6.勾股定理学生版

2014年秋季同步课初二年级学生姓名：上课时间：勾股定理内容 基本要求略高要求较高要求勾股定理 及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题知识框架图⎩⎨⎧勾股逆定理勾股定理勾股定理知识点讲解1. 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CAB cba2. 勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形 DC BA（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：中考考纲知识体系()22222142.S c a b aba b c =-+⨯∴+=正方形EFGHGFEH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形222.a b c ∴+=c bacba ED CBA3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一 勾股定理【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B . 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为______．【练一练】在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例3】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，， 则c =_______； 例题精讲（2）如果68a b ==，， 则c =_______； （3）如果512a b ==，， 则c =_______； （4）如果1520a b ==，，则c =_______。

【例4】 等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．【例5】 已知直角三角形两边x ，y 的长满足224560x y y -+-+=，则第三边长为______________．【例6】 （2014•张家界）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=60°，DE 是斜边AC 的中垂线，分别交AB 、AC 于D 、E 两点．若BD=2，则AC 的长是________【例7】 Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为___________．【例8】 已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是 ．【例9】 已知Rt ABC ∆斜边AB 的长为5cm 2，两直角边的差为1cm2，求三角形的周长及斜边上的高.【例10】 如图，已知Rt ABC △的周长为262AB =，求这个三角形的面积.ACB【例11】 在Rt ABC △，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= .【例12】 在三角形ABC 中，已知232AB AC BC ==，边上的高3AD =，求边BC 的长【例13】 已知ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高为12，求ABC ∆的面积.DCBA【例14】ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．图3图2图1abca bccb a AB CABCCBA二 勾股的实际应用【例15】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例16】 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为【练一练】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，•如果8cmAB=，BC=，EC的长为．10cm【例17】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，则BC的长为．【例18】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为．【练一练】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为【例19】如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．【练一练】在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．【例20】 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EFFHGEDBCA【例21】 如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.PODCBA【例22】 某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200m AB =，100m CD =，求AD 、BC 的长（精确到1m ，3 1.732≈）.DCBA【练一练】如图，△ABC 中，∠C ＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③【例23】 如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?【例24】 如图，ON 是垂直于地面OM 的前面，AB 是一根斜靠在墙面上长为a 的木条，当木条端点A 沿墙面下滑时，B 沿地面向右滑行(1)木条AB 的中点为P ，试判断木条滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离怎样变化？说明理由 (2)木条在什么位置时，ABO ∆的面积最大？最大面积为多少？HP N MOBA【例25】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例26】 如图，两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．【例27】 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.ED CBA【例28】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥（BC AD >），90A B ∠=∠=︒，12AB BC ==，E 是AB上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．E DCBA【例29】 如图，在ABC ∆中，==4AB AC ，P 是BC 上异于,B C 的一点，求2AP BP PC +•的值. PCBA【例30】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．【例31】 如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD的长．【例32】 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．【例33】 如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．【例34】 已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：222AE BF EF +=．【例35】 如图，已知ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l ，，上，且123l l l ，，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，求AC 的长是多少?课后练习【题1】 如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）A ． 3B ．23C ．33D ．43EDC BA【题2】 一个有45︒角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边 的长为 ．30°DCB30°A【题3】 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图1n +）的一条腰长为_______________________．【题4】 如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，……已知正方形ABCD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，…，S n (n 为正整数)，那么第8个正方形的面积S 8＝______，第n 个正方形的面积S n ＝______．IJHGF EDC BA【题5】 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?【题6】 如图所示，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，∠A =90°，求四边形ABCD的面积．DCBA【题7】 如图，点D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转600得到△CBE ，若AD=4，BD=3，CD =5．（1）判断△DEC 的形状，并说明理由；（2）求∠ADB 的度数．ECBDA【题8】 已知：如图，∠A =60°，BD ⊥AC ，垂足为D ，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 和CE 交于点H ，HD =1cm ，HE =2cm ，求：BD ，CE 的长及△ABC 的面积．HEDCBA【题9】 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连接DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB 2求BE 的长．EDCBA【题10】 如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长； （2）归纳出第n 个等腰直角三角形的斜边长．（n 为正整数）⑤④③①②11【题11】 解答下列各题：（1）等腰直角ABC △和等腰直角CDE △的位置如图所示，连接BE ，并延长交AD 于F ，试问AD 与BE 之间有什么关系？证明你的结论；（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE 绕C 点旋转，位置如下图所示，试问AD 与BE 之间的关系还存在吗？若存在，给予证明，若不存在，则说明理由．A BCDEFABCD E【题12】 一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK 、△ACB 做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M 放在△ABC 的斜边AB 的中点处，设AC =BC =a ．图1MKNBC A图2K NMC BA图3A MBKCN（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为ACM △，则重叠部分的面积为（ ），周长为（ ） （2）将图1中的△MNK 绕顶点M 逆时针旋转45 ，得到图2，此时重叠部分的面积为 （ ），周长为（ ）．（3）如果将△MNK 绕M 旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．【题13】 已知：三角形ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE =AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE =AF ，其他条件不变，那么，△DEF 是否仍为等腰 直角三角形？证明你的结论．FE DCBA【题14】 如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC 固定垂直于桌面，AB 是转轴，可以绕着点B 转动，AB =10cm ，BC =20cm ，圆锥形灯罩的轴截面△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°，且PQ ∥AB ．转动前，点A 、B 、C 在同一直线上．（1）转动AB ，如图（2）所示，若灯心A 到桌面的距离AM =25cm ，求∠ABC 的大小； （2）继续转动AB ，使AB ⊥BC ，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大）NQ PCB A N MPQA B C。