九年级上册数学圆的所有知识点
人教版九年级数学上册第24章第1节《圆》课件
A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理
九年级关于圆的面积知识点
九年级关于圆的面积知识点在数学学科中，圆是一个重要的几何概念，它的面积是我们需要研究和掌握的知识点之一。
本文将详细介绍九年级学生需要了解的关于圆的面积的知识点。
一、圆的面积公式圆的面积即为圆内部所有的点构成的区域。
在九年级的课程中，我们了解到，圆的面积可以通过以下公式来计算：面积= π × 半径的平方其中，π（pi）是一个无理数，它的近似值约为3.14。
半径是指从圆心到圆上任意一点的距离。
举例来说，如果一个圆的半径为5厘米，那么根据上述公式，可以计算出该圆的面积为25π平方厘米。
二、圆的面积单位计算圆的面积时，我们也需要关注单位的选择。
通常情况下，圆的面积的单位是平方单位，如平方厘米、平方米等。
因此，在计算时，要确保半径和单位的对应一致，以避免计算结果的混乱。
三、圆的面积计算步骤为了计算圆的面积，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定圆的半径或直径；2. 根据给定的半径或直径，计算得到圆的半径；3. 利用上述公式进行计算，得到圆的面积；4. 结果可以保留π作为无理数的近似值，或根据需要进行精确计算。
四、圆的面积实例为了更好地理解和应用圆的面积，我们可以通过一些实例进行实际计算。
例1：已知一个圆的半径为8厘米，计算该圆的面积。
解：根据面积的计算公式，可以得到：面积= π × 半径的平方面积= π × 8 cm × 8 cm面积= 64π 平方厘米（近似值为200.96平方厘米）因此，该圆的面积约为200.96平方厘米。
例2：已经一个圆的直径为14米，求该圆的面积。
解：首先需要将直径转换为半径。
直径是指从圆上任意两点经过圆心的线段长度，而半径是指从圆心到圆上任意一点的距离。
所以，该圆的半径为14 ÷ 2 = 7米。
然后，根据面积的计算公式，可以得到：面积= π × 半径的平方面积= π × 7米 × 7米面积= 49π 平方米（近似值为153.94平方米）因此，该圆的面积约为153.94平方米。
九年级数学知识点共圆共弦
九年级数学知识点共圆共弦九年级数学知识点：共圆共弦在九年级的数学课程中，共圆共弦是一个重要的知识点。
它涉及到圆的性质和相关的定理，对于理解和应用圆的概念具有重要意义。
首先，我们先来了解一下什么是共圆。
共圆是指在同一个平面内，有两个或两个以上的圆，它们的圆心都在同一条直线上。
这样的圆我们称之为共圆。
共圆的特点是它们的半径是相等的，因为它们的圆心在同一条直线上。
共圆的一个重要概念是共弦。
共弦是指两个圆在同一条直线上的弦，这条直线称为共弦。
共弦的特点是它同时是两个圆的弦，它们的圆心和直线的距离是相等的。
那么，我们来看一下共圆共弦的定理。
共圆共弦定理是指如果两个圆共有一个弦，并且这个弦在两个圆上的切线都截取了相同的弧，那么这两个圆一定是共圆的。
要理解共圆共弦定理，我们需要了解一下相关的概念和性质。
首先，我们需要知道什么是切线。
在圆上，从切点到圆心的线段称为切线。
切线与半径的夹角是直角。
切线还有一个重要的性质是切线和半径的乘积相等。
这个性质是通过相似三角形的性质可以证明出来的。
接下来，我们来看一下共圆共弦定理的证明。
假设有两个圆A和圆B，它们共有弦CD，并且CD在两个圆上的切线分别截取了弧EF和弧GH。
我们需要证明的是，如果EF=GH，那么圆A和圆B是共圆的。
首先，我们可以通过切线与半径的乘积相等的性质，得到这样的等式：AE × AD = BE × BD。
同样，我们还可以得到这样的等式：CF × CD = CG × CD。
由于EF=GH，所以AE × AD = CF × CD，BE × BD = CG × CD。
接下来，我们可以将这两个等式相加得到：AE × AD + BE ×BD = CF × CD + CG × CD。
通过整理得到：AE × AD + BE × BD = CD × (CF + CG)。
九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系-知识点整理
圆知识要点圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。
2、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆（1）、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(5)、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。
九年级数学--圆知识点和典例训练
1圆的对称性主要内容：（一）圆的定义及相关概念1. 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。
2. 圆的基本元素：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
（如图）（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
简称弧，弧用符号表示。
（3）半圆、劣弧、优弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。
每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧。
CD* EC.大于半圆的弧叫做优孤-用三个字母表示：嬴（4）圆心角顶点在圆心的角，叫做圆心角。
/ COD（5）同心圆、等圆、等弧同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
等圆：能够重合的两个圆叫等圆。
半径相等的两个圆也叫等圆。
等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
经过圆心的直线是对称轴。
圆心是它的对称中心。
4. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
(2)T金=后二N盘0B = ZA'OB'5 AB=A'B l如图，用几何语言表示如下：O O 中，（1）vZ AOB =Z A'OB'(3)v AB = A'B'/. ZAOB= ZA'OB1, 恳=品例3.在O O 中，弦AB = 12cm ，点O 到AB 的距离等于 圆的半径。
分析：根据O 到AB 的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O 点作OE 丄AB 于E •/ AB = 12丄直 B = -xl2 = 62 2由垂径定理知：虹二 BE 二丄AB 二 625.直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
九年级数学圆中的角知识点
九年级数学圆中的角知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何图形，而圆中的角也是其中的一个重要概念。
本文将为您介绍九年级数学圆中的角的知识点。
一、圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中，以圆心为顶点的角所对的弧长恰好等于该角的大小。
这是因为在圆的任意两点之间，弧长与圆心角是相等的。
二、弧度制和度数制在计量圆心角时，我们通常使用度数制和弧度制。
度数制是我们较为熟悉的角度计量方式，一圆的度数为360°。
而弧度制则是将角度的度数转换为弧长与半径之比的计量方式，通常用π来表示。
三、圆内切、圆心角在圆内切问题中，我们经常遇到的一个重要概念是圆心角。
当两个圆相切时，连接切点与圆心所形成的角即为圆心角。
在圆内切问题中，我们可以利用相关的角关系来求解问题。
四、弦和弦心角在圆中，一条弦是连接圆上两个点的线段。
而以圆内任意一点为顶点的角，它的两条边分别为切线和与切线相交的弦，我们称之为弦心角。
在求解弦心角时，我们可以利用圆周角的性质来推导和计算。
五、相交弦和相交弦心角当两条弦在圆内相交时，所形成的角即为相交弦心角。
相交弦心角是圆内切角和圆周角的重要推论。
我们可以利用相交弦心角的性质来解决圆内相交问题，如求解弦的长度以及圆内接四边形的性质等。
六、正多边形的圆内角和圆心角在正多边形中，每个内角都相等，且每个内角都对应一个圆心角。
通过研究正多边形的特性，我们可以得出正多边形内角的计算公式，从而在解决相关题目时能够更加便捷地计算。
七、切割圆和弧长的概念圆的切割是指通过特定的线段将圆分割成几个部分。
在切割圆的过程中，我们需要关注到切割弧的长度。
通过计算切割弧的长度，我们可以更好地掌握切割圆的相关知识点，并应用到实际问题中。
结语通过本文的介绍，希望能够帮助九年级的同学们掌握圆中的角的知识点。
在数学学习中，理论的掌握和实践能力的培养同样重要，希望同学们能够通过大量的练习和实例分析，不断提升自己的数学能力。
加油！。
人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 3．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．π4．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A 433B ．327C ．337D ．1676．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．147．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 8．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．10210．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒ 11．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5 12．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．53 13．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．514．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A．112.5°B．120°C．135°D．150°15．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=14π，则S3-S4的值是( )A．294πB．234πC．114πD．54π二、填空题16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．17．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且AC BD AB==，若70AEB∠=︒，则AOB∠等于______︒．18．已知半径为5的圆O中，弦AB=8，则以AB为底边的等腰三角形腰长为___________．19．如图，PA，PB分别与O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若8AP=，则PDE△的周长为______．20．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．21．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．22．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.23．在矩形ABCD 中，43AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．24．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案25．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____26．如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最小值________．三、解答题27．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥，垂足为E ．1CE =，3ED =．（1）求O 的半径．（2）求AB 的长．28．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =8，DE =5，求BC 的长．29．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．30．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧MN 的长度．。
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
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九年级上册数学圆的所有知识点在九年级上册的数学课程中，学生们将接触到许多关于圆的知
识点。
圆作为几何学中的一个基本概念，在实际生活中随处可见，例如轮胎、钟表等。
本文将为大家详细介绍九年级上册数学课程
中涉及到的所有关于圆的知识点。
一、圆的定义和性质
在开始学习圆的知识之前，我们首先需要理解什么是圆。
圆可
以简单地定义为平面上所有到圆心的距离相等的点的集合。
根据
这个定义，我们可以得出圆的一个基本性质：圆的半径相等的两
个圆是相等的。
此外，圆还有其他一些重要的性质，如圆上任意
两点之间的距离等于圆心到这两点的距离，圆心角等于它所对的
弧的中心角等。
二、圆的基本元素
了解了圆的定义和性质后，我们可以进一步研究圆的基本元素。
圆主要由以下几个元素组成：圆心、半径、直径、弧、弦、切线
和扇形。
圆心是圆的核心部分，用O表示。
半径是从圆心到圆上
任意一点的距离，用r表示。
直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，其长度是半径的两倍。
弧是在圆上的一段弧线，弦是弧
的两个端点连接起来的线段。
切线是与圆只有一个交点的直线，
它与圆的切点处垂直于半径。
扇形是由弧和两个半径组成的区域。
三、圆的周长和面积
了解了圆的基本元素之后，我们可以计算圆的周长和面积。
圆
的周长是圆上任意一点到该点相邻两点之间的距离总和，也可以
用半径乘以2π来计算。
圆的面积是指圆内部所有到圆心距离小于
等于半径的点的总体积，可以用半径的平方乘以π来计算。
四、圆的坐标和方程
除了学习圆的基本性质和元素之外，九年级上册还会涉及到圆
的坐标和方程。
根据平面直角坐标系，在平面上的每个点都有唯
一的坐标表示。
对于圆来说，我们可以通过圆心的坐标和半径的
长度来确定圆的方程。
常见的圆的方程有标准方程和一般方程两
种形式。
五、圆与其他几何图形的关系
学习圆的知识点后，我们还需要了解圆与其他几何图形的关系。
例如，学生们会学习如何判断一个点是否在圆上、在圆内还是在
圆外。
此外，圆与直线、三角形、正多边形等几何图形之间还存
在着一些特殊的关系，例如切线和弦与圆的交点、圆与三角形的外切、内切等。
六、解决与圆相关的问题
最后，九年级上册的数学课程还会涉及到如何解决与圆相关的问题。
这些问题可能包括如何求解圆的相交点、如何确定切线的斜率等。
解决这些问题需要运用圆的性质和相关的几何定理，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
总结起来，九年级上册数学课程中关于圆的知识点包括圆的定义和性质、圆的基本元素、圆的周长和面积、圆的坐标和方程、圆与其他几何图形的关系以及解决与圆相关的问题等。
通过学习这些知识，学生们能够更深入地理解圆的特性和应用，为进一步学习几何学奠定良好的基础。