4.1成比例线段
九年级数学北师大版上册 第4章《4.1 成比例线段》教学设计 教案
课题 4.1.1 线段的比和成比例线段单元第四单元学科数学年级九学习目标1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.2.知道成比例线段的定义.3.熟记比例的性质并会应用.重点会求两条线段的比，成比例线段的定义，比例的性质.难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课教师课件出示图片师：观察下面几幅图片，你能发现什么？学生观察图片，回答问题。
相同点：形状相同不同点：大小不相同通过用幻灯片展示生活的的图片,引入本章的学习内容——相似图形,初步感知相似图形,引发学生思考相似图形的特征,激发学生的求知欲及学习兴趣.为新课的学习做好情感铺垫.讲授新课你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？学生先自主观察这些图形的特点,然后在小组内交流自己的看法,交通过以上引导性问题引导学生共同总结出:对于形状相同而大小不同的两个图形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。
在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.两条线段的比A B C Dm n两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD＝m：n也可以表示为：AB m= CD n如果把mn表示成比值k，那么ABCD＝k，或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．ABC D EA'B'C'D'E'如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm，AB：A′B′=5 :3，53就是线段AB与A′B′的比，这个比值刻画流后借助多媒体展示自己的成果。
教师利用多媒体出示两条线段的比的定义,强调相关要点,明确两条线段的比实际上就是两个数的比,接着出示下面实例进一步加深学生对两条线段的比的认识.教师引导学生结合图形分析形,可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系，适时引出两条线段的比的概念.通过两个五边形对应边的比,具体说明线段的比的意义,进一步巩固对概念的理解.通过方格纸上两个四边形对应边了这两个五边形的大小关系.【做一做】如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB, AD, EF, EH的长度分别是多少？教师出示答案：AB=8 AD=210EF=4 EH=10分别计算AB AD AB EF,,,EF EH AD EH的值，你发现了什么？AB8==2 EF4AD210==2 EH10AB8210==AD5210EF4210==EH510总结归纳四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a c=b d，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.【议一议】题意,明确图中两四边形的四条边的长度可以通过观察或勾股定理得出.给学生充足的时间计算.学生在教师的引导下总结归纳.的比值的计算,引导学生发现这四组对应线段的比相等,进而引出比例线段的概念.课堂练习 1.在1：1 000 000的地图上，A ，B 两地之间的距离是5 cm ，则A ，B 两地之间的实际距离是( B ) A ．5 km B ．50 km C ．500 km D ．5 000 km2.已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 的比为( A ) A ．3：4 B ．2：3 C ．3：5 D ．1：23.下列四组线段中，是成比例线段的是( C ) A ．3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cm B ．4 cm ，8 cm ，3 cm ，5 cm C ．5 cm ，15 cm ，2 cm ，6 cm D ．8 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cm4.已知a b =23(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是( B ) A.a 2=b 3B ．2a ＝3b C.b 3=a 2D ．3a ＝2b 5.如图，在□ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F.（1）AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．解：AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段成比例． ∵在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥AD ， ∴S ▱ABCD ＝AB ·DE ＝AD ·BF.∵BC ＝AD ，∴AB ·DE ＝BC ·BF ，即AB BC ＝BFDE.学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．解：∵AB·DE＝BC·BF，∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.6.【2020·金昌】生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2 m，则a约为( A )A．1.24 mB．1.38 mC．1.42 mD．1.62 m课堂小结本节课你学到了什么？1.线段的比如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n.2.成比例线段四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即a c=b d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.3.基本性质如果a c=b d，那么ad=bc.如果ad=bc (a, b, c, d都不等于0)，那么a c=b d 课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.板书课题：4.1.1 线段的比和成比例线段一、线段的比二、成比例线段三、基本性质。
4.1 成比例线段(练习)(解析版)
第四章 图形的相似4.1 成比例线段精选练习一、单选题1．（2022·山东淄博·八年级期末）如果线段3a =，2b =，且b 是线段a 和c 的比例中项，那么c =（ ）A ．23B ．32C ．34D ．432．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校九年级阶段练习）若y ﹣2x ＝0，则x ：y 等于（ ）A ．1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：13．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知35ab=，则a bb a+-的值为（ ）A．2B．52C．4D．454．（2022·全国·九年级专题练习）已知67xy=，则下列结论一定成立的是（ ）A．x＝6，y＝7B．137x yy+=C．y﹣x＝1D．76x y=5．（2021·福建东盛集团股份有限公司九年级期中）下列各组线段中，不成比例的是（ ）A．30cm,20cm,90cm,60cm B．4cm,6cm,8cm,10cmC ．11cm,22cm,33cm,66cmD ．2cm,4cm,4cm,8cm 【答案】B 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．【详解】A 、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;B 、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;C 、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;D 、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.故选 B ．【点睛】本题考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，若最长和最短两条线段之积与另两条线段之积相等，则说明四条线段成比例．6．（2021·安徽亳州·九年级阶段练习）若2a c b d ==-，则a c b d --＝（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12二、填空题7．（2021·福建·漳州三中九年级期中）若275x y z ==，则x y z x -+=__．8．（2021·山东济南·九年级期中）若23yx=，则x yx+=____．【答案】53##2139．（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）已知a＝1，b＝4，则a，b的比例中项c的值为________．【答案】±2【分析】根据比例中项的概念得到2c ab=，再根据平方根的定义求得c即可．【详解】解：∵c为a、b的比例中项，∴2c ab=，∵a＝1，b＝4，∴24c ab==，解得：c=±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查比例中项的概念、平方根的求法，熟练掌握比例中项的概念得到2c ab=是解答的关键，注意正数的平方根有两个，且互为相反数．10．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【答案】1.2【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，2.531a=´，解得 1.2a=，故答案为：1.2．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．三、解答题11．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如果a c ekb d f===（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f）．求k的值．12．（2022·全国·九年级专题练习）已知a：b＝3：2，求：(1)a b b +(2)27 4a bb-13．（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求y xy-的值．一、填空题1．（2022·湖南·岳阳市第十九中学九年级期末）若34a c e b d f ===，则2323a c e b d f -+=-+______．2．（2022·江西景德镇·九年级期末）已知234a b c ==¹，且4a b c +-=，则=a ______．3．若3是x 和4的比例中项，则x 的值为___________4．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c ---==，设23S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则n m 的值为 __．【答案】1116+##0.6875二、解答题5．（2022·全国·九年级专题练习）已知3a b +＝4b c +＝5c a +，求a b c c a b ---+的值．6．（2022·全国·九年级专题练习）已知2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，求k 2-3k-4的值．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．7．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28（1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．8．（2022·全国·九年级专题练习）（1）若x y =115，求代数式2x y y -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b c a b c -+-+的值．。
数学北师大版九年级上册《4.1成比例线段教学设计》
《成比例线段》教学设计阳山县青莲中学叶兰香一、学情分析相似图形是现实生活中广泛存在的现象，学生在小学时就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例），相似是全等的拓广与发展。
学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学习线段的比应该不会有困难，但由于学生原有知识水平比较差，故学生在探究线段的比的性质时可能会遇到障碍。
二、教材分析（一）教学内容分析《成比例线段》是新北师大版九年级数学上册第四章《相似图形》第一节的内容。
本节课既是第四章的章节起始课，又是概念课，在教法、学法以及培养学生自主学习能力方面，都有着重要意义，本节课的成功直接关系到整章书的教学效果。
（二）教学目标1.了解线段的比的概念，会求两条线段的比；2. 掌握成比例线段的概念，会判断线段是否成比例；3. 理解和掌握比例的基本性质，并会简单应用。
（三）教学重点和难点教学重点：理解线段的比与成比例线段的概念及其求解。
教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。
三、教学方法：自主、合作、探究法四、教学模式及教学流程播放视频，导入新课——目标展示，明确任务——探究新知，交流建构——拓展提升，发展能力——课堂小结，反思收获——课堂后测，拓展反馈——布置作业，课后延伸。
五、教学过程：（一）播放视频，导入新课视频内容：第一部分从学生生活中形状相同，大小不相同的图片入手，引出相似图形；第二部分提出问题：如何比较两个相似图形的大小？如何把一个图形放大或者缩小？如何判定两个三角形是否相似？第三部分明确研究相似图形的基础是比例线段，并阐述了比例线段的作用。
（设计意图：利用学生身边的图片引入，吸引学生注意力，提高学生学习兴趣；作为章节起始课，让学生了解在这一章当中我们将要学习的内容，并解决为什么要学的问题。
）（二）目标展示，明确目的1. 了解线段的比的概念，会求两条线段的比；2. 掌握成比例线段的概念，会判断线段是否成比例；3 . 理解和掌握比例的基本性质，并会简单应用。
北师大版九年级数学上册《4.1成比例线段》同步练习题-附答案
北师大版九年级数学上册《4.1成比例线段》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．已知23a b=，则下列变形不正确．．．的是（ ） A ．32a b = B ．32a b = C ．32b a = D ．32b a =2．已知()520,0a b a b =≠≠，下列变形错误．．的是（ ） A ．25b a = B ．52b a = C ．25a b = D ．25a b = 3．若23x y =，则x y y +等于（ ）A ．25B ．53C ．23D ．834．已知ab cd =，则把它改写成比例式后，正确的是（ ）A ．a c b d= B ．a d c b= C ．d c a b= D ．b c a d= 5．已知23b a =，则a b b -的值是（ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．126．下列各组线段中，能成比例的是（ ）A ．1cm 3cm 4cm 6cmB ．1cm 3cm 4cm 12cmC ．1cm 2cm 3cm 4cmD ．2cm 3cm 4cm 5cm7．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中1a =，b=3，c=4，则线段d 的长是（ ）A ．14B ．2C ．8D ．128．若a ，b ，b ，c 是成比例的线段，其中3a =，12c =则线段b 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．159．若234a b c==，18a b c ++=则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．在比例尺为150000：的图纸上长度为10cm 的线段表示实际长为（ ）A ．50kmB ．10kmC ．5kmD ．1km二、填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分） 11．已知25a b =，则ba的值为 ．12．若34b a ，则a ba += ．13．若34a b =，且7a b +=，则a 的值为 ． 14．若23x x y =+，则yx = ． 15．若线段a 、b 、c 、d 成比例，其中3cm a =，6cm b =和2cm c =，则d = ．16．已知234a b c==，则a b c += ． 17．已知2a c eb d f ===，且0b d f ++≠，若10ac e ++=，则bd f ＋＋= ．18.如果312234x y z +--==，且18x y z ++=，那么2x y z --的值为_______ 三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）19．已知：74x y y +=，求x y的值．20．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中4a =，b=5，c=10，求线段d 的长．21．已知a ：b ：c ＝3：2：1，且a ﹣2b +3c ＝4，求2a +3b ﹣4c 的值．22．已知线段a 、b 、c ，且345a b c ==. （1）求a bb+的值； （2）若线段a 、b 、c 满足60a b c ++=，求a 、b 、c 的值. 23．已知：:235a b c =：：：． (1)求代数式2a b ca b c+-++的值；(2)如果24a b c +-=，求a 的值.24．已知线段a 、b 、c ，且456a b c ==． （1）求a bb+的值； （2）若线段a 、b 、c 满足45a b c ++=，求a b c -+的值．参考解答二、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．A 2．A 3．B 4．B 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C 三、填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）11．25 12．7413．3 14．12 15．4cm 16．54 17．5 18.15-三、解答题（本大题共有6个小题，共46分） 19．解：将74x y y +=两边减去1得744x y y y +--=． ∴34x y = ． 20．解：已知a ，b ，c ，d 是成比例线段 根据比例线段的定义得：ad cb = 代入4a =，5b =和10c = 解得：252d =． 21．解：∵a ：b ：c ＝3：2：1 ∴设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝k ∵a ﹣2b +3c ＝4 ∴3k ﹣4k +3k ＝4 ∴k ＝2∴a ＝6，b ＝4，c ＝2∴2a +3b ﹣4c ＝12+12﹣8＝16． 22．解；（1）设345a b ck === 则3a k = 4b k = 5c k = ∴34744a b k k b k ++== （2）∵60a b c ++= ∴34560k k k ++= 解得5k =∴15a = 20b = 25c =23．（1）解：设2a k =，则35b k c k ==， 2223521235105a b c k k k k a b c k k k k +-⨯+-===++++（2）设2a k =，则35b k c k ==， ∵24a b c +-=∴22354k k k ⨯+-= 解得k =2∴24a k ==24．解：（1）设456ab c k === 则a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k 45955a b k k b k ++==； 设456a b c k ===则a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ∵a +b +c ＝45 ∴4k +5k +6k ＝45 ∴k ＝3∴a ＝12，b ＝15，c ＝18∴a ﹣b +c ＝12﹣15+18＝15．。
4.1 成比例线段
备课组九年级数学主备人高显国备课时间课题 4.1 成比例线段课时数 2 上课时间教学目标知识与技能：1．结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比．2．结合实际情境了解比例线段的概念．过程与方法：能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题情感态度与价值观：固并掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解比例的等比性和合比性，形成辨证看问题的观点。
教学重难点重点：理解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段的比及判断线段是否成比例．难点：掌握比例的基本性质，并能进行简单应用授课方法自主、合作、探究、教师点拨教学过程主备个人增删第1课时情景导入生成问题1．如图：，则线段AB与CD的比为AB∶CD＝3∶8．2．已知线段AB＝2cm，线段CD＝2m，则线段AB∶CD＝1∶100．自学互研生成能力知识模块探索线段的比与比例的基本性质先阅读教材P76－78页的内容，然后完成下面的问题：1．线段比的定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n或写成ABCD＝mn，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把mn表示成比值k，则ABCD＝k或AB＝kCD.2．求两条线段的比时，应保持两条线段的长度单位相同．3．比例线段的定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．4．比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc；(2)如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么ab＝cd．在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？归纳结论：(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关．典例讲解：1．见教材P78例1.2．已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.解：(1)ab＝2，dc＝2，则ab＝dc，所以a、b、d、c成比例；(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例．对应练习：1．已知一矩形的长a＝1.35m，宽b＝60cm，则a∶b＝9∶4．2．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( D)A．1，2，2，3 B．1，2，3，4 C．1，3，2，4 D．1，2，2，43．如图所示，已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b＝1∶2，其斜边长为45cm，那么这个三角形的面积是( B)A．32cm2B．16cm2C．8cm2D．4cm24.如图，点C、D是线段AB上的两点，AC＝1cm，CD＝2cm，DB ＝3cm，找出图中能成比例的四条线段，并用比例式表示．解：∵ACCD＝12，BDAB＝36＝12，∴ACCD＝BDAB.(答案不唯一)交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块探索线段的比与比例的基本性质检测反馈达成目标1．如图，线段AB∶BC＝1∶2，那么，AC∶BC等于( D)A．1∶3 B．2∶3 C．3∶1 D．3∶22．等边三角形的一边与这边上的高的比是( C)A.3∶2B.3∶1 C．2∶ 3 D．1∶ 33．下列线段中，能成比例的是( D)A．2cm，3cm，4cm，5cmB．1.5cm，2.5cm，4cm，5cmC．1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cmD．1cm，2cm，3cm，6cm4．已知线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝6，c＝4，d＝2，则b＝__3．5．如图，已知矩形ABCD(AB＜BC)，AB＝1.将矩形ABCD对折，得到小矩形ABFE，如果AEAB的值恰好与ABAD的值相等，求原矩形ABCD的边AD的长．解：设AD长为x，则AE＝12x，由AEAB＝ABAD，得12x1＝1x，即12x2＝1，解得x1＝－2(舍去)，x2＝ 2.∴AD＝ 2.第2课时情景导入生成问题1．已知点C为线段AB上一点，AB＝25cm，AC＝5cm，则ACBC＝14．2．已知线段a＝2，b＝3，d＝6且线段a，c，b，d成比例，则c＝4．3．如图，△ABC中，ADAB＝DEBC，DE＝1，AD＝2，BD＝3，则BC 的长是( C)A.32B.23C.52D.72自学互研生成能力知识模块一探索比例的性质先阅读材料P79－80页的内容，然后完成下面的问题：1．比例的基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc．2．等比性质：若ab＝cd＝ef＝…＝mn，且b＋d＋f＋…＋n≠0，则a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n＝ab．3．合(分)比性质：若ab＝cd，则a±bb＝c±dd．1．证明等比性质：若a b ＝c d ＝e f ＝…＝mn ＝k ，且b ＋d ＋f ＋…＋n≠0.则a ＝kb ，c ＝kd ，e ＝kf ，…，m ＝kn.∴a ＋c ＋e ＋…＋mb ＋d ＋f ＋…＋n＝kb ＋kd ＋kf ＋…＋kn b ＋d ＋f ＋…＋n ＝k （b ＋d ＋f ＋…＋n ）b ＋d ＋f ＋…＋n ＝k ＝mn.2.证明合(分)比性质：(1)∵a b ＝c d ，∴a b ＋1＝c d ＋1，∴a b ＋b b ＝c d ＋d d ，∴a ＋b b ＝c ＋d d ；(2)∵a b ＝c d ，∴a b －1＝c d －1，∴a b －b b ＝c d －d d ，∴a －b b ＝c －d d .归纳：合(分)比性质的证明用到了等式的性质1，同分母分式的加减法法则．知识模块二 比例性质的应用1．自学自研教材P 80页例2.2．目的：学到的知识要会应用升华，在这个环节中让学生灵活应用比例的等比性质，解决实际问题、师生互动，主要还是学生的动，要体现教师的主导作用，学生的主体作用，让学生会主动学习，遇到问题要善于分析思考．典例讲解：1．已知k ＝a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab，求k 的值．分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a ＋b ＋c ＝0这种情况漏掉．解：当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，k ＝－cc ＝－1；当a ＋b ＋c≠0时，可以用等比性质k ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2；所以当a ＋b ＋c＝0时，k ＝－1，当a ＋b ＋c≠0时，k ＝2.2．在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15cm ，AC ＝10cm ，且BD ∶DC ＝AB ∶AC ，BD －DC ＝2cm ，求BC.解：∵AB＝15cm ，AC ＝10cm ，∴BD DC ＝AB AC ＝1510＝32.设BD ＝3k ，DC＝2k，∵BD－DC＝2cm，∴k＝2cm.∴BC＝3k＋2k＝5k＝10cm.对应练习：1．教材P80随堂练习．解：已知ab＝cd＝23(b＋d≠0)，则a＋bb＋d＝23b＋23db＋d＝23.2．教材P81习题4.2第1题．解：已知ab＝cd＝ef＝23(b＋d＋f≠0)，则a＋c＋eb＋d＋f＝23b＋23d＋23fb＋d＋f ＝23.3．教材P81习题4.2第2题．解：AB＝22＋42＝25；DE＝12＋22＝5；BC＝22＋62＝210；DC＝12＋32＝10；AC＝42＋62＝213；EC＝22＋32＝13；△ABC与△EDC的周长比为25＋210＋2135＋10＋13＝2.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索比例的性质知识模块二比例性质的应用检测反馈达成目标1．若ab＝cd＝ef＝13，且b＋d＋f≠0，则a＋c＋eb＋d＋f＝13；a＋2c＋3eb＋2d＋3f＝13．。
4.1 成比例线段
4.1 成比例线段一．选择题（共14小题）1．（2020秋•碑林区校级期中）已知4a ＝5b （ab ≠0），下列变形错误的是（ ） A ．b4=a5B ．a b=54C ．ab−a=−5 D ．b+14=a+152．（2020秋•拱墅区校级期中）已知3x ＝7y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．x3=y7B ．x 7=y3C ．x y=37D ．x 3=y73．（2019秋•资阳区期末）在比例尺为1：1000000的地图上量得A ，B 两地的距离是20cm ，那么A 、B 两地的实际距离是（ ） A ．2000000cmB ．2000mC ．200kmD ．2000km4．（2019秋•平顶山期中）若a b=c d=13（b +d ≠0），则a+c b+d的值为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．435．（2019秋•玉田县期中）已知mx ＝ny ，则下列各式中不正确的是（ ） A ．m n=xyB ．m y=nxC ．y x=m n D ．x n=y m6．（2019•无锡一模）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且2ab+c=2b a+c=2c a+b=k ，则k 的值为（ ） A ．1B ．12或﹣1C ．﹣2D ．1或﹣27．（2019秋•武昌区校级月考）下列结论：①若a =b 2=c3，则关于x 的方程ax ﹣b +c ＝0（a ≠0）的解是x ＝﹣1；②若x ＝1是方程ax +b +c ＝1且a ≠0的解，则a +b +c ＝1成立；③若a +b ＝0，a ≠b ，则ba(a +2)+ab（b ﹣3）＝1；④A 、B 、C 是平面内的三个点，AB 与AC 是两条线段，若AB ＝AC ，则点C 为线段AB 的中点；⑤若z ＜0＜x ＜y ，|x |＜|y |＜|z |，则|z ﹣y |﹣|x ﹣z |﹣|y ﹣x |的值为0．其中正确结论的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．（2019秋•兰州期末）已知3x ＝7y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．x3=y7B ．x 7=y3C ．x y=37D ．x 3=7y9．（2019秋•三明期末）已知2x ＝3y ，则下列比例式成立的是（ ）A ．x 2=y3B ．x+y y=43C ．x 3=y2D ．x+y x=3510．（2019秋•嘉兴期末）若a b=23，则a+b b的值为（ ）A ．23B ．53C ．35D ．3211．（2020秋•安庆期中）如果a b=c d(b +d ≠0)，那么下列等式中不成立的是（ ） A ．a+b b=c+d dB ．a b =a+cb+dC ．ac=bdD ．ad=cb12．（2019秋•覃塘区期中）若3x=5y（x ≠0，y ≠0），则下列式子中一定成立的是（ ）A ．x +y ＝8B ．3x ＝5yC ．x y=53D ．x y=3513．（2019秋•高新区期中）若2x−3y x+y=12，则y x=（ ）A ．73B ．37C ．57D ．7514．（2019春•乳山市期末）若xy=13，2x ＝3z ，则2x+y z−y=（ ）A ．−157B ．157C ．﹣5D ．5二．填空题（共3小题）15．（2020秋•宝山区期末）已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是 厘米．16．（2020秋•山东月考）已知线段c 为线段a ，b 的比例中项，若a ＝1，b ＝2，则c ＝ ． 17．（2019秋•五华县期末）已知x5=y 4=z 3（x 、y 、z 均不为零），则x+y3y−2z= ．三．解答题（共21小题）18．（2019秋•昭平县期中）已知：线段a 、b 、c ，且a2=b 3=c4．（1）求a+b b的值．（2）如线段a 、b 、c 满足a +b +c ＝27，求a ﹣b +c 的值． 19．（2020秋•揭西县期末）若a5=b 7=c8，且3a ﹣2b +c ＝18，求2a +4b ﹣3c 的值．20．（2020秋•静安区期末）已知线段x ，y 满足2x+y x−y=x y，求xy的值．21．（2020秋•松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？22．（2020秋•奉贤区期末）已知a ：b ＝2：3，b ：c ＝3：4，且2a +b ﹣c ＝6，求a 、b 、c 的值．23．（2020秋•浦东新区期末）已知：a ：b =12：23，b ：c ＝2：5，求：a ：b ：c （化成最简整数比）24．（2020秋•鱼台县期末）若a+23=b 4=c+56，且2a ﹣b +3c ＝21．试求a ：b ：c ．25．（2020秋•武侯区校级月考）已知x 2=y 3=z5，且x +2y +3z ＝﹣46，求x ，y ，z 的值．26．（2020秋•北仑区期中）（1）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果a ＝2，b ＝3，求c 的长度．（2）已知2：（a +1）＝（a ﹣1）：3，求a 的值． 27．（2020秋•城关区校级期中）如果ab =c d=e f=k （b +d +f ≠0），且a +c +e ＝3（b +d +f ）．求k 的值．28．（2020秋•兰州期中）已知长度为x ﹣1，2，x +1，3的线段成比例，求x 的值． 29．（2020秋•蚌埠期中）已知线段MN 是AB ，CD 的比例中项，AB ＝4cm ，CD ＝9cm ，求MN 的长．30．（2020秋•西林县期中）已知x2=y 3=z 5，且2x +y +3z ≠0，求x+2y−3z 2x+y+3z的值．31．（2020秋•青羊区校级期中）已知：a ：b ：c ＝2：3：5． （1）求代数式3a−b+c 2a+3b−c的值；（2）如果3a ﹣b +c ＝48，求a ，b ，c 的值． 32．（2020秋•包河区期中）已知：x2=y 3=z 4，求x+y+z 2x的值．33．（2020秋•仪征市期中）（1）已知线段m ＝8，n ＝2，求线段m 、n 的比例中项； （2）已知x3=y5，x +y ＝24，求x 、y 的值．34．（2020秋•金安区校级期中）已知：x+y x=32．（1）求yx的值； （2）求x−y x+y 的值．35．（2020秋•松江区月考）已知a 2=b 3=c 5≠0，求2a−3b+4c 5a+3b−2c的值．36．（2020秋•高新区校级月考）已知2ab+c+d=2b a+c+d=2c a+b+d=2d a+b+c=k ，求k 2﹣3k﹣4的值．37．（2020春•密山市期末）下面是学校操场的平面图，已知比例尺是14000，请你计算操场的实际面积是多少平方米？38．（2020春•甘南县期中）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？。
4.1线段成比例
一.知识要点：
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或
，那么线段ｂ叫做线段ａ和
ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质:
或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 二、例题：
1.已知线段a=2，b=3，c=6，线段d 是a ，b ，c 的第四比例项，求d 的值。
2.已知3
2f e d c b a ===，且4f d 3-b 2=+，求e c 3-a 2+的值。
3.四边形ABCD 和四边形EFGH 中，AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE=3：2，若四边形ABCD 的周长为15，求四边形EFGH 的周长。
4.已知：线段a ，b ，c ，且
4c 3b 2a ==（1）求b b a +的值；（2）如线段a ，b ，c 满足a+b+c=27，求a ，b ，c 的值。
5.如果k z
y x y x z x z y =+=+=+，求k 的值。
北师大版九年级上册数学教案：4.1成比例线段
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深了对成比例线段的理解。但我也发现，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员不够积极参与。为了提高学生的参与度，我打算在下次活动中增加一些互动环节，鼓励每个学生都发表自己的观点。
-掌握比例的基本性质：包括比例的倒数性质（如果a:b=c:d，则b:a=d:c）、交叉相乘性质（如果a:b=c:d，则ad=bc）等。这些性质是解决比例问题的关键，需要在教学中反复强调，并通过练习题巩固。
-应用比例知识解决实际问题：培养学生将比例知识应用于实际情境中，如计算线段长度、解决比例分配问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段指的是两条线段之间存在一个常数k，使得一条线段的长度是另一条线段长度的k倍。它在几何图形的相似性、比例尺的计算等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设图中有两条线段AB和CD，已知AB的长度是CD的两倍，我们将通过这个案例来展示成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
九年级数学上册 4.1 成比例线段课件 (新版)北师大版
D.
1 3,
6 18
故不是成比例线段．
24
（来自《点拨》）
知识点
归纳
知2－讲
(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同，若 长度单位不同，应先统一单位再判断；
(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按长 短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于 两条较长的线段的比，则是成比例线段，否则不 是．
EF EH AD EH
（来自教材）
知2－讲
知识点
1．四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的
比，即
a b
c d
，那么这四条线段a，b，c，d叫做成
比例线段，简称比例线段．
2. 要点精析：
(1)成比例线段是有顺序的，如果说a，
b，c，d是成比例线段，那么得到的比例式是ba
c d
,
其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形 可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的 图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。在 这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大” 或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两 个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们 的大小关系。
知1－导
知1－讲
A．1 B. 4 C. 5 D. 7 7 44
2 如果 x y 7 ,那么 x 的值是（）
y4
y
A. 3 B. 2 C. 4
43
3
D. 3 2
（来自《典中点》）
知识点 4 比例的等比性质
在图中，已知
AB HE
BC EF
CD FG
AD HG
2,
你能求出 AB BC CD AD
4.1成比例线段(1)
第30 课时课题：成比例线段（1）学习目标：了解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段比；理解并掌握比例的基本性质，能用比例的基本性质解决一些实际问题2能力目标：通过自主，合作探究新知的过程能感受观察，分析，归纳等获取知识的方法3情感目标：借助生活中感性图片营造的亲切，和谐的课堂气氛，激励同学们参与课堂活动重点：成比例线段的理解和应用。
难点：应用比例的基本性质解决实际问题。
导学过程活动1 独学教材77页前三段内容完成知识点一和知识点二知识点一：形状相同的图形形状相同的图形是指两个图形形状完全（），但（）并不一定相同。
知识点二：两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们（）的比，即AB:CD=m:n或写成nmCDAB=，其中，线段AB,CD分别叫做这个线段比的（）项和（）项，如果把nm表示成比值K,那么kCDAB=，或∙=kAB（）思考：（1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位有什么要求？（2针对演练1（考察）某地图册上靖边县到户县的直线距离AB=8cm,而靖边县到户县的实际直线距离CD=400km,求CDAB。
解：活动2：二人对学教材77页做一做完成知识点三如下图所示，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，（1）通过数格子或利用勾股定理可求得AB=______，AD=______，EF=_____，EH=_____；（2）由（1）中结果，可计算出______;______,______,______,====EHEFADABEHADEFAB所以：；知识点三：成比例线段四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即____________，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段；注意：（1）成比例的线段是指（）条线段的关系，而不是两条线段的关系。
（2）在比例式a:b=c:d中，b,c叫作两（）项，a,d叫作两（）项，其中d叫作a,b,c的（）项。
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试一试： 下列能组成比例线段的是（
C
）
A、 1cm, 2cm,3cm, 4cm B、 2cm, 4cm,8cm,10cm C、 0.5m, 20cm,10cm, 2.5dm D、 2cm,5dm, 0.2m,10cm
a c (或a : b c : d) b d
1、a,b,c,d叫作组成比例的项 2、a, d叫作比例的外项 3、b,c叫作比例的内项 那么b叫作a，c的比例中项
下课了!
a c 如果 ad=bc（a、b、c、d 都不等于 0） ，那么 , b d
随堂练习
a b 1、已知：线段 a、b、c 满足关系式 ,且 b=4, b c
那么 ac=
2、 你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有 哪些利用线段比的事例？
知识技能
1 ． 在 △ABC 中， ∠ B = 9 0 ° ， AB = BC = 1 0 cm； 在△DEF 中，ED = EF = 1 2 cm，DF = 8 cm，求 AB 与 EF 之比，AC 与 DF 之比．
随堂练习 1
1．一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，求这两 条线段的比．
例题1：
五边形 ABCDE与五边形 A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段A’B’ 的比是多少？
注： 1、这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
2、线段的比要统一单位长度。
做一做
如图， 设小方格的边长为1， 四边形ABCD 与四边形EFGH的顶点都在格点上， 那么 AB,AD,EH,EF的长度分别是多少？分别
AB AD AB EH 、 、 、 计算 的值。你发 EH EF AD EF
现了什么？
a c 成比例线段：四条线段 a、b、c、d，如果 （或 a∶b＝c∶d） ， b d
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用 相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段，也称这 四条线段成比例。
所以：AB,EH,AD,EF是成比例线段，AB,AD,EH,EF也是成比 例线段。 注：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关。
随堂练习 2
2．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．
，
，
∴
线段a、b、c、d不是成比例线段．
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15，d＝5 3． 解： ∵
a 2 2 5 c 2 15 2 5 b 5 d 5 3 5 5
a c ∴ b d
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
a b 当比例内项相等时，即 (或a : b b : c) b c
第三环节 小结
1、线段的比：即两条线段的长度比。
a c 2、成比例线段：四条线段 a、b、c、d，如果 （或 a∶b b d
＝c∶d） ，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比
例线段 3、比例的基本性质
a c 如果 ,那么 ad=bc b d
1 a 1 AE AD 3 ， 由 ，得 AD AB 1 a
1 2 即 ad是否是成 比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 5 1 a 4 2 c 解 （1） ∵ b 6 3 d 10 2 a c ， ∴ b d
例题：如图，一块矩形绸布的长 AB=am，AD=1m，按照图中所示的方式 将它裁成相同的三面矩形彩旗， 且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸 布的长与宽的比相同，即
1 解： 根据题意可知，AB = a m，AE = a m， 3
AD = 1 m．
AE AD ,那么 a 的值应当是多少？ AD AB
第二环节 新课探究
一、线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是 m、n；那么这两条线段的比就是两条线段的长度比。
AB m 记作：AB:CD=m:n 或 CD n
其中，AB、CD分别叫做这个线段比的前项、后项。
m AB 令 ，则 k （称 k 为比值） k 或 AB=k﹒CD n CD
b d
三、比例的基本性质
a c 3、由ad=bc,得出 b d 是有条件的，即a、b、c、d a b d c 都不等于0，还可以得到 ， 。 c d b a
比例的基本性质
a c 如果 ，那么ad＝bc． b d a c 如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么 b d
两内项之积，等于两外项之积。
将线段从小到大（或从 （2）∵a=0.8,c=1,d=2.4,b=3 如何快速地 大到小）的顺序排列， ∴a:c=0.8:1=4:5 判断线段是 计算第一和第二之比， 否成比例？ d:b=2.4:3=4:5 第三和第四之比，看他 们的比值是否相同 ∴ a,c,d,b 成比例线段
试一试：
已知线段a=4cm，b=0.02m，c=6cm， d=0.3dm，试判断它们是否成比例线段
2．如图，在 △ABC 中，AB = 12 cm， AE = 6 cm，
AD AE EC = 5 cm，且 = ，求 AD 的长． DB EC
问题解决
3．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（ EF为折痕），得到 两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长 边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少？
九年级数学(上) 第四章 第1节 成比例线段(一)
图形的相似
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
第1 节
成比例线段(一)
• 本章学习目标
• • • • 认识图形的相似，进一步积累认识图形性质的经验 探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，进一步发展推理能力 能够利用三角形的相似解决一些测量问题 了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小
问题：如果a、b、c、d 四个数成比例， a c 即 ，那么ad＝bc 吗？反过来，如果ad b d ＝bc，那么a、b、c、d 四个数成比例吗？
1、由等式的基本性质： a c 在 两边同乘以bd，得ad＝bc. b d 2、引入比值k： 设 a c k ,那么a=kb,c=kd。