一次函数之距离最短问题练习
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。
初二数学最短距离练习题
初二数学最短距离练习题在初中数学中，最短距离是一个经常出现的概念。
掌握最短距离的求解方法是解决许多几何问题的关键。
本文将介绍一些初二数学最短距离的练习题，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
1. 假设有一个直角三角形，斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米。
求另一条直角边的长度以及最短距离。
解答：根据勾股定理，已知斜边和一直角边的长度，可以求得另一直角边的长度。
设另一直角边的长度为x，则根据勾股定理有：x² + 6² = 10²化简得：x² = 100 - 36 = 64因此，x = 8。
最短距离可以通过两种方法求解。
一种方法是将直角三角形平移到一个坐标平面中，直角顶点对应坐标原点，然后计算另一直角边上的一个点到原点的距离。
另一种方法是利用最短距离的性质，即最短距离是两个点连线的长度。
根据这个性质，可以直接计算斜边和另一直角边的距离，即最短距离。
在这个问题中，最短距离即为直角边长为6厘米的线段长度，因此最短距离为6厘米。
2. 已知一个矩形的长为8厘米，宽为6厘米。
矩形的一角上有一个风筝，风筝的顶点与矩形对角线的交点距离矩形两边的长度分别为3厘米和4厘米。
求风筝到离它最近的矩形边的距离。
解答：首先，通过勾股定理求解矩形对角线的长度。
设对角线的长度为x，则有：x² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100因此，x = 10。
由于矩形的一角上有一个风筝，题目要求求解风筝到离它最近的矩形边的距离。
根据最短距离的性质，可以发现离风筝最近的矩形边的长度为3厘米，即风筝到离它最近的矩形边的距离为3厘米。
3. 一个底边为6厘米，高为8厘米的等腰梯形经旋转得到一个圆锥。
求该圆锥的最短距离。
解答：首先，我们需要明确圆锥的最短距离是指圆锥的顶点到圆锥底面上某一点的距离。
在本题中，该点可以是梯形的底边中点。
根据梯形的特性，等腰梯形的底边中点到两侧斜边的距离相等，即为高的一半。
完整版)一次函数专项练习题
完整版)一次函数专项练习题一次函数专项练题题型一、点的坐标在x轴上的点，其纵坐标为0，在y轴上的点，其横坐标为0.若两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
1、若点A（m,n）在第二象限，则点（|m|,-n）在第三象限；2、若点P（2a-1,2-3b）是第二象限的点，则a的范围为(0,1/2]，b的范围为(0,2/3]；3、已知A（4，b），B（a,-2），若A，B关于x轴对称，则a=4,b=-(-2)=2；若A,B关于y轴对称，则a=-4,b=b；若A，B关于原点对称，则a=-4,b=-b；4、若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第一象限。
题型二、关于点的距离的问题点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示。
任意两点A(xA,yA),B(xB,yB)的距离为√[(xA-xB)²+(yA-yB)²]；A(xA,0),B(xB,0)的距离为|xA-xB|；若AB∥y轴，则A(0,yA),B(0,yB)的距离为|yA-yB|；点A(xA,yA)到原点之间的距离为√(xA²+yA²)。
1、点B（2，-2）到x轴的距离是2；到y轴的距离是2；2、点C（0，-5）到x轴的距离是5；到y轴的距离是0；到原点的距离是5；3、点D（a,b）到x轴的距离是|b|；到y轴的距离是|a|；到原点的距离是√(a²+b²)；4、已知点P（3,0），Q(-2,0)，则PQ=5；已知点M(0,1)，N(0,-1)，则MN=2；已知点E（2，-1），F（2，-8），则EF的距离是7；已知点G（2，-3）、H（3,4），则GH两点之间的距离是7.5、求出点（3，-4）和（5，a）间的距离为2，可以利用两点间距离公式：$\sqrt{(5-3)^2+(a+4)^2}=2$，化简后得到$(a+4)^2=4$，解得$a=-2,2$。
最短距离问题
2011年中考复习（23）――两线段之和最短专题一、数学模型1、实际问题：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短2、数学问题：已知：直线I和I的同侧两点A、B。
求作：点C,使C在直线I上，并且AC + CB最小。
、构建“对称模型”实现转化二、练习题（一）填空题1、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A （3, - 2）,B（ 4, 2）两点，现另取一点C（ 1 ,n）,当n = ______ 时，AC + BC的值最小.2、（2009陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB = 4迈，/ BAC = 45 ° / BAC的平分线交BC于点D , M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN 的最小值是3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM = 2, DN +MN的最小值为__________4、如图，在△ ABC 中，AC = BC = 2，/ ACB = 90° D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ ED的最小值为 _________________ 。
5、已知O 0的直径CD 为4, / AOD 的度数为60。
，点B 是AD 的中点，在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值.7、已知，如图 DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线， D 为垂足，DE 交BC 于E ,且AC = 5, BC = 8,则 △ AEC 的周长为 __________ 。
8、已知，如图，在△ ABC 中，AB V AC , BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 于点D ，交AC 于点E , AC = 9、 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 _____________________________ A C 于D,若AC = 5cm,BC = 4cm,则△BDC 的周长为 _______________________________ .10、 如图所示，正方形 ABCD 勺面积为12,A ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上 有一点P ,使PD+ PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A . 2 3B . 2 6C . 3D .610、（ 1）如图1,等腰Rt △ ABC 的直角边长为2, E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ____________________________ ;（2）几何拓展：如图 2,^ ABC 中，AB=2，/ BAC=30，若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ,使BM+MN 的值最小，则这个最小值 ________________________________0 1 图z（二）作图题6、如图, 的周长为点P 关于0A 交OA 于 M 交0B 于N 若CD= 18cm 则厶PMN5题图0B 的对称点分别为C D,连接CD8,^ ABE 的周长为14,则AB 的长8题图9题图 10题图1如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。
一次函数练习卷及最短路径问题(5,26)
一次函数练习卷及最短路径问题(5,26)`1,已知abc≠0，而且c ba+=a cb++b ca+=p，那么直线y=px+p一定通过象限2,若y+b与x+a(a,b是常数)成正比例,且当x=3时,y=5;当x=2时,y=2,求y与x之间的关系式3.如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B,点C在直线AB上，且AC=2BC,求点C 的坐标.4,如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．5, 如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6,如图，在矩形ABCD 中,AD,=4,∠DAC =30°,点P;E 分别在AC,AD 上，则PE + PD 的最小值是( ) A.2 B.23 C ,4 D3387.如图,已知菱形ABCD 的周长为16,面积为83,E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+AP 的最小值为_ ，8,以边长为2的正方形的中心0为端点，引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B 两点，则线段AB 的最小值是9,如图;在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2,点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ,B,C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ,D(P ,D 两点不重合)两点间的最短距离为10.已知直线y=43x -3交x 轴于点A,交y 轴于点B. (1)求点A,B 的坐标; (2)如图1,C 是y 轴上一点,若AC= BC,求点C 的坐标; (3)如图2,D 是x 轴上一点,若∠ BAO=2∠DBO,求点D 的坐标.11.如图,在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点A,B 的坐标分别是A(a,1),B(0,b),且0A=0C,求直线AB 的解析式.12.已知一次函数y=kx-k+2.(1)其图象过定点(2)直线y=kx- k+2和直线y=2x的交点是_(3)若0<k<2,不等式kx- k+2≤2x的解集是_(4)当x=2时,y<0,则k的取值范围是(5)若点A(2,3),B(5, -2),该一-次函数的图象与线段AB有交点,则k的取值范围是_13.点P(a,-3)一定在直线_ 上;.点P(a,a+2)一定在直线上;.点P(a+1,2a-3)一定在直线上;14如图,A(4,0),B(0,4),点P在AB上运动,△OPQ 为等腰直角三角形,∠OPQ=90°.求证:点Q在某一确定的直线上.15.如图,直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C(1,0),P为直线AB上一点，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得CQ.(1)若点P的横坐标为-1,则点Q的坐标为_(2)若点P的横坐标为m,用含m的式子表示点Q的坐标为(3)当点P在直线AB.上运动时,点Q总在直线l上运动，求直线l的解析式.。
例析一次函数中的行程距离问题-绝对经典
例析一次函数中的行程距离问题一次函数的应用是初中数学的重要内容，也是近年来命题者关注的热点，尤其是一次函数图象与相关行程距离问题结合紧密，它要求同学们具备较好提取图表信息能力，分析问题、解决问题的能力及数学素养、数学能力，现结合试题中有关行程距离问题为例进行说明，希望能给同学们带来一定的启示与帮助。
例1 一方有难，八方支援.2010年4月14日青海玉树发生地震，全国各地积极运送物资支援灾区.现有甲、乙两车要从M 地沿同一公路运输救援物资往玉树灾区的N 地，乙车比甲车先行1小时，设甲车与乙车之间的路程．．．．．．．．．．为y （km ），甲车行驶时间为t （h ），y （km ）与t （h ）之间的函数关系的图象如图所示.结合图象解答下列问题（假设甲、乙两车的速度始终保持不变）：（1）乙车的速度是 km /h ；（2）求甲车的速度和a 的值.思路点拨：结合题意及图象可知t （h ）表示甲车．．行驶的时间. y （km ）表示甲车与乙车之间的．．．．．．．．路程．．，y 轴上的40 km 表示乙车比甲车先行1小时所行驶的路程，即乙车的速度；当甲车行驶12小时， 乙车已行驶了13小时，此时两车相距200km ，根据这两车的路程关系构建方程求解甲车的速度，而a 为甲车行驶的时间在轴上，说明两车的距离为0，即甲车追上乙车，借助路程列出方程求解a 。
解析：（1）40（2）解法1：设甲车的速度为x km/h ，依题意得12(121)40200x =+⨯+，解得x =60。
又(1)4060a a +⨯=⨯，∴a =2。
答：甲车的速度为每小时60千米，a 的值为2.点评：本题是一道典型的图表信息题，其中以新闻热点为背景，取材真实新颖而又生动，关键)在于运用数形结合的思想，弄清函数图象中的变量含义及实际意义，将抽象的图表信息问题转化为数学模型（路程、速度、时间），通过构建方程知识解决实际问题，例2 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图像.思路点拨：结合直线上两点（1.5，70）、（2，0），运用待定系数法求解出直线的解析式，进而求出点A 的坐标，即甲乙两地之间的距离；借助有关两车的路程问题构建方程组求解两车的速度和时间；通过分析可知y 关于x 的函数的图像还存在两段：两车同时行驶两车的距离和慢车到达甲地后快车继续行驶时两车的距离与x 的关系。
11 专题十一：一次函数与最短路径、定点(方法专题)
1．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，向A、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是( )A．B．C．D．【答案】A．2、关于a的多项式a2+ka-2a+3中，当k=_____时不含一次项。
【答案】2.3、一次函数y=k(x+2)-3中，当x=-2时，y=_______。
【答案】-3.4、3、一次函数y=kx+2k-3中，当x=-2时，y=_______。
【答案】-3.5．如图，A、B是直线l外同侧的两点，且点A和B到l的距离分别为3cm和5cm，210AB=．（1）请在直线l确定上一点P，使PA PB+最短；（2）求出PA PB+的最小值．【答案】解：（1）作A点关于直线l的对称点E，连接BE，与l交于点P，则PA PB+最短；（2）过E作//EF l，与BD延长线交于点F，过A作AM BD⊥于M，由作图可知，专题导入一次函数与最短路径、定点PA EP =，EF AM =，3AC CE DF cm ===， PA PB EP PB EB ∴+=+=，在Rt BAM ∆中，2BM DB AC cm =-=，BA =，6AM cm ∴==，在Rt BEF ∆中，6EF cm =，8BF BD DF cm =+=，由勾股定理可得：222BE BF EF =+，22286100BE =+=，解得：10BE cm =．即PA PB +的最小值为10cm ．一、一次函数过定点问题求一次函数过定点是一类新题型，这类问题通常给出一个解析式中含有字母的一次函数，然后让确定一次函数必然经过的一个确定的点的坐标。
函数过定点，意味着当x 取特定值时，y 的取值与参数k 无关，则只需要参数k 前面的系数为“0”即可。
二、一次函数最短路径问题解法点睛例1、无论m 取任何实数，一次函数(1)y m x m =-+必过一定点，此定点坐标为（ ）A.（—1,1）B.（1,1）C.（0,1）D.（1，—1）解法一：推理式已知条件中，m 取任何实数，一次函数必过一定点，也就是说此定点与m 的取值无关.故设法把解析式中的m 消去即可.观察此解析式，当1x =-时，(1)(1)11m m m m -⨯-+=-++=，所以选A解法二：特殊值法由于定点不受m 的影响，所以可以对m 取两个简单的数值，如2m =，1m =-，分别代入原解析式，得到方程组221y x y x =+⎧⎨=--⎩ 解此方程组，得到1,1x y =-=，所以选A.【举一反三】1．无论m 取任何非零实数，一次函数(32)y mx m =-+的图象过定点( ) A ．(3,2)B ．(3,2)-C ．(3,2)-D ．(3,2)--【答案】解：(32)y mx m =-+， 整理得：32m mx y +=-，要想这个式子恒成立，那么3mx m =，2y -=，3x ∴=，2y =-．故选：B ．2．已知一次函数43y mx m =+-的图象经过一、三、四象限，则m 的取值范围是 304m << ． 【答案】解：一次函数43y mx m =+-图形经过第一、三、四象限，0m ∴>，430m -<，专题精析解得：304m <<． 故答案为：304m <<．3．已知关于x 的一次函数42y mx m =+-． （1）若这个函数的图象经过原点，求m 的值；（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m 的取值范围；（3）不论m 取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标． 【答案】解：（1）这个函数的图象经过原点，∴当0x =时，0y =，即420m -=，解得12m =；（2）这个函数的图象不经过第四象限，∴0420m m >⎧⎨-⎩， 解得，12m； （3）一次函数42y mx m =+-变形为：(4)2m x y +=+， 不论m 取何实数这个函数的图象都过定点，40x ∴+=，20y +=，解得，4x =-，2y =-，则不论m 取何实数这个函数的图象都过定点(4,2)--．例2、已知平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为(2,3)-、(4,1)- （1）若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0)C a ，(3,0)D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值．【答案】解：（1）如图1先作出B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '交x 轴于点P ，则B '点坐标为(4,1)， 由两点之间线段最短可知，AB '的长即为PAB ∆的最短周长， 设过AB '两点的一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，则1432k bk b =+⎧⎨-=+⎩，解得2k =，7b =-，故此一次函数的解析式为27y x =-， 当0y =时，270x -=，解得 3.5x =． 故当 3.5x =时，PAB ∆的周长最短．（2）作点A 关于x 轴的对称点A '，则A '的坐标为(2,3)，把A '向右平移3个单位得到点(5,3)B '，连接BB '，与x 轴交于点D ，如图，CA CA ∴'=，又(,0)C a ，(3,0)D a +，3CD ∴=，//A B CD∴''，∴四边形A B DC ''为平行四边形，CA DB ∴'='， CA DB ∴='，AC BD BB ∴+='，此时AC BD +最小，而CD 与AB 的长一定，∴此时四边形ABDC 的周长最短．设直线BB '的解析式为y kx b =+， 把(4,1)B -、(5,3)B '分别代入得，41k b +=-，53k b +=，解得4k =，17b =-，∴直线BB '的解析式为417y x =-，令0y =，则4170x -=， 解得174x =，D ∴点坐标为17(4，0)， 1734a ∴+=， 54a ∴=．【举一反三】如图，已知直线12y x b =+经过点(4,3)A ，与y 轴交于点B ． （1）求B 点坐标；（2）若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，求C 点坐标．【答案】解：（1）由点A (4,3)在直线12y x b =+上，得1342b =⨯+ 1b =．(0,1)B ∴．⋯（1分）（2）如图，作点A (4,3)关于x 轴的对称点(4,3)A '-，连接BA '交x 轴于点C ，则此时AC BC +取得最小值．⋯（2分） 设直线BA '的解析式为1y kx =+，依题意341k -=+．1k =-．∴直线BA '的解析式为1y x =-+．⋯（3分）令0y =，则1x =．(1,0)C ∴．⋯（4分）2、（1）如图（1），点C 的坐标为(3,)y ．使ABC ∆的周长最短．求y 的值．（2）如图（2）．在x 轴上有一点C ，在y 轴上有一点D ．使AD CD BC ++值最小．求直线CD 的解析式及点C 、D 坐标．【答案】解：（1）作A 关于3x =的对称点A '，连接A B '交直线3x =与点C ．点A 与点A '关于3x =对称，AC A C ∴='．AC BC A C BC ∴+='+．当点B 、C 、A '在同一条直线上时，A C BC '+有最小值，即ABC ∆的周长有最小值． 点A 与点A '关于3x =对称，∴点A '的坐标为(6,3)．设直线BA '的解析式y kx b =+，将点B 和点A '的坐标代入得：2063k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．3342y x ∴=-． 将3x =代入函数的解析式得34y =．y ∴的值为34；（2）作A 关于y 轴的对称点(1,3)A '-，B 关于x 轴的对称点(3,1)B '-，易知直线AB ''的解析式为2y x =-+，直线交x 轴于C ，交y 轴于D ，此时AD CD BC ++值最小， 易知(2,0)C ，(0,2)D ．1．无论m 取何值，函数2(2)y mx m =--的图象经过一个定点 ____． 【答案】解：2(2)y mx m =--，(2)4x m y ∴-=-，m 可取任意值，20x ∴-=，40y -=，解得2x =，4y =，∴函数2(2)y mx m =--的图象经过一个定点(2,4)．专题过关故答案为(2,4)．2．无论m 取何值时，关于x 的一次函数42y mx m =+-必过一个定点，则这个定点的坐标为 ____ ． 【答案】解：一次函数42y mx m =+-变形为：(4)2m x y +=+， 不论m 取何实数这个函数的图象都过定点，40x ∴+=，20y +=，解得，4x =-，2y =-，则不论m 取何实数这个函数的图象都过定点(4,2)--． 故答案为：(4,2)--．3．在平面直角坐标系中，直线1y kx x =++过一定点A ，坐标系中有点(2,0)B 和点C ，要使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形为平行四边形，则点C 的坐标为_____________ ．【答案】解：不论x 为何值，当0x =时，一定有1y =， 则A 的坐标是(0,1)，当OA 是对角线时，对角线的中点是1(0,)2，则BC 的中点是1(0,)2，设C 的坐标是(,)x y ， 的1(2)02x +=，且11(0)22y +=， 解得：2x =-，1y =， 则C 的坐标是(2,1)-；同理，当OB 是对角线时，C 的坐标是(2,1)-；当OC 是对角线时，此时AB 是对角线，C 的坐标是(2,1)． 故答案是：(2,1)-，(2,1)-或(2,1)．4．在直角坐标系中有四个点(6,3)A -，(2,5)B -，(0,)C m ，(,0)D n ，当四边形ABCD 周长最短时， 则m n += ___ ．【答案】解：四边形ABCD 周长最短，AB 长度一定，∴必须使AD CD BC ++最短， 即A '、D 、C 、B '共线，作A 点关于x 轴的对称点为A '，B 点关于y 轴的对称点是B '，设直线A B ''为y kx b =+，则(6,3)A '--，(2,5)B '，将其代入直线中得：1k =，3b =，3y x ∴=+，(0,)C m ，(,0)D n ，代入直线方程中， 得：3m =，3n =-，0m n ∴+=．故填 0 ．5．如图，一次函数图象经过点(4,3)A ，(0,1)B（1）求一次函数解析式；（2）若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，求C 点坐标．【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．依题意，得431k b b +=⎧⎨=⎩，解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，该一次函数的解析式为：112y =+；（2）如图，作点A (4,3)关于x 轴的对称点(4,3)A '-，连接BA '交x 轴于点C ，则此时AC BC +取得最小值．设直线BA '的解析式为1y kx =+，依题意341k -=+．1k =-．∴直线BA '的解析式为1y x =-+．令0y =，则1x =．(1,0)C∴．6．（1）根据画函数图象的步骤，在如图的直角坐标系中，画出函数||y x =的图象；（2）求证：无论m 取何值，函数2(1)y mx m =--的图象经过的一个确定的点；（3）若（1），（2）中两图象围成图形的面积刚好为2，求m 值．【答案】解：（1）当0x 时，||y x x ==，即(0)y x x =，将0x =代入得：0y =；将1x =代入得：1y =， 当0x 时，||y x x ==-，即(0)y x x =-，将0x =代入得：0y =；将1x =-代入得：1y =．过点(0,0)O ，(1,1)A -作射线OA ，过点0(0,0)，(1,1)B 作射线OB ，函数||y x =的图象如图所示：（2）2(1)(2)2y mx m m x =--=-+，20x ∴-=，2y =2x ∴=，2y =，即函数图象过定点(2,2)⋯（6分） （3）如下图：函数2(1)y mx m =--的图象经过顶点(2,2)OC ∴==∴122OD OC =，OD ∴=所以点D 的坐标为(1,1)-．将1x =-，1y =代入2(1)y mx m =--得：13m =．7、在直角坐标系中，有点(0,1)A ，(5,3)B ，点M 、N 在x 轴上且1MN =，当四边形AMNB 周长最短时，求点M 、N 的坐标．【答案】解：作点A 关于x 轴的对称点A '，则A '的坐标为(0,1)-，把A '向右平移1个单位得到点(1,1)B '-，连接BB '，与x 轴交于点N ，过A '作//A M B N ''交x 轴于M ，如图，M A M A ∴'=，//A M B N ''，∴四边形AMNB 为平行四边形，MA NB ∴'='，MA NB ∴='，AM BN BB ∴+='，此时AM BN +最小，而MN 与AB 的长一定，∴此时四边形AMNB 的周长最短．设直线BB '的解析式为y kx b =+，把(5,3)B 、(1,1)B '-分别代入得531k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得1k =，2b =-， ∴直线BB '的解析式为2y x =-，令0y =，则20x -=，解得2x =，N ∴点坐标为(2,0)，1MN =，(1,0)M ∴．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:3l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线2:3l y x =-与直线1l 交于点C ，点P 为y 轴上一动点．（1）求点C 的坐标；（2）当PA PC +的值最小时，求此时P 点的坐标，并求PA PC +的最小值；（3）在平面直角坐标系中是否存在点M ，使以点A 、O 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说出理由．【答案】解：（1）联立直线1l ，2l 的解析式成方程组，得：33y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得：3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点C 的坐标为3(4-，9)4．（2）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A C '交y 轴于点P ，此时PA PC +取得最小值，如图1所示． 当0y =时，30x +=，解得：3x =-，∴点A 的坐标为(3,0)-．点A ，A'关于y 轴对称，∴点A '的坐标为(3,0)．设直线A C '的解析式为(0)y kx b k =+≠，将(3,0)A '，3(4C -，9)4代入y kx b =+，得：303944k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：3595k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线A C '的解析式为3955y x =-+． 当0x =时，399555y x =-+=， ∴点P 的坐标为9(0,)5，∴当PA PC +的值最小时，P 点的坐标为9(0,)5，PA PC +的最小值A C ='． （3）存在，设点M 的坐标为(,)m n ，分三种情况考虑，如图2所示：①当AC 为对角线时，30349004m n ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩， 解得：15494m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点1M 的坐标为15(4-，9)4；②当AO 为对角线时，33049004m n ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得：9494m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点2M 的坐标为9(4-，9)4-；③当CO 为对角线时，33049004m n ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得：9494m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点3M 的坐标为9(4，9)4． 综上所述：在平面直角坐标系中存在点M ，使以点A 、O 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为15(4-，9)4，9(4-，9)4-或9(4，9)4．9．如图，已知一次函数364y x =-+的图象与坐标轴交于A 、B 两点，AE 平分BAO ∠，交x 轴于点E ．（1）求点B 的坐标及直线AE 的表达式；（2）过点B 作BF AE ⊥，垂足为F ，在y 轴上有一点P ，使线段PE PF +的值最小，求点P 的坐标；（3）若将已知条件“AE 平分BAO ∠，交x 轴于点E ”改变为“点E 是线段OB 上的一个动点（点E 不与点O 、B 重合）”，过点B 作BF AE ⊥，垂足为F ，以EF 为边作正方形EFMN ，当点M 落在坐标轴上时，求E 点坐标．【答案】解：（1）如图1中，一次函数364y x =-+的图象与坐标轴交于A 、B 点，(0,6)A ∴，(8,0)B ，设OE x =，作EM AB ⊥于M ．AE 平分OAB ∠，OE OA ⊥，OE EM x ∴==，在AEO ∆和AEM ∆中，AE AE OE EM =⎧⎨=⎩，AEO AEM∴∆≅∆， 6AM AO ∴==，6OA =，8OB =，90AOB ∠=︒，10AB ∴=，4BM ∴=，在Rt EBM ∆中，222EM BM EB +=，2224(8)x x ∴+=-，3x ∴=，(3,0)E ∴，设直线AE 的解析式为y kx b =+则630b k b =⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AE 的解析式为26y x =-+．（2）如图2中，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接FE '交y 轴于P ，此时PE PF +的值最小．BF AE ⊥，∴直线BF 的解析式为142y x =-，由14226y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩解得42x y =⎧⎨=-⎩，(4,2)F ∴-， ∴直线FE '的解析式为2677y x =--， 6(0,)7P ∴-．（3）①如图3中，当点M 在y 轴上时，作FP OB ⊥于P ，FQ OM ⊥于Q ．四边形EFMN 是正方形，FE FM ∴=，EFMPFQ∠=∠，EFP MFQ ∴∠=∠，90FPE FQM ∠=∠=︒，FPE FQM ∴∆≅∆，FP FQ ∴=，四边形OPFQ 是正方形，设边长为x ．AEO BEF ∠=∠，90AOE PFE ∠=∠=︒，FAQ FBP ∴∠=∠，90AQF BPF ∠=∠=︒，AQF BPF ∴∆≅∆，AQ BP ∴=，68x x ∴+=-1x ∴=，(1,1)F ∴-，∴直线AF 的解析式为76y x =-+，6(7E ∴，0)．②如图4中，当点M 在x 轴上时，易知6OA OE ==，可得(6,0)E ．综上所述，满足条件的点E 坐标为6(7，0)或(6,0)．。
人教版数学八年级下册 期末培优专题 一次函数行程类问题(含简单答案)
参考答案
2．(1)100 ； 80 (2) y 40t 20 ，教官们领取装备所用的时间 0.5h ； (3)客车第二次出发时的速度至少是 60km/h ．
3 即按原路返回，结果比货车早一个小时到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 y（ km ） 与货车行驶时间 x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中 a 的值是______；
(2)求轿车到达乙地再返回甲地所花费的时间； (3)轿车在返回甲地的过程中与货车相距 30km ，直接写出货车已经从乙地出发了多长时间？ 15．小聪和小慧沿图 1 中的风景区游览，约好在飞瀑见面．小聪驾驶电动汽车从宾馆出发， 小慧也于同一时间骑电动自行车从塔林出发：图 2 中的图象分别表示两人离宾馆的路程 y(km) 与时间 x(h) 的函数关系，试结合图中信息回答：
8．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用 时 30 分钟，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度
为 60km / h ．两车之间的距离 y km 与慢车行驶的时间 x h 的函数图象如图所示．
(1)求出图中线段 AB 所表示的函数表达式； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
(1) a ________， b __________； (2)求出姐姐从家出发直到返回家的过程中，姐姐离家的距离 y1 与时间 t 之间的关系式； (3)在姐姐去体育场的过程中，直接写出 t 为何值时，两人相距 400m ．
4．港口 A 、 B 、 C 依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从 A 、 B 两港出发，匀速 驶向 C 港，甲、乙两船与 B 港的距离 y （海里）与行驶时间 x （时）之间的关系如图所 示．
一次函数精选20题(附问题详解)
分邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．（3）李明从A 村到县城共用多长时间？26．（本小题满分8分）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：（1）求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）小24.（本题满分10分）工业园区某消毒液工厂，今年四月份以前，每天的产量与销售量均为500箱.进入四月份后，每天的产量保持不变，市场需求量不断增加.如图是四月前后一段时期库存量y(箱)与生产时间t(月份)之间的函数图象.（1）四月份的平均日销售量为多少箱？（2）该厂什么时候开始出现供不应求的现象，此时日销售量为多少箱？（3）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过135万元的情况下，购买5台新设备，使扩大生产规模后的日产量不低于四月份的平均日销售量.现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：哪几种购买设备的方案？若为了使日产量最大，应选择哪种方案？24．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线所示，小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段ＡＢ所示．（１）小李到达甲地后，再经过＿＿＿小时小张到达乙地；小张骑自行车的速度是＿＿＿千米／小时.（２）小张出发几小时与小李相距15千米？（３）若小李想在小张休息期间与他相遇，则他出发的时间x应在什么范围？（直接写出答案）25．(本小题满分8分)因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援下图是两水库的蓄水量y （万米3）与时间x （天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？（3）求直线AD 的解析式．23.（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．2y 与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？20．（本题满分9分）某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图11中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）22．（本题满分10分）甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两人的速度各是多少？（4分）（2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个）．（3分）（3）在什么时间段内乙比甲离A 地更近？（3分）图1325、（2011•黑河）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y （千元）与证书数量x （千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．（1）请你直接写出甲厂的制版费及y 甲与x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价．（2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？（3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？23．（2011福建龙岩，23， 12分) 周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。
最短问题
最短问题举例 （ 一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E 中，AE = AC+CE = 10+30 = 40 EB' = 30 所以：AB' = 50 总费用为：50×3 = 150万。
变式1．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED⊥BD ，连接AC 、EC 。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值。
(1)A C=51FD E(8-x)2 + 25 ，CE = x2 + 1 则AC+CE = (8-x)2 + 25 + x2 + 1(2)A 、C 、E 三点共线时AC+CE 最小。
连接AE ，交BD 于点C ，则AE 就是AC+CE 的最小值，最小值是10(3)如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值，在直角△AEF 中,AF =5 EF = 12 根据勾股定理：AE = 13变式2．求代数式x2 + 1 + (4-x)2 + 4 （0≤x ≤4）的最小值。
解：如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值。
在直角△AEF 中 AF = 3 EF = 4 则AE = 5 所以，这个代数式的最小值是5(二)角类4．两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA 与OB 相交，点P 在∠AOB 内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P 关于直线OA 和OB 的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA 、OB 于C 、D ，C 、D 两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.3221解：分别做点P 关于直线OA 和OB 的对称点P1、P2， 连结P1P2分别交OA 、OB 于C 、D ， 则C 、D 就是建加油站的位置. 若取异于C 、D 两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C 、D 两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在C 、D 两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。
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一次函数之距离最短
1．已知：在平面直角坐标系中，M（0，1），N（2，2），在x轴上取一点P，使PM+PN的值最小，则点P的坐标为（）
2．如图，将直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为．
3．如图，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为．
4．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），直线y=x﹣与x轴，y轴分别交于A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．
5．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将线段OP沿y轴正方向移动m（m＞0）个单位长度至O′P′，以O′P′为直角边在第一象限内作等腰直角△O′P′Q，若点Q在直线y=x上，则m的值为．
6．如图，点A（2，4），B（4，2），若Q是x轴上使得QA十QB的值最小的点，则点Q的坐标为．
7．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）
（1）求线段AB的长；
（2）若已知m=3，x轴上是否存在一点P，使得PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，3），（2，1）．（1）是否在x轴上存在一点P，使PA+PB的值最小？若存在，请说出该点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）是否在x轴上存在一点Q，使QA﹣QB的值最长？若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在坐标系中有一点A（﹣1，2），关于直线x=1对称得点B，将点B向上平移m个单位得到点C，
（1）用m表示C点的坐标；
（2）在x轴上存在一点P（n，0），使PA+PC的值最小，求n的值．
10．（1）点（﹣1，2）关于直线x=1对称的点的坐标是；
（2）直线y=2x+4关于直线x=1的对称的直线的解析式是；
（3）已知A（5，5），B（2，4）在x轴上是否存在一点M，使MA+MB的值最小？若存在，求出M点的坐标．
11．（1）点A（﹣1，2）关于直线x=1对称的点B的坐标是．
（2）将点B向上平移4个单位得到点C，请问：在x轴上是否存在一点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出P点的坐标．
12．（1）点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是；
（2）已知A（5，5），B（2，4），在x轴上是否存在一点M，使MA+MB的值最小？若存在，求出M点的坐标．
13．直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是直线在第一象限内的动点（0＜x＜8），试确定点P的坐标，使△OAP的面积为15．
（3）若点P（4，y）是直线AB上的一点，在x轴上确定一点，使得QP+BQ最短，并求出Q点的坐标．。