图像傅里叶变换
图像处理之傅里叶变换
图像处理之傅⾥叶变换图像处理之傅⾥叶变换⼀、傅⾥叶变换傅⾥叶变换的作⽤：⾼频：变化剧烈的灰度分量，例如边界低频：变化缓慢的灰度分量，例如⼀⽚⼤海滤波：低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊⾼通滤波器：只保留⾼频，会使得图像细节增强OpenCV:opencv中主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输⼊图像需要先转换成np.float32 格式。
得到的结果中频率为0的部分会在左上⾓，通常要转换到中⼼位置，可以通过shift变换来实现。
cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展⽰（0,255）。
import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dft_shift = np.fft.fftshift(dft)# 得到灰度图能表⽰的形式magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #时域转换到频域dft_shift = np.fft.fftshift(dft) #将低频部分拉到中⼼处rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) #确定掩膜的中⼼位置坐标# 低通滤波mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# IDFTfshift = dft_shift*mask #去掉⾼频部分，只显⽰低频部分f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) #将低频部分从中⼼点处还原img_back = cv2.idft(f_ishift) #从频域逆变换到时域img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) #该函数通过实部和虚部⽤来计算⼆维⽮量的幅值plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()img = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中⼼位置# ⾼通滤波mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0# IDFTfshift = dft_shift*maskf_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)img_back = cv2.idft(f_ishift)img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()。
图像的二维傅里叶变换
图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义图像傅立叶变换图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。
具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。
下面展示了一副图像的二维FFT变换：频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。
可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。
除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。
将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。
上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。
这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。
将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。
行N/2和列N/2将频域分成四块。
对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。
为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。
【数字图像处理】傅里叶变换在图像处理中的应用
【数字图像处理】傅⾥叶变换在图像处理中的应⽤1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换1.2⼆维离散傅⾥叶变换1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换1.3图像傅⾥叶变换的物理意义2.⼆维傅⾥叶变换有哪些性质？2.1⼆维离散傅⾥叶变换的性质2.2⼆维离散傅⾥叶变换图像性质3.任给⼀幅图像，对其进⾏⼆维傅⾥叶变换和逆变换4.附录 94.1matlab代码4.2参考⽂献⽬录1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换⼆维Fourier变换:逆变换：1.2⼆维离散傅⾥叶变换⼀个图像尺⼨为M×N的函数的离散傅⾥叶变换由以下等式给出：其中和。
其中变量u和v⽤于确定它们的频率，频域系统是由所张成的坐标系，其中和⽤做（频率）变量。
空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
可以得到频谱系统在频谱图四⾓处沿和⽅向的频谱分量均为0。
离散傅⾥叶逆变换由下式给出：令R和I分别表⽰F的实部和需部，则傅⾥叶频谱，相位⾓，功率谱（幅度）定义如下：1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换⼆维离散傅⾥叶变换的定义为：⼆维离散傅⾥叶变换可通过两次⼀维离散傅⾥叶变换来实现:1）作⼀维N点DFT（对每个m做⼀次，共M次）2）作M点的DFT（对每个k做⼀次，共N次）这两次离散傅⾥叶变换都可以⽤快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使⽤基⼆FFT算法,所需要乘法次数为⽽直接计算⼆维离散傅⾥叶变换所需的乘法次数为（M+N）MN，当M和N⽐较⼤时⽤⽤FFT运算，可节约很多运算量。
1.3图像傅⾥叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。
如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。
傅⾥叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⾥叶变换就表⽰f的频谱。
从纯粹的数学意义上看，傅⾥叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。
图像处理中的傅里叶变换
FFT是DFT的一种高效实现，它广 泛应用于信号处理、图像处理等 领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将 时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可 以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情 况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高 效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特 征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据 量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准 确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种 将时域信号转换为频域信号的方 法。它将一个有限长度的离散信 号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表 示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的 频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成 分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解 和处理图像。
图像处理与傅里叶变换原理与运用
图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discre t e Fourie r Transf o rm) 。
1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（R GB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。
对图像数据f (x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。
则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(1010∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π)2(2exp ),(1),(1010∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f (x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。
正变换逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。
按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F ∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=10101010)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=10101010)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f NN vy ux i y x f NN v u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102exp )(1)(N u N ux i u F N x f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。
图像的傅里叶变换
图像的傅里叶变换
图像的傅里叶变换是将图像的像素用时间或频率的形式表示的一种变换方式。
一般来说，图像的每个像素点都可以用其周围的邻居来描述，而傅里叶变换可以对图像中所有的邻居进行变换，有效地减少图像的深度和宽度，使图像更轻巧。
傅里叶变换的一个重要用途便是图像分析和处理，它可以将复杂的信息减缩到更小的空间中，从而使图像变得更容易理解。
比如，使用傅里叶变换可以有效地抽取图像中最重要的特征，例如颜色、对比度、形状等。
此外，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过傅里叶变换可以把复杂的信息转换为高频信号和低频信号，通过减少低频信号可以压缩图像的体积，但这样做不会影响图像的整体清晰度，而是减少了细节的某些程度上。
总而言之，傅里叶变换是一种对图像进行分析和处理的非常有效的方法，可以有效地提取图像中最重要的特征，可以大大减少图像的深度和宽度，并且可以用于图像压缩以及图像处理等任务中，从而大大改善图像的处理效果。
halcon学习笔记——傅里叶变换与极坐标变换
halcon学习笔记——傅⾥叶变换与极坐标变换⼀、傅⾥叶变换图像的傅⾥叶变换◆傅⾥叶变换定义：傅⾥叶变换是时域到频域的变换⽅法，通俗讲是将现在的空间变换到⼀个能够反映某些事物出现频率的空间。
◆图像傅⾥叶变换：◆⽤途：⼀般⽤于对出现频率⾼的像素点的分析以及噪声的去除。
◆频率图特点：图像中⼼为频率为 0 的原点，由内到外频率越来越⾼。
其中灰度变换激烈的地⽅对应⾼频成分，如边缘；灰度变换不⼤的地⽅对应低频。
*傅⾥叶变换fft_image (GrayImage, ImageFFT)area_center (ImageFFT, Area, Row, Column)gen_circle (Circle, Row, Column, 200)gen_circle (Circle1, Row, Column, 1000)difference (Circle1, Circle, RegionDifference)paint_region (RegionDifference, ImageFFT, ImageResult, 0, 'fill')fft_image_inv (ImageResult, ImageFFTInv)⼆、极坐标变换◆极坐标系的定义：在平⾯内取⼀个定点 O，叫极点，引⼀条射线，叫做极轴，再选定⼀个长度位和⾓度的正⽅向。
对于平⾯内任何⼀点，⽤ r 表⽰线段的长度，a 表⽰⾓度，r 叫做点的极径，a 叫做点的极⾓，有序数对 (r,a)就叫点的极坐标，这样建⽴的坐标系叫做极坐标系。
◆极坐标系的变换：选取极坐标原点，并将原坐标系变换为极坐标系的过程称为极坐标系的变换。
关键点在于极坐标系原点的选取以及起始⾓度的设置 (可以将环形拉直，直⾏变圆)read_image (Image, Selection)draw_circle (WindowHandle, Row, Column, Radius)gen_circle (Circle, Row, Column, Radius)reduce_domain (Image, Circle, ImageReduced)*极坐标变换polar_trans_image_ext (ImageReduced, PolarTransImage, Row, Column, 0, 6.28319, 0.5*Radius, Radius, 6.28319*Radius, 800, 'nearest_neighbor') *极坐标逆变换polar_trans_image_inv (PolarTransImage, XYTransImage, Row, Column, 0, 6.28319, 0.5*Radius, Radius, 6.28319*Radius, 800, 'nearest_neighbor')。
图像傅里叶变换
fx, yhx, y 1 M1N1 fm,nhxm, yn MN m0 n0
卷积定理
fx,yhx,yFu,vHu,v
fx,yhx,yFu,vHu,v
A
51
傅里叶变换
9. 相关性理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关
性定义为
A
56
快速傅里叶变换(FFT)
为什么需要快速傅里叶变换？
F u 1 M1 f x ej2ux/M M x0
u 0,1,2,...,M 1
✓ 对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)
与ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次
数都正比于M2
✓ 快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算
为什么要在频率域研究图像增强
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一 些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
✓ 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
✓一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
A
46
一幅二维图像的傅里叶频谱 中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6. 分离性
F u,v
1 M 1 j2ux/M e
1 N1
f x, y e j2vy/ N
M
x 0
N y 0
1 M
M 1 j2ux/M
x 0e
F x,v
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。
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傅里叶变换
9.
相关性理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关 性定义为 M1N1 * fx, yhx, y 1 f m,nhxm, yn MN m0 n0 f*表示f的复共轭。对于实函数， f*＝f
相关定理
fx,yhx,yF*u,vHu,v
M1 x0
1 F(u) M
1 M
f x e
x 0
j(2ux)/M
M 1
fxcos(2ux)/M jsin(2ux)/M
M 1 x 0
1 M
fxcos2ux/M jsin2ux/M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
Fu Fue ju
傅里叶变换
6.
分离性——二维傅里叶变换的全过程
先通过沿输入图像的每一行计算一维变换
再沿中间结果的每一列计算一维变换
可以改变上述顺序，即先列后行 上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换
傅里叶变换
7.
平均值
由二维傅里叶变换的定义
1 Fu,v MN
M 1N1 x0 y0
fx, ye
公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值
傅里叶变换
1.
傅里叶变换对的平移性质（续）
当u0=M/2且v0=N/2,
x y e j2u0x/Mv0y/N e j(xy) 1
带入（1）和（2），得到
y fx,y1x FuM/2,vN/2 uv
Fu,v Ru,v2 Iu,v
1 2 2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
相角或相位谱为
Iu,v u,varctan Ru,v
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
功率谱为
2 Pu,v Fu,v2 Ru,v Iu,v2
相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴 趣的物体区域
f(x,y)是原始图像
h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）
如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f 中相应点的位置上达到最大
相关性匹配举例
图像f(x,y) 模板h(x,y)
延拓图像f(x,y)
延拓图像h(x,y)
相关函数图像
通过相关图像最大 值的水平灰度剖面图
M 1N1
j2ux/M vy/ N
1 所以 F0,0 MN
而
fx, y
x0 y0
M 1N1 x0 y0
1 fx, y MN
fx, y
傅里叶变换
平均值
7.
所以
fx, y F0,0
上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在 原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度 级
全周期的傅里叶频谱
一幅二维图像的傅里叶频谱
中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6.
分离性
Fu,v 1 M 1e j2ux/M 1 N1 fx, ye j2vy/ N M x 0 N y 0 1 M 1 j2ux/M Fx,v M x 0e
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。
f(x)的离散表示
f x f x 0 x x
x 0,1,2,..., M 1
F(u)的离散表示
F u
F u u
u 0,1,2,..., M 1
傅里叶变换定义
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
Fu,v Fu,ve ju,v
幅度或频率谱为
Fu,v Fu,v
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换
1.
二维傅里叶变换的性质
平移性质
2.
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
分配律
尺度变换（缩放） 旋转性
周期性和共轭对称性
平均值 可分性 卷积 相关性
傅里叶变换
1.
傅里叶变换对的平移性质
以 表示函数和其傅里叶变换的对应性
些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
空间域进行
傅里叶变换定义
一维连续傅里叶变换及反变换
Fu,v F
u,v
Fu,v Fu,v
其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个
复数叫做互为共轭复数.
周期性和共轭对称性举例
对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长 度为M，对称性是指频谱关于原点对称
半周期的傅里叶频谱
fx,yej2u0x/Mv0y/N Fuu0,vv0 fxx0,yy0Fu,vej2ux0/Mvy0/N
(1) (2)
公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置
公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置
傅里叶变换
8.
卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散 卷积 1 M1N1 fx, yhx, y fm,nhxm, yn
MN m0 n0
卷积定理
fx,yhx,yFu,vHu,v
fx,yhx,yFu,vHu,v
研究生课程
数字图像处理和分析 Digital Image Processing and Analysis
杜红
E_mail:duhmail@
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换定义 为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一
带入上式有
11 K1 2K x0
ux
1 K1 2 K W x f K x0
ux
u
快速傅里叶变换(FFT) 定义两个符号
1 K1 Fevenu f2xWK ux K x 0
傅里叶变换
3.
尺度变换（缩放）
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af x, y aFu,v 1 fax,by Fu /a,v/b ab
傅里叶变换
4.
旋转性
引入极坐标 xrcos,yrsin,ucos,vsin
将f(x,y)和F(u,v)转换为 fr,和F,。将它 们带入傅里叶变换对得到
f *x,yhx,yFu,vHu,v
傅里叶变换
自相关理论
fx,y fx,yFu,v Ru,v Iu,v
2 2 2
fx,y Fu,vFu,v
2
注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方
傅里叶变换
卷积和相关性理论总结
卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带
快速傅里叶变换(FFT)
FFT算法基本思想
FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通 过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式
1 Fu M
M 1 x 0
f xe
j2ux /M
u 0,1,2,...,M 1
Fu 1 Fevenu FodduW2uk 2 Fu K 1 FevenuFodduW2uk 2
幅度或频率谱为
2 Fu Ru I
1 2 2 u
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
相角或相位谱为
Iu u arctan Ru
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
功率谱为
2 2 Pu Fu2 Ru I u
fr, 0 F, 0
f(x,y)旋转角度0，F(u,v)也将转过相同 的角度
F(u,v)旋转角度0，f(x,y)也将转过相同 的角度
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
Fu,v Fu M,v Fu,v N Fu M,v N fx, y fx M, y fx, y N fx M, y N 上述公式表明
F(u,v)的原点变换
f x, y
1x y
F u M
/ 2, v N / 2
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
u=0,1,2,…,M-1,
v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
傅里叶变换
2.
分配律
根据傅里叶变换的定义，可以得到
f1x, y f2x, y f1x, y f2x, y f1x, y f2x, y f1x, yf2x, y
上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配 律，但对乘法则不满足
快速傅里叶变换(FFT)
FFT公式推导 FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。为 方便起见用下式表达离散傅立叶变换公式
1 M 1 Fu fxej2ux/M M x 0
1 M
M 1 x 0
fxW
M ux
这里
WM e j2 /M
是一个常数
快速傅里叶变换(FFT)
u 0,1,2,...,M 1
对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)