1-2四种命题和充要条件综合练习有答案

第2讲四种命题和充要条件
基础巩固题组
(建议用时：20分钟)
1．(2015·山东卷改编)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________．
解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”
的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
答案充要
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”
的必要不充分条件．
答案必要不充分
4．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案 2
5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，
即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
6．(2017·安徽江南十校联考改编)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”
的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x 为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋
f (x )＝0.
又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－
1－x
＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.
所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．
答案 充要
7．给出以下结论：
①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”；②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”．
则其中错误的是________(填序号)．
解析 ③中命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，
即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题．①②④均正确．
答案 ③
8．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的________条件(从“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <3⇒/ 1<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
9．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是
綈p ，则实数a 的取值范围是________．
解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.
答案 [1，＋∞)
10．(2017·南京模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的________
条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立．
当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立．
答案 必要不充分
11．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，
则实数a 的取值范围是________．
解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．
∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，a ＋1<4，
解得0<a <3. 答案 (0,3)
12．下列命题中的真命题是________(填序号)．
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”
的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
答案②③
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13．(2016·四川卷改编)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”
或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以q p.
因此p是q的充分不必要条件．
答案充分不必要
14．(2017·苏北四市联考)已知m∈R，则“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.
由于函数y＝log m x在(0，＋∞)上是减函数，
所以0<m<1.
因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．
答案必要不充分
15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B
成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，
∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.
答案 (2，＋∞)
16．(2016·泰州模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)．
①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；
②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；
④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.
解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误． 对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确．
对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其
为假命题，故③错误．
对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 2
3≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．
答案 ②。