直线与直线方程经典例题
直线与直线的方程(超经典)
课题：直线与直线方程考纲要求：① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系 •教材复习1.倾斜角：一条直线I 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角， 叫做直线的倾斜角， 范围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是 90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k tan ;当直线的倾斜角等于 90时，直线的斜率不存在。
若X i x ，则直线RP 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 .3. （课本R 36）直线的方向向量：设 A, B 为直线上的两点，则向量 AB ^与它平行的向量都称为直线的方向向量.若AX|,y i ， B x 2, y 2 ，则直线的方向向量为 A B x 2为，『2 y i直线Ax By C 0的方向向量为 B,A .当x i x 2时，i,k 也为直线的一个方向向量. 4. 直线方程的种形式：基本知识方法1. 直线的倾斜角与 斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角 90时，k tan ，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率.2. 求直线方程的方法：2.过两点 R X i ,y i , F 2 x 2, y 2x ix 2的直线的斜率公式：k tany 2 y i1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数, 写出直线方程；2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程•再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程.3. 1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.4. 直线方程一般要给出一般式.典例分析：考点一直线的倾斜角和斜率问题1.已知两点A 1,2，B m,3 . 1求直线AB的斜率k和倾斜角;2求直线AB的方程；3若实数m，求AB的倾斜角的范围.问题2. 1 （01河南）已知直线l过点P 0,0且与以点A 2, 2，B 1, 1为端点的线段相交，求直线I的斜率及倾斜角的范围.2求函数y 舸一1的值域.3 cos考点二求直线的方程I、可题3 .求满足下列条件的直线I的方程：L1 过两点A 2,3 , B 6,5 ;2 过A 1,2，且以了 2,3为方向向量;3过P 3,2，倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的2倍；4过A5,2，且在x轴，y轴上截距相等；5在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为考点三与直线方程有关的最值问题问题4. 1 （06上海春）直线I过点P 2,1，且分别与x, y轴的正半轴于A,B两点，O 为原点•求厶AOB面积最小值时I的方程，2 PA PB取最小值时I的方程•6 ；考点四直线方程的应用内部有一文物保护区不能占用，经测量，AB 100m，BC 80m，AE 30m，问题5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△ EFA课后作业：1. （01上海春）若直线xA.等于0B.等于一42. （95全国）如右图，直线1的倾斜角为，则C.等于一D.不存在211,12,13的斜率分别为k1,k2,k3，则k? C. k3 k? & D. & k3 k?3.（04合肥模拟）直线I的方向向量为1,2，直线1的倾斜角为，则tan26.（ 95上海）下面命题中正确的是：A. 经过定点P 0 x ）,y 0的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0表示.B. 经过任意两个不同的点 R 为，如，F 2 x 2, y 2的直线都可以用方程yx y一 x x 1 y 2 %表示；C.不经过原点的直线都可以用方程 1表示a bD.经过点A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b 表示4 33B.-C.-D.-3444. （ 2012西安五校联考）直线 2I 经过 A 2,1 , B 1,m( m R )两点, 倾斜角范围是A. 0,B. 0,, 4^2C. 0,4D.那么直线I 的J25.直线xcos R 的倾斜角范围是A.6E U 2,56B. 0,_6C.D. 6y 1 X 2 为7.已知三点A 3,1、B 2,k、C 8,11共线，则k的取值是A. 6 B. 7C. 8 D. 98. ( 2013常州模拟)过点P 2,3且在两条坐标轴上的截距相等的直线I的方程是9.直线xtan5 y 0的倾斜角为-----------------------------10. 一直线过点A 3,4，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是______________12.若两点A( 1, 5)，B(3, 2)，直线I的倾斜角是直线AB的一半，求直线I的斜率13.已知A a,3，B 5, a两点，直线AB的斜率为1,若一直线I过线段AB的中点走向高考：14. ( 04湖南文)设直线 ax by c 0的倾斜角为，且sin cos 0，则a,b满足： Aab1 B. a b 1 C.abO D. a b 01 115. ( 06北京)若三点A(2,2), B(a,0), C(O,b) (ab 0)共线，则的值等于________a b16.( 05湖南文)设直线的方程是 Ax By 0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同 的数作为A,B 的值，则所得不同直线的条数是 A. 20 B.19 C.18 D.16且倾斜角的正弦值为3 10求直线I 的方程.。
完整版)直线与方程测试题及答案解析
完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果三个点A(3,1)。
B(-2,b)。
C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。
2 B。
3 C。
9 D。
-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。
y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。
y - 2 = 3/2(x - 1) C。
3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。
3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。
相交 B。
平行 C。
重合 D。
异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。
(-2,1) B。
(2,1) C。
(1,-2) D。
(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限 C。
第一、三、四象限 D。
第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。
√(23/2) B。
√(2/23) C。
√(23+5) D。
√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。
y = -2x + 4 B。
y = (1/2)x + 4 C。
y = -2x - 3 D。
y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。
2 B。
1 C。
-1 D。
-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。
3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。
直线与方程经典例题与课时训练(含答案版)
直线与方程例题一、直线的倾斜角与斜率1．判定(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )(2)一个倾斜角α不能确信一条直线．( )(3)斜率公式与两点的顺序无关．( )【解析】(1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(2)正确．确信平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的顺序能够同时调换．【答案】(1)×(2)√(3)√2．斜率不存在的直线必然是( )A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．【答案】B3．假设过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，那么y等于()A．－3 2C．－1D．1【解析】k AB＝y＋34－2＝tan 45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.【答案】C4．如图11所示，直线l1，l2，l3的斜率别离为k1，k2，k3，那么k1，k2，k3之间的大小关系为________．图11【解析】设l1，l2，l3的倾斜角别离为α1，α2，α3，那么由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，因此tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.【答案】k1<k3<k25．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，那么实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】26．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围.【解】y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率别离为k NA，k NB.∵k NA＝53，k NB＝－16，∴－16≤y＋1x＋1≤53.∴y＋1x＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.2、直线的方程1．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2)．【答案】 (3,2)2．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过必然点，那么那个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，因此直线过定点(－2,3)． 【答案】 B3．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，因此所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3、直线的交点坐标和距离公式1．已知点A (－1,2)，点B (2,6)，那么线段AB 的长为__________． 【解析】 由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(6－2)2＝5. 【答案】 52．假设点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，那么|OP |的最小值是________. 【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 223．已知x ＋y －3＝0，那么(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________． 【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)， 那么点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 【答案】24．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，那么l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1D ．2【解析】 法一：在l 1上取一点(1，－2)，那么点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.法二：d ＝|1－(－1)|12＋12＝ 2. 【答案】 B5．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)直线与方程练习题1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为() A．30°B．60°C．150° D．120°解析：选C.∵直线的斜率k＝－33，∴tan α＝－33.又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率别离为k1、k2、k3，那么()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，应选D.3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D.由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，那么倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象能够是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y －a ＝1.假定l 1，判定a ，b ，确信l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，那么x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，因此k AB ＝k AC 即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－37．直线l 通过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．那么直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，那么tan α≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α知足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，那么直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原先位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13 B ．－3D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－AB ＝－13，即直线l 的斜率为－13，应选A.10．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，那么直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，因此直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，因此k AB ＝－k OA ＝－3，因此直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)． 11．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要通过第一、第二、第四象限，那么a ，b ，c 应知足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0通过第一、二、四象限，因此直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－ab ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.12．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，那么a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或a ＜－1或a ＞0.综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)。
直线与直线方程经典例题
必修2 第二章 解析几何初步第一节：直线与直线方程（王建明）一、直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角。
（0°≤α<180°）（2）斜率k=tan α=1212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。
例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。
练习：1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直1.平行的判定：2. 垂直的判定：例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。
直线与直线方程-练习
索引
1.直线 x＋ 3y＋3＝0 的倾斜角 α 为( D )
A.30° C.120°
B.60° D.150°
解析 由已知得斜率 k＝－ 33＝tan α，
又倾斜角 0°≤α<180°，所以 α＝150°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.直线ax2－by2＝1 在 y 轴上的截距是( B )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2)若直线l在x轴、y轴上的截距均不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最 小值. 解 由题意及(1)得l的方程为x＋y－3＝0， ∵点P(a，b)在直线l上， ∴a＋b＝3， ∴3a＋3b≥2 3a·3b＝2 3a＋b＝6 3， 当且仅当 a＝b＝32时等号成立.
∴3a＋3b 的最小值是 6 3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.(多选)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m
可以取下列哪些值( ACD )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，
所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，
两式同时成立时解得m＝1，所以m≠1.故选ACD.
7.过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是__3_x_＋__y_－__6_＝__0. 解析 由题意知直线过点(2，0)和点(1，3)，由两点式可得3y－－00＝x1－ －22， 整理得 3x＋y－6＝0.
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8.若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为___32_，__＋__∞__ . 解析 方程可化为 y＝(3－2t)x－6，因为直线不经过第一象限， 所以 3－2t≤0，得 t≥32.
直线与方程练习题
直线与方程练习题一、填空题1. 直线斜率为2，过点(-1, 3)，则直线方程为__________。
2. 直线过点(2, -5)和点(4, 1)，则直线方程为__________。
3. 直线过点(-3, 4)且与x轴垂直，则直线方程为__________。
4. 直线过点(0, 7)且平行于y轴，则直线方程为__________。
5. 直线过点(3, -2)且平行于直线2x + 3y = 1，则直线方程为__________。
二、选择题1. 斜率为3，过点(1, 2)的直线方程可能是：A. y = 3x + 1B. y = 3x - 1C. y = -3x + 1D. y = -3x - 12. 过原点(0, 0)且垂直于直线2x + 3y = 6的直线方程可能是：A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -23. 过点(2, -5)且平行于直线3x - 2y = 9的直线方程可能是：A. 3x - 2y = 19B. 3x - 2y = -19C. 3x - 2y = 4D. 3x - 2y = -44. 过点(3, 4)且平行于x轴的直线方程可能是：A. x = 3B. x = -3C. y = 3D. y = -35. 过点(-2, 1)且与直线4x + 5y = 10垂直的直线方程可能是：A. 5x - 4y = 10B. 5x - 4y = -10C. 4x + 5y = 2D. 4x + 5y = -2三、应用题1. 设直线L过点(1, 2)和点(4, 7)，求直线L的斜率和截距，并写出直线L的方程。
2. 已知直线L过点(-3, 5)且与x轴垂直，求直线L的方程。
3. 直线L过点(1, -4)且平行于直线2x - 3y = 6，求直线L的方程。
4. 直线L过点(-2, -1)且平行于y轴，求直线L的方程。
5. 直线L过点(3, 2)且与直线3x - 4y = 5垂直，求直线L的方程。
第三章直线与方程知识点及典型例题
第三章直线与⽅程知识点及典型例题第三章直线与⽅程知识点及典型例题1. 直线的倾斜⾓定义：x 轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。
特别地，当直线与x 轴平⾏或重合时,我们规定它的倾斜⾓为0度。
因此，倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜⾓不是90°的直线，它的倾斜⾓的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常⽤k 表⽰。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平⾏或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0例.如右图，直线l 1的倾斜⾓α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜⾓是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下⾯四点：(1)当21x x =时，公式右边⽆意义，直线的斜率不存在，倾斜⾓为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序⽆关；(3)以后求斜率可不通过倾斜⾓⽽由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜⾓可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)，当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线⽅程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的⽅程是y =y 1。
直线与方程例题与练习（含答案）
级 名倾斜角α的取值范围： . 角α与斜率 pp 平行的直线方程可设为 ， ⇔PP的距离为 “直线定界，特殊点定域＝－a b x ＋z b ，距z b距zb取距z b取距zb 取距z b取22()()x a y b -+-表示表示22x y +示 示示 示 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 [[3π，)a －2a ＋1＝a ＋，－2≤0，－a ＋＝－2≤0，≤－≤－1. 1.103)线所在的直线方程为0104=+-y x ，求BC 边所在的直线方程。
边所在的直线方程。
答案：得B （10，5），A 的对称点（1，7），故BC 方程为06592=-+y x例6 6 ．设．设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +³ìï-³-íï-£î则则z x y =+（ ）A ．有最小值2,2,最大值最大值3 3B B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,3,无最大值无最大值无最大值D D D．既无最小值．既无最小值．既无最小值,,也无最大值也无最大值 此题中，y x 的最大值是的最大值是2 最小值是最小值是 0 22x y +的最小值是的最小值是 165例7． 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +³ìï-³-íï-£î，目标函数2z ax y =+仅在点（仅在点（11，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）(A) (A) （（1-，2 2 ）） (B) (B) （4-，2 ） (C) (4,0]- (D) (2,4)-作业：作业：1．已知点A (1(1，－，－，－2)2)2)，，B (m,2)2)，且线段，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是的值是( ( )A ．－．－2B 2 B 2 B．－．－．－7 7 7C C ．3D D．．12．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点变化时，所有的直线恒过定点 ( ( )A ．(1,3)B (1,3) B．．(－1，－，－3) 3) 3)C C ．(3,1)D D．．(－3，－，－1) 1) 3、直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是所得的直线方程是( ( ) A ．x －2y ＋4＝0 B B．．x ＋2y －4＝0 C 0 C．．x －2y －4＝0 0 D D ．x ＋2y ＋4＝04、在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点内，过点(0,1)(0,1)(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是( ( )A.π6B.B.π4C.π3 D.3π45、已知变量,x y 满足约束条件2823y xx y x y £ìï-£íï+³î,则目标函数62z x y =-的最小值为的最小值为（ ）A ．32B ．4C ．8D ．26、若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-³ìï--£íï-+³î且x y +的最大值为9，则实数m =( )（A ）2- （（B ）1- （（C ）1 （（D ）27．直线l 过点P (－2,3)2,3)，且与，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若点P 恰为AB 的中点，则直线l 的方程为________________．．3x －2y ＋1212＝＝08．在直角坐标系中，若不等式组ïîïíì++££-³1)1(00x k y y x x 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是___（-1，1）__ 9、 给出平面区域如图所示给出平面区域如图所示..若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是围是 （－（－（－ 125，－，－ 310）. .1010．已知直线．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4(4－－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，平行，则k= 3或5 l 1与l 2的距离为的距离为________________________．．55210或1111．已知两条直线．已知两条直线l 1：(3(3＋＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5(5＋＋m )y ＝8.8.当当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)(1)相交？相交？相交？ (2) (2) (2)平行？平行？平行？ (3) (3) (3)垂直？垂直？垂直？[解析] (1)(1)当当m ＝－＝－55时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－≠－55时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m4，k 2＝－25＋m， 它们在y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m . 由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，即m ≠－≠－77，且m ≠－≠－1. 1.∴当m ≠－≠－77，且m ≠－≠－11时，l 1与l 2相交．相交．(2)(2)由由îïíïìk 1＝k 2，b 1≠b 2，得îïíïì－3＋m 4＝－25＋m，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－＝－7. 7.∴当m ＝－＝－77时，l 1与l 2平行．平行．(3)(3)由由k 1k 2＝－＝－11，得－3＋m 4·(－25＋m)＝－＝－11，m ＝－133.＝－时，11，使得y O A xBP(3, 1)【答案】【答案】AB=AB=22(16)(42)29-+-=，直线AB 的方程为264216y x --=--，即25220x y +-=，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积等于1414，，设C 的坐标为(,)m n ，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C 到直线AB 的距离为|2522|29m n d +-=，由于三角形ABC 的面积等于1414，则，则11|2522|29142229m n AB d +-××=××=，|2522|28m n +-=，即2550m n +=②或256m n +=-③.联立①②解得13511m =，5611n=；联立①③解得3m =-，0n =.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C 13556(,)1111或(3,0)-，使得三角形ABC 的面积等于14.。
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必修2 第二章 解析几何初步
第一节：直线与直线方程（王建明）
一、直线的倾斜角和斜率
（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，
把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，
叫作直线l 的倾斜角。
（0°≤α<180°）
（2）斜率k=tan α=1
212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k
的取值范围。
例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。
练习：
1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12
，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4
变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--
2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．
点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．
答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直
1.平行的判定：
2. 垂直的判定：
例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？
（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。
练习：
例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）.
例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。
练习：
1.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 答案：a=-1
2.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．
答案：3x －2y －5＝0.
三、直线的方程
1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0)
1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0)
2、 两点式: 121y y y y --=1
21x x x x -- (斜率存在，不能为0) 3、 一般式：A x +B y +C=0 (任意直线)
4、 截距式：a x +b
y =1 (斜率存在且不过原点且不为0) 典型例题
例2.求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
例3.已知△ABC 的顶点A (1，－1)，线段BC 的中点为D (3，2
3)． (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC 所在直线的方程．
例4.方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m 的值．
(1)方程能够表示一条直线；（答案：m 1-≠）
(2)方程表示一条斜率为－1的直线．（答案：m 2-=）
例5.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．
(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35
)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）
(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）
练习：
1.若直线7x ＋2y －m ＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m ＝( )
A ．14
B ．－14
C ．0
D ．14或－14
2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。
4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。
5、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
四、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+2
1=0相交于一点，则k= （2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱= 212212)()(y y x x -+-
例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。
例（2）已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使︱PA ︱=︱PB ︱，并求的 ︱PA ︱值。
例.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．
(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35
)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）
(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）
五、点到直线的距离
例1：求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 。
例2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。
(a ＜0)
例3:求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。
练习：
1.已知△ABC 中，A (－2，1)，B (3，－3)，C (2，6)，试判断△ABC 的形状
2.求过点M (－2，1)且与A (－1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线方程．
3.已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()
A. 2 B．2－2 C.2－1 D.2＋1
4.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．
六、两平行直线间的距离
例1：求平行直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0的距离
例2：已知直线l1：（t+2）x+(1-t)y=1与l2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。
例3：求点A（2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。
练习：
1.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，
求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行，且到l的距离为2的直线的方程．。