(精心整理)图像的傅里叶变换复习过程
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。
比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。
1.frequencyfrequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低……2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。
（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。
）3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。
=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。
傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。
如下图所示。
DC term直流信号对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度，如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0，可推出灰度图中，正弦曲线在正负值之间交替变化，但是由于灰度图中没有负值，所以所有的真实图像都有一个正的DC term，如上图所示。
傅里叶变换及反变换
1 2{F [j(0) ]F [j(0) ] }
F ( j )
1
m 0 m
P( j)
( )
( )
0
0
0
R( j)
1 2
0
0
0
F ( j )
1
m 0 m
f (t)
r(t)
y1(t)
低通
滤波
y(t)
cos(0t) cos(0t)
R( j)
1 2
0 ( )
0
P( j)
0 ( )
§4.5 连续时间傅里叶变换的性质
复习
F(j)＝ f(t)ejtdt
f(t)21 F(j)ejtd
1 唯一性： 2 线性特性： 3 奇偶特性： 4 共轭特性： 5 对称特性： 6 时域展缩特性： 7 时移特性：
9 时域微分特性： 10 频域微分特性： 11 时域卷积定理： 12 频域卷积定理：
偶信号的频谱是偶函数，奇信 号的频谱是奇函数。
F(j) f(t)ejtdt令t
f()ejd f()关e于jtd F(j)
f(t) F (j) ， 则 f* (t) F * ( j)
证F (： j)＝ f (t)ejtd可 t F 得 *(j)＝ f*(t)ejtdt
F *(j)＝ f *(t)ejtdt
0
1 4
20
0
0
Y1( j)
1
1
2
4
0
20
Y ( j) 1
2
0
4.7 傅里叶反 变换
要解决的问题：由F( jw)求 f(t)
f(t)21 F (j)ejtd
利用傅里叶变换的互易对称性 部分分式展开
傅立叶频谱图讲义
能量谱/功率谱 P (u,v) ? F (u,v) 2 ? R2 (u,v) ? I 2 (u,v)
相位角
? (u, v) ? arctan I (u, v)
R(u, v)
? 二维离散傅里叶变换
1） 定义
?? u, v ? 0,1,? N ? 1 F (u, v) ?
1
M ?1 N ?1
f ( x, y) e ? j 2? ( ux / M ? vy / N )
主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807 年向巴黎 科学院呈交了《热的传播论文》，推导著名的热传导方程，并在求解该 方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任意函数 可以展成三角函数的无穷级数。
? 数学与图像处理 ? 空域与频域的桥梁
傅立叶变换
? 傅立叶变换是换域分析(空间域到频率域)是 一种广泛使用的工具，在图像处理中是一 种有效而重要的方法。在图像处理中，傅 立叶变换的应用十分广泛，如：图像特征 提取、频率域滤波、周期性噪声的去除、 图像恢复、纹理分析等。把傅立叶变换的 理论与遥感图像的物理解释相结合，有利 于解决大多数遥感图像处理问题。
图像变换
? 图像变换的目的：①简化图像处理；②便于 图像特征提取；③图像压缩；④从概念上增 强对图像信息的理解。
在遥感数字图像处理中，图像变换是一 种常用的、有效的分析手段。
? 图像变换包括两个过程：正变换和逆变换。通 过正变换将图像变为新图像，然后进行处理。 通过逆变换将处理后的图像还原为原始形式的 图像，以便对原始图像进行对比。
“路漫漫其修远兮 吾将上下而求索”
? 频率域图像
?在空间域图像中，线性的地物为高频成分，大 块面状的地物为低频成分。图像经过傅立叶变换 后产生频率域图像，这些空间频率信息被突出出 来 ?图像灰度变化缓慢的部分,对应变换后的低频分 量部分,图像的细节和轮廓边缘都是灰度突变区 域,它们是变换后的高频分量.
3-1图像变化-傅立叶变换
f e ( x) g e ( x) f e (m) g e ( x m), x 0,1,2,...,M 1
m 0
M 1
定理：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G*(u,v), f(x,y) g *(x,y) F(u,v) G(u,v), ―*‖表示复共轭。
快速傅立叶变换
DFT与FFT计算量比较
基本思想
基本思想
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
FFT特性
FFT思想
例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
算法实现
算法实现
算法实现
例题
用傅立叶变换和FFT分别求F(u).
图像处理与傅里叶变换原理与运用
图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。
1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。
对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。
则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。
正变换 逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。
按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
(精心整理)图像的傅里叶变换
傅里叶变换的作用
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的 分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学 棱镜。 傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、 跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分 代表图像的低频分量
二维DFT傅里叶变换
g ( x, y) G( , ) exp[ j 2 ( x y)]d d
G( , ) 是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方 G( , )d d 向传播的单色平面波分量的线性叠加。 cos cos 为权重因子。空间频率 表示了单色 , 平面波的传播方向。
I (u, v) R(u, v)
2
傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间 频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。
y Y
0
x X
相应的空间频率分别为
u
1 cos 1 cos ,v X Y
思考：噪声、线、细节、 背景或平滑区域对应的空 间频率特性？
F=fftshift(fft2(f)); G=fftshift(fft2(g)); subplot(223) imshow(log(abs(F+G)),[]) FG=fftshift(fft2(f+g)); title('DFT(f)+DFT(g)') subplot(224) imshow(log(abs(FG)),[]) title('DFT(f+g)')
R loga (1 KFmax ) loga (1 KFmin )
例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。 解：源程序及运行结果如下： %对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱， %即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平 %移至中心后显示；以对数方式显示。 f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221),imshow(f,[]),title('单狭缝图像') F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换 S=abs(F); subplot(222) imshow(S,[]) %显示幅度谱 title('幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）')
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一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):
M 1 N 1
F(u,v)
f ( x, y)e j2 (ux/M vy/N )
x0 y0
F(u,v)的反变换:
f (x, y)
1
M 1 N 1
F (u, v)e j2 (ux/M vy/N )
傅里叶变换的意义
傅里叶变换好比一个玻璃棱镜 棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪 器，每个成分的颜色由波长决定。 傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”， 将函数基于频率分成不同的成分。
一些图像的傅里叶变换
对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶 变换表示成：
g(x, y) G(,) exp[ j2 ( x y)]dd
N 1
F (u) f (x)e j2ux/ N x0
•F(u)的反变换的反变换:
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N x0
计算F(u)： 1) 在指数项中代入 u=0，然后将所有x 值
相加，得到F(0)； 2) u=1，复对所有x 的 相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复
幅值
时域分析
频域分析
一维FT及其反变换
连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):
F (u) f (x)e j2uxdx
傅立叶变换F(u)的反变换:
f (x) F (u)e j2uxdu
一维DFT及其反变换
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:
G( ,)是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方
向传播的单色平面波分量的线性叠加。G( ,)d d
为权重因子。空间频率 cos , cos 表示了单色
平面波的传播方向。
二维离散傅里叶变换
1） 定义
F (u, v)
1
M 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v)
频谱/幅度谱/模 F(u, v) R2 (u, v) I 2(u,v)
能量谱/功率谱 相位谱
P(u, v) F(u, v) 2 R2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arctan I (u, v) R(u, v)
傅里叶变换的作用
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的 分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学 棱镜。
傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、 跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分 代表图像的低频分量
二维DFT傅里叶变换
此过程，得到全部完 整的FT。
离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得 e j cos j sin
N 1
F (u) f (x)[cos 2ux / N j sin 2ux / N ] x0
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；
u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
图像的傅里叶变换
Fourier Transformation For Image
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提 供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
离散的情况下，傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。
例 设一函数如图（a）所示，如果将此函数在自变量
x0 0.5, x1 0.75, x2 1.00, x3 1.25 取样
并重新定义为图（b）离散函数，求其傅里叶变换。
（a）
（b）
1 1 1 1 f (0)
F (u)
1 4
傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间 频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。
y
Y
0
x
相应的空间频率分别为
X
u 1 cos , v 1 cos
X
Y
思考：噪声、线、细节、 背景或平滑区域对应的空 间频率特性？
对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作周 期性变化的次数。
二维连续傅里叶变换
1） 定义
F (u) f (x)e j2uxdx
2） 逆傅里叶变换
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
f (x) F (u)e j2uxdu
3） 傅里叶变换特征参数
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
u 0,1, M 1 v 0,1, N 1
2） 逆傅里叶变换
M 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)e j 2 (ux / M vy/ N )
u0 v0
x 0,1, M 1 y 0,1, N 1
MN u0 v0
二维DFT傅里叶变换
(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为
F(0,0)
1
M 1 N 1
f (x, y) f (x, y)
MN x0 y0
即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)， 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。
1 1
j 1
1 1
j
Hale Waihona Puke f(1)
1 f (2)
1 j 1 j f (3)
yj
-1
1 x
-j
图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减
许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使 得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它 们时，其高频项变得越来越不清楚。