浙江省东阳中学2018-2019高二下学期期中考试数学试卷
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合2，3，，4，，则中的元素个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.直线的斜率是A. B. C. D. 23.“且”是“直线过点”的A. 充分条件不必要B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的最小正周期为A. B. C. D.5.已知向量，且，则实数x的值是A. B. 2 C. 8 D.6.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为A. B. C. D.7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则A. B. C. D.8.设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为A. B. C. D.9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为A. B. C. 1 D. 210.定义域为R的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．12.若函数是偶函数，则______，值域为______．13.在等差数列中，若，则______，______．14.一个几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积为______，该该几何体的体积为______．15.过点的直线与抛物线交于A、B两点，且则此直线的方程为______．16.函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是______．17.若对任意且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知向量，且A，B，C分别是锐角三角形ABC三边a，b，c所对的角．Ⅰ求的大小；Ⅱ若a，c，b成等比数列，且，求c的值．19.设是公差大于零的等差数列，已知，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和．20.在四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ证明：平面PAC；Ⅱ若二面角的大小为，求AP的值．21.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为，，求直线l的倾斜角．22.设函数．求函数的最小值；设，讨论函数的单调性；斜率为k的直线与曲线交于、两点，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2，3，，4，，，则的元素个数是2个．故选：C．求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：直线变形得：，则直线斜率为．故选A将直线方程变形后，即可求出直线的斜率．此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型．3.答案：A解析：解：由直线过点得：，即：，得不出且，直线过点不是且的必要条件；而且能得出，直线过点是且的充分条件．故选：A．直线过点，所以得到，下面只要验证能否得出且，且能否得出就可以了．本题考查了直线的方程、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：函数的最小正周期为，故选：B．根据了函数的周期为，计算求得结果．本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于基础题．5.答案：D解析：解：向量，且，，解得故选：D．由题意可得，解之即可．本题考查向量的垂直，转化为向量的数量积为0是解决问题的关键，属基础题．6.答案：D解析：解：等比数列中，，即有，，则新数列的公比为9，即有．故选：D．求出等比数列中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，故选：C．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sin B不为0求出cos A的值即可．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8.答案：A解析：解：在椭圆中，由，得椭圆的焦点为，，曲线是以、为焦点，实轴长为8的双曲线，故C的标准方程为：，故选：A．在椭圆中，由题设条件能够得到，曲线是以，，为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线的标准方程．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质求最值，属于一般题．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时确定最大值12，由，解得，即，代入目标函数得，即，则，，．，，当时，取得最小值．故选B．10.答案：A解析：解：，令，则，是定义在R上的偶函数，．，则函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，又当时，，令，则与在的部分图象如下图在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，在上单调递减，则，解得：，故选：A．由题意可判断函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，令，画出与在的部分图象如下图，将在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．11.答案：解析：解：，，．故答案为：，．由已知利用二倍角的余弦函数公式，诱导公式即可化简求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.答案：2解析：解：根据题意，函数，是对称轴为的二次函数，若函数是偶函数，必有，即；则，即函数的值域为；故答案为：2，．根据题意，将函数的解析式变形可得，分析可得是对称轴为的二次函数，结合偶函数的性质可得a的值，即可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，注意结合二次函数的性质分析．13.答案：解析：解：等差数列中，由等差数列的性质可得，，则，．故答案为：，．由已知结合等差数列的性质可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及特殊角的三角函数值的求解．14.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正棱锥体．如图所示：故：，．故答案为：，首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：设，由，得P为AB的中点．把A，B的坐标代入抛物线方程得，得：．所以．则过AB两点的直线方程为．即．故答案为．设出A，B两点的坐标并代入抛物线方程，由知P为AB的中点，利用点差法求出直线AB的斜率，由点斜式得方程．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用点差法求涉及弦中点的直线的斜率，是中档题．16.答案：解析：解：，令即，当，；当时，解得，或；因为函数在区间内是增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是故答案为：求出，因为要求函数的增区间，所以令大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．17.答案：解析：解：由不等式对于且恒成立，可得，对于且恒成立，令，由表示两点与的斜率，根据右图可知，点代入可得t的最小值为1，点代入可得t的最大值3，则，则在上恒成立，由，，可得函数y在递减，则，即时，，可得，故答案为：．将a分离出来得，然后根据，，求出的范围，令，可得在上恒成立，利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出a的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．18.答案：解：Ⅰ向量，可得即，所以，又因为是锐角三角形内角，所以．Ⅱ因为a，c，b成等比数列，所以，又，所以．所以，即，所以．解析：Ⅰ通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解C的大小．Ⅱ，c，b成等比数列，得到，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，等比数列的性质，三角形的解法，考查计算能力．19.答案：解：Ⅰ是公差大于零的等差数列，，．，解得，或舍，．Ⅱ是以1为首项，以3为公比的等比数列，，，．解析：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．Ⅰ由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出．Ⅱ由已知条件得，，由此能求出数列的前n项和．20.答案：Ⅰ证明：设O为AC与BD的交点，作于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，，所以，从而得，所以，即．由平面ABCD得，因为，所以平面分Ⅱ解：方法一：作于点H，连接DH．由Ⅰ知平面PAC，故D．所以平面DOH，从而得，．故是二面角的平面角，所以．在中，由，得．在中，．设，可得．解得，即分方法二：Ⅱ由Ⅰ知以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各点坐标如下：，0，，，0，．由平面ABCD，得轴，故设点．设y，为平面PDC的法向量，由，知取，得1，又平面PAC的法向量为0，，于是，．解得，即分解析：Ⅰ设O为AC与BD的交点，作于点E，证明，可得由平面ABCD得，利用线面垂直的判定定理，可得平面PAC；Ⅱ方法一：作于点H，连接DH，可得是二面角的平面角，在中，，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的大小为，可求AP的值．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．21.答案：解：由椭圆的离心率，则，，由，即，由解得：，，椭圆的方程；由题知，，直线l斜率存在，故设l：，则，整理得：，，由，得，，，，．故直线的倾斜角为或．解析：由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：，令，得．当时，；当时，，当时，分，．当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得．综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减．证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证．设，则，故在上是增函数，当时，，即．设，则，故在上是增函数，当时，，即．由知成立，得证．解析：根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是最小值；先确定函数的定义域然后求导数，讨论a在函数的定义域内解不等式和即可求得；要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证即可．本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度．。
数学---浙江省东阳中学2017-2018学年高二下学期期中考试
浙江省东阳中学2017-2018学年高二下学期期中考试一、选择题：（5分⨯10=50分）1．如果方程16222=++a y ax 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．3>a B ．2-<a C ．3>a 或2-<a D ．3>a 或26-<<-a 2．下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面3．若y x ,是实数，则“0>xy ”是“||||||y x y x +=+”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．设b a ,为两条不重合的直线，βα,为两个不同的平面，则下列结论成立的是( )A ．若βα⊂⊂b a ,，且b a //，则βα//B ．若βα⊂⊂b a ,，且βα⊥，则b a ⊥C ．若α⊂b b a ,//，则α//aD ．若αα⊥⊥b a ,，则b a //5．如图某几何体的三视图中，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是( )A ．π334 B ．π63 C ．π33D ．π216．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是( )A ．77B ．27C ．55D ．2107．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y 的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形面积为2S ，则21S S 的最大值是( ) A ．2 B ．4 C ．21 D ．418．ABC ∆的顶点为()0,5-A ，()0,5B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3=x 上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.116922=-y xB.191622=-y x C.()3116922>=-x y x D.()4191622>=-x y x 9． 已知椭圆1C ：22113x y +=，双曲线2C ：22221(,0)x y a b a b-=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是( )A ．3B ．3C ．5D ．510．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11ACC A ，则MN 的最小值是( )A ．33 B ．1 C ．2 D ．22二、填空题：(4分⨯7=28分)11．已知一个正方形的水平放置直观图（用斜二测画法）是有一边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是______.12．若线段AB 长为4，其端点A 、B 分别在x 轴、Y 轴上移动，则AB 的中点M 的轨迹方程是_________.13．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为________.14．半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且 60,38=∠=ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为_______.15．已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，)4,1(A ，P 是双曲线右支上的动点，则 ||||PA PF +的最小值是_________.16．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是 45，则这个圆台的侧面积是___________.17．已知,12F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，A 、B 分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围是 ________.三、解答题：（共72分）18．设命题p ：已知点)6,4(),1,3(-B A ，直线023=+-a y x 与线段AB 相交；命题q ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R.如果命题p 、命题q 有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围.19．已知,12F F 分别是双曲线E ：22221x y a b-=(,)00a b >>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当1260F PF ∠= 时，12PF F ∆的面积为483，求此双曲线的方程.20．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，（1）证明：F D AD 1⊥；（2）求异面直线AE 与F D 1所成的角；（3）证明：平面⊥AED 平面11FD A .21．如图是一个边长为2的正三角形和半圆组成的图形，现把PAB∆沿直线AB折起使得与圆所在平面垂直，已知点C是半圆的一个三等分点（靠左边一点），点E是线段PB上的点，（1）当点E是PB的中点时，在圆弧上找一点Q，使得//EQ平面PAC；（2）当二面角C AE B--的正切值为27时，求BE的长.22．如图椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上下顶点为A、B，直线l：2y=-，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连结AP并延长交直线l于点N，连结BP并延长交直线l于点M，设AP 、BP 所在直线的斜率分别为12,k k ，若椭圆的离心率为32，且过点(0,1)A ，（1）求12k k 的值，并求||MN 最小值；（2）随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案一、选择题：（5分⨯10=50分）1．答案：D.解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以260a a >+>，解得3>a 或26-<<-a . 2．答案：C. 3．答案：A. 4．答案：D. 5．答案：B. 6．答案：C.7．答案：C.易得,()221222S ab S a b ==+，所以()12222122S ab S a b =≤+. 8．答案：C.解析：由条件可得圆与x 轴的切点为(,)30T ，由相切的性质得||||||||826CA CB TA TB -=-=-=，因此点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支.因为,26210a c ==，得,34a b ==，所求的双曲线方程为221916x y -=.考虑到点C 不在直线AB 上，选答案C.9．答案：A.解析：由已知得||13OA =，设OA 的方程为(,)000y kx k x =>>，所以可设(,)00A x kx ，进一步可得20113k x +=，得(,)22131311k A kk++，所以AB 的一个三分点坐标为(,)2213133131kk k++，该点在椭圆上，所以()()222213133111331k k k ++=+，即()2211391k k +=+，解得22k =，从而有,222222b b a a==，解得2223c a b e a a+===. 10．答案：A.解析：作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ，易证//11M N AC .设11DM DN x ==，则,111MM x NN x ==-，在直角梯形11MNN M ，易得()()()222211212633MN x x x =-+-=-+，当13x =时，MN 的最小值为33.二、填空题：(4分⨯7=28分)11．答案：16或64. 12．答案：224x y +=.13．答案：24.易得球的半径为3r =，故正方体的对角线长为23，从而得正方体的棱长为2，表面积为24. 14．解：6.15．答案：9.解析：取双曲线的右焦点/F ，由双曲线定义得//||||||||||249PF PA PF a PA AF +=++≥+=，当且仅当A 、P 、/F 三点共线，且点P在线段/AF 上时取最小值9.16．答案：π227.解析：设上底半径为r ，则下底半径为2r ，由母线与下底面所成的角是45，得3r =，所以侧面积为()2272S r r l ππ=+=.17．答案：11[,1]5-.解析：设(,)P x y ，则 221211(3,)(3,)3[,1]5PF PF x y x y x y ⋅=+⋅-=+-∈-三、解答题：（共72分）18．解：命题p 为真命题，则247≤≤-a命题q 为真命题，则不等式01612>+-a x ax 恒成立，所以有0=a 时不可能， 或⎪⎩⎪⎨⎧<->041102a a ，解得2>a .根据题意，命题p 和q 一真一假，因此有a 的取值范围是7224a a -≤≤>或. 19．解：（1）因为双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，则点2F 到渐近线距离为||220bc bb a±=+（其中c 是双曲线的半焦距），所以由题意知2c a b +=.又因为222a b c +=，解得43b a =，故所求双曲线的渐近线方程是430x y ±=.（2）因为1260F PF ∠= ，由余弦定理得||||||||cos ||222121212260PF PF PF PF F F +-⋅= ，即||||||||22212124PF PF PF PF c +-⋅=.又由双曲线的定义得||||||122PF PF a -=，平方得||||||||222121224PF PF PF PF a +-⋅=，相减得||||22212444PF PF c a b ⋅=-=.根据三角形的面积公式得||||sin 221213604348324S PF PF b b =⋅=⋅== ，得248b =.再由上小题结论得2292716a b ==，故所求双曲线方程是2212748x y -=. 20． 解：（1）因为⊥AD 平面11C CDD ，所以F D AD 1⊥.（2）取AB 中点G ，连接,1AG FG ，因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，可证11GFD A 是平行四边形，所以//11AG D F .设1AG 与AE 相交于点H ，则1A H A ∠是AE 与F D 1所成的角.因为E 是1BB 的中点，所以190AHA ∠= ，即AE 与F D 1所成的角是 90.（3）由上可知F D AD 1⊥，1AE D F ⊥，所以1D F ⊥平面AED ，从而得平面11A FD ⊥平面AED .21.解：（1）取圆弧CB 的中点Q ，AB 的中点O ，易证OQ//AC ，OE//PA ，得平面EOQ //平面PAC ，所以//EQ 平面PAC .（2）过C 作AB 的垂线交AB 于G 点，过G 作直线AE 的垂线交AE 于H 点，连CH ，则CH G ∠即为二面角的平面角.因为tan 27CHG ∠=，32CG =，在Rt CGH ∆中可得347GH =.在ABE ∆中，可解得23BE =.22．解：（1）因为3,12e b ==，所以此椭圆的方程是2214x y +=.设点P 的坐标为(,)00x y ，有2214x y +=，所以200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-.设(,),(,)1222M x N x --，则1212212114k k x x ---+=⋅=-，可得1212x x =-. 不妨设,1200x x <>，则21212212||||43MN x x x x x x =-=-=+≥，所以当且仅当 2123x x =-=时，||MN 的最小值为43.（2）因为(,),(,)1222M x N x --，则以M 、N 为直径的圆的方程为()()()()12220x x x x y y --+++=，即2212(2)()120x y x x x ++-+-=.因圆过定点，则有0x =，解得223y =-±，即定点为(0,223)-±.。
【数学】浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题
联系电话：4000-916-716浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B I 的元素个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个2．直线230x y ++=的斜率是 ( )A .12-B .12C .2-D .23．“2k =且1b =-”是“直线y kx b =+过点()1,1”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4．函数π()sin(2)3f x x =+()x ∈R 的最小正周期为 ( )A .π2B .πC .2πD .4π 5. 已知向量()1,2a =r ,(),4b x =r 且a b r r∥，则实数x 的值是 ( ) A .2- B .2 C .8 D .8-6. 已知等比数列{}n a 中，123n n a -=⨯,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为 ( ) A .31n - B .()331n - C .914n - D 3914n -7. ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()3cos cos b c A a C -=，则cos A = ( )A .12B 3C 3D .8．设椭圆1C 的离心率为513，焦点在轴上且长轴长为26. 若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为 ( )A .2222143x y -=B .22221135x y -=C .2222134x y -=D .222211312x y -= 3x联系电话：4000-916-7169．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩……厖若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b +的最小值为 ( ) A .1325 B .12 C .1 D .2 10. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的实数x ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当 []2,3x ∈时，2()21218f x x x -+-=，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 ( ) A.⎛ ⎝⎭ B.⎛ ⎝⎭ C.⎛ ⎝⎭ D.⎛ ⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2019-2020学年浙江省东阳中学2018级高二下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年东阳中学2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,2,3,4}A =,{2,4,6}B =,则A B I 的元素个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个2．直线230x y ++=的斜率是 ( ) A .12- B .12C .2-D .23．“2k =且1b =-”是“直线y kx b =+过点()1,1”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4．函数π()sin(2)3f x x =+()x ∈R 的最小正周期为 ( ) A .π2B .πC .2πD .4π5. 已知向量()1,2a =r ,(),4b x =r 且a b r r∥,则实数x 的值是 ( )A .2-B .2C .8D .8-6. 已知等比数列{}n a 中,123n n a -=⨯,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为 ( ) A .31n - B .()331n - C .914n - D .()3914n -7. ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若)3cos cos b c A a C -=,则cos A = ( )A .12B 3C 3D .3 8．设椭圆1C 的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A .2222143x y -=B .22221135x y -=C .2222134x y -=D .222211312x y -=9．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩……厖若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12,则2294a b +的最小值为 ( )A .1325 B .12C .1D .2 10. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的实数x ,有(2)()(1)f x f x f +=-,且当[]2,3x ∈时,2()21218f x x x -+-=,若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点,则a 的取值范围是 ( )A .20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B .30,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C .50,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D .60,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。
浙江省东阳中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷 Word版含答案 (1)
（高二数学） 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ） A ．棱锥B ． 圆柱C ． 球D ． 圆锥2．"0">x 是"11"<-x 的（ ） A ．充分不必要条 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该四棱锥的体积是（ ）A ．333cm B ．3334cmC ．3338cm D ．33cm4. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10 5．圆()4222=++y x 与圆()()91222=-+-y x 的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离16．下列命题中，假命题的个数为（）①对所有正数p p<；②若方程220()Rx x a a++=∈有实数解，则2a≤；③存在实数x，使得111x-+≤≤且24x>；④33≥.A.1B.2C.3D.47．已知,m n是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B．,,m n m nαα⊥⊥若则‖C．,,m n m nαα若则‖‖‖ D．,,m mαβαβ若则‖‖‖8. 设双曲线C：22221x ya b-=（0b a>>）的左、右焦点分别为1F，2F．若在双曲线的右支上存在一点P，使得213PFPF=，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A.(]2,1 B.(]2,2 C.()2,2 D.()2,19. 已知正方体1111DCBAABCD-，过顶点1A作平面α，使得直线AC和1BC与平面α所成的角都为30︒，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个 D．1个10.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，点P在平面111A B C内运动，使得二面角P AB C--的平面角与二面角P BC A--的平面角互余，则点P的轨迹是（）A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．抛物线yx42-=的焦点坐标是，准线方程是．12. 棱长为1的正方体的内切球的半径等于，外接球的表面积为 . 13．双曲线221169x y-=的离心率为，渐近线方程为．14．从直线2:-=xyl上一点P向圆22C:240x y x y++-=引切线，则圆C的半径长A'B'C'ECBD A 为 ，切线长的最小值为 ．15. 已知命题p ：方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-，另一个大于1，若命题p 是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 16．如图，在三棱锥BCD A -中，AD AC AB ,,两两互相垂直，4===AD AC AB ，点P ，Q 分别在侧面ABC ，棱AD 上运动，2=PQ ，M 为线段PQ 中点，当Q P ,运动时，点M 的轨迹把三棱锥BCD A -分成上、下两部分的体积之比等于.17. 设直线l 与椭圆181622=+y x 相交于,A B 两点，与圆())0(1222>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 .三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （本题满分14分）如图，在三棱柱'''C B A ABC -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱'CC 的中点.（1）求证：//CD 平面EB A '；（2）求直线E B '与平面C C AA ''所成角的正弦值.19. （本题满分15分）已知命题p ：“曲线182:2221=++m ym x C ()R m ∈表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线2C ：1122=--+-t m y t m x (,)R R m t ∈∈表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．20. （本题满分15分）如图，已知抛物线方程为x y 42=．直线l 与抛物线相交于D C ,两点.（1）若直线l 的倾斜角为︒60，且过抛物线的焦点F ，O 为原点，求OCD ∆的面积； （2）若4-=⋅OD OC ，求证：直线l 必过定点，并求出定点坐标.21. （本题满分15分）在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，二面角1A BC B --的平面角为60，11BB CC =.（1）求证：1A A BC ⊥；（2）求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.22. （本题满分15分）已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（1）求k 与m 的关系式；（2）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.高二数学卷参考答案一、选择题(4×10=40分)二、填空题（11-14题每题6分，15-17题每题4分，共36分）11．()1,0-，1=y ； 12．21，π3； 13．45, x y 43±=； 14．5，230；15．0≤m 或1≥m 16．ππ-64； 17．()7,1三. 解答题(74分) 18.（1）略 （2）515 19.（1）24-<<-m 或4>m （2）34-≤≤-t 或4≥t 20.（1）334 （2）定点为()0,2 21. （I ）证明：设1AA ，1BB 与1CC 交于点S ，取棱BC 的中点O ，连结,AO SO . 因11BB CC =，11B C BC ，故SB SC =. ………………2分 又O 是棱BC 的中点， 故BC SO ⊥. 同理BC AO ⊥又,SO AO ⊂平面SAO ，且SO AO O =，因此BC ⊥平面SAO ，又1A A ⊂平面SAO ， ………………………4分 所以1A A BC ⊥； ………………………6分 （II ）作AH SO ⊥，垂足为H .因BC ⊥平面SAO ， 故AH⊥平面11BCC B ，从而ABH ∠为直线AB 与平面11BCC B 所成的角. ………………10分 不妨设2AB =,则AO =3sin 2AH AO AOM =∠=， ………………13分 所以3sin 4AH ABH AB ∠==. ……………………15分22.（I ）由2222,1y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， ……2分则22222222(2)4()()0akm a k b a m b ∆=-+-=， ……………………4分化简整理，得2222m a k b =+； ……………………6分 （Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.所以当12k =-时，OAB ∆的面积取到最大值22a ，此时OA OB ⊥，从而原点O 到直线l的距离d =， ………………8分又d =22212m a k =+. ……………………10分 再由（I ），得2222212a k b a k +=+，则22221b k a=-. 又12k =-，故2222114b k a =-=，即2238b a =， ……………………13分从而22222518c b e a a ==-=，即4e =. ……………………15分。
2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：2018—2019学年度第二学期期中考试高二数学试卷参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差211()n i i s x x n ==-∑2，其中11=n i i x x n =∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积，h 是高.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则A C U = ▲ ． 2．已知i 是虚数单位,复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3。
已知幂函数f （x ）＝k ·x α的图象过点(4,2），则k ＋α＝▲ ．4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的方差为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3,且两人下成和棋的概率为0。
5,则乙不输的概率为▲ ．6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ 。
1S ←For I From 1 To 5 Step 2 S S I ←+ End For Print S End7 98 4 4 4 6 7 9 3（第4题图）7．已知双曲线C ：22221(0,0x y a b a b -=>>）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为,则双曲线C 的焦距为▲ ．8．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．9．设实数x ，y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ ．10。
三棱锥BCD A -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积为 ▲ ．11。
已知四边形ABCD 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ ．12．若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6απ+=▲ ． 13. 某细胞集团，每小时有2个死亡,余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞 ▲ 个. 14. 若正数m ，n 满足121122n m n m m n +++=++，则36m n+的最小值是 ▲ ．二、解答题15。
东阳市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
东阳市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知向量，，，若为实数，，则（ ）(1,2)a =r (1,0)b =r (3,4)c =r λ()//a b c λ+r r rλ=C ．1D ．234意在考查学生空间想象能力和计算能，则（ ）}2,0,2,4-()R A B =I ðC ．D ．{}2,0,3-{}0,2,4C.ln y x =D.y x=，则），则（）•（+）=（）1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个9． 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．8+2B ．8+8C ．12+4D ．16+411．“a ≠1”是“a 2≠1”的（）A ．充分不必条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知复数,，,是虚数单位，若是实数，则（ ）11i z a =+232i z =+a ∈R i 12z z a = A ． B ． C ．D ．23-13-1323二、填空题13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．14．在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，则|AC|= ．15．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．16．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为.17．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN= m ．18．，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，1F 2F 22221x y a b-=a 0b >P 120PF PF ⋅=u u u r u u u u r若，则该双曲线的离心率为______________.12PF F ∆【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．()5f x x a x =-+（1）当时，求不等式的解集；1a =-()53f x x ≤+（2）若时有，求的取值范围．1x ≥-()0f x ≥a 20．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 4﹣a 3=1．设等比数列{b n }且b 2=a 4，b 3=a 8（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }前n 项的和S n ．21．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *）（Ⅰ）求证：数列{a n +2n}是等比数列；（Ⅱ）设b n =a n sin π，求数列{b n }的前n 项和；（Ⅲ）设C n =﹣，数列{C n }的前n 项和为P n ，求证：P n ＜．22．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；{}n a n a n n S （2）设，为数列的前项和，若不等式对于任意的恒成立，求实数的1(1)n n a b n =+n S {}n b n n S t <*n ∈N t 取值范围．23．（1）计算：（﹣）0+lne ﹣+8+log 62+log 63；（2）已知向量=（sin θ，cos θ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cos θ的值．24．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围．东阳市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以(1,2)a =r (1,0)b =r ()()1,2a b λλ+=+r r ()//a b c λ+r r r，故选B. ()14160,2λλ+-==考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.2． 【答案】D 【解析】3． 【答案】A 【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.4． 【答案】B 【解析】试题分析：对于A ，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B ，，故xy e =y x =-xy e -=2'30y x =>3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为，不为，对于D ，函数为偶函数，在上单调递减，0x >R y x =(),0-∞在上单调递增，故选B. ()0,∞考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.5． 【答案】A【解析】解：∵f （0）=﹣2＜0，f （1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．6．【答案】C【解析】解：，因此．a﹣b=1．故选：C．7．【答案】D【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：===2+4﹣2+2=6．故选：D．【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．8．【答案】B【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，故选B．9．【答案】B【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．【答案】D【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为，根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题． 11．【答案】B【解析】解：由a 2≠1，解得a ≠±1．∴“a ≠1”推不出“a 2≠1”，反之由a 2≠1，解得a ≠1．∴“a ≠1”是“a 2≠1”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．【答案】A【解析】，1232(32)i z z a a =-++∵是实数，∴，∴．12z z 320a +=23a =-二、填空题13．【答案】98【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．(1)(A P A P -=14．【答案】 1 ．【解析】解：在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查． 15．【答案】+=1 ．【解析】解：设动圆圆心为B ，半径为r ，圆B 与圆C 的切点为D ，∵圆C ：（x+4）2+y 2=100的圆心为C （﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B 与圆C 相内切，可得|CB|=R ﹣r=10﹣|BD|，∵圆B 经过点A （4，0），∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，∵|AC|=8＜10，∴点B 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，设方程为（a ＞b ＞0），可得2a=10，c=4，∴a=5，b 2=a 2﹣c 2=9，得该椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．【答案】12【解析】考点：分层抽样17．【答案】 150 【解析】解：在RT △ABC 中，∠CAB=45°，BC=100m ，所以AC=100m ．在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m ．在RT △MNA 中，AM=100m ，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m ．故答案为：150． 18．1【解析】三、解答题19．【答案】【解析】（1）当时，不等式，1a =-()53f x x ≤+ ∴，5315x x x ≤+++∴，∴．13x +≤24x -≤≤∴不等式的解集为．()53f x x ≤+[4,2]-（2）若时，有，1x ≥-()0f x ≥ ∴，即，50x a x -+≥5x a x -≥-∴，或，∴，或，5x a x -≥-5x a x -≤6a x ≤4a x ≥-∵，∴，，∴，或．1x ≥-66x ≥-44x -≤6a ≤-4a ≥∴的取值范围是．a (,6][4,)-∞-+∞U 20．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则由，可得，…解得：，∴由等差数列通项公式可知：a n =a 1+（n ﹣1）d=n ，∴数列{a n }的通项公式a n =n ，∴a 4=4，a 8=8设等比数列{b n }的公比为q ，则，解得，∴；（2）∵…∴，=，=，∴数列{c n }前n 项的和S n =．21．【答案】【解析】（I ）证明：由S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *），∴当n ≥2时，，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+4，变形为a n +2n=2[a n ﹣1+2（n ﹣1）]，当n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣1+3+2，解得a 1=﹣4，∴a 1+2=﹣2，∴数列{a n +2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；（II ）解：由（I ）可得a n =﹣2×2n ﹣1﹣2n=﹣2n ﹣2n ．∴b n =a n sinπ=﹣（2n +2n ），∵==（﹣1）n ，∴b n =（﹣1）n+1（2n +2n ）．设数列{b n }的前n 项和为T n ．当n=2k （k ∈N *）时，T 2k =（2﹣22+23﹣24+…+22k ﹣1﹣22k ）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k ﹣1﹣2k ）=﹣2k=﹣n ．当n=2k ﹣1时，T 2k ﹣1=﹣2k ﹣（﹣22k ﹣4k ）=+n+1+2n+1=+n+1．（III）证明：C n=﹣=，当n≥2时，c n．∴数列{C n}的前n项和为P n＜==，当n=1时，c1=成立．综上可得：∀n∈N*，．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．【答案】n【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．23．【答案】【解析】（本小题满分12分）解析：（1）原式=1+1﹣5+2+1=0； …（6分）（2）∵向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，∴sinθ=﹣2cosθ，①…（9分）又sin2θ+cos2θ+=1，②由①②解得cos2θ=，…（11分）∵θ∈（，π），∴cos θ=﹣． …（12分）【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值，向量共线的应用，考查计算能力．24．【答案】．[]1,2-【解析】试题分析：先化简条件得，分三种情况化简条件，由是的一个必要不充分条件，可分三种情况p 31x -≤<p 列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.试题解析：由411x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当12a >时，():,1q a a -- 由题意得，p 是的一个必要不充分条件，当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上，[]1,2a ∈-．考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断是的什么p 条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件，二是由条件能否推得条件.对于带有否定性的命题p p 或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.。
浙江省东阳中学东阳外国语联考2018-2019学年高二数学上学期期中习题
东阳中学2018年下学期期中考试卷（高二数学）一、选择题（每题4分，共40分）1．方程012)1(=++--a y x a 所表示的直线恒过点A ．)3,2(B ．)3,2(--C ．)2,3(-D ．)3,2(-2．已知椭圆的长轴长与短轴长之比是5：3，焦距为8，焦点在x 轴上，则此椭圆的方程是A ．13522=+y xB ．192522=+y xC ．15322=+y xD ．125922=+y x 3．以下命题中正确的是A ．若0>+b a ，则b a ,中至少有一个大于0B ．若0=ab ，则022=+b aC ．若a ab =，则1=bD ．若22b a =，则b a =4．下列说法不正确的是A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面5．已知直线⊥l 平面α、直线⊂m 平面β，有下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。
其中正确的两个命题是A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③6．若y x ,是实数，则“0>xy ”是“||||||y x y x +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．在六角螺母（正六棱柱形）中，当它的某两条棱所在的直线是异面直线时，这对异面直线所成角的度数是A ．ο60B ．ο90C ．ο120D ．ο60或ο908.已知椭圆1C ：22113x y +=，双曲线2C ：22221(,0)x y a b a b-=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是A ．3B ．3C ．5D ．59．已知直线02,073=--=-+y kx y x 和x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 等于 （ ）A ．3-B ．3C ．6-D ．610. 正四棱锥S -ABCD 的底面边长为2，高也为2，E 为BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总有PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为A ．2B ．23+C ．26+D ．32二、填空题（双空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11.若方程22240x y x y a ++-+=表示圆，则实数a 的取值范围是____，它的圆心坐标是_____.12. 已知椭圆1222=+y x 的两焦点为21,F F ，上顶点为B ，则它的离心率是_____，B F F 21∆的外接圆方程是______________.13.长方体1111ABCD A B C D -中，,,1312AB BC AA ===，则对角线1AC 与底面ABCD 所成角是_______；点D 到平面11ACC A 的距离是______.14．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，且满足ο9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是_____，周长为_______.15. 圆锥的底面半径为1，母线长为6，M 是底面圆周上一点，从M 拉一根绳子，环绕圆锥的侧面再回到M ，最短绳子长为_______.16. 已知半径分别为1和2的两球紧贴放在水平桌面上，则两球在桌面上的俯视图的公共弦长为______.17.已知曲线()||2111y x --=-与直线2kx y -=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题（18-20题每题14分，21、22题每题16分，共74分）18.已知直线l ：320x y --=，（1）若直线1l 的倾斜角是l 倾斜角的两倍,且l 与1l 的交点在直线20x y --=上，求直线1l 的方程；(2)若直线2l 与直线l 平行,且2l 与l 的距离为3，求直线2l 的方程.19. 某几何体三视图如图所示，正视图和侧视图均为底边6，高为4的等腰三角形，俯视图是等腰直角三角形,直角边长6，（1）求此几何体的体积；（2）求此几何体外接球的表面积.20. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点(3,0)A ，动点N 满足1||||2NO NA =，（1）求点N 的轨迹方程；（2）设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上，若圆M 与点N 的666轨迹有公共点，求圆心M横坐标的取值范围。
2018-2019学年浙江省东阳中学高二数学6月月考试卷含答案
浙江省东阳中学2018-2019学年高二数学6月月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}1,2,|2A B x Z x ==∈<，则AB = （ ）A ． ∅ B.{}1 C.{}2 D.{}1,22.双曲线22154x y -=的离心率等于 （ ）A3.设x R ∈，则"2"x >是"2"x >的 （ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥n ，n ⊥α，则m ⊥α5. 函数()x xx xe ef x e e --+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是 （ ）6. 已知正三角形ABC 的边长为2，设2,AB a BC b ==，则 （ ） A ．1a b += B. a b ⊥ C. 1a b ⋅= D.(4)a b b +⊥7. 若()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的的图象，可将()f x 的图象 （ ）A. B.向右平移512π个单位长度C.D.向左平移512π个单位长度8. 若数列{}n a 满足211n n n na a q a a ++++=（q 为常数），则称数列{}n a 为等比和数列，q 称为公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中11a =,22a =，则2019a =（ ） A ．10092 B. 10082 C. 10102 D. 201929.设0a <，不等式2(3)(2)0x a x b ++≥在(,)a b 上恒成立，则b a -的最大值为 （ ） A ． 1 B.12 C. 13D. 14 10. 如图，已知四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，且||2||AB CD =，沿直线AC 将ADC ∆翻折成'AD C ∆，所成二面角'D AC B --的平面角为θ，则 （ ） A ．'D CB θ∠≥ B. 'D CB θ∠≤ C. 'D AB θ∠≥ D. 'D AB θ∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. 已知直线l 的方程为20x +=，则其倾斜角为 ；若圆的方程为22240x y x y +++=，则其半径为 .12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积是__________3cm ；表面积是____________2cm .13. 若实数,x y 满足不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则23x y +的最小值等于__________，则321x y x +-+的取值范围是 .14.已知函数3()3f x x x =-，其图象在点(1,2)处的切线方程 是 ，它的单调递增区间为 . 15. 已知抛物线2=y x 上两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线32=+y x 对称，则12=x x _______. 16. 已知平面向量3αβ==且α与βα-的夹角为150︒，则12tt αβ-+()t R ∈的最小值是.17.若函数()(0)f x a a≠存在零点，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ． （1）求角A 的大小；（2）若81cos cos -=CB ，且ABC ∆的面积为32，求a .19. 如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，AB AD ⊥，且2AB AD ==. （1）记AC 中点为M ，若面ABC ⊥面ABD ，求证：BM ⊥面ADC ；（2）当二面角D AB C --的大小为56π时，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值.（第19题）20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2n n S a n =-，n +∈N ． （1）求证：数列{}1n a +为等比数列；并求通项公式n a ；（2）若对任意的n +∈N ，都有2n n a S n n λ≤+-，求实数λ的取值范围．21.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点M ，左焦点(F .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点N 作一条直线交椭圆C 于A ，B 两点，又过点N 作直线AB 的垂线交直线x =于P 点，求||||PN AB 的最小值.22.已知函数()(1)x f x x e =-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(,R)f x ax b a b =+?有非负实数解，求24a b +的最小值.参考答案： BBADC DDACD11.6π28824,26412ππ-+ 13. 4 14[0,]514. 2,(1,1)y =-15. 12-[2,4]18. (1）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos22=-+A A ， 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去) 因为A 为三角形内角，所以3π=A .(2)由(1）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则1cos cos sin sin 2B C B C -=-；由81cos cos -=CB ，得3sin sin 8B C =，由正弦定理，有C c B b A a sin sin sin ==，即3s i n 2B a b =，3sin 2Ca c =，22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ，解得4=a .19.设2()21n n f n =-，22211(1)[(1)2]2(21)(+1)()2121(21)(21)n n n n n n n n n f n f n +++--+⋅-+-=-=---- ………………12分 1n =时，(+1)()0f n f n ->，2n ≥时，(+1)()0f n f n -<.所以(1)(2)()f f f n <>>>， ()f n 的最大值为4(2)3f =， 2221nn --的最小值为23，所以λ的取值范围时2(,]3-∞ ………………15分所以，||||PNAB的最小值为1.……………………………………………………… 15分24-+-，此时方程有零点ln2. …………15分4ln28ln28+取到最小值2a b。
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|y=lg x}，B={x|y=}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.设m，n∈R，则“m＜n”是“（）m-n＞1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数f（x）是偶函数，定义域为R，单调增区间为[0，+∞），且f（1）=0，则（x-1）f（x-1）≤0的解集为（）A. B. C. D.4.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A. B. C. D.5.△ABC中，（a-b）（sin A+sin B）=（c-b）sin C．其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则A=（）A. B. C. D.6.设a∈R，若（x2+）9与（x）9的二项展开式中的常数项相等，则a=（）A. 4B.C. 2D.7.已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：A. 增大，增大B. 减小，增大C. 增大，减小D. 减小，减小8.关于x的不等式解集为[a，b]，则a-b=（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|，a＞1，若f（x）＞4的解集为（-∞，0）（4，+∞），则a的值（）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知不等式e x-4x+2≥ax+b（a，b∈R，a≠-4）对任意的实数x恒成立，则的最大值为（）A. B. 0 C. D. 1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0=______，a1=______．12.设x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为______；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是______．13.当x＞0时，的最小值为______；当x＞-1时，＞的最小值为3，则实数t的值为______．14.已知函数f（x）=，，＞．（i）f（2）=______．（ii）若方程f（x）=x+a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．15.若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1的解集为______．16.工人在安装一个正五边形的零件时，需要固定如图所示的五个位置的螺栓．若按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是______．17.已知函数恰有三个零点x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，记M i=x i ln x i+a（i=1，2，3），则=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．19.已知平面多边形PABCD中，PA=PD，AD=2DC=2BC=4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将△APD沿AD折起，使PC=2．（1）证明：CE∥平面ABP；（2）求直线AE与平面ABP所成角的正弦值．20.已知函数f（x）=ln（k＞0）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，求实数k的取值范围．21.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C过点M（1，-），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ为椭圆C过F1的弦，R为PF2的中点，O为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q面积之和的最大值．22.已知a∈R，函数f（x）=+a ln x，x∈（0，6）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1，b，求b1-b2的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由A中的函数y=lgx，得到x＞0，即A=（0，+∞）；由B中的不等式变形得：4-x2≥0，即B=[-2，2]则A∩B=（0，2]故选：C．求出A中函数的定义域确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：由（）m-n＞1得m-n＜0，得m＜n，则“m＜n”是“（）m-n＞1”充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）的单调增区间为[0，+∞），且f（1）=0，则在区间[0，1]上，f（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为偶函数，在区间[-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]上，f（x）＞0，综合可得：在区间[-1，1]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]和[1，+∞）上，f（x）＞0，（x-1）f（x-1）≤0⇒或，解可得：x≤0或1≤x≤2，即不等式的解集为（-∞，0][1，2]；故选：C．根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在区间[0，1]上，f（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在区间[-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]上，f（x）＞0，综合可得：在区间[-1，1]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]和[1，+∞）上，f（x）＞0，又由（x-1）f（x-1）≤0⇒或，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）的函数值的正负情况，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，且三人录取结果相互之间没有影响，他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为：P=1-（1-）（1-）（1-）=．故选：B．他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，利用对立事件概率计算公式能求出他们三人中至少有一人被录取的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得，（a-b）（a+b）=（c-b）c，化简可得，b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得，cosA==∵0＜A＜π∴A=故选：B．由正弦定理化简可得，b2+c2-a2=bc，然后由余弦定理可得，cosA=可求A本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：（x2+）9的通项公式为T k+1=C9k（x2）9-k （）k=C9k x18-2k•2k x-k=C9k•2k x18-3k，由18-3k=0得k=6，即常数项为T6+1=C96•26=84×64，（x）9的通项公式为T r+1=C9r（x）9-r （）r=C9r x9-r•a r x-2r=C9r•a k x9-3r，由9-3r=0得r=3，即常数项为T3+1=C93•a3=84a3，∵两个二项展开式中的常数项相等，∴84a3=84×64，∴a3=64，即a=4，故选：A．根据二项式定义的通项公式求出常数项建立方程进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式求出常数项，建立方程是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：0＜a ＜，由随机变量ξ的分布列，得：E（ξ）=a-，∴当 a 增大时，E（ξ）增大；D（ξ）=（-1-a+）2×+（0-a+）2×（-a）+（1-a+）2×a=-a2+a+=-（a-）2+，∵0，∴当 a 增大时，D（ξ）增大．故选：A．由随机变量ξ的分布列，推导出E（ξ）=a-，从而当 a 增大时，E（ξ）增大；D（ξ）=-（a-）2+，由0，得到当 a 增大时，D（ξ）增大．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】D【解析】解：令f（x）=x2-3x+4，则f（x）=（x-2）2+1，∴f（x）min=f（2）=1，由题意可知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b，由f（b）=b得到b2-3b+4=b，解得b=（舍去）或b=4，由抛物线的对称轴为x=2得到a=0，∴a-b=-4．故选：D．令f（x）=x2-3x+4，求出f（x）的最小值，然后根据f（x）的图象与性质求a，b的值．本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法与应用问题．9.【答案】C【解析】解：∵a＞1，∴f（x）=|x-1|+|x-a|=，∵f（x）＞4的解集为（-∞，0）（4，+∞），∴，∴a=3．故选：C．对f（x）去绝对值，根据f（x）＞4可得方程组，然后解方程组即可得a的值．本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．10.【答案】B【解析】解：不等式e x-4x+2≥ax+b化为e x-（a+4）x+2-b≥0，令f（x）=e x-（a+4）x+2-b，则f′（x）=e x-（a+4），若a＜-4，则f′（x）＞0，函数f（x）函数单调增，当x→-∞时，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；若a＞-4，由f′（x）=e x-（a+4）=0，得极小值点x=ln（a+4），由f（ln（a+4））=（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2-b≥0，得b≤（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2，则，令g（t）=1-lnt-，t=a+4＞0，则g′（t）==，则当0＜t＜1时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，∴g（t）max=g（1）=0，∴则的最大值为0．故选：B．不等式化为e x-（a+4）x+2-b≥0恒成立，构造函数f（x）=e x-（a+4）x+2-b，利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，求f（x）的最值，转化为的不等式，从而求出它的最大值本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，属难题．11.【答案】31 75【解析】解：对于多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=0，可得32=1+a0，则a0=31．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，中x的系数，为•16-=75，故答案为：31；75．在所给的等式中，令x=0，可得a0的值．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，x的系数，为•16-，计算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．12.【答案】11【解析】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点C时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z=2×1+3×3=11，可行域的面积为：=故答案为：11；．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13.【答案】2 4【解析】解：根据题意，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1时等号成立，则的最小值为2；当x＞-1时，x+1＞0，则x+=（x+1）+-1≥2-1，当且仅当x+1=时等号成立，则x+的最小值为2-1，则有2-1=3，解可得t=4；故答案为：2，4．根据题意，第一空：由基本不等式的性质可得≥2=2，分析可得答案；第二空，分析可得x+=（x+1）+-1≥2-1，即可得x+的最小值为2-1，结合题意可得2-1=3，解可得t的值，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．14.【答案】4 [，1）【解析】解：（i）f（2）=2f（1）=4f（0）=4×1=4，（ii）当0＜x≤1时，-1＜x-1≤0，f（x）=2f（x-1）=2×=，当1＜x≤2时，0＜x-1≤1，f（x）=2f（x-1）=2×=（）x-4，当2＜x≤3时，1＜x-1≤2，f（x）=2f（x-1）=2×=（）x-5=（）x-6，作出函数f（x）的图象如图，其中f（0）=1，f（1）=2f（0）=2，f（3）=2f（2）=4，f（4）=2f（3）=8，设直线g（x）=x+a，当g（x）=x+a分别过（0，1），A（1，2），B（2，4）时，则g（0）=a=1，g（1）=+a=2，得a=，g（2）=3+a=4，得a=1，由图象知要使方程f（x）=x+a有且只有一个实根，则g（x）在A，B之间的区域，即≤a＜1，即实数a的取值范围是[，1），故答案为：4，[，1）．（i）根据分段函数的表达式，直接代入即可（ii）求出当0＜x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3时，函数f（x）的解析式和图象，利用y=x+a的交点个数进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.【答案】{x|x＞0}【解析】解：不等式f（x ）＞+1可化为e x f（x）-e x＞3设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x =e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）-e x＞3，∴g（x）＞3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴原不等式的解集为{x|x＞0}故答案为：{x|x＞0}不等式f（x ）＞+1可化为e x f（x）-e x＞3，设g（x）=e x f（x）-e x，导数法可判g（x）的单调性，可得不等式的解集．本题考查不等式的解集，涉及函数和导数以及构造法，属中档题．16.【答案】10【解析】解：不妨先在编号为1，2，3，4，5中选1个固定螺栓，共=5种取法，不妨取编号1，由已知有再在编号为3，4中选1个，共=2种取法，再按题意操作即可，则不同的固定螺栓方式的种数是5×2=10，故答案为：10．由排列组合及简单的计数问题得：不同的固定螺栓方式的种数是=10，得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．17.【答案】1【解析】解：函数恰有三个零点x1，x2，x3，即为f（x）=0，即（1-a）xlnx+（a-1）-（xlnx）2=0，可设t=xlnx，即有t2+（a-1）t+1-a=0，由t=xlnx的导数为t′=1+lnx，可得x ＞时，t′＞0，可得函数t递增；0＜x ＜时，t′＜0，可得函数t递减；可得t有极小值，为-，函数t=xlnx的图象如图所示：t2+（a-1）t+1-a=0由两个异号实根，可得t1t2=1-a，t1+t2=1-a，可设M1=M2=t1+a，M3=t2+a，则M1M2M32=[（t1+a）（t2+a）]2=[t1t2+a2+a（t1+t2）]2=（1-a+a2+a-a2）2=1．故答案为：1．由题意可得f（x）=0，即（1-a）xlnx+（a-1）-（xlnx）2=0，可设t=xlnx，即有t2+（a-1）t+1-a=0，运用韦达定理，以及导数求得函数t的单调性和极值，画出图象可得所求值．本题考查函数和方程的转化思想，考查换元法和二次方程的韦达定理的运用，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】（1）证明：取PA中点F，连接EF，则EF为△PAD的中位线，∴EF AD，又BC AD，∴EF BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∴CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB．（2）解：取AD的中点M，连接BM，PM，∵AP=BP，∴PM⊥AD，又DM BC，AD⊥DC，CD=BC，∴四边形BCDM是正方形，∴BM⊥AD，∴∠BMP为二面角P-AD-B的平面角，设P在底面ABCD上的射影为O，∵AP⊥PD，AP=DP，AD=4，∴PD=2，又PC=2，∴PD=PC，∴O为BM的中点，∵OC==，∴OP==．设CD的中点为N，以O为原点，以OB，ON，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（-1，-2，0），B（1，0，0），P（0，0，），E（-，1，），∴=（2，2，0），=（1，2，），=（，3，），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得=（1，-1，），∴cos＜，＞===-．∴直线AE与平面ABP所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．【解析】（1）取PA中点F，连接EF，可证四边形BCEF是平行四边形，得出CE∥BF，故而CE∥平面ABP；（2）判断P在底面射影O的位置，建立空间坐标系，求出平面PAB的法向量，则|cos＜＞|为直线AE与平面ABP所成角的正弦值．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意，可知：＞0．即：（kx-1）（x-1）＞0．∵k＞0，∴x1=，x2=1．∴①当0＜k＜1时，x＞，或x＜1，故函数f（x）的定义域为（-∞，1）（，+∞）；②当k=1时，x＞1或x＜1，故函数f（x）的定义域为（-∞，1）（1，+∞）；③当k＞1时，x＜或x＞1，故函数f（x）的定义域为（-∞，）（1，+∞）．（2）若函数f（x）=ln在区间[2，+∞）上是减函数，则y=在区间[2+∞）上是减函数，且＞0在[2+∞）上恒成立．∴y′==≤0．即：1-k≤0，∴k≥1．又∵＞0在[2+∞）上恒成立．∴＜2，即：k＞．综上，可得：k≥1．【解析】本题第（1）题根据对数函数的定义域得到不等式＞0，然后变成同解不等式（kx-1）（x-1）＞0，然后要对k进行分类讨论得出函数f（x）的定义域；第（2）题根据复合函数增减性可得y=在区间[2+∞）上是减函数，求导法可得k的取值范围．再根据定义域判断出k的取值范围．综合可得实数k的取值范围．本题第（1）题主要考查对数函数的定义域，不等式的解法，分类讨论思想的应用；第（2）题主要考查复合函数的增减性问题以及求导法对于求参数取值范围的应用．本题属中档题．21.【答案】解：（1）由e==，设a=2t，c=t，t＞0，可得b=t，椭圆方程为+=1，代入M，可得+=1，可得t=1，则a=2，b=，c=1，可得椭圆方程为+=1；（2）由O，R分别为F1F2，PF2的中点，可得△RF1F2的面积为△PF1F2的面积的一半，即为△PF1O的面积，△RF1F2、△OF1Q面积之和设为S，则S=S△PQO，当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x=-1，此时S△PQO=×1×[-（-）]=；当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：y=k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线PQ不与x轴重合，即k≠0；联立，解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，故x1+x2=-，x1x2=，故|PQ|=|x1-x2|==，点O到直线PQ的距离d=，S=|PQ|d=6，令u=3+4k2∈（3，+∞），故S=6==∈（0，），故S的最大值为．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由O，R分别为中点，可得△RF1F2的面积为△PF1F2的面积的一半，即为△PF1O的面积，△RF1F2、△OF1Q面积之和设为S，则S=S△PQO，讨论直线PQ的斜率不存在，求得P，Q的坐标，可得△PQO的面积；PQ的斜率设为k，可得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，化简整理，结合不等式的性质，可得所求面积的最大值．本题考查的知识点是椭圆的方程，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，难度中档．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=-+=．∴①当a≤0时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间；…………………（1分）②当a＞0，且≥6，即＜时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a＞0，且＜6，即a＞时，函数f（x）在，上，f′（x）＜0，∴f（x）此时单调递减．函数f（x）在，上，f′（x）＞0，∴f（x）此时单调递增．……（3分）综上：当a时，函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a＞时，函数f（x）在，上单调递减；函数f（x）在，上，单调递增．（Ⅱ）∵x=2是函数f（x）的极值点，∴由（1）可知，=2，解得a=1设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y-（+ln x1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y-（+ln x2）=（-+）（x-x2）．∴若这两条切线互相平行，则-+=-+，化为：+=．∵=-，且0＜x1＜x2＜6．∴＜-＜，∴＜＜，∴x1∈（3，4），两条切线在y轴上的截距：令x=0，则b1=+ln x1-1，b2=+ln x2-1．∴b1-b2=+ln x1-1-（+ln x2-1）=4（-）-ln+ln（）．令g（x）=8x-2-ln x+ln（-x），x∈，．g′（x）=8--=．∴g（x）在区间，上单调递减，……………………………………（10分）∴g（x）∈，．即b1-b2的取值范围是，．…………………………………（12分）【解析】（Ⅰ）f′（x）=-+=．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（Ⅱ）由x=2是函数f（x）的极值点，可得由（1）可知，=2，解得a=1．设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y-（+lnx1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y-（+lnx2）=（-+）（x-x2）．若这两条切线互相平行，可得-+=-+，化为：+=．又0＜x1＜x2＜6．可得x1∈（3，4），两条切线在y 轴上的截距：令x=0，则b1=+lnx1-1，b2=+lnx2-1．可得b1-b2=4（-）-ln+ln（）．令g（x）=8x-2-lnx+ln （-x），x ∈．利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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东阳中学2019年上学期期中考试卷
（高二数学）
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合{|}A x y lgx ==,{|B x y ==,则A B = ( ) A ．[0,2] B ．[-2,0] C ．(0,2] D ．[-2,0)
2．设m ,n R ∈,则“m n <”是“1
()12
m n ->”的
( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知函数()f x 是偶函数，定义域为R ,单调增区间为[0,)+∞,且(1)0f =,则不等式
()1(1)0x f x --≤的解集为
( ) A ．[2,0]- B ．[1,1]-
C ．(,0][1,2]-∞
D.
(,1][0,1]-∞-
4．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为111
,,643
,且三人录取
结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为
( ) A ．3172 B ．712 C ．2572 D ．15
72
5．ABC ∆中，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-.其中a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，
则A =
( )
A ．6π
B ．3π
C ．23
π
D ．56π
6．设a R ∈,若292()x x +与92()a
x x
+的二项展开式中的常数项相等，则a =
( ) A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-
7．已知1
04
a <<,随机变量ξ的分布列如下：
当a 时，
( ) A ．()E ξ增大，()D ξ增大
B ．()E ξ减小，()
D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小 D ．()
E ξ减小，()D ξ减小
8．关于x
的不等式2
3344
a x x
b ≤
-+≤解集为[,]a b
,则a b -=
( )
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D. 4-
9．已知函数()|1|||f x x x a =-+-,1a >,若()4f x >的解集为()(),04,-∞+∞,则
a
的值
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知不等式42(,,4)x
e x ax b a b R a -+≥+∈≠-对任意的实数x 恒成立，则3
+4
b a -的最大值为
( )
A ．ln 2-
B ．0
C ．2ln2-
D ．1
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．已知多项式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++,则
0a = ;1a = ．
12．设x ,y 满足约束条件210
201x y x y x -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
,则23z x y =+的最大值为 ;满足条件的x ,y
构成的平面区域的面积是 ． 13．当0x >时，1x x +
的最小值为 ;当1x >-时，(0)1
t x t x +>+的最小值为3,则实数t 的值为 .
14．已知函数1(),0
()22(1),0
x
x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩,(2)f = ;若方程3()2f x x a =+有且只有一
个实根，求实数a 的取值范围 .
15．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1
f x f x '+>,(0)4f =,则不等式3
()1x f x e
>
+（e 为自然对数的底数）的解集为 . 16．工人在安装一个正五边形的零件时，需要固定如图所示的的五个位置的螺栓.若
按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是 .
（第16
题图） 17．已知函数2
1()(1)ln ln a f x a x x x x
-=-+
-恰有三个零点123,,,x x x 且1230,x x x <<< 记=ln +(1,2,3)i i i M x x a i =,则2
123M M M = .
三．解答题:本大题5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a R π
=--+∈,且()03
f π
=．
（1）求a 的值;
（2）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值．
19． 已知平面多边形PABCD 中，
P A =,224AD DC BC ===,//AD BC ,AP PD ⊥,AD DC ⊥,E 为PD 的中点,现将
APD ∆沿AD 折起,使PC =
（1）证明：//CE 平面ABP ;
（2）求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值．
（第19题图）
20．已知函数1
()(0)1
kx f x ln
k x -=>-． （1）求函数()f x 的定义域;
（2）若函数()f x 在区间[2,)+∞上是减函数,求实数k 的取值范围．
21. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ,2F ,C 过点3
(1,)2
M -,离心率
12
e =
． （1）求椭圆C 的方程;
（2）若PQ 为椭圆C 过1F 的弦，R 为2PF 的中点，O 为坐标原点，求△12RF F ,△1
OFQ 面积之和的最大值．
（第21题图）
22．已知a R ∈,函数2
()f x alnx x
=
+,(0,6)x ∈． （1）讨论()f x 的单调性;
（2）若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点1(P x ,1()f x ,2(Q x ,212())()f x x x <处
的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b ,2b ,求12b b -的取值范围．。