导数练习题含答案
导数练习题
班级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率
B .在x 0处的变化率
C .在x 1处的变化量
D .在区间[x 0,x 1]上的导数
2.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43
D .0.44
3.函数f (x )=2x 2
-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( )
A .4
B .4+2Δx
C .4
+2(Δx )2 D .4x
4.如果质点M 按照规律s =3t 2运动,则在t =3
时的瞬时速度为( ) A .6 B .18 C .54
D .81 5.已知f (x )=-x 2
+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( )
A .3
B .-3
C .2
D .-2
6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x
轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x
轴相交但不垂直
7.曲线y =-1
x
在点(1,-1)处的切线方程为( )
A .y =x -2
B .y =x
C .y
=x +2 D .y =
-x -2
8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切
线斜率为( )
A .4
B .16
C .8
D .2
9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的
切线倾斜角为
π
4
的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(1
4
,116) D .(1
2
,1
4
) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线
方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1
C .a =1,b =-1
D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( )
A .0
B .2x
C .6
D .9
12.已知函数f (x )=1x
,则f ′(-3)=( ) A .4 B.19 C .-1
4
D .-1
9
13.函数y =x 2
x +3
的导数是( )
A.x 2+6x x +32
B.x 2+6x
x +3
C.-2x
x +32
D.3x 2
+6x x +32 14.若函数f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,则f ′(-1)的值为( ) A .0 B .-1 C .1 D .2 15.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 16.函数f (x )=(x -3)e x
的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3)
C .(1,4)
D .(2,+∞) 17.函数y =ax 3
-x 在R 上是减函数,则( ) A .a ≥13
B .a =1
C .a =2
D .a ≤0
18.函数y =4x 2+1
x
的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,1)
C .(1
2
,+∞) D .(1,+∞)
19.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”
是“函数y =f (x )在这点取极值”的( )
A .充分不必要条件
B .必
要不充分条件
C .充要条件
D .既
不充分也不必要条件
20.设x 0为可导函数f (x )的极值点,则下列
说法正确的是( )
A .必有f ′(x 0)=0
B .f ′(x 0)不存在
C .f ′(x 0)=0或f ′(x 0)不存在
D .f ′(x 0)存在但可能不为0
22.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )
在x =-3时取得极值,则a =( )
A .2
B .3
C .4
D .5 23.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极小值点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 24.函数f (x )=-13x 3+12x 2+2x 取极小值时,
x 的值是( ) A .2 B .2,- 1 C .-1 D .-3 25.函数f (x )=-x 2+4x +7,在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A .f (2),f (3) B .f (3),f (5) C .f (2),f (5) D .f (5),f (3) 26.f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A .-2 B .0 C .2 D .4
27.函数f (x )=x 3-3x 2-9x +k 在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )
A .-10
B .-71
C .-15
D .-22 28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年
利润y (单元:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234,则使该生
产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A .13万件 B .11万件 C .9万件 D .7万件 29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒运动的距离为s =14t 4-53t 3+2t 2,那么速度为零
的时刻是( ) A .1秒末 B .0秒 C .4秒末 D .0,1,4秒末 二、填空题 1.设函数y =f (x )=ax 2+2x ,若f ′(1)=4,则a =________. 2.若曲线y =2x 2-4x +a 与直线y =1相切,则a =________. 3.已知函数y =ax 2+b 在点(1,3)处的切线斜率为2,则b a =________.
4.令f (x )=x 2·e x ,则f ′(x )等于________. 5.函数y =x 2+4x 在x =x 0处的切线斜率为2,则x 0=________. 6.若y =10x ,则y ′|x =1
=________. 7.一物体的运动方程是s (t )=1
t
,当t =3时的
瞬时速度为________.
8.设f (x )=ax 2-b sin x ,且f ′(0)=1,f ′(π
3)
=1
2
,则a =________,b =________. 9.y =x 3-6x +a 的极大值为________.
10.函数y =x e x 的最小值为________. 11.做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱,它的高为______dm 时最省料. 12.有一长为16 m 的篱笆,要围成一个矩形场
地,则矩形场地的最大面积是________m 2.
三、解答题
1.求下列函数的导数:
(1)y=3x2+x cos x; (2)y=
x
1+x
; (3)y
=lg x-e x.
2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求:
(1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程.
3.求下列函数的单调区间:(1)y=x-ln x;
(2)y=
1
2x .
4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x =-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a、b、c的值.
5.已知函数f(x)=1
3
x3-4x+4.
(1)求函数的极值;
(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
导数练习题答案
班级姓名
一、选择题
1.当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
答案:A
2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40
B.0. 41
C.0.43
D.0. 44
解析:选 B.Δy=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.
3.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上
的平均变化率Δy
Δx
等于( )
A.4 B.4+2Δx
C.4+2(Δx)2D.4x 解析:选 B.因为Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=4Δx+2(Δx)2,所以
Δy
Δx
=4+2Δx,故选B.
4.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18 C.54 D.81 解析:选B.
Δs
Δt
=
33+Δt2-3×32
Δt
,
s′=li m
Δt→0
Δs
Δt
=li m
Δt→0
(18+3Δt)=18,故选B.
5.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=
3
2
处的瞬时变化率是( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析:选B.
6.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )
A.不存在B.与x 轴平行或重合
C.与x轴垂直D.与x 轴相交但不垂直
解析:选B.函数在某点处的导数为零,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.7.曲线y=-
1
x
在点(1,-1)处的切线方程为( )
A.y=x-2 B.y=x
C.y=x+2 D.y=-x-2
解析:选A.f′(1)=li m
Δx→0
-
1
1+Δx
+
1
1
Δx
=
li m
Δx→0
1
1+Δx
=1,则在(1,-1)处的切线方程为y+1=x-1,即y=x-2.
8.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则A处的切线斜率为( )
A.4 B.16 C.8 D.2 解析:选C.
9.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处
的切线倾斜角为π
4
的是( )
A.(0,0)
B.(2 ,4)
C.(1
4
,
1
16
) D.(
1
2
,
1
4
)
故选D.
10.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
解析:选A.
11.已知f(x)=x2,则f′(3)=( ) A.0
B
.2x
C. 6
D
.9
解析:选 C.∵f′(x)=2x,∴f′(3)=6.
12.已知函数f(x)=1
x
,则f′(-3)=( )
A. 4
B.
1
9
C.-
1 4 D
.-1
9
解析:选D.∵f′(x)=-
1
x2
,∴f′(-
3)=-
1
9
.
13.函数y=
x2
x+3
的导数是( )
A.
x2+6x
x+32
B.
x2+6x
x+3
C.
-2x
x+32
D.
3x2+6x
x+32
解析:选A
14.若函数f(x)=
1
2
f′(-1)x2-2x+3,则
f′(-1)的值为( )
A.0
B
.-1
C. 1
D
.2
解析:选B.∵f(x)=
1
2
f′(-1)x2-2x+3,
∴f′(x)=f′(-1)x-2.
∴f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2.
∴f′(-1)=-1.
15.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;
命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则
甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A.f(x)=x3在(-1,1)内是单
调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-1 故甲是乙的充分不必要条件,选A. 16.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,2) B .(0,3) C.(1,4) D .(2,+∞) 解析:选D.f′(x)=(x-3)′e x+(x-3)(e x)′=(x-2)e x, 令f′(x)>0,解得x>2,故选D. 17.函数y=ax3-x在R上是减函数,则( ) A.a≥ 1 3 B .a=1 C.a= 2 D .a≤0 解析:选D.因为y′=3ax2-1,函数y =ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,所以y′=3ax2-1≤0恒成立, 即3ax2≤1恒成立. 当x=0时,3ax2≤1恒成立,此时a∈R; 当x≠0时,若a≤ 1 3x2 恒成立,则a≤0. 综上可得a≤0. 18.函数y=4x2+1 x 的单调递增区间是 ( ) A.(0,+∞) B .(-∞,1) C.(1 2 ,+∞) D .(1,+∞) 解析:选C.∵y′=8x-1 x2 = 8x3-1 x2 >0, ∴x>1 2 . 即函数的单调递增区间为( 1 2 ,+∞). 19.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B.对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.故选B. 20.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是( ) A.必有f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为0 答案:A 22.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选D.f′(x)=3x2+2ax+3, ∵f(x)在x=-3处取得极值, ∴f′(-3)=0,即27-6a+3=0, ∴a=5. 23.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析:选A.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如题图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个. 24.函数f(x)=- 1 3 x3+ 1 2 x2+2x取极小值时,x的值是( ) A.2 B.2,-1 C.-1 D.-3 解析:选C.f′(x)=-x2+x+2=-(x -2)(x+1). ∵在x=-1的附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,如图所示: ∴x=-1时取极小值. 25.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 解析:选B.∵f′(x)=-2x+4, ∴当x∈[3,5]时,f′(x)<0, 故f(x)在[3,5]上单调递减, 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5). 26.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析:选 C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0可得x=0或x=2(舍去), 当-1≤x<0时,f′(x)>0,当0 所以当x=0时,f(x)取得最大值为2. 27.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 解析:选 B.f′(x)=3x2-6x-9=3(x -3)(x+1). 由f′(x)=0得x=3,-1. 又f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5, ∴f(x)min=k-76=-71. 28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元:万元)与年产量x(单位:万 件)的函数关系式为y=-1 3 x3+81x-234, 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A.13万件B.11万件 C.9万件D.7万件 解析:选C 29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒运动的距离为s=1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速 度为零的时刻是( ) A.1秒末B.0秒 C.4秒末 D.0 ,1,4秒末 解析:选D.∵s′=t3-5t2+4t,令s′=0,得t1=0,t2=1,t3=4,此时的函数值最大,故选D. 二、填空题 1.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________. 答案:1 2.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切,则a=________. 答案:3 3.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 b a =________. 答案:2 4.令f(x)=x2·e x,则f′(x)等于________.解析:f′(x)=(x2)′·e x+x2·(e x)′=2x·e x+x2·e x=e x(2x+x2). 答案:e x(2x+x2) 5.函数y=x2+4x在x=x0处的切线斜率为2,则x0=________. 解析:2=li m Δx→0 x0+Δx2+4x0+Δx-x20-4x0 Δx =2x0+4,∴x0=-1. 答案:-1 6.若y=10x,则y′|x=1=________. 解析:∵y′=10x ln10,∴y′|x=1=10ln10. 答案:10ln10 7.一物体的运动方程是s(t)= 1 t ,当t=3时的瞬时速度为________. 解析:∵s′(t)=- 1 t2 ,∴s′(3)=- 1 32=- 1 9 . 答案:- 1 9 8.设f(x)=ax2-b sin x,且f′(0)=1,f′( π 3 )= 1 2 ,则a=________,b=________. 解析:∵f′(x)=2ax-b cos x,f′(0)=-b=1得b=-1, f ′(π 3 )= 2 3 πa+ 1 2 = 1 2 ,得a=0. 答案:0 -1 9.y=x3-6x+a的极大值为________.解析:y′=3x2-6=0,得x=± 2.当x<-2或x>2时,y′>0;当-2 答案:a+4 2 10.函数y=x e x的最小值为________.解析:令y′=(x+1)e x=0,得x=-1. 当x<-1时,y′<0;当x>-1时,y′>0. ∴y min=f(-1)=-1 e . 答案:-1 e 11.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,它的高为______dm时最省料. 解析:设底面边长为x, 则高为h=256 x2 , 其表面积为S=x2+4×256 x2 ×x=x2+ 256×4 x , S′=2x-256×4 x2 ,令S′=0,则x=8, 则高h=256 64 =4 (dm). 答案:4 12.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 解析:设矩形的长为x m, 则宽为16-2x 2 =(8-x) m(0 ∴S(x)=x(8-x)=-x2+8x ∴S′(x)=-2x+8,令S′(x)=0,则x=4, 又在(0,8)上只有一个极值点,且x∈(0,4)时,S(x)单调递增, x∈(4,8)时,S(x)单调递减, 故S(x)max=S(4)=16. 答案:16 三、解答题 1.求下列函数的导数: (1)y=3x2+x cos x;(2)y= x 1+x ;(3)y=lg x -e x. 解:(1)y′=6x+cos x-x sin x. (2)y′= 1+x-x 1+x2 = 1 1+x2 . (3)y′=(lg x)′-(e x)′= 1 x ln10 -e x. 2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 解:(1)由 ? ? ?y=x2+4, y=x+10, 得x2+4=10+x,即x2-x-6=0, ∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y=x2+4, ∴y′=lim Δx→0 x+Δx2+4-x2+4 Δx =lim Δx→0 Δx2+2x·Δx Δx =lim Δx→0 (Δx+2x)=2x. ∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0;在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. 3.求下列函数的单调区间: (1)y=x-ln x;(2)y= 1 2x . 解:(1)函数的定义域为(0,+∞). 其导数为y′=1- 1 x . 令1-1x >0,解得x >1;再令1-1x <0,解 得0 因此,函数的单调增区间为(1,+∞), 函数的单调减区间为(0,1). 4.已知函数f (x )=x 3+ax 2 +bx +c ,当x =-1时,取得极大值7;当x =3时,取得极小值,求这个极小值及a 、b 、c 的值. 解:f ′(x )=3x 2+2ax +b ,依题意可知-1,3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根, 则有??? -1+3=-2 3 a , -1×3=b 3, 解得 ?? ? a =-3, b =-9, ∴f (x )=x 3-3x 2-9x +c . 由f (-1)=7,得-1-3+9+c =7,∴c =2. ∴极小值为f (3)=33-3×32-9×3+2=-25. 5.已知函数f (x )=1 3 x 3-4x +4. (1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 解:(1)f ′(x )=x 2-4,解方程x 2-4=0, 得x 1=-2,x 2=2. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况 极大值,且极大值为28 3 ;而当x =2时,函 数有极小值,且极小值为-4 3 . (2)f (-3)=1 3 ×(-3)3-4×(-3)+4 =7, f (4)=13×43-4×4+4=283 , 与极值比较,得函数在区间[-3,4]上 的最大值是283,最小值是-4 3 . 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )导数练习题 含答案
(完整word版)导数单元测试(含答案)