第一节 有界线性算子的谱
谱定理证明
谱定理证明
谱定理是一个重要的数学定理，它描述了一个线性算子在一个Hilbert空间上的谱与这个算子的特征向量之间的关系。
设T是一个在Hilbert空间H上的线性有界算子，它的定义域
为D(T)，则谱定理可以表述为以下两个主要结论：
1. 谱定理第一部分：谱分解
对于任意的λ∈C，记A:=T-λI，其中I是H上的恒等算子。
如果A的定义域为D(A)={x∈H:A(x)∈H}是稠密的，那么T的
谱λ ∈σ(T) （即λ是T的特征值）当且仅当A不是满的，即
A(D(A))≠H。
2. 谱定理第二部分：特征值的性质
对于任意的λ ∈σ(T)，其几何重数（geometric multiplicity）等
于代数重数（algebraic multiplicity）。
几何重数是指特征值对应的特征空间的维度，而代数重数是指特征值在T的特征多项式中的重数。
对于谱定理的证明，常常需要使用到线性代数、泛函分析等数学工具。
不同的文献和教材可能会给出不同的证明方法和步骤，所以具体证明的细节可以参考相关的教材或文献。
总体来说，谱定理的证明需要从T的特征向量出发，通过一
系列推导和分析，证明了特征向量可以构成H的一组完备正
交基，从而使得T的谱与特征向量之间建立了一一对应的关系。
通过这种对应关系，可以得到谱定理的两个主要结论。
需要注意的是，由于谱定理的证明涉及一些复杂的数学理论和技巧，对于初学者来说可能较为困难，需要有一定的数学基础和知识背景。
第五章 有界线性算子的谱理论
明显地 , 若 λ ∈ σ p ( A) ，则存 在 x ≠ 0 使得 (λI − A) x = 0 ， 此时 称
x 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征 向 量 . 称 N (λI − A) 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征
向量空 间 . 由定义还知道复平面 C =
ρ ( A) ∪ σ ( A) 并 且 ρ ( A) ∩ σ ( A) = ∅ . 另
∑a A
n=0 n
∞
∞
n
( Ao = I ) 的 收 敛 性 乃 至 算 子 函 数 f ( A) 的 解 析 性
都可以 加以 定义 . 例如 表达式
eA = ∑
n=0
∞ An A2 n +1 , sin A = ∑ (−1) n (2n + 1)! n! n =0
等 在 范 数 收 敛 意 义 下 都 代 表 Β( X ) 中 的 元 素 . 下 面 定 理 中 出 现 的 多 项 式和幂 级数 也是如 此的 . 定 理 3 (von Neumann) 设 X 是 Banach 空间 ， A ∈ Β( X ) , λ ∈ C ,
−1 −1
上 , 根据 逆 算子定 理知 A 定理 2
∈ Β( X ) .
设 Aห้องสมุดไป่ตู้ B ∈ Β( X ) .
−1 −1 −1
(1) 若 A 是正则算 子 , 则 A 是正 则算 子并且 ( A ) (2) 若 A, B 是正 则算子 ，则 AB 是正则 算子 并且
= A.
( AB) −1 = B −1 A −1 .
又由 1 =|| I || ≤ || A || || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 || B ||
1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
4有界线性算子与线性算子的基本定理g
Tx ( s ) K ( s , t ) x ( t ) dt y ( t ), x ( t ) X
因此
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且
T max( a ,b )
事实上，T 显然是线性算子
Tx Tx ( t ) tx ( t ) max tx ( t ) max ( a , b ) max x ( t )
a t b a t b
, 0
例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
(b a)3 2 T 3
事实上，T 显然是线性算子
2 Tx Tx ( t ) tx ( t ) t x ( t ) dt t ( max x ( t ) ) dt 2 2 2 L L L 2 2 2 a a a t b
xn , 由于T是线性、连续算子 n xn
“” 若T: DY是线性、有界算子, xD, M>0, 使得 ||Tx||M||x||（有界算子定义） xn,xDX, M>0, 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||M||xn-x|| （线性、有界算子定义） xn,xDX, xnx||xn-x||0 (n) (按范数收敛) ||Txn-Tx||0 TxnTx (n) T 是线性、连续算子. 推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.
a a a a a
t
b t
b t
( t ) d dt ( b a )x 1 x L
a a
b
b
T是有界算子, 且||T||b-a 另一方面,对任何使a+1/n<b的n,构造函数列
第一节 有界线性算子的谱
第一节 有界线性算子的谱一、算子代数定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。
性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m nm n T T T m n +=∈N ；2、()()()ST S T S T ααα==；3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；4、单位算子I 满足：IT TI T ==；5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1T -，并称T 为可逆算子。
以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。
6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且11111(),()()n n ST T S T T -----==。
当()T GL X ∈时约定10()(0),nn T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。
注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)nn ST S T TT n ≤≤≥；3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。
定义：设T 属于某算子代数，称010()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞===++++∑、（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。
性质：设通常幂级数0()nnn f λαλ∞==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数（3.1.1）绝对收敛：nn n n T T αα≤<∞∑∑。
引理3.1.1 设()T L X ∈，则1()n n I T T ∞-=-=∑只要其右端级数收敛。
特别，当1T <时上式必成立。
推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则1110()()n n T S T ST ∞---=+=-∑，只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。
泛函分析之B空间上的有界线性算子
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λ为 T 的特征值，T 对应与λ的全部特征值及零元素组成 E 的一个闭子 空间，称为对应于λ的特征向量空间，此空间的维数为λ的重复度；
界逆算子时，(T-1)*=(T*)-1. 定义：
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λI-T 有有界逆算子，则λ为 T 的正则值，正则值的全体是正则集 ρ (T).R(λ,T)表示λI-T 的有界逆算子(λI-T)-1,并称为 T 的预解式或预解算子；
IF λ不是 T 的正则值，则λ为 T 的谱点，谱点的全体是谱σ(T). σ(T)分为以下三种：
λ是 T 的正则值，则对 ∀μ是复数，|μ-λ|<||(λI-T)-1||-1时μ也是 T 的
正则值，且：
∑ (µI − T )−1 =
∞ n=
0
(
−1)
n
(
µ
−
n
λ ) (λI
−
T
)− (n+1)
|| (µI - T)-1 - (λI - T)-1 ||≤ | µ - λ ||| (λI - T)-1 || 2 1− | µ - λ ||| (λI - T)-1 ||
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映入 B 空间 E1,则 T 的值域或者是 E1 或者是 E1 中第一类集。 逆算子定理：
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映射成 B 空间 E1 中的某个第二类集 F,且 T 是单 射，则 T 存在有界逆算子。 推论：
（E,||||1）（E,||||2）为 B 空间，IF ∃K>0,ST, ∀x∈E,||x||1≤K||x||2,
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。
从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。
有界线性算子的谱
第一节有界线性算子的谱一.算子代数定义：厶(X)是一复Banach空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称英为算子代数。
性质：设R,S,T“(X),xC,则有1、结合律:(RS)T = R(ST), T m+B=r n r(m,neN)；2、a(ST) = (aS)T = S(aT)；3、R(S + T) = RS + R「(R + S)T = RT + ST ；4、单位算子/满足：IT = TI = T ；5、7\X T X为同构O存在A.B^L(X),使得AT = [ = TB :必左4 = B,称它为T的逆，记作T~\并称丁为可逆算子。
以GZXX)记厶(X)中的可逆算子的全体。
6、若S、TwGL(X),贝iJSreGL(X),且(ST)"1=T^S'\(T n y[ =(T-I)/\当Tw GL(X)时约宦厂〃=(厂丫⑺> 0),厂=I,因而对任何"乙厂有意义。
注：1、算子乘法不满足交换律；2、阿|邙||||71，||鬥|井『(心)；3、若在厶(X)中S Q S、T Q T,则必有S n T n ->ST o定义：设丁属于某算子代数，称/(7')=工％7'”=%/ + <7' + ・・・+ ©7'”+・・・n-0(其中系数e C(// > 0)为算子幕级数。
性质：设通常幕级数有收敛半径R,则当TeMX),||T||</?时级数ZF-0工0Z1卜工闯P『vs引理3丄1设TeL(X),则X (/_丁尸=工厂『“■0只要貝右端级数收敛。
特別，当|卩||<1时上式必成立。
推论：若T,SwL(X),T可逆，则00(T + S)-=工厂l_S 厂 g/r-()只要英右端级数收敛：特别，当||s||适当小时必成立。
二、谱与谱半径定义3.1.2设Tw厶(X ),1、若不可逆，即AI-TeGL(X),则称2为丁的谱值。
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第一节 有界线性算子的谱一、算子代数定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。
性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m nm n T T T m n +=∈N ；2、()()()ST S T S T ααα==；3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；4、单位算子I 满足：IT TI T ==；5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1T -，并称T 为可逆算子。
以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。
6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且11111(),()()n n ST T S T T -----==。
当()T GL X ∈时约定10()(0),nn T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。
注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)nn ST S T TT n ≤≤≥；3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。
定义：设T 属于某算子代数，称010()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞===++++∑、（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。
性质：设通常幂级数0()nnn f λαλ∞==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数（3.1.1）绝对收敛：nn n n T T αα≤<∞∑∑。
引理3.1.1 设()T L X ∈，则1()n n I T T ∞-=-=∑只要其右端级数收敛。
特别，当1T <时上式必成立。
推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则1110()()n n T S T ST ∞---=+=-∑，只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。
二、谱与谱半径定义3.1.2 设(),T L X ∈1、若,I T λλ∈-C 不可逆，即()I T GL X λ-∉，则称λ为T 的谱值。
以()T σ记T 的谱值的全体，成其为T 的谱；称()()sup T r T σλσλ∈=为T 的谱半径，它是以原点为中心且包含()T σ的最小的圆的半径。
2、令()\()T T ρσ=C ，称任何的()T λρ∈为T 的正则值；称1(,)()(())R T I T T λλλρ-=-∈为预解式，也记为()R λ或R λ。
3、若λ∈C ，存在0x ≠，使得Tx x λ=（这相当于()x N I T λ∈-），则称λ为T 的特征值，并称x 为T 关于λ的特征向量，称()N I T λ-为T 关于特征值λ的特征子空间。
以()p T σ记T 的特征值的全体，称其为T 的点谱。
性质：1、()()p T T σσ⊂；2、若(),dim T L X X ∈<∞，则(){0}N I T I T λλ-=⇔-可逆，因而()()p T T σσ=。
3、若dim X =∞，则可能有()()p T T σσ≠，即谱值未必是特征值。
定理3.1.3（Gelfand 定理） 设()T L X ∈，则()T σ是非空紧集，且成立谱半径公式：1/()lim nnnr T T σ=。
三、某些应用 定理3.1.4 设幂级数nnαλ∑的收敛半径为,()R T L X ∈。
1、若()r T R σ<，则级数n n T α∑绝对收敛；2、若()r T R σ>，则级数nnTα∑发散。
注：若()r T R σ=，级数nnTα∑可能收敛，也可能发散。
第二节 算子函数一、解析扩张由定理3.1.4可推得：若00()()n n n f λαλλ∞==-∑是圆00(){:}r D r λλλλ∈-<C内的复解析函数，则当0(),()T L X r T I r σλ∈-<时，00()()(3.2.3)nn n f T T I αλ∞==-∑有意义，且上式右端级数绝对收敛。
因000()(){:()}T I T T σλσλλλλσ-=-=-∈，于是00()()(0)()(0)()r r r r T I r T I D T D D σλσλσλλ-<⇔-⊂⇔⊂+=所以：（3.2.3）表示一个定义于集合0{():()()}r T L X T D σλ∈⊂上的算子函数()f T 。
我们将()f T 视为复解析函数()f λ的某种扩张。
特别，熟知的初等函数都可适当地扩张为算子函数。
例如，对数函数111(1)(1)ln ((0))n nn D n λλλ-∞=--=∈∑可扩张为集1{():()(1)}T L X T D σ∈⊂上的算子对数函数11(1)()ln n nn T I T n -∞=--=∑。
类似地，还可定义算子的指数函数Te 、正弦函数sin T ，等等。
但是，在通过深入思考后，我们发现这种推广并非可以简单地实现，我们将会发现以下的问题：1、幂级数仅能表达圆域内的解析函数。
对任意开集()Ω⊂C 内的解析函数()f λ及满足()T σ⊂Ω的()T L X ∈，应如何定义()f T ？2、()f T 能继承()f λ的哪些性质？3、函数()f T 仅只是()f λ的形式扩张，还是有某些不可缺少的实质性应用？为解决以上问题，先介绍算子积分的概念。
设L 是复平面上任一可求长曲线，()T τ是定义于L 上而取值于()L X 中的函数（称为算子值函数），则可用通常的“分割、求和、取极限”的方式定义()T τ沿L 的积分：max 01()lim()i nii Li T d T τττξτ→==∑⎰。
其中01,,,n τττ为L 上顺次排列的分点，0τ与n τ分别为L 的起点与终点，i ξ是L 上介于1i τ-与i τ之间的任一点，1(1)i i i i n τττ-=-≤≤。
性质：1、当()T τ对τ连续时，上述积分必存在。
2、对任给的*u X ∈与x X ∈有,(),()LLu T d x u T x d ττττ<>=<>⎰⎰下面考虑任意复解析函数的扩张问题。
取定非空开集Ω⊂C ，以()H Ω记Ω内的复解析函数之全体，令{():()}D T L X T σΩ=∈⊂Ω设()(),f H T D λΩ∈Ω∈，今探求()f T 的合理定义。
因未必有某个圆0()r D λ，使得0()()r T D σλ⊂⊂Ω，形如式（3.2.3）的定义式一般不再有效。
注意到在复函数理论中，复解析函数不仅可表为幂级数，而且可表为积分，即有如下形式的Cauchy 公式表示：11()()()2L f f d iλττλτπ-=-⎰， 其中L 是Ω内任一围绕λ的简单闭曲线（或称围道，且假定沿其正方向行进时，保持λ所在区域在左边），我们设想将()f T 类似地定义为11()()()(3.2.6)2L f T f I T d iτττπ-=-⎰定义3.2.1 任给()()f H λ∈Ω与T D Ω∈，取Ω内任一围绕()T σ的围道L ，依式（3.2.6）定义()f T ，则得到一个从D Ω到()L X 的函数()f T ，称它为()f λ的解析扩张，或简称为扩张。
注：1、式（3.2.6）右端的积分必存在。
2、式（3.2.6）右端的积分不依赖于L 的选择。
3、定义式（3.2.3）与（3.2.6）（两者都可使用时）是一致的。
4、()f T 的确是()f λ的扩张。
首先，(),L X I λλ→→C显然是一等距嵌入，且此嵌入保持乘积运算。
因此，不妨认为()L X ⊂C ，即将λ与I λ等同。
显然(){}I σλλ=，因此可以认为D ΩΩ⊂。
λ∀∈Ω，在Ω内取一围绕λ的围道L ，则11()()()2L f I f I I d iλττλτπ-=-⎰⎰ 11[()()]()2Lf d I f I i ττλτλπ-=-=⎰， 可见()f I λ与()f λ一致。
二、解析扩张的性质定理3.2.2 设(),()(),()()f g H h H λλλ'∈Ω∈Ω，(),f T D Ω'Ω⊂Ω⊂∈C ，则 1、()()()()f g T f T g T +=+； 2、()()()()fg T f T g T =； 3、()()(())h f T h f T =。
定理3.2.3（谱映射定理） 设()(),f H T D λΩ∈Ω∈，则有(())(())f T f T σσ=。
三、谱分解定理3.2.4（谱分解定理） 设1(),(),2,ni i T L X T n σσσ∈=≥为互不相交的非空闭集，则存在X 的拓扑直和分解：12,(3.2.17)n X X X X =⊕⊕⊕使得每个i X 是T 的不变子空间(即,1)i i TX X i n ⊂≤≤,且()i i T σσ=,(,),(3.2.18)i ii i i iTx T x x x x X ==∈∑∑此处|i i T T X =看作i X 上的有界线性算子。
证明：取充分小的0ε>,令{:(,)}(1),i i C d i n λλσεΩ=∈<≤≤使得i Ω互不相交.令1ni Ω=Ω,则Ω为开集,()T σ⊂Ω.以()i f λ记i Ω之特征函数,则()()i f H λ∈Ω.令(),i i i i P f T X P X ==,以下验证(1)i X i n ≤≤即为所求.(1)验证(3.2.17)式。
显然有恒等式:()()(),()1()i j ij i i if f f f λλδλλλ==∈Ω∑。
于是，由定理3.2.2得,(1,).(3.2.19)i j ij i i iPP P P I i j n δ==≤≤∑特别，2(1)i i P P i n =≤≤，由i iP I =∑得i i iiX P X X ==∑∑，这意味着对每个x X ∈有分解,(1)(3.2.20)i i iix x x X i n =∈≤≤∑。
因i i X P X =，故对式（3.2.20）中的i x 有i y X ∈，使i i i x P y =，从而由式（3.2.19）有i ij j j i j j i j i jjjx P y PP y P x Px δ====∑∑∑。
这表明分解式（3.2.20）是惟一的，因而直和分解式（3.2.17）成立，且i P 就是从X 到iX 的投影。
下证()(1)i j j i X N P i n ≠=≤≤∑。
若()jj ix N P ≠∈∑，则jiiiij ix Ix P x Px Px PX X≠==+=∈=∑。