极坐标的概念-极坐标的几何意义
第36讲 极坐标与参数方程-教案
一.自我诊断 知己知彼1. 若圆M 的方程为，则圆M 的参数方程为 ．【答案】【解析】由圆M 的方程224x y +=,可知圆心()0,0,半径为 2.所以圆M 的参数方程为:. .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．【答案】2【解析】由于圆M 的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=，所以圆心(1,2)M ， 又因为直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 得普通方程为3450x y --=，422=+y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x由点到直线的距离公式得所求距离2d ==；故答案为：2．3在极坐标系中，点（2，6π）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 【答案】1【解析】在极坐标系中，点（2，6π1），直线θρsin ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 ．【答案】7【解析】曲线的普通方程为()()22116x a y -+-=，直线的普通方程3450x y +-=，直线l 与圆C相切，则圆心(),1a 到l 的距离345475a d d +-==⇒= 5．直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ． 【答案】)6,2(π【解析】由圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）得⎩⎨⎧-=-=1s in 3c os y x θθ可得圆的标准方程为1)1()3(22=-+-y x ，圆心坐标为)1,3(，离圆心的距离33tan ,21)3(22==+=θρ，由题意6πθ=，则圆心C 的极坐标是)6,2(π．二.温故知新 夯实基础1．平面直角坐标系C 4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a C l设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0>,0>,''λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程4.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三.典例剖析 举一反三考点一 坐标系（一）典例剖析例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=；（2）||AB = 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程2cos 24sin 30ρθρθ+-=， 化为2222cossin 4sin 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=．（2）将直线l的参数方程12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-= 【方法点拨】（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果． （二）举一反三1. 已知圆C 的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C的交点的直角坐标为 ． 【答案】)1,1(±【解析】圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为)1,1(± 2. 将曲线22132x y +=按ϕ：变换后的曲线的参数方程为（ ） A. B. C.D.【答案】Dcos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩l sin 1ρθ=l l【解析】由变换ϕ：可得：,代入曲线22132x y +=可得： ()()2232132x y ''+=，即为： 22321,x y +=令(θ为参数)即可得出参数方程.故选：D. 3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 . 【答案】1【解析】将极坐标方程转化成标准方程：()();12122=-+-y x 所以AP 的最小值为1.4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 考点二 参数方程（一）典例剖析例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=，直线L的普通方程为x m =+；（2）1m =± 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去参数t可得x m +． （2）把212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入方程：222x y x +=，化为：2220t t m m ++-=， 由0∆>，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ⋅==，∴221m m -=，解得1m =±0∆>．∴实数1m =±【方法点拨】（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数t 即可将直线的参数方程化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得到一个含t 且关于x的一元二次方程2220t t m m ++-=，然后利用参数t 的几何意义知，12||||1PA PB t t ⋅==22m m =-，并由t 的范围（利用判别式大于零求范围）求出值域即可．例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6()sin 6x t t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．【答案】（1）30x +=，22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）；（2）17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）直线:3l x +=，即：30x -+=由24cos ρρθ=得：224x y x +=，即：22(2)4x y -+=0,sin 02y πθρθ≤≤∴=≥.故C 的参数方程为：22cos (0)2sin x y ααπα=+⎧≤≤⎨=⎩ （2）设点(22cos ,2sin )M αα+到直线30x +=的距离为dd ==54sin()1654sin()(0)226παπααπ--⎛⎫==--≤≤ ⎪⎝⎭51sin()166626ππππαα-≤-≤-≤-≤时,min max 117sin()1,,sin(),62622d d ππαα∴-==-=-=时时点M 到直线l 的距离的范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【方法点拨】（1）消去t 可得直线l 的直角坐标方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程，进而引入参数α可得曲线C 的参数方程；（2）先计算点M 到直线l 的距离，再利用三角函数的性质可得点M 到直线l 的距离的范围． （二）举一反三 1. 若P 为椭圆上的点，则的取值范围是 ．【答案】[]2,2- 【解析】依题意可得sin m n θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 1sin 2cos sin 2sin 223m n πθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, R θ∈, []sin 1,13πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭, []2sin 2,23πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭.即[]2,2m n +∈-),(n m n m +2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是 ． 【答案】)1 , 3(-【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3消去参数t ，得2C的普通方程为(0)y x x =≥，代入1C 方程5222=+y x 整理得：23x =，解得x =1y =-，因此交点为1)-.3. 参数方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为 ．【答案】212y x =-，[1,1]x ∈-【解析】由2cos 212sin θθ=-得212y x =-，又sin [1,1]θ∈-，所以[1,1]x ∈-，因此普通方程为212y x =-，[1,1]x ∈-4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 . 【答案】34【解析】消去参数在，整理圆的方程22(2)(1)4x y -+-=；带入点到直线的距离公式，考点三 综合问题（一）典例剖析例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 为参数，0απ≤<），曲线C 的参数方程为 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值. 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=；（2）【解析】（1）曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点()0,2，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1244424OM ON sin sin sin cos ππρρθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=， OM ON +取得最大值为【方法点拨】(1)由题意可得曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，将其转化为极坐标方程即24sin ρρθ=.(2)由参数方程可知直线l 过圆C 的圆心，则2MON π∠=，设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4OM ON πθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得OM ON +取得最大值为.例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭ 或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【方法点拨】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为 ，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.【答案】（1）2213x y +=， 80x y +-=（2）【解析】（1）由曲线1C ：得{ cos y sin αα==即：曲线1C 的普通方程为： 2213x y +=由曲线2C ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos ρθθ+=即:曲线2C 的直角坐标方程为： 80x y +-=（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点),sin Pαα到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为【方法点拨】（1）对于1C ，利用22cos sin 1αα+=，化简得2213x y +=，对于2C ，展开后利用极坐标与直角坐标转化公式，化简的80x y +-=.（2）直接利用点到直线距离公式，求出距离，并用辅助角公式化简，利用三角函数最值求得距离的最小值. （二）举一反三例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=，(222x y +=（2）2⎡-+⎣【解析】（1）由{26x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C的普通方程为(222x y -+=；（2）据题意设点)Mθθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3AOB π=，求AOB 的面积的最大值.【答案】(1)4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2) .【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(()2214x y -+-=，即2220x y y +--=，所以，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)不妨设()1,A ρθ， 2,3B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，,33ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.则14sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，224sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，AOB 的面积12112sinsin sin 232333S OA OB ππππρρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当0θ=时， AOB 的面积取最大值为例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 （α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)3y x m =-；（2）1m =±0m =或2m =.【解析】（1）()2212x y ⇒-+=故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l)3x m y x m -+⇒=-. （2）直线l的参数方程可以写为,{12x m y t =+=（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =.四.分层训练 能力进阶【基础】1. 曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是 ．【答案】6【解析】消参后化为：14522=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，整理为1162522=+y x ，所以焦距6162522=-=c ． 2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y tx 431（t 为参数）【答案】⑴1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆.⑵0434=-+y x ，它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 【解析】本题主要是考查参数方程化为普通方程，（1）对两个式子中右边的系数挪到左边，利用三角函数的平方关系式消去ϕ整理即得到；（2）可以代入消元或加减消元消去t 得普通方程.解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222s i n c o s 1625+=+y x 即1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆. ⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty t x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431yx ⋅-=∴0434=-+y x∴它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是A ．51 B ．52 C ．54 D ．56 【答案】D【解析】直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=+=，消参数得,3234+=x y 即0234=+-y x ，则点()0,1到直线l 的距离是564320422=++-=d ，故选D4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ，曲线C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x ． （1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）2=+y x ，122=+y x ；（2）12+=l ．【解析】（1）222cos 22sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅θθρ，根据⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入得：2=+y x 根据1cos sin 22=+θθ，消参后的方程是：122=+y x ．（2）直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，即222==d ，那么最大距离就是12+=l5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==tm x t y 2222（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）2240x y x +-=，y x m =-；（Ⅱ）1或3．【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ化为直角坐标方程为：0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=（5分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R =2，圆心到直线l 的距离22)214(222=-=d ，∴ 1222202=-⇒=--m m ∴ 31==m m 或解法二：把22x t my t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）代人方程2x 042=-+x y得222)40t m t m m -+-=∵ m m t t m t t 42(222121-=--=+），∴ 21221214)(t t t t t t AB -+=-= ∴ []14)442(222=---=m m m （）∴ 31==m m 或【巩固】1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】点P 的轨迹为x ²+y ²=1，则点P 到直线的距离可转化为圆上任意一点到直线的距离。
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
极坐标的概念
极坐标的概念（⼀）极坐标概念确定平⾯内的点的位置有各种⽅法，⽤⼀对实数确定平⾯内的点位置的⽅法称为直⾓坐标⽅法，因其⽅法简捷且应⽤⼴泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）⽽成为解析⼏何中最主要的内容；⽤⽅向（⾓）和距离来确定平⾯内的点的位置是极坐标的基本思想。
极坐标在⼯程中和军事上也有⼴泛应⽤。
1.1极坐标系定义在平⾯上选⼀定点O，由O出发的⼀条射线OX，规定⼀个长度单位和⾓的正⽅向（通常以反时针旋转为正⽅向）合称⼀个极坐标系。
其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极⾓两个量构成点的极坐标，⼀般记作（ρ，θ）。
1.2平⾯内的点与极坐标系的关系平⾯内有⼀点P，|OP|⽤ρ表⽰，ρ称为P点的极径；OX到OP的⾓θ叫极⾓，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有⼀组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯⼀的点与其对应；(2)在极坐标系中有⼀个点P，则有⽆数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极⾓不固定。
（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表⽰同⼀点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。
ρ＞0时，极⾓的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极⾓为任意⾓，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表⽰同⼀点。
∴极坐标与极坐标平⾯内的点不⼀⼀对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表⽰同⼀点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点⽽垂直于极轴的直线）对称。
故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三⾓形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极⾓相差π，A、B以极点对称，⼜|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极⾓为.∴或故选B 。
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。
极坐标
By 昆仑路远
这个东西在高考范围其实不用钻的很深，会用就好了，需要注意的就是各种曲 线的极坐标方程以及各参数的几何意义。 什么是极坐标呢，我也不知道。我只知道把一条长为ρ的线段 OP 从水平零角绕 它的一个端点 O 转，这个端点 O 叫极点，从 O 延伸的一个标准方向的坐标轴 叫极轴（极坐标系只有一根坐标轴）线段的长度ρ叫极径。另一个端点 P 对应 转的角度θ（极角）和它的长度ρ 就是对应的“坐标”记为 P（ρ，θ） 。自己感 受下画画图。 那曲线的极坐标呢？首先选定极点，还有单位长度与角度单位。这个很重要， 以椭圆为例，可以选中心为极点，也可以选焦点为极点。对应的极坐标是不一 样的！ 想象一下，长短不一的线段，有同样的端点，那么把他们的另一个端点连起来 就形成曲线，曲线上每一点都有对应的坐标。因为角度关系，所以非极点的坐 标不唯一。 注：极角与极径有正负！！详见课本。
这一般是第一问。如果纯考极坐标一般有一下几种题型： 给另外一个点 Q 与 P 共线，给出各种线段关系，例如 OP，OQ， PQ 此类
题往往化简成 OP=多少倍的 OQ，因为 O 为极点，且 PQ 共线，那么他们公用 一个极角，这个长度关系就是极径的关系。
P 2出自《高考数学你真的掌握了吗》圆锥曲线篇 第二章）
x cos y sin 接 2 2 2 下来就是最重要的三个等式让极坐标和直角坐标联系 x y
起来 怎么来的？我们不妨以极轴为 x 轴，过 O 作 y 轴形成直角坐标系，那么 P 点 在这里应该表示为（x，y） ，把 PO 连接，过 P 分别作 x y 轴垂线，由三角函数 关系可推知上述等式。记不清上面的 xy 和 sin cos？不妨画个图。有了这个等 式，我们就可以暴力破解题目了。 常见题目，给出一个圆的直角方程，或者给出半径和圆心位置，让你写它的极 坐标方程，这种题目一般有两种做法，老师和高手喜欢用一种高大上的几何意 义来解决，通俗地讲就是先画图，利用正弦定理表达出ρ与θ的关系。但是对于 掌握不好的同学就不要强行装逼了。老老实实用上面的三个等式暴力破解吧。 记得用辅助角公式化简哈
极坐标系定义
极坐标系定义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统。
在直角坐标系中，我们可以通过横纵坐标来确定一个点的位置，而在极坐标系中，我们则是通过点到原点的距离和点与横轴的夹角来确定点的位置。
极坐标系的核心概念有两个，分别是极径和极角。
极径是指点到原点的直线距离，通常用字母r表示，而极角则是点与横轴的夹角，通常用希腊字母θ表示。
通过极径和极角，我们可以唯一确定平面上的一个点的位置。
极坐标系在数学和物理学中有着广泛的应用，特别是在描述圆形和旋转问题时非常方便。
以极坐标系描述圆形时，所有的点到原点的距离都是相等的，而夹角则可以描述点在圆周上的位置。
这种描述方法在研究弧度、角速度等问题时非常有用。
极坐标系的转换和变换也是比较简单的。
我们可以通过一些基本的三角函数关系来将极坐标系和直角坐标系相互转换。
对于一个点P(r, θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)通过这种相互转换的方式，我们可以在不同的坐标系中进行计算和描述，方便求解复杂的问题。
极坐标系是一种很有用的坐标系，特别适合描述圆形和旋转问题。
在数学、物理和工程领域中，极坐标系的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
希望通过这篇文章的介绍，读者们能更加深入地了解极坐标系的定义和应用。
第二篇示例：极坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，它使用一个点与原点的距离和这个点与x轴正方向的夹角来确定点的位置。
在极坐标系中，每个点可以表示为一个有序对(r,θ)，其中r代表点到原点的距离，θ代表点到x轴正方向的夹角。
极坐标系常用于描述圆形和极坐标方程，它提供了一种简单和直观的方式来描述平面上的点。
在极坐标系中，点的位置可以通过一个极坐标曲线来表示，这种曲线通常具有对称性，比如圆形、椭圆形等。
在极坐标系中，点的位置是由两个参数确定的，即极径r和极角θ。
1的极坐标形式-概述说明以及解释
1的极坐标形式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标形式是一种表达复数的方式，它以一个数的长度（模）和角度（幅角）来描述复数的位置。
通过将复数表示为模和幅角的形式，极坐标形式可以提供更直观且容易理解的描述，尤其在处理一些与角度相关的问题时具有优势。
在极坐标形式中，复数可以表示为z = r(cosθ+ isinθ)，其中r表示模，θ表示幅角。
模r是复数离原点距离的度量，而幅角θ则是以原点为顶点的线段与正实轴的夹角。
通过使用这样的表达方式，我们可以直观地了解复数在平面上的位置以及其与其他复数之间的关系。
极坐标形式的优点之一是它能够简化复数的运算。
复数的加法、减法以及乘法等运算在极坐标形式下更加直观和易于计算。
通过将复数相加或相乘的模和幅角进行简单的运算，我们可以得到结果的极坐标形式，而无需对实部和虚部进行繁琐的计算。
这种简化的运算方式在处理一些复杂的数学问题时非常有用。
此外，极坐标形式还可以方便地描述周期性现象和振荡现象。
对于周期性变化的物理量或函数，通过使用极坐标形式，我们可以直接观察到其振幅和相位角的变化规律，而无需对其进行复杂的数学分析。
这使得极坐标形式在信号处理、电路分析等领域具有广泛的应用。
综上所述，极坐标形式作为一种描述复数位置和运算的方式，具有直观、简化计算和适用于周期性现象的优点。
通过深入理解极坐标形式的特点和应用，我们可以更好地应用它解决实际问题，同时也可以进一步探索并拓展其在数学和工程领域中的潜在应用。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分进行解析，具体如下：第一部分为引言部分，主要概述了本文的内容和结构，以及文章的目的。
在这一部分中，我们将简要介绍极坐标形式及其优点，并对本文的主要内容进行概述。
第二部分为正文部分，主要讨论了什么是极坐标形式以及其优点。
在2.1部分，我们将详细介绍极坐标形式的定义和表达方式，并探讨其与直角坐标形式的关系。
在2.2部分，我们将重点讨论极坐标形式的优点，包括其简洁、直观、适用于描述圆形和对称性等方面。
极坐标角度范围-概述说明以及解释
极坐标角度范围-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标是一种表示平面点的坐标系，它与我们通常所使用的直角坐标系有所不同。
在直角坐标系中，一个点的位置可以由横坐标和纵坐标来确定，而在极坐标系中，点的位置则由它与原点的距离和与固定方向的夹角来确定。
在极坐标中，夹角是一个重要的概念。
它决定了点的位置相对于原点方向的角度。
然而，与直角坐标系不同，极坐标中的角度表示方式具有一定的特殊性，即角度范围的限制。
本文将重点讨论极坐标角度范围的意义和重要性。
了解极坐标角度范围的意义，有助于我们更好地理解极坐标系的特性和使用方法。
同时，对极坐标角度范围的进一步研究也有助于拓展其应用领域，并为相关领域的研究提供参考和支持。
接下来的章节将对极坐标的基本概念进行简要介绍，并详细阐述极坐标角度的定义以及其范围的意义。
通过深入探讨极坐标角度范围的重要性，我们将能够更好地理解其在数学、物理以及其他学科中的应用。
最后，本文将总结极坐标角度范围的重要性，并展望未来可能的研究方向。
在接下来的章节中，我们将探讨具体的内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和内容安排。
通过明确的文章结构，读者可以清楚地了解文章的整体思路和论述框架，有助于读者更好地理解文章的内容和逻辑关系。
文章结构部分可以首先简要介绍文章的总体框架，包括引言部分、正文部分和结论部分。
其中，引言部分主要是为读者提供背景信息和总体概述，引导读者进入主题；正文部分是文章的核心内容，主要论述极坐标角度范围的基本概念、定义和意义等内容；结论部分则对文章进行总结，强调极坐标角度范围的重要性，并展望进一步研究的方向。
接下来，可以具体介绍每个部分的内容和主要论述点。
引言部分的内容可以包括概述极坐标的相关知识和应用背景，以及本文的研究目的和重要性等。
正文部分可以分为多个小节，每个小节详细介绍极坐标角度的基本概念、定义和范围的意义等内容，可以逐步展开论述，引用相关理论和实例加以说明。
（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）
（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。
，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。
（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。
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极坐标系
5
极坐标系的建立：
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点； (2)引一条射线Ox，叫做极轴； (4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向). 这样建立的坐标系叫做极坐标系. · O
极坐标系
(3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）；
θ x
6
极坐标系内点的极坐标的规定
对于平面内任意一点M，用 表示极点 与点M的距离，叫做点M的极径, 表示以 Ox为始边,OM为终边的角，叫做点M的极角, 有序数对（，）就叫做M的极坐标。 .M(ρ,θ） 一般地，不特殊说明时 ，我们 认为 0，可取任意实数。 O x
小结：在极坐标中，点 的坐标由表示距离的极 径 和极角确定，因此可以将它与 解三解形联系起来， 解决一些与三角形边长 和面积有关的问题。
极坐标系
15
知识延伸
• 一般地，对于极坐标内不与极点重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
P 1P 2 ? S OP1P 2 ?
请同学们自己推导。
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π，那么除极点外,平面
内的点和极坐标就可以一一对应了. 特别强调： 一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0.
范例剖析，应用概念
5 例1 ： 在 极 坐 标 系 中 ， 已点 知A 3， ，B 4， ， 6 6 求线段 AB的 长 和 ABO的 面 积 。
极坐标系
7
特别规定：
当 M 在极点时，它的极径=0，极角 可以取任意值.如：极坐标(0,π)，(0,-30º ), (0，0)，…等都是表示极点.
极坐标系
8
小试牛刀，巩固新知
1. 说出下图中各点的极坐标
答： A(3, 0)
π B(2, ) 4 5π D(1, ) 6 4 F (5, ) 3
极坐标系
18
2、中央气象如在2004年7月15日10：30发 布的一则台风消息：今年第9号热带风暴 “圆规”的中心今天上午八点钟已经移到 了广东省汕尾市东南方大约440公里的南 海东北部海面上，中心附近最大风力有9 级。请建立适当的坐标系，用坐标系表示 出该台风中心的位置。
极坐标系
19
3、在极坐标系中，已知 A,B两点间的距离。 4、上网搜集极坐标系有关数学史，了解极 坐标的发展历程，并作好读书笔记。
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表 达式？
极坐标系 13
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内可确定唯一的一点M； (2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应。
2 A(3, ), B(1, ) 两点 ，求 3 3
极坐标系
20
情景引入，思疑激趣
我们知道，平面直角坐标系 是一个常用的数学工具。平面直 角坐标系中的点与数对（x,y） 是一一对应的关系，也是最简单 最常用的一种坐标系。但它不是 唯一的一种坐标系，有时用别的 坐标系更加方便。
y
b
O
P(a,b)
.
a
x
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.
极坐标系
2
如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学 楼A处，请回答下列问题： （1）他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他 应如何描述？
π C (3, ) 2
E(3.5, π)
5 G (4, ) 3
极坐标系
9
2.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标. C D 解:以点A为极点,AB所在 的射线为极轴(单位长
120m E 450 度为1 m),建立极坐标系. 50mA B 0 A ( O ) 60 则点A,B,C,D,E的极坐 60m
x
标分别为
3 120， ）， D（ 60 3， ）， E（ 50， ） A0,0 ， B60,0 ， C（ 3 2 4
深入探究，深化概念
在同一个极坐标中描出 以下各点： A(4, ), B(4, 2 ), C (4, 4 ), D(4, 2 ) 6 6 6 6
【思考】 （1）它们所表示的点有什么关系？ （2）你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？
极坐标系
16
这节课我们学到了什么？
极点 四 极轴 1.极坐标系的建立 要 单位长度 素 角度的正方向 2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 （1）给定（,）,就可以在极坐标平面内 确定唯一的一点M. （2）给定平面上一点M，但却有无数个极坐 标与之对应.
作业设计
1.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标 系中的位置如图所示，试建立适当极坐 标求这个正六边形各顶点的极坐标。
极坐标系
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平面直角坐标与极坐标系的比较
类比 定位方式
点的形式
平面直角坐标系
两个距离
极坐标系
距离和角度
x, y x, y R
一一对应 两直线相交确定点的位 置
， 0， R
不是一一对应
与平面内点 的关系 数学本质
圆与射线相交确定点的 位置源自极坐标系12探究
抽象概括，形成概念
在上述问题中，你认为确定一个位置 需要哪些要素呢？ 距离与方向
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置：如台风预报、地震 预报、测量、航空、航海等. 这种用方向和距离表示平面上一点的位 置的思想，就是极坐标的基本思想.
极坐标系 4
极坐标系
思考：
你认为建立一个极坐标系需要哪些 要素呢？