极坐标几何意义解题资料

2021选修4-4极坐标高考绝密资料总结打印版(A3)

1、极坐标与直角坐标之间的相互转化主要用换算关系式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x2、点的极坐标化直角坐标⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x3、直角坐标化极坐标（1）极径ρ=√x 2+y 2（2）极角：先用tan θ=xy ,然后结合（x,y ）所在象限求出角θ1、已知A 极坐标(3,4π-)化为直角坐标____2、已知A 极坐标(√3,32π)化为直角坐标____3、已知A 直角坐标(1，-√3)化为极坐标____4、已知A 直角坐标(-3，-3√3)化为极坐标____1．若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为_____.2．已知圆C 的极坐标方程为ρ=2sin θ+23cos θ，则圆心C 的一个极坐标为 .3．极坐标方程ρ=2化为直角坐标方程是．4．已知圆的极坐标方程为4(cos 2:πθρ-=l )，则该圆的半径是 .5．在极坐标系中，曲线ρsin 2θ=4cos θ的焦点的极坐标 .6．已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ-2ρcos θ+3=0则直线l 的斜率是___________．7．已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ+23sin θ，则圆心C 的一个极坐标为．8．在极坐标系中，点A 极坐标为(4,0)，直线L 的极坐标方程为ρ(sin θ-cos θ)=-2，则点A 到直线L 的距离等于．9．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A 、B 两点，则|AB|= .10．已知直线的极坐标方程为224)(:=+πθρcos l ，则点（0,0）到这条直线的距离是 .11．在极坐标系中，判断圆ρ＝2cos θ与直线ρsin θ+ρcos θ＝1位置关系．12．已知圆的极坐标方程为ρ=2cos θ，则该圆的圆心到直线ρ(sin θ+2cos θ)=1 的距离是 .13在极坐标系中，曲线ρ=2上到直线ρcos （θ﹣4π）=1的距离为1的点的个数是．14．在极坐标系中，曲线ρ=2sin θ与ρ(sin θ-cos θ)=2相交于点A,B 两点，则|AB|______.15．在极坐标系中，曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=23的交点的极坐标为_________.16．在极坐标系中，ρ(sin θ-cos θ)=a 与曲线ρ=2sin θ-4cos θ相交于A,B 两点，若|AB|=23则实a 值为 .17．曲线C 直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为18．在极坐标系中，曲线：2cos =θρ与曲线12cos :22=θρC 相交于A ，B 两点，则｜AB ｜＝19．极坐标系中，设曲线ρ=2sin θ与ρ=2cos θ的交点分别为A,B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .20．若直线的极坐标方程为=-)(:4πθρcos l 32，曲线：ρ=1上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为三、直线的极坐标方程四、圆的极坐标方程1.极径几何意义：极坐标下点到极点的距离2.运用极径几何意义，可以求过极点的直线θ=α上两点距离步骤：（1）画出图形，观察要计算的的线段AB对应的直线是否过极点，若是，可以用极径，否则不能用（2）通过题干求ρA，ρB，（3）根据|AB|=|ρA-ρB|，计算|AB|例题：1.在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB(其中O为极点)的面积2.已知曲线C极坐标方程：)0(2cos342>-=ρθρ，（1）求曲线C的参数方程。

极坐标讲义与例题

极坐标与参数方程一、基础知识与例题► 考向一极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标．例1在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2距离的最大值．解：(1)设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝3 22，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋3 22.► 考向二简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．例2 已知圆(x －2cos θ)2＋(y ＋2cos 2θ－2)2＝1. (1)求圆心的轨迹C 的方程；(2)若存在过点P (0，a )的直线交轨迹C 于A ，B 两点，且|P A |，|AB |，|PB |构成等比数列，求a 的取值范围．解：(1)圆(x －2cos θ)2＋(y ＋2cos 2θ－2)2＝1的圆心(x ，y )的坐标为(2cos θ，2－2cos 2θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2－2cos 2θ，消去参数θ后可得轨迹C 的方程为y ＝4－x 2(－2≤x ≤2)．(2)设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝a ＋t sin α(α为直线AB 的倾斜角，t 为参数)，代入y ＝4－x 2，得t 2cos 2α＋t sin α＋a －4＝0，显然cos α≠0，即α≠π2，设其两根为t 1，t 2.∵|PA |，|AB |，|PB |构成等比数列，即|AB |2＝|PA |·|PB |，又∵|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4cos 2α，|AB |2＝|t 1－t 2|2＝sin 2αcos α－4a －4cos α＝sin 2α－4（a －4）cos 2αcos α， ∴sin 2α－4（a －4）cos 2αcos 4α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4cos 2α，即sin 2α＝[4(a －4)＋|a －4|]cos 2α，∴tan 2α＝4(a －4)＋|a －4|.由tan 2α≥0得a ≥4，又|PA |·|PB |＝|t 1t 2|≠0，∴a >4，tan 2α＝5(a －4)，又设轨迹上的点M (－2，0)，N (2，0)，则tan 2α≤k 2MP ＝a 24，∴a 2－20a ＋80≥0，又a >4，∴a ≥10＋2 5或4<a ≤10－2 5.► 考向三极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查，为坐标系与参数方程试题的基本考查方式．例3 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值．解：(1)∵ρ＝2 3cos θ－2sin θ，∴ρ2＝2 3ρcos θ－2ρsin θ.由于ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－2 3x ＋2y ＝0.∴圆C 在直角坐标系中的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝4. (2)∵点A 的极坐标为(3，2π)，∴点A 的直角坐标为(3cos 2π，3sin 2π)，即(3，0)．圆心C (3，－1)为线段AB 的中点，故点B 的直角坐标为(3，－2)．∵圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，P 为圆C 上任意一点，∴设点P 的坐标为(3＋2cos θ，－1＋2sin θ)，则|PA |＋|PB |＝（2cos θ）2＋（2sin θ－1）2＋（2cos θ）2＋（2sin θ＋1）2＝5＋4sin θ＋5－4sin θ＝（5＋4sin θ＋5－4sin θ）2＝10＋2 25－16sin 2θ. 当sin θ＝0时，(|PA |＋|PB |)max ＝10＋10＝2 5. ∴|PA |＋|PB |的最大值为2 5.二、教师备用例题例1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．(1)求|AB |的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程，化简得 7t 2－12t －5＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝127，t 1t 2＝－57.所以|AB |＝（－3）2＋（－4）2|t 1－t 2|＝5 （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝10 717.(2)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为(－2，2)，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为t 1＋t 22＝67.所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为|PM |＝（－3）2＋（－4）2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪67－0＝307.例2. 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．解：(1)曲线C ：ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t代入上式并整理得t 2－4 3t ＋12＝0.解得t ＝2 3.所以点T 的坐标为(1，3)．其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(2)设直线l ′的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由(1)得曲线C 是以(2，0)为圆心的圆，且圆心到直线l ′的距离为 3. 则|3＋k |k 2＋1＝ 3. 解得k ＝0或k ＝ 3.直线l ′的方程为y ＝3或y ＝3x .其极坐标方程为ρsin θ＝3或θ＝π3(ρ∈R )．三、相关练习 1.已知椭圆的极坐标方程为，点为其右焦点，（Ⅰ）求曲线的普通方程；(Ⅱ).过点作倾斜角为的直线l 与曲线交于不同的两点．求的取值范围。

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t的几何意义的应用1.（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2求M、N两点。

Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值。

解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x。

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.Ⅱ）直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2（t为参数），两曲线相交于M、N两点。

代入y2=4x，得到t1=-4，t2=6.则|PM|+|PN|=|t1+t2|=10.2.（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为x=t+1，y=t-1（t为参数），点A的极坐标为（2，π/4），设直线l与圆C交于点P、Q两点。

1）求圆C的直角坐标方程；2）求|AP|•|AQ|的值。

解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆。

2）点A的直角坐标为(2,2)，所以点A在直线l上。

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-2=0.由韦达定理可得t1=-2，t2=1.根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=2.3.（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)。

I）求直线l和C的普通方程；II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，-2），求||PA|-|PB||的值。

解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，所以直线l的普通方程为：x-y+2=0.圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)，所以圆C的直角坐标方程为：(x-2)2+y2=16.II）直线l的参数方程为：x=tcosθ+tsinθ，y=tsinθ-tcosθ-2（t为参数）。

（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

第四章平面问题的极坐标解答（讲）

第四章平面问题的极坐标解答§4-1 极坐标中的平衡微分方程对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。

因为用极坐标表示其边界线非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。

在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标ρ及环向坐标ϕ来表示，图4-1。

极坐标和直角坐标都是正交坐标系，但两者有如下区别：在直角坐标系中，x和y坐标线都是直线，有固定的方向，x和y坐标的量纲都是L。

在极坐标系中，ρ坐标线（ϕ=常数）和ϕ坐标线（ρ=常数）在不同的点有不同的方向；ρ坐标线是直线，而ϕ坐标线为圆ϕ坐标为量纲一的量。

这些区别将引弦曲线；ρ坐标的量纲是L，而起弹性力学基本方程的差异。

为了表明极坐标中的应力分量，从所考察的薄板或长柱形体中取出任一厚度等于1的微分体PACB，在xy平面上，这个微分体是由两条径向线（夹角为d ϕ）和两条环向线（距离为ρd ）所围成，如图所示，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用ρσ代表；沿ϕ方向的正应力称为环向正应力或切向正应力，用ϕσ代表；切应力用ϕρρϕττ及代表（根据切应力的互等关系，ϕρρϕττ=）。

各应力分量的正负号规定和直角坐标中一样，只是ρ方向代替了x 方向，ϕ方向代替了y 方向。

即正面上的应力以沿正坐标方向为正，负面上的应力以沿负坐标方向为正，反之为负。

图中所示的应力分量都是正的。

径向及环向的体力分量分别用ϕρf f 及代表，以沿正坐标方向为正，反之为负。

与直角坐标中相似，由于应力随坐标ρ的变化，设PB 面上的径向正应力为ρσ，则AC 面上的将为ρρσσρρd ∂∂+；同样，这两个面上的切应力分别为ρϕρϕττ及+ρρσϕd ∂∂。

PA 及BC 两个面上的环向正应力分别为ϕσ及ϕσ+ϕρσϕd ∂∂；这两个面上的切应力分别为ϕϕτττϕρϕρϕρd ∂∂+及。

对于极坐标中所取的微分体，应注意它的两个ρ面PB 及AC 的面积不相同，分别等于()ϕϕρϕρd d d +及；两个ϕ面PA 及BC 的面积都等于d ρ，但此两面不平行。

（完整版）极坐标几何意义的运用

（完整版）极坐标几何意义的运用极坐标、参数方程几何意义的应用一、t 几何意义的理解：1、(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为?x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 与曲线C交于A ，B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为22，π4，求|PA |·|PB |的值.2、(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为?x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.二、ρ几何意义的理解：3、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).(1)求曲线C 的极坐标方程；4、（2019顺德一模）在直角坐标系xOy中，曲线12cos :2sin x C y ?=+=?? （?为参数），直1cos sin x t l y t αα=??=?：（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 与1l 的极坐标方程；（2）当63ππα-<<时，直线1l 与C 相交于O A 、两点；过点O 作1l 的垂线2l ，2l 与曲线C 的另一个交点为B ，求OA OB +的最大值．5、（2019广州）已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,OB 两点，求AOB △的面积．6、已知曲线C 的参数方程为x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4. (1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.7、(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为?x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.8、(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. (1)求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|OA |·|OB |.极坐标、参数方程几何意义的应用参考答案：1、解 (1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2 ＝1.(2)点P 的直角坐标为12，12.法一 P 12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得12－22t ′2＋212＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0，|PA |·|PB |＝|t 1′|·|t 2′|＝|t 1′t 2′|＝56. 2、解(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点. 当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O交于两点当且仅当??21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4. 综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l 的参数方程为x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4).设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4).3、解 (1)将方程x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标分别为ρ1，π6，ρ2，π6，由ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.4、解：（1）因为曲线12cos :2sin x C y ?=+=?? （?为参数），所以曲线C的普通方程为：22(1)(4x y -+=………………………1分由cos ,sin x y ρθρθ==得C的极坐标方程为22cos sin 0ρρθθ--=．化简得：2cos ρθθ=+……………………………………2分因为直线1cos sin x t l y t αα=??=?：（t 为参数），所以直线1l 的极坐标方程为：()θαρ=∈R (4)分（漏写ρ∈R 不扣分）（2）设点A 的极坐标为(,)A ρα，63ππα-<<，则2cos 4sin 6A πρθθα??=+=+……6分点B 的极坐标为,2B πρα??+，则4sin 4cos 266B πππραα??=++=+ ? ??………7分54sin 4cos 6612A B OA OB πππρρααα∴+=+=+++=+ ? ? ???????……8分所以当12πα=时，()maxOA OB+=………………………………………10分解法二：由已知得：90AOB ∠=?，AB ∴为O e 的直径…………………5分故有2222416OA OB AB +===，………………………………………6分222822OA OB OA OB+?+∴= ?≤，……………………8分即OA OB +=≤9分当且仅当OA OB ==时，OA OB +取得最大值10分5、解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y =．…2分因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………3分所以22(3)(1)4x y -+-=，……………………………4分所以曲线C的参数方程为32cos 12sin x y αα=+??=+??（α为参数）．……………………5分（2）联立6=23cos 2sin πθρθθ?=?+?得14OA ρ==，……………………………6分同理，223OB ρ==．……………………………………………………………7分又6AOB π∠=，………………………………………………………………………8分所以111sin 42323222AOBS OA OB AOB ?=∠==，…………………9分即AOB ?的面积为23．……………………………………………………………10分6、解 (1)由?x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋1 2ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，联立射线θ＝π3与曲线C 的极坐标方程，得A ，B 两点的极坐标分别为2，π3，4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin π3＋π6＝2 3. 7、解 (1)由l 1：?x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，得l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①(2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴l 3与C 的交点M 的极径为 5.8、解 (1)由x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t消去t ，得y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . ∴直线l 的普通方程为y ＝3x . 曲线C ：ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. ∴其直角坐标方程x 2＋y 2＝4x＋23y －4，即(x －2)2＋(y －3)2＝3.(2)易由y ＝3x ，得直线l 的极坐标方程为θ＝π3.代入曲线C 的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，所以|OA |·|OB |＝|ρA ·ρB |＝4.。

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极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标．三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2017秋•天心区校级期末）点M，为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①，；②，；③，；④，．其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：在极坐标系中，与点M，关于极点对称的点的坐标一是极径不变，极角互补，是：②，；另一种是极角不变，极径互为相反数，是③，；故选：C．2．（2017秋•南关区校级期末）在直角坐标系xOy中，点A（﹣2，2）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（）A．，B．（2，）C．，D．，【解答】解：根据题意，设极坐标系下，点A的极坐标为（ρ，θ），则有ρ==2，tanθ=﹣1，则有θ=，分析可得：点A的极坐标为（2，）；故选：B．3．（2018春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标为（﹣，﹣1）化为极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【解答】解：∵点M的直角坐标为（﹣，﹣1），∴ρ==2，再根据此点位于第三象限，且tanθ==，∴可取θ=，故选：B．4．（2018春•滦南县期末）点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（cosπ，sinπ），即（﹣1，0）．故选：B．5．（2018春•伊通县期末）点P极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（﹣，1）【解答】解：根据题意，设P的直角坐标为（x，y）点P极坐标为（2，），则有，解可得，即P的直角坐标为（﹣，1）；故选：D．6．（2018春•新罗区校级期中）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．B．3 C．D．9【解答】解：∵在极坐标系中，点A（3，），B（﹣3，），O为极点，∴在平面直角坐标系中，A（，），B（﹣，﹣），O（0，0），∴=（﹣，﹣），=（，），||==3，||==3，cos＜，＞===﹣，∴sin＜，＞==，∴△AOB（O为极点）的面积为：＜，＞==．故选：C．7．（2018春•小店区校级期中）已知点P的直角坐标，，则它的一个极坐标为（）A．（4，）B．（4，）C．（﹣4，）D．（4，）【解答】解：根据题意，设P的一个极坐标为（ρ，θ）（0≤θ＜2π），点P的直角坐标，，即x=﹣2，y=﹣2，且P在第三象限；则ρ==4，tanθ==，且P在第三象限；则有θ=；则P的一个极坐标为（4，）；故选：B．8．（2018春•龙岩期中）点P极坐标为，，则它的直角坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：点P极坐标为，，则它的直角坐标是（，1）．故选：D．9．（2017春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标是，，则它的极坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：=2，tanθ=，取θ=．∴极坐标为，．故选：A．10．（2016秋•西城区期末）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选：A．二．解答题（共5小题）11．写出下列各点的极坐标，如图所示．【解答】解：A（4，0），B，，C，，D，，E，，F，，G，．12．在极坐标系中，ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，则点M1（ρ1，θ2），M2（ρ2，θ2）的位置关系？【解答】解：∵ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，∴可得点M2（ρ2，θ2）即（﹣ρ1，π﹣θ2）与点M1（ρ1，θ2）的位置关系是关于极轴对称．13．在极坐标系中，作出下列各点：A（3，0）、B（﹣3，）、C（5，）、D（﹣2，π）、E（0，﹣）【解答】解：在极坐标系中，作出下列各点，如图所示：14．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标系分别为A（2，）、B（2，π）、C（2，）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据极坐标与直角坐标的互化方法，A（2，）、B（2，π）、C （2，），直角坐标分别为A（1，），B（﹣2，0），C（1，﹣），所以AB=CB=AC，所以△ABC是等边三角形；（2）△ABC的底边为AC，高为2，面积S==3．15．在极坐标系中，作出下列各点：（1）A（2，），B（6，﹣120°），C（1，），D（4，﹣），E（4，0），F（2.5，180°）；（2）A（3，），B（3，），C（3，），D（3，π），E（3，），并说明这5个点有什么关系；（3）A（﹣2，），B（﹣1，），C（3，），D（4.5，），E（4.55，），并说明这5个点有什么关系．【解答】解：（1）如图（1）所示：（2）A、B、C、D、E这5个点都在以极点为圆心、半径等于3的圆上，如图（2）所示：（3）A、B、C、D、E这5个点都在直线θ=上，如图（3）所示：。

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极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标．三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．解答题（共10小题）1．（2018•张掖一模）已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C 2的极坐标方程为，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．（p ∈R ）（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：，，，或，．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．2．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．3．（2016春•阳高县校级期末）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）由，得，即，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=，y﹣2=．得圆的参数方程为（α为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+=4+2sin（），∴当sin（）=1时，x+y的最大值为6，当sin（）=﹣1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．4．（2016春•赣州校级月考）已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．【解答】解：（I）圆锥曲线C的极坐标方程为，即3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．==．∴要求的直线方程为：y=（x+1）．（II）由（I）可得直线的参数方程为：（t为参数）．代入椭圆方程可得：5t2﹣4t﹣12=0，∴t1t2=﹣．∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=．5．（2015•临川区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0），得3x2+3y2=12x﹣10，即．∴曲线C1的普通方程为：；（2）依题意可设Q（4cosθ，2sinθ），由（1）知圆C1的圆心坐标为（2，0），则==．∴当cosθ=时，．∴．6．（2015•德宏州校级三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点，对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点，．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），，在曲线C1上，求的值．【解答】解：（I）∵曲线C1上的点，对应的参数ϕ=，∴，解得，∴曲线C1的直角坐标方程为：=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点，．∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：=1．可得．∴=+===．7．（2015春•仙游县校级期末）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin （）=2．（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y2=4．…（2分）①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；…（4分）②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）（Ⅱ）直线l的普通方程为：x﹣y+4=0．…（8分）联立直线与曲线的方程，消y得+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4﹣4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3又x1+x2=﹣，x1x2=，…（…（10分）故=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（12分）8．（2015秋•瓦房店市校级月考）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM 面积的最大值，并求此时M点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由，得，平方作和得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．由，得ρcosθ﹣ρsinθ=0，即ρcosθ﹣ρsinθ=0．∴直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0；（Ⅱ）∵圆心（1，0）到直线l的距离为，则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），又．设M点的坐标为（x，y），则过M且与直线l垂直的直线l′的方程为：x+y﹣1=0，联立，解得：，或．经检验舍去．故当点M为，时，△ABM面积的最大值为：．9．（2015秋•合肥校级月考）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），∴x==1，y==1，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．10．（2014•枣强县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．【解答】解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0由已知得C1的直角坐标方程是，当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），∵|AB|=4，∴a=2，C1的直角坐标方程是①（2）联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．又可得D（1，0），∴，∴BD的参数方程为（t为参数）②将②带入①得，设D，E点的参数是t1，t2，则，，．。