专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练21二次函数的图像变换问题1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.【答案】（1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：{9a−3b+3=0a−b+3=0，解得：a=1、b=4．（2）解：连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），当x=0时，y=3， ∴Q （0，3）；设直线OM 的解析式为y=kx ， ∴-2k=-1， ∴k= 12 ，∴直线OM ：y= 12 x ，联立直线y=-2x+9，得： {y =12xy =−2x +9 ， 解得 {x =185y =95 ． 则D （185,95 ）；曲线QM 扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S △MQD =2×12×OQ ×|x M −x D |=3×|−2−185|=845；（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 12 x 上，可设其坐标为（h ， 12 h ），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h ）2+ 12 h ；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C （0，9）时，有： h2+ 12 h=9，解得：h= −1−√1454（依题意，舍去正值）②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：{y =−2x +9y =(x −h)2+12h， 消去y ，得：x2-（2h-2）x+h2+ 12 h-9=0，则：△=（2h-2）2-4（h2+ 12 h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，结合图形，当平移的抛物线与射线CD （含端点C ）没有公共点时，h ＜−1−√1454或h ＞4．2.定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.（1）抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是________；抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是________.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.（3）如图，面积为12 √3的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE 是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.【答案】（1）②；④（2）解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB2＝AD2+BD2 ，∴16＝4+16a2+4+16a2 ，∴a＝±12；（3）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AE＝CE＝OE＝BE，∴S△ABE＝14S矩形ABCD＝14×12 √3＝3 √3，∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，∴AE＝AB＝BE，∴△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BE，∴AH＝ABsin∠ABE＝√32AB＝√32BE，∴√34BE2＝3 √3，∴BE＝2 √3，∴AH＝3，EH＝√3，∴A（3 √3，3），E（2 √3，0），B（4 √3，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3 √3）2+3，将点E（2 √3，0）代入得，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3 √3）2+3＝﹣x2+6 √3x﹣24.∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 √3x﹣24.【解析】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2 √3x可得顶点坐标为：(√3,−3)，与x轴的交点坐标为：(0,0),(2√3,0)，∴抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y＝12x2﹣2可得顶点坐标为：(0,−2)，与x轴的交点坐标为：(−2,0),(2,0)，∴抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；故答案为②；④；3.已知抛物线y=x2−2mx+m2+2m−2，直线l1:y=x+m，直线l2:y=x+m+b（1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值（2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分（含交点）图象记为C，若-32<b<0，①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；②图象C上是否存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b2？若存在，求相应的m和b的取值范围【答案】（1）解：当m=0时，抛物线：y=x2−2则顶点坐标为（0，-2）把（0，-2）代入l2:y=x+b，可得b=-2（2）解：①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：因为y=x2−2mx+m2+2m−2=(x−m)2+(2m−2)，所以抛物线顶点为（m，2m-2）当x=m时，对于l1:y=2m，对于l2:y=2m+b因为−32<b<0所以2m−32<2m+b<2m所以2m−2<2m+b<2m即顶点在l1,l2的下方所以抛物线的顶点不在图像C上②解：设直线l1与抛物线交于A、B两点，且y A<y Bx2−2mx+m2+2m−2=x+m解得x1=m−1,x2=m+2因为y A<y B，且对于l1，y随x的增大而增大所以x A<x B所以x A=m−1，此时y A=2m−1设直线l2与抛物线交于C，D两点，且y C<y Dx2−2mx+m2+2m−2=x+m+b所以x2−（2m+1）x+（m2+m−2−b）=0所以Δ=[−（2m+1）]2−4×1×（m2+m−2−b）=4b+9因为b>−32所以4b+9>0，所以x=2m+1±√4b+92因为y c<y D，且对于l2，y随x的增大而增大，所以x C<x D所以x D=2m+1+√4b+92，此时y D=2m+1+√4b+92+m+b因为y A−y D=−3−2b−√4b+92，又因为−32<b<0所以−3−2b<0又因为√4b+9>0所以y A−y D<0，即y A<y D因为x A<m，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点A′(x A′,y A′)，其中y A′=y A所以y A′<y D因为抛物线的开口向上，所以当x<m时，y随x的增大而减小，因为抛物线顶点在l2的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，设(x0,y0)是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有x A<x0<m所以y0<y A又因为在抛物线上必存在其对称点(x0′,y0′)，其中y0′=y0所以y0′<y A也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方所以图像C上不存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b24.若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B在抛物线l1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线l1，l2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。

（1）在图1中，抛物线l1：y=-x2+4x-3与l2：y=a(x-4)2-3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a 的值为________；（2）在图2中，已知抛物线l3：y=2x2-8x+4，它的“伴随抛物线”为l4，若l3与y轴交于点C，点C关于l3的对称轴对称的点为D，诸求出以点D为顶点的l4的解析式；（3）若抛物线y=a 1(x-m)2+n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a 2(x-h)2+k ，请写出a 1与a 2的关系式，并说明理由。

【答案】 （1）(2，1)；1（2）解：将y=2x2-8x+4化成顶点式，得y=2(x-2)2-4， ∴C(0，4)，抛物线l3的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，-4)。

∴点C 关于对称轴x=2的对称点为D (4，4)设l4：y=a0(x-4)2+4， 将点(2，-4)代入，得-4=4a0+4解得a0=-2 以点D 为顶点的4的解析式为y=-2(x-4)2+4（3）解：a1=-a2 ， 理由如下：由“伴随抛物线”的定义可知点(h ，k)在抛物线y=a1(x-m)2+n 上，点(m ，n)在抛物线y=a2(x-h)2+k 上， {a 2(m −h)2+k =n①a 1(h −m)2+n =k② ①+②得：(a1+a2)(m-h)2=0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a1=-a2【解析】解：（1）∵ y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴抛物线l1的顶点A 的坐标为（2，1），∵ 抛物线l1：y=-x2+4x-3与l2：y=a(x-4)2-3互为“伴随抛物线”， ∴点A （2，1）在抛物线l2上， ∴1=a （2-4）2-3， ∴a=1.故答案为：（2，1）；1；5.二次函数 y=x 2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x 1 ， 0)、B(x 2 ， 0)，且(x 1+1)(x 2+1)= -8. （1）求二次函数解析式；（2）将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积.（3）在(2)的条件下，若自变量x 在m ≤x≤m+3时，函数的最小值为-5，则m ＝________.【答案】 （1）解：∵二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1 ， 0)、B(x2 ， 0)， ∴x1+ x2=-(k-5)=5-k ，x1x2=-(k+4) ∵(x1+1)(x2+1)= -8 ∴x1x2+（x1+ x2）+1=-8 ∴-(k+4)+ 5-k+1=-8解得：k=5∴y=x2-9，此时b2-4ac=36＞0，故符合题意；（2）解：平移后的二次函数解析式为y=（x-2）2-9，大致画出图象如下，过点P作PD⊥y轴于D∴顶点P的坐标为（2，-9）∴PD=2将x=0代入y=（x-2）2-9中，得y=-5∴点C的坐标为（0，-5）∴OC=5∴△POC的面积= 1OC·PD=5；2（3）-3或4【解析】解：（3）二次函数y=（x-2）2-9的图象的对称轴为直线x=2当m+3＜2，即m＜-1时，∵在对称轴左侧，y随x的增大而减小∴当x=m+3时，y取最小值，由函数的最小值为-5∴（m+3-2）2-9=-5解得：m=-3或m=1（不符合前提条件，舍去）；当m≤2≤m+3，即-1≤m≤2时，此时当x=2时，y取最小值，最小值为-9，（不符合题意，舍去）当m＞2时，∵在对称轴右侧，y随x的增大而增大∴当x=m时，y取最小值，由函数的最小值为-5∴（m-2）2-9=-5解得：m=4或m=0（不符合前提条件，舍去）；综上：m=-3或4故答案为：-3或4.6.已知抛物线y1=−x2−2x+3与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C.（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，B′两点（B′在B的右侧），顶点D 的对应点D′，若∠BD′B′=90°，求B′的坐标和抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）由题意得抛物线y1=−x2−2x+3与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，∴当y=0时，−x2−2x+3=0即（x+3）（1-x）=0解得x1=-3，x2=1，∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），当x=0时，y=-02-2×0+3=3，∴C的坐标为（0，3），综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）设B ′（t，0），由题意得y2由y1平移所得，∴a=-1，∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，∴D ′（t+12，(1+t)2−4t4），∵B和B ′是对称点，D ′在对称轴上，∠BD ′ B ′=90°，∴△BD ′ B ′是等腰直角三角形，∴yD ′= 12|BB ′|，∴(1+t)2−4t4= 12（t-1），解得t=3，∴B ′（3，0），∴y2=-x2+4x-3；（3）①若Q在B ′右边，则P在x轴上方，且CP∥B ′Q，∴yP=yC=3，此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；②若Q在B ′左边，当B ′Q为边时，则CP∥B ′Q，此时yP=yC=3，P点在y1上，将yP=3，代入y1得−x2−2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，∴此时P的坐标为（-2，3）；当B ′Q为对角线时，则B ′C∥QP，∵yC-yB ′=3，∴yQ-yP=3，∵Q在x轴上，∴yP=-3，将yP=-3代入y1得−x2−2x+3=−3，解得x1=-1+ √7，x2=-1- √7，将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，解得x1=0，x2=4，∴P的坐标为：（-1+ √7，-3），（-1- √7，-3），（0，-3），（4，-3），综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+ √7，-3），（-1- √7，-3），（0，-3），（4，-3）.7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于(p,0)，(q,0)，则该抛物线的解析式可以表示为：y=a(x-p)(x-q)=ax2-a(p+q)x+apq.（1）若a=1，抛物线与x 轴交于(1,0)，(5,0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a=-1，如图（1），A(-1,0)，B(3,0)，点M(m,0)在线段AB 上，抛物线C 1与x 轴交于A ，M ，顶点为C ；抛物线C 2与x 轴交于B ，M ，顶点为D.当A ，C ，D 三点在同一条直线上时，求m 的值； （3）已知抛物线C 3与x 轴交于A(-1,0)，B(3,0)，线段EF 的端点E(0,3)，F(4,3).若抛物线C 3与线段EF 有公共点，结合图象，在图（2）中探究a 的取值范围.【答案】 （1）解：由题意抛物线的解析式为 y =(x −1)(x −5)=x 2−6x +5=(x −3)2−4 ， ∴ y =x 2−6x +5 ，抛物线的顶点坐标为（3，-4）（2）解：如图1中，过点C 作CE ⊥AE 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F.由题意抛物线C1为 y =−(x +1)(x −m)=−(x −m−12)+m 2+2m+14，∴C(m−12,m 2+2m+14)抛物线C2为 y =−(x −m)(x −3)=−(x −3+m 2)2+m 2−6m+94，∴D(3+m 2,m 2−6m+94) ，∵A ，C ，D 共线，CE ∥DF ， ∴ CE AE=DFAF ， ∴m 2+2m+14m−12+1=m 2−6m+943+m2+1 ，解得 m =13 ，经检验，m=13是分式方程的解，∴m=13（3）解：如图2-1，当a＞0时，设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，当抛物线经过F(4,3)时，3=a×5×1，∴a=35，观察图象可知当a≥35时，满足条件.如图2-2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1,3），把（1,3）代入y=a(x+1)(x−3)，可得a=−34，观察图象可知当a≤−34时，满足条件，综上所述，满足条件的a的范围为：a≥35或a≤−348.如图，二次函数y1=a(x−m)2+n、y2=6ax2+n(a<0,m>0,n>0)的图像分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B.（1）若P点的坐标为(0,2)，C1的顶点坐标为(2,4)，求a的值；（2）设直线PA与y轴所夹的角为α.①当α=45°，且A为C1的顶点时，求am的值；②若α=90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PA的值不变；PB（3）若PA=2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由.【答案】（1）解：∵C1的顶点坐标为(2,4)，∴y1=a(x−2)2+4，将点P（0,2）代入得：2=a(−2)2+4，解得：a=−1；2（2）解：①由题意可知，A(m,n)，如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，则M（0，n），MA=m，∵直线PA与y轴所夹的角为α=45°，∴△MAP为等腰直角三角形，∴MA=MP=m，∴OP=n-m，∴P（0，n-m），代入y1=a(x−m)2+n得：n−m=am2+n，解得：am=−1；②如图所示，当α=90°时，将x=0代入y1=a(x−m)2+n，得y=am2+n，∴P(0,am2+n)，当y1=am2+n时，am2+n=a(x−m)2+n，解得：x1=0,x2=2m，∴A(2m,am2+n)，∴AP=2m，当y2=am2+n时，即am2+n=6ax2+n，解得：x1=−√66m,x2=√66m，∵点B在y轴左侧，∴B(−√66m,am2+n)，∴PB= √66m，∴PAPB=√66m=2√6，不变.（3）解：如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，则BD∥AC，∴△BDP∽△ACP，设B(x,6ax2+n)，则PD=-x，BD= am2+n−6ax2−n=am2−6ax2，∵PA=2PB，∴CP=2PD=-2x，AC=2BD= 2am2−12ax2，∴A(−2x,3am2−12ax2+n)，代入y1=a(x−m)2+n得：3am2−12ax2+n=a(−2x−m)2+n，化简得：8x2+2mx−m2=0，解得：x1=−m2，x2=m4（舍去），∴A(m,n)，则点A是C1的顶点.9.阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．【答案】（1）解：由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2 ，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y ＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y ＝﹣x2﹣4x ﹣3（2）若函数y ＝5x2+（m ﹣1）x+n 与y ＝﹣5x2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m+n ）2020的值．解：∵y ＝5x2+（m ﹣1）x+n 与y ＝﹣5x2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”， ∴ {m −1=−n n −3=0 ，解得： {m =−2n =3， ∴（m+n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（2）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x+3）＝﹣6， ∴点C 的坐标为（0，﹣6）． 当y ＝0时，2（x ﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）．∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A1 ， B1 ， C1 ， ∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1 ， B1 ， C1的二次函数解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣3）， 将C1（0，6）代入y ＝a （x+1）（x ﹣3），得：6＝﹣3a ， 解得：a ＝﹣2，过点A1 ， B1 ， C1的二次函数解析式为y ＝﹣2（x+1）（x ﹣3），即y ＝﹣2x2+4x+6． ∵y ＝2（x ﹣1）（x+3）＝2x2+4x ﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6， ∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1 ， B1 ， C1的二次函数与函数y ＝2（x ﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．10.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 F 1:y =a(x −25)2+6415 与 x 轴交于点 A(−65,0) 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线 F 1 的表达式；（2）如图2，将抛物线 F 1 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 F 2 ，若抛物线 F 1 与抛物线 F 2 相交于点D ，连接 BD ， CD ， BC ． ①求点D 的坐标；②判断 △BCD 的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线 F 2 上是否存在点P ，使得 △BDP 为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 （1）解：将点 A(−65,0) 代入抛物线 F 1 的表达式得： a(−65−25)2+6415=0 解得 a =−53则抛物线 F 1 的表达式为 y =−53(x −25)2+6415=−53x 2+43x +4 故抛物线 F 1 的表达式为 y =−53x 2+43x +4 ；（2）解：①由二次函数的平移规律得：抛物线 F 2 的表达式为 y =−53(x −25+1)2+6415−3 即 F 2:y =−53(x +35)2+1915=−53x 2−2x +23 联立 {y =−53x 2+43x +4y =−53x 2−2x +23 ，解得 {x =−1y =1则点D 的坐标为 D(−1,1) ；②对于 y =−53(x −25)2+6415=−53x 2+43x +4当 y =0 时， −53(x −25)2+6415=0 ，解得 x =2 或 x =−65则点B 的坐标为 B(2,0)当 x =0 时， y =−53×02+43×0+4=4 ，则点C 的坐标为 C(0,4) 由两点之间的距离公式得： BC =√(2−0)2+(0−4)2=2√5 BD =√(2+1)2+(0−1)2=√10 CD =√(0+1)2+(4−1)2=√10 则 BD =CD ， BD 2+CD 2=BC 2 故 △BCD 是等腰直角三角形；（3）解：抛物线 F 2 的表达式为 y =−53(x +35)2+1915=−53x 2−2x +23 设点P 的坐标为 P(m,n) 由题意，分以下三种情况：①当 ∠PDB =90°,PD =BD 时， △BDP 为等腰直角三角形 ∵△BCD 是等腰直角三角形， ∠BDC =90° ， BD =CD ∴ PD =CD ∴ 点D 是CP 的中点则 {0+m2=−14+n 2=1，解得 {m =−2n =−2即点P 的坐标为 P(−2,−2)对于抛物线 F 2 的表达式 y =−53x 2−2x +23当 x =−2 时， y =−53×(−2)2−2×(−2)+23=−2 即点 P(−2,−2) 在抛物线 F 2 上，符合题意②当 ∠PBD =90°,PB =BD 时， △BDP 为等腰直角三角形 ∵∠BDC =90° ， BD =CD ∴CD//PB ， PB =CD ∴ 四边形BCDP 是平行四边形∴ 点C 至点B 的平移方式与点D 至点P 的平移方式相同 ∵C(0,4),B(2,0)∴ 点C 至点B 的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度 ∵D(−1,1),P(m,n)∴{m =−1+2=1n =1−4=−3即点P 的坐标为 P(1,−3)对于抛物线 F 2 的表达式 y =−53x 2−2x +23 当 x =1 时， y =−53×12−2×1+23=−3 即点 P(1,−3) 在抛物线 F 2 上，符合题意③当 ∠BPD =90°,PB =PD 时， △BDP 为等腰直角三角形 则点P 在线段BD 的垂直平分线上 设直线BD 的解析式 y =kx +b将点 B(2,0),D(−1,1) 代入得： {2k +b =0−k +b =1 ，解得 {k =−13b =23 则直线BD 的解析式 y =−13x +23设BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 y =3x +c 点 B(2,0),D(−1,1) 的中点的坐标为 (2−12,0+12) ，即 (12,12)将点 (12,12) 代入 y =3x +c 得： 32+c =12 ，解得 c =−1 则BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 y =3x −1 因此有 3m −1=n ，即点P 的坐标为 P(m,3m −1)由两点之间的距离公式得： PB =√(m −2)2+(3m −1−0)2=√10m 2−10m +5 又 ∵BD =√10 ， △BDP 为等腰直角三角形 ∴PB =√22BD =√5则 √10m 2−10m +5=√5 解得 m =0 或 m =1当 m =0 时， 3m −1=3×0−1=−1 ，即点P 的坐标为 P(0,−1) 当 m =1 时， 3m −1=3×1−1=2 ，即点P 的坐标为 P(1,2) 对于抛物线 F 2 的表达式 y =−53x 2−2x +23 当 x =0 时， y =−53×02−2×0+23=23即点 P(0,−1) 不在抛物线 F 2 上，不符合题意，舍去当x=1时，y=−53×12−2×1+23=−3即点P(1,2)不在抛物线F2上，不符合题意，舍去综上，符合条件的点P的坐标为P(−2,−2)或P(1,−3)．11.如图1，抛物线y=−12(x+2)2+6与抛物线y1=−x2+12tx+t−2相交y轴于点C ，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2=kx+3交x轴负半轴于点N ，交y轴于点M ，且OC=ON．（1）求抛物线y1的解析式与k的值；（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D ，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E ，使以点A ，D ，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H ，交直线y2=kx+3于点Q ，若点Q′是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q′落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：当x=0时，y=−12(x+2)2+6=−12×(0+2)2+6=4，∴点C的坐标为(0，4)，∵点C (0，4)在抛物线y1=−x2+12tx+t−2的图象上，∴t−2=4，∴t=6，∴抛物线y1的解析式为y1=−x2+3x+4，∵C (0，4)，ON=OC，∴ON=OC=4，∴点N的坐标为( −4，0)，∵直线y2=kx+3过N ( −4，0)，∴−4k+3=0,解得k=34,∴抛物线y1的解析式为y1=−x2+3x+4，k的值为34；（2）解：连接AE，令y1=0，则−x2+3x+4=0,解得x1=−1，x2=4，∴点A的坐标为( −1，0)，点B的坐标为(4，0)，∴抛物线y1的对称轴为直线x=−1+42=32．∴点A的坐标为( 32，0)，∵C (0，4)，∴AO=1，OC=4，AD=52，①当△AOC∽△EDA时，AO ED =OCDA，∴1ED=452，∴DE=58；②当△AOC∽△ADE时，AO AD =OCDE，∴152=4DE，∴DE=10，综上，DE的长为58或10；（3）解：如图，点Q′是点Q关于直线MG的对称点，且点Q′在y轴上时，由轴对称性质可知，QM=Q′M，QG=Q′G，∠Q′MG=∠QMG，∵QG⊥x轴，∴QG//y轴．∴∠Q′MG=∠OGM，∴∠QMG=∠QGM，∴QM=QG，∴QM=Q′M=QG=Q′G，∴四边形QMQ′G为菱形，∴GQ′//QN，作GP⊥y轴于点P，设G(a，−a2+3a+4)，则Q(a，34a+3)，∴PG=|a|，Q′G=GQ=|(34a+3)−(−a2+3a+4)|=|a2−94a−1|，∵GQ′//QN，∴∠GQ′P=∠NMO，令x=0，则y=3，令y=0，则x=−4，∴直线y=34x+3与坐标轴的交点分别为M (0，3)，N( −4，0)，∴OM=3，ON=4，在Rt△NMO中，MN=√NO2+MO2=√42+32=5，∴sin∠GQ′P=sin∠NMO=NOMN =PGGQ′=45，∴|a||a2−94a−1|=45，解得a1=7+√654，a2=7−√654，a3=1+√52，a4=1−√52，经检验 a 1=7+√654 ， a 2=7−√654 ， a 3=1+√52 ， a 4=1−√52都是所列方程的解，综上，点G 的横坐标为7+√654 或 7−√654或 1+√52或 1−√52．12.如图，抛物线 L:y =12x 2−54x −3 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B.（1）求直线 AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作 PC ⊥x 轴，垂足为C ， PC 交 AB 于点D ，求 PD +BD 的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线 L:y =12x 2−54x −3 向右平移得到抛物线 L ′ ，直线 AB 与抛物线 L ′ 交于M ，N 两点，若点A 是线段 MN 的中点，求抛物线 L ′ 的解析式. 【答案】 （1）解：在 y =12x 2−54x −3 中，令 y =0 ，则 12x 2−54x −3=0 ，解得 x 1=−32,x 2=4 ， ∴ A(4,0) .令 x =0 ，则 y =−3 ，∴ B(0,−3) .设直线 AB 的解析式为 y =kx +b ，则 {4k +b =0b =−3 ，解得： {k =34b =−3 ， ∴直线 AB 的解析式为 y =34x −3 . y =12x 2−54x −3=12(x −54)2−12132 ，∴抛物线顶点坐标为 (54,−12132)（2）解：如图，过点D 作 DE ⊥y 轴于E ，则 DE//OA .∵OA=4,OB=3，∴AB=√OA2+OB2=√42+32=5，设点P的坐标为(x,12x2−54x−3)(54<x<4)，则点D的坐标为(x,34x−3)，∴ED=x.∵DE//OA，∴△BDE∽△BAO，∴BDBA =EDOA，∴BD5=x4，∴BD=54x.而PD=34x−3−(12x2−54x−3)=−12x2+2x，∴PD+BD=−12x2+2x+54x=−12x2+134x=−12(x−134)2+16932，∵−12<0，54<x<4，由二次函数的性质可知：当x=134时，PD+BD的最大值为16932.3 4x2−54x−3=34×(134)2−54×134−3=−5732，∴P(134,−5732).（3）解：设平移后抛物线L′的解析式y=12(x−m)2−12132，联立 {y =34x −3y =12(x −m)2−12132， ∴ 34x −3=12(x −m)2−12132，整理，得： x 2−2(m +34)x +m 2−2516=0 ，设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，则 x 1,x 2 是方程 x 2−2(m +34)x +m 2−2516=0 的两根， ∴ x 1+x 2=2(m +34) .而A 为 MN 的中点，∴ x 1+x 2=8 ， ∴ 2(m +34)=8 ，解得： m =134. ∴抛物线 L ′ 的解析式 y =12(x −134)2−12132=12x 2−134x +32.。