二次函数图像的变化规律及应用
二次函数的平移规律总结与应用技巧
二次函数的平移规律总结与应用技巧二次函数是高中数学中重要的一部分，通过对二次函数的平移规律进行总结和应用技巧的探索，可以更好地理解和应用这个函数形式。
本文将从平移规律的基本概念入手，逐步介绍相关的技巧和应用。
1. 平移规律的基本概念平移是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动。
对于二次函数，其标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示二次函数图像的顶点坐标。
2. 平移规律的总结与应用技巧2.1 平移规律总结根据平移规律，改变二次函数中的参数a, h, k可以对函数图像进行平移。
具体总结如下：- 参数a的变化：a>0时，图像开口向上；a<0时，图像开口向下。
绝对值|a|越大，图像越"瘦长"；|a|越小，图像越"胖宽"。
- 参数h的变化：若h>0，图像向左平移；若h<0，图像向右平移。
绝对值|h|越大，平移距离越长；|h|越小，平移距离越短。
- 参数k的变化：若k>0，图像向上平移；若k<0，图像向下平移。
绝对值|k|越大，平移距离越高；|k|越小，平移距离越低。
2.2 平移规律应用技巧- 技巧1：根据函数参数的变化，确定平移的方向和距离。
例如，对于函数y=2(x-1)^2+3，参数a=2，h=1，k=3，可以知道图像开口向上，向右平移1个单位，向上平移3个单位。
- 技巧2：通过平移规律，根据已知函数图像和顶点坐标，求出函数的表达式。
例如，已知函数图像经向左平移3个单位、向下平移2个单位后，顶点坐标为(3,-2)，可以得到新函数的表达式为y=a(x-3)^2-2。
3. 平移规律的应用举例3.1 平移的图像比较可以通过比较两个函数的图像来观察平移规律。
例如，比较函数y=x^2和y=(x-1)^2+2的图像，可以发现后者相对于前者向左平移了1个单位，向上平移了2个单位。
3.2 解题应用解决实际问题时，可以利用平移规律来建立数学模型并求解。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
二次函数的变换规律
二次函数的变换规律二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种常见的数学函数形式。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的变换规律，即通过对函数中的参数进行变化，能够改变函数的形状和位置。
在本文中，我将详细介绍二次函数的变换规律，以加深对该主题的理解。
1. 平移变换平移变换是指通过改变二次函数的平移量，使函数图像在坐标平面上上下左右移动。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在平移变换中，平移量为h和k，表示在横轴和纵轴上的平移距离。
1.1 沿x轴平移二次函数沿x轴正方向平移h个单位，相当于将函数图像向左移动h个单位；沿x轴负方向平移h个单位，相当于将函数图像向右移动h个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = a(x-h)² + bx + c，其中h代表横轴的平移量。
1.2 沿y轴平移二次函数沿y轴正方向平移k个单位，相当于将函数图像向上移动k个单位；沿y轴负方向平移k个单位，相当于将函数图像向下移动k个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = ax² + bx + (c-k)，其中k代表纵轴的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是指通过改变二次函数的参数a和导致函数图像的纵向和横向的缩放。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在缩放变换中，缩放因子为p和q，表示纵向和横向的缩放比例。
2.1 纵向缩放当缩放因子p大于1时，二次函数的图像会纵向收缩；当p在0和1之间时，二次函数的图像会纵向拉伸。
缩放后的函数可表示为f(x) = pax² + bx + c，其中p表示纵向缩放因子。
2.2 横向缩放当缩放因子q大于1时，二次函数的图像会横向拉伸；当q在0和1之间时，二次函数的图像会横向收缩。
缩放后的函数可表示为f(x) =a(qx)² + bx + c，其中q表示横向缩放因子。
3. 翻转变换翻转变换改变了二次函数图像的方向。
二次函数图像的平移规律
二次函数图像的平移规律作者：叶海金来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期二次函数图像的平移规律：抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k。
平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
下面就二次函数图像平移规律，从两方面谈谈自己的看法。
一、二次函数图像的平移规律1.上加下减。
抛物线向上平移n个单位，就在c后面+n；向下平移n个单位，就在c后面-n。
a，b不变。
例：y=-x2+3x+4向上平移3个单位后得到y=-x2+3x+7。
2.左加右减。
这个规律既符合顶点式，又符合一般式，只是在一般式里面比较麻烦，需要在x本身上加减。
抛物线向左平移n个单位，就在x后面+n；向右平移n个单位，就在x后面-n。
注意是在x这个整体上加减，所以要加括号，a，b，c的变化要展开后才会看到。
例：把二次函数y=-2（x-3）2+1的图像向左平移6个单位，再向下平移2个单位，就可得到函数 y=-2（x+3）2-1 的图像。
3.平移方法。
（1）将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（h，k）；（2）保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：二、二次函数的平移题型二次函数的平移题型主要有三种：一是已知二次函数的解析式和平移的单位与方向，求平移后的解析式；二是已知二次函数与经过平移后得到的二次函數解析式，说明平移的单位和方向；三是已知平移的单位与方向和平移后二次函数的解析式，求原二次函数的解析式。
1.已知二次函数的解析式和平移的单位与方向，求平移后的解析式。
例析：将二次函数y=x2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得的图像解析式。
解：向右平移一个单位长度，得到y=（x+1）2，再向上平移3个单位长度得到的图像的解析式为 y=（x+1）2+3。
二次函数图像的变换
二次函数图像的变换第一环节 【知识储备】一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．第二环节 【新知探究】【问题一】 平移变换求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。
二次函数平移规律
二次函数平移规律二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，代表曲线的形状、位置和方向。
平移变换的规律可以分为以下几种情况：1.沿x轴平移：将整个图像沿x轴的正方向或负方向移动一个固定的距离。
将二次函数的公式中的x换成(x-h)，其中h表示x轴的平移量。
例如，若h>0，则平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
2. 沿y轴平移：将整个图像沿y轴的正方向或负方向移动一个固定的距离。
将二次函数的公式中的c换成c + k，其中k表示y轴的平移量。
例如，若k > 0，则平移后的函数为y = ax^2 + bx + (c + k)。
3.组合平移：同时沿x轴和y轴方向进行平移变换。
将二次函数的公式中的x换成(x-h)，c换成(c+k)。
例如，若h>0且k>0，则平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+(c+k)。
需要注意的是，平移会改变函数的位置，但不会改变函数的形状和方向。
也就是说，平移前后的函数曲线是相似的，它们只是在坐标系中的位置不同。
平移变换也可通过绘制函数图像来观察和理解。
首先，绘制原始函数的图像，然后通过调整参数a、b、c、h和k，分别代表二次函数的系数和平移量，来获得不同位置的图像。
通过比较不同图像之间的差异，可以更好地理解平移变换的规律。
此外，可以通过数学的推导和计算来验证平移变换的规律。
对于给定的二次函数，通过代入不同的参数值，并计算出相应的函数值，可以验证函数图像在平移后是否符合平移变换的规律。
总结起来，二次函数的平移变换是通过改变函数的参数来实现的。
沿x轴平移可以通过更改x的值，沿y轴平移可以通过更改c的值，组合平移则同时改变x和c的值。
平移变换不仅可以通过绘制函数图像来观察和理解，还可以通过数学的推导和计算来验证和探索。
掌握了二次函数的平移规律，可以更好地理解二次函数的性质和变换。
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二次函数图像的变化规律及应用引言：
二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具
有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律
1. 平移变换
二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平
面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平
移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换
缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数
y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放
变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换
翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函
数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变
换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用
1. 最值问题
二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题
二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的
交点，我们可以求解二次函数的零点。
零点问题在实际应用中也有很多应用，例如在经济学中，我们可以通过零点问题求解收入与支出的平衡点。
3. 曲线拟合
二次函数的图像具有一定的弯曲性，可以用来拟合一些非线性的数据。
通过将
实际数据点与二次函数图像进行拟合，我们可以得到一个近似的曲线，从而更好地描述数据的变化趋势。
曲线拟合在统计学和工程学中有广泛的应用，例如在气象学中，我们可以通过曲线拟合来预测未来的气温变化。
结论：
二次函数图像的变化规律和应用是高中数学中的重要内容，通过对图像的平移、缩放和翻折变换的观察，我们可以总结出二次函数图像的变化规律。
同时，二次函数图像在最值问题、零点问题和曲线拟合等方面具有广泛的应用。
通过深入研究二次函数的图像变化规律和应用，我们可以更好地理解和应用二次函数的知识。