【精品】2014年重庆市万州二中高一上学期期中数学试卷

2013-2014学年重庆市万州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确的选项的代号填在选择题答题栏内，否则不得分（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．（5分）下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（）A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个2．（5分）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n 映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）已知集合P={x|y=+lg（x+2）}，Q={y|y=，x∈R}，则P ∩Q=（）A．（0，1） B．（0，1]C．[﹣2，1）D．[﹣2，1]4．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=的值域是（）A．R B．（0，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）6．（5分）函数f（x）=log2的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=﹣x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称7．（5分）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（）A．f1（x）=x2B．f2（x）=4x C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x8．（5分）已知f（x）是奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）≤m（m＜0），则f（x）的值域为（）A．[m，﹣m]B．（﹣∞，m]C．[﹣m，+∞）D．（﹣∞，m]∪[﹣m，+∞）9．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，2]上的减函数，且点A（﹣1，3）和点B（2，﹣1）在函数f（x）的图象上，则满足条件﹣1≤f（x﹣2）≤3的x的集合是（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|﹣3≤x≤0}C．{x|x∈R}D．{x|x∈∅}10．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卷上11．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=．12．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，计算得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间．13．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为．14．（5分）函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对任意定义域中的x1，x2成立，则a的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知集合A={x|2a≤x＜a+3}，B={x|2x＜或x＜﹣1}．（1）若a=﹣1，求A∪B；（∁R A）∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=log2，x∈[2，4]，（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．18．（13分）A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．19．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x2+bx+c（1）若f（x）有两个不动点为﹣3，2，求函数y=f（x）的零点？（2）若c=时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围？20．（12分）已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1﹣mf （x）+（4m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m．（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为7﹣2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q﹣p）．2013-2014学年重庆市万州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确的选项的代号填在选择题答题栏内，否则不得分（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．（5分）下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（）A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．故选：C．2．（5分）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n 映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由2n+n=20求n，用代入法可知选C．故选：C．3．（5分）已知集合P={x|y=+lg（x+2）}，Q={y|y=，x∈R}，则P ∩Q=（）A．（0，1） B．（0，1]C．[﹣2，1）D．[﹣2，1]【解答】解：∵集合P={x|y=+lg（x+2）}={x|}={x|﹣2＜x≤1}，Q={y|y=，x∈R}={y|0＜y≤1}，∴P∩Q={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选：B．4．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域是：，解得，故选：A．5．（5分）函数y=的值域是（）A．R B．（0，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）【解答】解：∵x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8，故y=∈（0，]=（0，]，故选：B．6．（5分）函数f（x）=log2的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=﹣x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【解答】解：∵函数f（x）=log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．再根据f（﹣x）=log=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，故选：A．7．（5分）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（）A．f1（x）=x2B．f2（x）=4x C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x【解答】解：根据题意最终跑在最前面的人一为f值最大的函数通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快故选：D．8．（5分）已知f（x）是奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）≤m（m＜0），则f（x）的值域为（）A．[m，﹣m]B．（﹣∞，m]C．[﹣m，+∞）D．（﹣∞，m]∪[﹣m，+∞）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0．∵当x∈（0，+∞）时，f（x）≤m（m＜0），∴f（x）=﹣f（﹣x）≥﹣m．∴f（x）的值域为（﹣∞，m]∪[﹣m，+∞）．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣1，2]上的减函数，且点A（﹣1，3）和点B（2，﹣1）在函数f（x）的图象上，则满足条件﹣1≤f（x﹣2）≤3的x的集合是（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|﹣3≤x≤0}C．{x|x∈R}D．{x|x∈∅}【解答】解：由题意可得﹣1≤x﹣2≤2，解得1≤x≤4，故选：A．10．（5分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值【解答】解：f（x）=3﹣2|x|=①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3﹣2x≥x2﹣2x⇒0≤x≤；解f（x）＜g（x），得3﹣2x＜x2﹣2x⇒x＞．②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x2﹣2x⇒2﹣≤x＜0；解f（x）＜g（x），得3+2x＜x2﹣2x⇒x＜2﹣；综上所述，得分三种情况讨论：①当x＜2﹣时，函数为y=3+2x，在区间（﹣∞，2﹣）是单调增函数，故F （x）＜F（2﹣）=7﹣2；②当2﹣≤x≤时，函数为y=x2﹣2x，在（2﹣，1）是单调递减函数，在（1，）是单调递增函数，故﹣1≤F（x）≤2﹣③当x＞时，函数为y=3﹣2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3﹣2＜0；∴函数F（x）的值域为（﹣∞，7﹣2]，可得函数F（x）最大值为F（2﹣）=7﹣2，没有最小值．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卷上11．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=﹣x﹣1．【解答】解：当x＜0时，由于﹣x＞0，可得f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1．∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），可得当x＜0时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣1，即当x＜0时，函数f（x）的表达式为﹣x﹣1．故答案为：﹣x﹣112．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，计算得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（1.25，1.5）．【解答】解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，∴根据零点存在定理，可得方程的根落在区间（1.25，1.5），故答案为：（1.25，1.5）13．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为．【解答】解：∵2+log23∈（3，4），∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23）===×=故答案为14．（5分）函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对任意定义域中的x1，x2成立，则a的取值范围是．【解答】解：∵[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对任意定义域中的x1，x2成立，∴函数f（x）在其定义域内是单调减函数．又f（x）=，∴当x＜0时，0＜a＜1．当x≥0时，a﹣3＜0，a＜3．且还有a0≥0+4a，a≤．综上，0＜a≤，故答案为：（0，]．15．（5分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．【解答】解：设μ=ax2﹣x+3．则原函数f（x）=log a（ax2﹣x+3）是函数：y=log aμ，μ=ax2﹣x+3的复合函数，①当a＞1时，因μ=log a x在（0，+∞）上是增函数，根据复合函数的单调性，得函数μ=ax2﹣x+3在[2，4]上是增函数，∴∴a＞1．②当0＜a＜1时，因μ=log a x在（0，+∞）上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数μ=ax2﹣x+3在[2，4]上是减函数，∴∴＜a．综上所述：a∈故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知集合A={x|2a≤x＜a+3}，B={x|2x＜或x＜﹣1}．（1）若a=﹣1，求A∪B；（∁R A）∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，A={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，∴A∪B={x|x＜2或x＞5}；∁R A={x|x＜﹣2或x＞2}，则（∁R A）∩B={x|x＜﹣2或x＞5}；（2）当A=∅时，2a≥a+3，即a≥3；当A≠∅时，可得，解得：﹣≤a≤2，综上所述，a的取值范围{a|a≥3或﹣≤a≤2}．17．（13分）已知函数f（x）=log2，x∈[2，4]，（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）令t==1﹣，则函数f（x）=log2t．显然函数t在[2，4]上单调递增，根据复合函数的单调性可得函数f（x）在[2，4]上单调递增．（2）由于函数f（x）在[2，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=﹣1，f（x）min=f （2）=﹣2．18．（13分）A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．【解答】解：（Ⅰ）A城供电费用为y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10（100﹣x）2；所以总费用为：y=y1+y2=7.5x2﹣500x+25000（其中10≤x≤90）；∵核电站距A城xkm，则距B城（100﹣x）km，∴x≥10，且100﹣x≥10，解得10≤x≤90；所以x的取值范围是{x|10≤x≤90}．（Ⅱ）因为函数y=7.5x2﹣500x+25000（其中10≤x≤90），当x=﹣=时，此函数取得最小值；所以，核电站建在距A城km处，能使A、B两城月供电总费用最小．19．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x2+bx+c（1）若f（x）有两个不动点为﹣3，2，求函数y=f（x）的零点？（2）若c=时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围？【解答】解（1）∵f（x）=x2+bx+c有两个不动点﹣3，2，即x2+（b﹣1）x+c=0有两个根﹣3，2代入方程得b=2，c=﹣6，∴f（x）=x2+2x﹣6，∴函数y=f（x）的零点即x2+2x﹣6=0的根x=﹣1，（2）若c=时，函数f（x）没有不动点，即方程x2+bx+无实数根，∴△＜0．解得b＞，或b＜﹣1，20．（12分）已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1﹣mf （x）+（4m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增，∴（2﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜2，又∵k∈Z，∴k=0或1．当k=0或1时，（2﹣k）（1+k）=2，∴幂函数f（x）=x2；（2）由（1）可知：g（x）=﹣mx2+（4m﹣1）x+1，∵m＞0，∴﹣m＜0，g（x）=．①当≤0，m＞0时，解得，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；②当，m＞0时，解得，则g（x）在[0，1]上单调递增，因此在x=1处取得最大值，∴g（1）=5，即3m=5，解得，满足条件；③当，m＞0时，解得，则g（x）在处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，而g（0）=1不符合要求；由g（1）=5，即3m=5，解得，不满足m的范围．综上可知：满足条件的m存在且．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m．（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为7﹣2t？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q﹣p）．【解答】解：（Ⅰ）：因为函数f（x）=x2﹣4x+a+3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，因为函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：即，解得﹣8≤a≤0，故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]．（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，下求g（x）=mx+5﹣2m的值域．①当m=0时，g（x）=5﹣2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3；综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）（Ⅲ）由题意知，可得．①当t ≤0时，在区间[t ，4]上，f （t ）最大，f （2）最小，所以f （t ）﹣f （2）=7﹣2t 即t 2﹣2t ﹣3=0，解得t=﹣1或t=3（舍去）； ②当0＜t ≤2时，在区间[t ，4]上，f （4）最大，f （2）最小， 所以f （4）﹣f （2）=7﹣2t 即4=7﹣2t ，解得t=；③当2＜t ＜时，在区间[t ，4]上，f （4）最大，f （t ）最小， 所以f （4）﹣f （t ）=7﹣2t 即t 2﹣6t +7=0，解得t=（舍去）综上所述，存在常数t 满足题意，t=﹣1或．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。