高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的

2．2.4 点到直线的距离学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．知识点一点到直线的距离思考1 你能说出求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的一个解题思路吗？思考2 根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？思考3 点到直线的距离公式对于当A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？梳理点到直线的距离及公式(1)定义：点到直线的________的长度．(2)图示：(3)公式：d＝________________.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？梳理 两条平行直线间的距离及公式(1)定义：夹在两平行线间的________________的长．(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②当点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练 1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________．类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为____________． (2)已知直线l 到直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． 跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．类型三 利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________． 反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时点P 的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．命题角度2 有关两平行线间距离的最值例4 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . (1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程．反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32D.321．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．± 22．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －C ＝0的距离为25，则C 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11D ．9或－113．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( ) A.10 B.355C. 6D ．3 54．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．答案精析问题导学 知识点一思考1 由PQ ⊥l ，以及直线l 的斜率为－A B ，可得l 的垂线PQ 的斜率为B A，因此，垂线PQ 的方程可求出．解垂线PQ 与直线l 的方程组成的方程组，得点Q 的坐标，用两点间距离公式求出|PQ |，即为点P 到直线l 距离． 思考2 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B|＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．梳理 (1)垂线段 (3)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2知识点二思考 点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． 梳理 (1)公垂线段 题型探究例1 (1)解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－－＋1|42＋－2＝185. ②3y ＝4可化为3y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得|－3×3－4|02＋32＝133. ③x ＝3可化为x －3＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－3|1＝1. (2)解 方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等， 故x ＝－1满足题意．当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二 由题意，得l ∥AB 或l 过AB 的中点， 当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ， 直线l 的斜率为k l ， 则k l ＝k AB ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 跟踪训练1 (1)[13，313](2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 解析 (1)由题意知，|4×4－3a |42＋－2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0. 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 例2 (1)104解析 由题意，得63＝m1，∴m ＝2.将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0， 由两平行线间距离公式，得d ＝|－1＋6|62＋22＝540＝104. (2)2x －y ＋1＝0解析 设直线l 的方程为2x －y ＋C ＝0， 由题意，得|3－C |22＋12＝|C ＋1|22＋12，解得C ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.跟踪训练2 解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为 |－12×12＋C |52＋－2＝|C －6|13. 由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式， 得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意得，两直线的斜率都存在， 设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0.因为l 1与l 2的距离为5，所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512. 所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 例3710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1 ＝x －2＋y －2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离， 即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 跟踪训练3 解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1， ∴OP 所在的直线方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)．(2)由题意知，过点P 且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.例4 解 (1)设经过点A 和点B 的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为 |AB |＝－3－2＋－1－2＝310，∴d 的取值范围为(0,310]．(2)由(1)知，d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.跟踪训练4 D [两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－－62＋82＝32.] 当堂训练 1．D 2.B 3.B 4．10解析 由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10. 5．(5，－3)解析 由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线， 设垂足为M ，则|MP |为最小， 直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3∴所求点的坐标为(5，－3)．。