导数典型例题(含答案)

导数典型例题

导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x

f x f x ∆-∆+→∆)

0()0(lim

=

x

x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0

)100()2)(1(lim

=lim 0

→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.

解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.

点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.

【例2】 已知函数f (x )=n

n n k k n n n n x c n

x c k x c x c c 1121221

+++++

+ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)

2()22(lim

= .

解 ∵

x

x f x f x ∆∆--∆+→∆)

2()22(lim

=2x

f x f x ∆-∆+→∆2)

2()22(lim

+

[]x

f x f x ∆--∆-+→∆-)

2()(2lim

=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，

又∵f ＇(x )=1121

--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，

∴f ＇(2)=

21（2n

n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2

1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如

x

m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000

lim

，且其定义形式可以是

x

m x f x m x f x ∆--∆-→∆)

()(000

lim

，也可以是

00

)()(lim

x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关

知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.

【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π

(2

'=2πR ·t R '=4πR ，

∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.

点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.

二、与曲线的切线有关的问题

【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是

A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,

0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤

⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦

⎤

⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦

⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡π,4

π3.

故选A.

点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.

【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.

解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3

-am 2

+1=0.(*)

设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.

由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3

a

， ∴a ≠0，f (0)·f (

3a )=0，即a ≠0，-27

1a 3+1=0，∴a =3.

点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.