谱定理 直观
谱定理证明
谱定理证明
谱定理是一个重要的数学定理，它描述了一个线性算子在一个Hilbert空间上的谱与这个算子的特征向量之间的关系。
设T是一个在Hilbert空间H上的线性有界算子，它的定义域
为D(T)，则谱定理可以表述为以下两个主要结论：
1. 谱定理第一部分：谱分解
对于任意的λ∈C，记A:=T-λI，其中I是H上的恒等算子。
如果A的定义域为D(A)={x∈H:A(x)∈H}是稠密的，那么T的
谱λ ∈σ(T) （即λ是T的特征值）当且仅当A不是满的，即
A(D(A))≠H。
2. 谱定理第二部分：特征值的性质
对于任意的λ ∈σ(T)，其几何重数（geometric multiplicity）等
于代数重数（algebraic multiplicity）。
几何重数是指特征值对应的特征空间的维度，而代数重数是指特征值在T的特征多项式中的重数。
对于谱定理的证明，常常需要使用到线性代数、泛函分析等数学工具。
不同的文献和教材可能会给出不同的证明方法和步骤，所以具体证明的细节可以参考相关的教材或文献。
总体来说，谱定理的证明需要从T的特征向量出发，通过一
系列推导和分析，证明了特征向量可以构成H的一组完备正
交基，从而使得T的谱与特征向量之间建立了一一对应的关系。
通过这种对应关系，可以得到谱定理的两个主要结论。
需要注意的是，由于谱定理的证明涉及一些复杂的数学理论和技巧，对于初学者来说可能较为困难，需要有一定的数学基础和知识背景。
北航考博考研矩阵_谱公式,盖尔圆图
谱分解定理与投影阵公式谱分解定理 设n n A ⨯∈ 有s 个相异特征值1,,sλλ ，则A 为可对角化⇔存在s 个幂等阵1,,sG G ，使得(1) 0()i j GG i j =≠， (2)1s i n i G I ==∑， (3) 1sj j j A G λ==∑，(4) 1()()sj j j f A f G λ===∑， ()f x 为任一解析式特别 1smm i i i A G λ===∑(4) A 的投影阵（谱阵）(1)j G i s ≤≤唯一，且有公式1()1,,()j i j j G g A j s g λ== ，其中 1()()()()j j s g x x x x λλλ=--- （去掉一个因子()j λλ-）. 定理 设n n A ⨯∈ 有s 个不同的特征值1,,s λλ ，则A 为正规阵⇔存在s 个幂等Hermite 阵1,,s G G 使得(1) 0()i j GG i j =≠， (2)1si n i G I ==∑，(3) 1sj j j A G λ==∑，(4) 1()()sj j j f A f G λ==∑， ()f x 为任一解析式(5) 11ssHHiiiii i AGGλλ====∑∑.例1 设102000204A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的谱分解，并计算()A f A e =.解 A 为对称阵，故为正规阵，极小式()(0)(5)g x x x =--利用 1()(0)(5)(5)g x x x x ==--=-， 2()(0)(5)(0)g x x x x =--=-111()(5)(0)5g A A I G g -==-， 212()(5)5g A AG g ==42551215500100G ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1255224550000G --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭所以 1122A G G λλ=+， 12512121A e e G e G G e G λλ=+=+.例2 设142034043A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的谱分解，并计算A 100.解 (1)(5)(5)I A λλλλ-=--+，极小式()(1)(5)(5)g λλλλ=--+所以1231,5,5λλλ===-，特征值互异，故A 为可对角化. 利用投影阵公式 ，计算得1()()(5)(5)(1)g x g x λλλ==-+- 2()()(1)(5)(5)g x g x λλλ==-+-，3()()(1)(5)(5)g x g x λλλ==--+ 1111()(5)(5)()24g A A I A I G g λ-+==-， 222()()(5)(5)40g A A I A I G g -+==333()()(5)(5)60g A A I A I G g --==- 1101000000G -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2455122552455000G ⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ 2155423552155000G ---⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以 1122331235(5)A G G G G G G λλλ=++=++-1001001001001231235(5)5()A G G G G G G =++-=++.引理1 n nA ⨯∈的特征值为1,,n λλ ，0()mmm f z cz ∞==∑ 则 ()f A 的特征值为1(),,()n f f λλ ，特别，Ae 的特征值为1,,ne eλλ ，()||0A tr A e e=≠.引理2 （对角公式）若1200n D λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则12()()()()0n f f f D f λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭. 引理3 设p 阶若当块 11100p pD λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ p p⨯∈ 则(1)()1()()1!(1)!()()()1!()0p p pf f f p f f D f f λλλλλλ-⨯'⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪' ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 注 同样对转置11100T p pD λλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ ， ()T f D 也有类似公式.例 010010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求Bt e .（令()()!ktx tx f x e k ∞==∑，且30B =）例 3000210212B ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 求 Be，Bte，sin B .定理 若n n A ⨯∈ 单纯（可对角化），1,,k λλ 为A 的相异特征值 有谱分解 1kjj j A G λ==∑，（j G 可用谱阵公式求出）若0()m m m f z c z ∞==∑（为任一解析式） 则1()()kmm i i m i f A c A f G λ∞====∑∑（因为0111()()()()k k kmmmm m i i m ii i i m m i i m i f A c A c G c G f G λλλ∞∞∞==========∑∑∑∑∑∑）例1 设1432A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求Ae . 解 由(5)(2)I A λλλ-=-+，故最小式()(5)(2)g λλλ=-+（无重根） 利用投影阵公式 1122()()()f A f G f G λλ=+ ，令()x f x e = 得52521122525234441()()()73343A e e e e f A e f G f G e e e e λλ----⎛⎫+-==+= ⎪-+⎝⎭. 引理 设p 阶若当块 11100p pD λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ p p⨯∈ 则(1)1()()()(1)!()()()()0p p pf f f p f f D f f λλλλλλ-⨯⎛⎫' ⎪- ⎪⎪= ⎪' ⎪⎪⎝⎭例 设11100102002DD ⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，求Ae . 解 可用引理1()()(2)f D f D f ⎛⎫=⎪⎝⎭.广义谱分解公式（待定法）补充： 待定矩阵法求()f A （()f A 的广义谱分解公式） 1先求出A 的特征值与最小式()g x ， 2 设出()f A 的公式（广义谱分解公式）例1 200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 计算At e解 最小多项式2()(2)g λλ=-，可设公式：12()(2)(2)f A f G f G '=+，()f x 为任意解析式分别令()1f x ≡与()(2)f x x =-代入公式可求得1G I =，2(2)G A I =-， 再令(), ()xt xt f x e f x te '==代入公式得 210011A t te e t t t t t t ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-+⎝⎭.例2 设214020031A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求sin A .解 2(2)(1)I A λλλ-=--，(2)()0A I A I --≠，最小式为2(2)(1)λλ--）， 可设公式：123()(1)(2)(2)f A f G f G f G '=++，()f x 为任意解析式令2()(2),f x x =-可知(1)1, (2)(2)0f f f '===代入公式可得21(2)G A I =-=再令()(2)(1), ()(1)(2),(2)1f x x x f x x x f ''=--=-+-=可知 代入公式可得 3(2)()G A I A I =--=令()(1),f x x =-可知(1)0, (2)1, () 1, (2)1f f f x f ''==≡= 代入公式可得 232(), ()(3)G G A I G A I I A +=-=--=得公式：2()(1)(2)(2)()(3)(2)(2)()f A f A I f A I I A f A I A I '=-+--+-- 令()sin , ()cos f x x f x x '==代入公式得123sin ()(1)(2)(2)sin 212sin112sin 213cos 24sin14sin 20sin 2003sin132sin1A f A f G f G f G sin '==++-+-+⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭. 例 设210021002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求At e .解 极小式为 3()(2)g λλ=-. 所以有公式123()(2)(2)(2)f A f G f G f G '''=++，()f x 为任意解析式.分别令()1,f x ≡()(2),f x x =-2()(2),f x x =-代入公式可得21221,(2),(2)2G I G A I G A I ==-=- 令(),(),xt xt f x e f x te '==可得1232222212()(2)(2)(2) (2)(2)At ttt e f A f G f G f G e I te A I t eA I '''==++=+-+-.本题也可用定义或用引理3（Jordan 块公式）计算231123!()()()()()()()()f x f b f b x b f b x b f b x b ='''+-+-+-+ 令2, (2), (), (),()xtxt At b B A I f x ef x te f A e '==-===代入即可注3(2)0A I -=. （4）盖尔（Ger ）圆盘矩阵的非其异（可逆）条件定义 设n n A ⨯∈ ，称A 的n 个特征值的模的最大者为A 的谱半径，记为()A ρ. 定理 设n n A ⨯∈ ，则()A ρ不大于A 的任何一种矩阵范数，即()A A ρ≤ 定理 设n n A ⨯∈ ，A 是矩阵范数，若1A <或()1A ρ<，则I A -非奇异，且1()1I I A A--≤-证明（见参考书）令1()B I A -=-，()B I A I -=，有B I AB =+，所以B I BA I B A =+≤+，所以1I B A≤- .定义 设()n nij A a ⨯=∈.令 11, 1,2,,nni i j i j ii j j j ip a a a i n ==≠==-=∑∑ .令{}1,2,,i ii i G z z a p i n =∈-≤= .即i G 为复平面 上以ii a 为中心，ip 为半径的闭圆盘，称之为A 的一个盖尔圆. A 有n 个盖尔圆. 规定记号 1()ni i G A G == .定理1 (Ger 圆盘定理) 设()n n ij A a ⨯=∈ ，n 个盖尔圆12,,,n G G G ，则1）A 的任一特征值1()ni i G A G λ=∈=2）若A 的n 个盖尔圆盘中有k 个的并形成一个连通区域D ，且与其余的n k -个圆盘都不相交，则在此连通域D 中恰有A 的k 个特征值（含重复）.特别孤立盖尔圆内有且只有一个特征值. 例1 估计矩阵212013*********i A i i i --⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭的特征值分布范围. 解 A 的四个盖尔圆为1:23G z -≤ 2:33G z -≤ 3:102G z -≤ 4:62G z i -≤如图可知A 的四个特征值在()G A 中，其中34,G G 中各有一个，12G G 中有两个.推论1 对n nA ⨯∈，n 个盖尔圆12,,,n G G G ，若原点1ni i O G =∉ ，则A 为非奇异阵.事实上，若10ni i A λ===∏，则0为A 的特征值，故10ni i G =∈ .矛盾.推论2 ()n nij A a ⨯=∈.若A 对角占优，即1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑ （行对角占优）或1(1,2,,)nii ji j j ia a i n =≠>=∑ （列对角占优），则A 为非奇异阵.证明 否则0为A 的特征值，故存在某个盖尔圆k G 使1,0{|}nk kk kj j j kG z z a a =≠∈=∈-≤∑，进而1,nkk kj j j ka a =≠≤∑矛盾.又，T A 与A 有相同特征值.故A 列对角占优即为T A 行对角占优.由此证T A 非奇异，故A 非奇异.推论3 若n n A ⨯∈ 的n 个盖尔圆中有k 个孤立圆，则A 至少有k 个相异特征值，特别A 的n 个盖尔圆两两不相交，则A 有n 个相异特征值，从而A 可对角化. 推论4 若实矩阵n n A ⨯∈ 的盖尔圆中有k 个孤立圆，则A 至少有k 个实特征根，特别若n 个盖尔圆两两不相交，则A 有n 个互异实特征值.事实上，A 的n 个盖尔圆的圆心都在实轴上，故每孤立盖尔圆中只能有一个特征值，而实矩阵A 若有复特征值则必共轭对出现，故孤立盖尔圆中的特征值必为实特征值（否则其共轭也出现在该圆中.矛盾）. 例2 证明9121081110401001A -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭至少有两个实特征值.证明：A 的盖尔圆 1:94G z -≤，2:82G z -≤，3:41G z -≤，4:11G z -≤.如图，4G 为孤立圆，有一个实特征值，123G G G 中含A 的另三个特征值，其中必有一个为实特征值（否则123G G G 将出现四个特征值.矛盾.） 注意：对T A 也可使用盖尔圆定理（因为T A 与A 有相同特征值）.设T A 的盖尔圆'''12,,,nG G G .同样有圆盘定理.i G 与i G '有同一个圆心（1i n ≤≤），故特征值11()()n nj i i i i G G λ=='∈ .************** 补充：谱半径估计定义 设n n A ⨯∈ ，称A 的n 个特征值的模的最大者为A 的谱半径，记为()p A . 谱半径在特征值估计以及数值分析，数值代数等都有重要应用.定理 设n n A ⨯∈ ，则()A ρ不大于A 的任何一种矩阵范数，即()A A ρ≤.特别 ()A A ρ∞≤(行范数)， 且1()A A ρ≤ 即()TA A ρ∞≤.**************正矩阵定义1 一个实矩阵()m nijA a ⨯=∈ ， (1)若对每一i 和j ，0≥ij a ，则称A 为非负的(nonnegative), 记为0≥A .(2)若对每一i 和j ，0>ij a ，则称A 为正的(positive)，记为0>A .正矩阵与谱半径定理 设非负阵()0 ij n nA a ⨯=≥,令h =(A 的最小行和)，l =(A 的最小列和), 则(1) ()||||h A A ρ∞≤≤(A 的最大行和)， (2)()1||||l A A ρ≤≤ (A 的最大列和) .特别若0 n n A A ⨯=>为正矩阵，且||||h A ∞<则()A A ρ∞< .证明从略.例 111333121 B=444112555⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭谱半径()B ρ范围是()(B)B B h ρ∞≤<， 即 ()4B 15ρ≤< (6)补充练习题1填空（20分） ( 矩阵理论A 2007 )（1）00010-1000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的极小多项式为（ ）Jordan 标准型为（ ） （2）设11020, 0k k A A ∞=-⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 1()I A --= ( )． （3）001, 010a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A B ⊗的全部特征值为( )． （4） 1211111, 1,1121A x ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 则 ( ), ( )A Ax ∞∞==（5）111333121444112 B=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B ρ范围是( ()4B 15ρ≤< )． 2．（5分）设ｎ维空间Ｖ中向量α在第一基下的坐标x 与第二基下的坐标y 有关系112213321,,,,n n n y x y x x y x x y x x -==-=-=- .求第一组基到第二组基的过渡矩阵P .3．（15分）(1) 设 660330363A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 求A 与 cos()A 的谱分解式． (2) 10 ,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求()f A 的广义谱分解公式， 并计算At e 4．（18分）(1)设() 1112 b ,011011 A ,212121A T21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=642100⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A , 求 A + 与Ax=b 的极小范数解或最佳极小二乘解 (2) 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=002001B , 求 B 的奇异值分解.5．（10分）(1)设*∙ 是n n ⨯n n C中的矩阵范数, ()1 , 0 ,,0,H n α=∈ C 验证n C 中的向量范数 ： *Hx x α= 与矩阵范数*∙是 相容的（提示：见参考书中定理的证明方法）(2) 令*,1|| ,n iji j A a ==∑是n n ⨯n n C 中矩阵范数, 求一个与其相容的向量范数. 6. (8分) 120002, , 011120A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 用拉直法解矩阵方程 .AY YB C +=7．（6分）求矩阵A 的盖尔圆（讨论特征值的分布）; 并证明行列式det(A ) > 1⋅3⋅5 (2n -1). 其中111111nn n 111n n 111n n n 24A= 62n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……………………… 8．（8分）设H A A A ==2，(1)证明 两个值域正交：)A I ()A (-ℜ⊥ℜ， (2) 计算 ()A I A +-参考题1．(1) 设A 是任一矩阵，证明 B = A +A 是Hermite 半正定矩阵;(2) 证明 A 是ｎ阶酉矩阵的充分必要条件是 ，存在Hermite 矩阵B 使得iB A e = （i = ）。
酉算子的谱定理
酉算子的谱定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：酉算子的谱定理是现代数学领域中重要的定理之一，它是抽象代数的一个重要分支——算子代数的基础定理之一。
酉算子是指一个线性算子，其保持内积不变，即对于任意两个向量，其内积与原来的内积相同。
酉算子的谱定理是关于酉算子的一个深层次的结构定理，它揭示了酉算子的谱结构以及与谱相关的一系列性质，对于理解算子的谱理论以及解决一些实际问题具有重要的意义。
在数学中，谱理论是一个非常重要的分支，它研究的对象是线性算子的谱结构。
在几何学中，谱是一个关于几何对象的一种特征值，比如光谱就是根据物体的发射或吸收光线的波长而确定物体的种类和性质。
而在数学与物理学的交叉研究中，谱的概念也体现了其独特的价值，尤其是在量子力学中，谱理论的应用更是无处不在。
酉算子的谱定理是指一个酉算子的谱分解可以分解为一个酉矩阵与一个对角矩阵的乘积。
具体而言，一个酉算子U可以表示为U=V∗D∗V，其中V是一个酉矩阵，D是一个对角矩阵，每个对角元素是U的特征值。
这个定理的意义在于它揭示了酉算子的谱结构，即任意一个酉算子都可以表示为一个酉矩阵与一个对角矩阵的乘积，这对于理解酉算子的性质以及求解酉算子的谱具有重要的意义。
酉算子的谱定理可以用来研究酉算子的谱结构，即酉算子的特征值与特征向量。
在实际问题中，常常需要对一个酉算子进行谱分解，以便研究其性质或解决一些实际问题。
比如在量子力学中，酉算子表示了量子系统的演化过程，而酉算子的谱结构则可以揭示量子系统的能级结构，从而有助于理解量子系统的性质以及设计量子计算算法。
酉算子的谱定理不仅在数学理论中具有重要的意义，而且在应用中也具有广泛的应用价值。
比如在量子力学中，酉算子的谱定理被广泛应用于研究量子系统的演化过程以及设计量子算法。
而在信号处理、图像处理、模式识别等领域中，酉算子的谱定理也被广泛应用于数据压缩、特征提取、信号去噪等方面。
深入理解酉算子的谱定理对于推动数学理论的发展以及解决实际问题具有重要的意义。
光谱理论知识
n 3,4,...
1889年,里德伯提出普遍方程
4 7 1 RH 1.0967758 10 m B ~ 1 4 ( 1 1 ) T (n) T (n) 2 2 B n n
0 , 0 , 0
~ B :T L : 称洛伦兹单位 e B L 0.467 B( cm1) 4me c
WGD-8组合式多功能
• • • • • 光栅光谱仪规格参数: 焦距:500mm,相对孔径 D/F=1/7 杂散光 <10-3,分辨率 优于0.1nm 光电倍增管接收:波长范围 200-800nm CCD(电荷耦合器件)光谱响应区间:300900nm. • 光路图
荧光分析法 溶液浓度的测定
正常与反常塞曼效应
• 反常塞曼效应:分裂的不是三个成分. • 裂距也多数不是一个洛伦兹单位.
光栅的闪耀角与闪耀波长
i i 2
当d 2时, 光栅适用范围经验公式 2 2 b b 2m 1 2m 1
光谱仪的参数:
• 1.色散:角色散率.
d s D , 或线色散 ,常用倒数 表示 d s
0.5nm/mm, 1nm/mm
• 注意:指出射，与波长有关。
曲线. s
dl Dl D f 2 d
2.分辨率:
任何光谱仪器的分辨率本领的定义都是一样的.
常用的辨别方法是一根谱线的衍射极大,正好落在另一根 谱线的衍射极小上。二谱线可分辨： 定义:
f,D是准直透镜的焦距与直径。
f nimd D
一.摄谱仪
以仪器色散（线）分类： 小型摄谱仪：2-10nm/mm
CH5-4H光谱,玻尔理论
2. 跃迁假设（频率条件） 跃迁假设（频率条件） 原子从一个定态跃迁到另一定态， 原子从一个定态跃迁到另一定态， 会发射或吸收一个光子， 会发射或吸收一个光子，频率
Ek En
| Ek − En | ν= h
v
3. 角动量量子化假设 h L = mvr = n 轨道角动量 轨道角动量 2 π ４. 库仑定律 v2 1 e2 向心力是库仑力 m = 2
其中计算得到 当时实验测得
RH理论 =1.097 3731×10 m
7
−1
RH实验 = 1.096 7758×107 m−1
说 里德伯 - 里兹并合原则 (1896年) 年 普朗克量子假设 （1900年） 年 卢瑟福原子的有核模型 （1911年） 年
明
玻尔氢原子理论 (1913年） 年
成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来。 成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来。 局限性:不能处理复杂原子的问题， 局限性:不能处理复杂原子的问题，根源在于对微观 粒子的处理仍沿用了牛顿力学的观念
1925年乌伦贝克等 电子自旋 年乌伦贝克等:电子自旋 年乌伦贝克等
电子自旋角动量在 外磁场中的取向
四. 四个量子数 表征电子的运动状态） （表征电子的运动状态）
1.主量子数 n ( 1 , 2 , 3, ……) 大体上决定了电子能量 2. 副量子数 l ( 0，1，2，……. , n -1 ) ， ， ， 决定电子的轨道角动量大小，对能量也有稍许影响。 决定电子的轨道角动量大小，对能量也有稍许影响。 3. 磁量子数 ml ( 0，±1， ± 2，……. , ± l ) ， ， ， 决定电子轨道角动量空间取向 4.自旋磁量子数 ms ( 1/2 , -1/2 ) 决定电子自旋角动量空间取向
各种仪器分析的基本原理及谱图表示方法
各种仪器分析的基本原理及谱图表示方法仪器分析是化学分析中的重要分支，它利用各种仪器设备，通过对样品中成分的检测、鉴定和测量，实现对样品的分析和解释。
下面介绍几种常见的仪器分析方法及其基本原理和谱图表示方法。
原子吸收光谱法（AAS）1.基本原理：原子吸收光谱法是基于原子能级跃迁的吸收光谱法。
样品中的原子在高温烈焰中被激发为原子态，当光源发射的光束通过样品时，其中的某些元素会被吸收，导致光强减弱。
通过测量光强减弱程度，可以推算出样品中元素的含量。
2.谱图表示方法：原子吸收光谱的谱图表示吸光度（Absorbance）与波长（Wavelength）的关系。
横坐标为波长，纵坐标为吸光度。
在每个元素的吸收峰处，吸光度会显著增加，从而实现对元素的定性定量分析。
气相色谱法（GC）1.基本原理：气相色谱法是一种分离和分析复杂混合物的方法。
样品中的组分在气相状态下被载气携带通过色谱柱，不同组分在固定相和移动相之间的分配系数不同，因此会以不同的速度通过色谱柱，从而实现各组分的分离。
通过检测器对分离后的组分进行检测和测量，可以得到各组分的含量。
2.谱图表示方法：气相色谱图的横坐标为时间（Time），纵坐标为峰高（Peak Height）或峰面积（Peak Area）。
各组分会在不同的时间点出现，通过对比标准品可以得到各峰的定性结果，通过测量峰高或峰面积可以计算出各组分的含量。
紫外-可见光谱法（UV-Vis）1.基本原理：紫外-可见光谱法是一种基于分子吸收光子能量的光谱法。
样品中的分子在紫外-可见光照射下会吸收特定波长的光子能量，导致光强减弱。
通过测量光强减弱程度，可以推算出样品中分子的含量及分子结构信息。
2.谱图表示方法：紫外-可见光谱图的横坐标为波长（Wavelength），纵坐标为吸光度（Absorbance）或透过率（Transmittance）。
在每个分子的特征吸收峰处，吸光度会显著增加，从而实现对分子的定性定量分析。
各种光谱分析的原理解读
应用已知波长的X射线来测量9角，从而计算出晶面间距d,这是用于X射线结 构分析；另一个是应用已知d的晶体来测量9角，从而计算出特征X射线的波 长，进而可在已有资料Байду номын сангаас出试样中所含的元素。
高效毛细管电泳（high performanee capillary electrophoresis HPCE）
谱图的表示方法：温差随环境温度或时间的变化曲线 提供的信息：提供聚合物热转变温度及各种热效应的信息 示差扫描量热分析DSC
分析原理：样品与参比物处于同一控温环境中，记录维持温差为零时，所需能量 随环境温度或时间的变化
谱图的表示方法：热量或其变化率随环境温度或时间的变化曲线 提供的信息：提供聚合物热转变温度及各种热效应的信息 静态热一力分析TMA
CZE的基本原理
HPLC选用的毛细管一般内径约为5 0nm（20〜200呵），外径为3 7 5卩
m,有效长度为50cm（7〜100cm）。毛细管两端分别浸入两分开的缓 冲液中，同时两缓冲液中分别插入连有高压电源的电极，该电压使得分析样品沿 毛细管迁移，当分离样品通过检测器时，可对样品进行分析处理。HPLC进样一
提供的信息：峰的保留值与组分热力学参数有关，是定性依据；峰面积与组分含 量有关
反气相色谱法IGC
分析原理：探针分子保留值的变化取决于它和作为固定相的聚合物样品之间的相 互作用力
谱图的表示方法：探针分子比保留体积的对数值随柱温倒数的变化曲线 提供的信息：探针分子保留值与温度的关系提供聚合物的热力学参数 裂解气相色谱法PGC
子、吸收电子、X射线等并放大成象
谱图的表示方法：背散射象、二次电子象、吸收电流象、元素的线分布和面分布 等
酉算子的谱定理
酉算子的谱定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：酉算子的谱定理是量子力学中一个非常重要的定理，它是描述酉算子特征值和特征向量的定理。
酉算子是一个特殊的线性算子，它是保持内积不变的单位ary 矩阵。
在量子力学中，酉算子描述了一个系统的演化，它是量子门操作的数学表示。
谱定理是说每个酉算子都可以被对角化为一组特征值和特征向量的乘积。
在这篇文章中，我们将详细探讨酉算子的谱定理。
让我们来了解一下酉算子的定义。
酉算子U是指满足以下条件的复数矩阵：U*U = I，其中U*是U的共轭转置，I是单位矩阵。
这意味着对于任意向量x，有||Ux|| = ||x||，即U保持向量的长度不变。
根据酉算子的定义，我们可以知道它是保持内积不变的，即对于任意向量x和y，有⟨Ux, Uy⟨ = ⟨x, y⟨。
具体来说，对于一个酉算子U，我们可以将它表示为：其中V是一个酉矩阵，Λ是一个对角矩阵，V*是V的共轭转置。
Λ的对角线上的元素就是U的特征值，V的列向量是U的特征向量。
通过谱定理，我们可以将一个复杂的酉算子表示为一组简单的特征值和特征向量的乘积，这更方便我们进行计算和分析。
在量子力学中，谱定理提供了一种便捷的方法来研究酉算子的性质和演化。
除了谱定理外，我们还可以利用酉算子的性质来研究量子系统的演化。
酉算子描述了量子门操作的数学表示，通过对酉算子进行研究，我们可以了解系统的量子态是如何随着时间演化的。
通过谱定理，我们可以将一个酉算子表示为一组特征值和特征向量，这使得我们可以更清晰地理解系统的演化轨迹。
第二篇示例：酉算子的谱定理，是量子力学中一个非常重要的定理，其深刻地揭示了酉算子在量子系统中的作用和性质。
酉算子是量子力学中描述时间演化的关键操作符，在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
谱定理则是指对于一个酉算子，其本征值的集合以及对应的本征态构成了完备的正交基底，从而可以将任意态在该基底下展开。
这个定理的重要性在于它为量子系统的研究提供了一个非常有效的数学工具，使得我们能够更深入地理解量子力学的奇妙之处。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
谱定理直观
谱定理是数学中的一个重要定理，它描述了线性算子的谱与特征向量之间的关系。
该定理包括了谱分解、谱半径和谱半径公式等重要内容，是矩阵论和泛函分析中的基本定理之一。
谱定理最常用的形式是谱分解定理，它表明任何一个厄米矩阵（Hermitian matri某）都可以通过矩阵的特征向量的线性组合来表示。
具体地说，对于一个厄米矩阵H，存在一个酉矩阵U和一个对角矩阵D，使得H=UDU^某，其中D的对角线上的元素就是H的特征值，U的每一列都是对应特征值的特征向量。
这个分解形式使得我们可以更好地理解矩阵的性质和特征。
谱定理的直观解释可以从几何和物理学的角度进行理解。
首先，可以将矩阵看作是一个线性变换，特征向量对应的就是这个变换的固定点或者不变方向。
通过特征向量的线性组合，可以将整个向量空间分解成特征子空间，每个特征向量的线性组合就是一个特征子空间上的向量。
谱分解定理的意义就是将这个线性变换分解成了许多不同特征子空间上的变换，每个特征子空间上的变换都只有一个特征值，不同特征子空间上的特征向量线性无关。
其次，谱定理还与波的性质相关。
在量子力学中，波函数的变换可以通过矩阵来描述，而谱定理告诉我们，任何一个物理系统的波函数都可以表示成一组特征函数（特征向量）的线性组合。
这个表示方式非常直观，可以帮助我们理解波函数的性质和变换规律。
谱半径是谱定理中的另一个重要概念，它表示矩阵的特征值的绝对值的最大值。
谱半径可以用来评估矩阵的稳定性和收敛性。
在数值计算中，
谱半径的大小决定了迭代算法的收敛速度和精度，因此谱半径公式成为了
矩阵计算中重要的工具之一。
总之，谱定理是矩阵论和泛函分析中的一个基本定理，它描述了线性
算子的谱与特征向量之间的关系。
谱分解定理给出了矩阵的特征向量表示，直观地解释了矩阵的特征和性质。
谱定理的直观解释可以从几何和物理学
的角度进行理解，帮助我们理解矩阵的特征和波函数的变换规律。
谱半径
和谱半径公式是谱定理的重要应用，用于评估矩阵的稳定性和迭代算法的
收敛性。
这些概念和应用使谱定理成为了数学和计算科学中的重要工具。