
截交线是封闭的平面 图形。
截交线是截平面与回 转体表面的共有线。
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例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
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1.求圆锥与水平面的截交线
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课堂练习
2.补全视图所缺图线
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课堂练习
3:求圆 锥截交 线，并 完成三 视图。
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完整版课件
17
一.求截交 • 空间及投影分析 线的步骤 • 画出截交线的投影
完整版课件
8
复习回顾
3. 圆柱体截 交线的空间形 状有哪几种？
完整版课件
9
复习回顾
圆柱体的截交线
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
学习生涯
阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧 几里得的后继者学习，那时是托勒密三 世（246BC—221BC）统治时期，到了托 勒密四世（221BC—205BC）时代，他在 天文学研究方面已颇有名气。
后来到过小亚细亚西岸的帕加马王国居 住与工作，晚年回到亚历山大，并卒于 该城。
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
数学的统一美
从给出三种圆锥曲线分别的定义到统一 的定义，让我们看到数学的“统一美”。 只有抓住了不同事物共同的本质，才能 用统一的观点，统一的语言来描述几种 不同的事物。事物的本质是内在的，当 我们用统一的语言把它叙述出来时，这 种内在的本质就外化了，让我们有一种 透过现象看到本质的快感。
公元前262年出生于小亚细亚 的玻尔加，公元前190年卒于 古埃及的亚历山大。亚历山大 时期第三位重要的数学家，与 欧几里得、阿基米德齐名，其 贡献涉及几何学和天文学。
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
生平
《圆锥曲线论》是一部 经典巨作，可以说代表 了希腊几何的最高水平， 直至17世纪笛卡尔、帕 斯卡出场之前，始终无 人能够超越。阿波罗尼 奥斯写此书被后世译者 称为“大几何学家”。
阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯 圆锥曲线的定义 圆锥曲线的方程和性质 圆锥曲线的应用
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
一、圆锥曲线的由来
圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的统 称，因为他们都可以通过“用平面截圆 锥”来得到，所以叫圆锥曲线。
第一个考察圆锥曲线的事希腊学者梅内 赫莫斯（公元前375-前325）
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
当时，这三种曲线均以圆锥曲面为基础 得到，但这三种曲线是分别以三种不同 的圆锥曲面作为基础到的。
圆锥截圆锥曲线
高二数学：圆锥截圆锥曲线
圆锥截圆锥曲线是指一个圆锥与一个圆锥曲线相交所得到的曲线。
具体来说，如果一个圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥面相交所得到的，那么这个平面就被称为圆锥曲线的切平面。
而当一个圆锥与一个圆锥曲线相交时，它们的交线就是圆锥截圆锥曲线。
圆锥截圆锥曲线的形状取决于两个圆锥的形状和大小。
例如，当两个圆锥都是圆形时，它们的交线将是一个圆环；当一个圆锥是圆形而另一个圆锥是椭圆形时，它们的交线将是一个椭圆环；当一个圆锥是椭圆而另一个圆锥是抛物线形时，它们的交线将是一个椭圆形的抛物线等等。
圆锥截圆锥曲线在几何学中有着广泛的应用，例如在计算圆锥曲线的面积和周长、分析圆锥曲线的性质等方面都有重要的作用。
同时，它也是许多工程技术领域中的重要工具，如在建筑设计、机械制造等方面都有应用。
数学家帕斯卡小时候的故事
数学家帕斯卡小时候的故事他提出一个关于液体压力的定律，后人称为帕斯卡定律。
帕斯卡独立地发现出欧几里得的前32条定理，而且顺序也完全正确，并且发现了“三角形的内角和等于180度”。
1642年，设计制造了世界上第一架机械式计算装置——使用齿轮进行加减运算的计算机。
1646年，他制作了水银气压计，反复进行了大气压的实验，为流体动力学和流体静力学的研究铺平了道路。
他还提出了著名的帕斯卡三角形，阐明了代数中二项式展开的系数规律。
数学的魔力让他变得神奇帕斯卡生于法国奥弗涅的克莱蒙费朗，从小他就智力高人一等，聪明伶俐，12岁时就爱上数学，数学的魔力让这个孩子几乎废寝忘食。
而帕斯卡的父亲正好是一位受人尊敬的数学家，对数学颇有研究，他对帕斯卡的影响很大，以致帕斯卡从小对数学产生了浓厚的兴趣，也有机会得到父亲的教导。
在父亲精心地教育下，帕斯卡很小时就精通欧几里得几何。
有一天，他来到父亲的房间，不无得意地说：“我发现了新东西！”父亲正在埋头工作，看到儿子兴致勃勃的模样，立即转过身，温和地说：“是什么？”那一天，父亲怎么也没有想到，年幼的儿子竟然自己独立地发现出欧几里得的前三十二条定理，而且顺序也完全正确。
这实在太出乎父亲的意料了。
同时，父亲也非常高兴，感到自己多年来的培育没有白费，儿子一定会是一个有所作为的学者。
翩翩少年的处女作问世1631年，帕斯卡随家移居巴黎。
巴黎，这个法国的外省人梦寐以求的大都市以它特有的繁华、喧嚣、热闹和复杂接纳了每一个外来的人，也以同样的姿态和表情接纳了帕斯卡一家。
这个时候，帕斯卡只有8岁。
不久，帕斯卡就参加了在巴黎的数学家和物理学家小组活动。
这个时候的帕斯卡，无论是年纪、资历都是非常浅的，更谈不上什么成就。
但是，人人都知道他是个天才少年，是个攀登数学尖端的希望之星。
1639年，帕斯卡16岁了。
小时候对数学、对科学的迷恋丝毫没有随着成长而减弱，这个翩翩少年变得更加聪慧睿智，也更加勤奋好学。
帕斯卡常常挑灯夜读，废寝忘食。
圆锥曲线的起源
起源编辑2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的高的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1]。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
其中; △‘为一与△同号的值，。
定理说明应用该定理于椭圆时,应将代入。
应用于双曲线时,应将代入,同时不应为零,即ε不为零。
求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。
定理补充联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。
其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。
这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
若曲线与直线y=kx+相交于E、F两点,则:这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。
由这个公式我们可以推出：若曲线为椭圆,则若曲线为双曲线,则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：联立两方程得……（二次式子）（*）所以x1+x2=……①，x1x2=……②；所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。
定理简证设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)∆=4mnB^2(ε-C^2)对于等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。
有趣的数学——圆锥截面
有趣的数学——圆锥截面一个偶然的机会看了西奥妮·帕帕斯（TheoniPappas）的《发现数学——原来数学这么有趣》【何竖芬译】一书，自己对数学有了新的认识。
在自己从教二十多年的经历中，没多少同学感觉数学是有趣的，因此感觉自己有义务告诉同学们数学在我们的生活中无处不在，数学本就是人们生活体验的结晶。
正如西奥妮·帕帕斯在序言中说道：想要体验数学的乐趣，你需要认识到数学不是孤立的学科，它就存在于我们周围的事物中，因此，不要让自己埋头于烦琐的运算，劳心费神，没完没了。
而且，很少有人抓住数学的真谛——它与我们的生活和周围环境是那样紧密地联系在一起，数学概念甚至与生俱来就存在于生命细胞的结构里。
本书通过描述数学在生活中的具体体现，旨在帮助你认识到数学与世界是密不可分的。
数学的乐趣与你第一次发现其他新鲜事物是相似的，它几乎是小孩子才有的一种好奇，而一旦体验到了，你就再也忘记不了——就如同你第一次透过显微镜观察到你以前所看不到的周围的事物一样，是那么地兴奋和快乐。
西奥妮·帕帕斯（TheoniPappas）是一位数学教师和顾问，1966年获伯克利加州大学学士学位，1967年获斯坦福大学硕士学位。
她致力于消除数学中的神秘感以及与此有关的优越感和恐惧感。
圆锥截面很多人百思不得其解，数学家们苦苦探究某个问题或概念，就仅仅是因为好奇或感兴趣。
回顾古希腊的思想家，我们发现，他们对概念和原理的深入研究并不是为了能立即付诸运用，而是因为这些研究很有趣或富有挑战性，正如他们对圆锥截面的研究一样。
他们对这些曲线的兴趣，刚开始是想借助它们来解决三个古建筑难题——圆的平方、正方形扩大2倍及交角三等分。
这些问题在当时并没有实际的利用价值，但是它们本身很有挑战性，可以启发数学思想。
相反，那些很有实际利用价值的数学原理却在很多年后才得到论证。
圆锥截面是在公元前3世纪得出的，为17世纪的数学家们打下了坚实的基础，他们开始整理出与曲线相关的各种原理。