八年级数学课件 因式分解(2)
人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件
－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。
14.3.1 提公因式法 初中数学人教版八年级上册课件2
学习目标
1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别 和联系. 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式.（重、难点） 3. 会利用因式分解进行简便计算.
新课导入
知识点 1 因式分解的概念
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示这
块草坪的面积吗？
方法一：m(a+b+c)
a
b
c
方法二：ma+mb+mc
m
整式乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
?
变式训练
1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ；
(2) (x+1)(x–1)= x2 –1 ； (3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2 . 2.根据等式的性质填空：
整式的乘积.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=公4因ab式2 ·2：a24+a43ba2b2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc).
如果提出公因式 4ab,另一个因式是 否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b.
公因式既可以是一个 单项式的形式，也可
（2） 2a(b+c)-3(b+c) =公(b因+c式)(2：a-(3b)+. c)
都比是一多比项，式这化些为式几子 个有整什式么的共积同的点形？式
(1) ma+mb+mc=( m )(a+b+c )
(2) x2 –1 =( x+1 )( x–1 )
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.
因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
14因式分解-公式法课件人教版数学八年级上册
(4)ax2 2a 2 x a3 ;
(5) 3x2 6xy 3y 2.
初中数学
知识拓展
1.若x,y为任意实数,且m x2 y 2 , n 2xy, 则m,n的 大小关系是___m___n_____；
解: m n (x2 y 2 ) 2xy
(x y)2,
x, y 为任意实数, (x y)2 0.
初中数学
例 分解因式：
(1)16 x2 24 x 9;
分析：
16 x 2 (4x)2，9 32，
24x 2 4x 3，
16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
a2 2ab b2.
所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即
初中数学
例 分解因式：
解:(1)16 x2 24 x 9 （4x）2 24x 32 （4x）2 + 2 4x 3 32
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)若多项式x2+mx+9为完全平方式，则m=_______;
完全平方公式： 有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式.
4(m+2)(m-2)
例 利用简便方法计算.
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
若x,y为任意实数,且
则m,n的
Hale Waihona Puke 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，
[x2 − 2 x 2y (2 y)2 ]
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
在括号中填入适当的式子，使等式成立： 例 利用简便方法计算. 有两项是两数的平方和，
（x 2 y）2 ;
问题：因式分解的一般步骤是什么？
初中数学
例 分解因式：
人教版八年级数学上册 (整式的乘法)整式的乘法与因式分解课件教学(第2课时)
教科书第102页 练习1、2题.
化
2x2 4xy
单项式乘单项式
讨论 尝试归纳单项式乘以多项式的运算法则.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
单项式乘以多项式
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘 多项式的每一项，再把所得的积相加.
转化
单项式乘以多项式
单项式乘以单项式
乘法分配律
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
1.填空： (1) 5(mn5) 5m5n25 . (2) (2a3b)(4ab) 8a2b12ab2 . (3) 2x(4x26x8) 8x312x216x . (4) (a2b)(c) ac2bc .
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 你还能通过别的方法得到等式p(abc)papbpc吗？
p(abc)papbpc 乘法分配律
单项式乘多项式
类比单项式乘单项式， 说说这是什么运算？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 尝试计算：2x(x2y)
解：2x(x2y)
单项式乘多项式
2x·x 2x·2y
乘法分配律 转
式
步解决问题的能力.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
①②
p p p p
p
abc
a
b
c
a
b
c
如果把它看成一个大长方形，
如果把它看成三个小长方形，
那么它的面积可表示为：
八年级数学下册《因式分解》课件北师大版
分解因式
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
=3.14
2.
20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
３．（随堂练习p４０１、２）
• • 多项式的分解因式与整式乘法是方 向相反的恒等式. • 整式的乘法运算是把几个整式的积 变为多项式的形式，特征是向着积 化和差的形式发展； • 而多项式的分解因式是把一个多项 式化为几个整式乘积的形式，特征 是向着和差化积的形式发展.
练习三
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
7 12
作业：
1. 课本P45习题2.1 / 1～4 2. 预习课本P47～ 48 例、想、练
课后练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三 位工人共同完成，已知甲工人每天加工 23个零件，乙工人每天加工19个零件， 丙工人每天加工18个零件，三人需共同 做12天才能做完，要加工的零件共有多 少？
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把下列各式分解因式：
(1) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a)
(2) 2xy2 - 50x =2x(y2-25)
从这两题可以 看出，分解因 式要注意什么 问题？
=2x(y+5)(y - 5)
把下列各式分解因式：
1、a-a5 2、2(x-y)- 12a2(x-y)
1、计算：25×1012－992×25
把下列各式) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5)
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
两个数的平 方差，等于 这两个数的 和与这两个 数的差的积
2、在实数范围内分解因式：
①x2-3
②3x2-5
本节课你有什么收获？有何 疑惑？你对老师又有何建议
呢？
=12-(5b)2
=(xy)2-z2
=(1+5b)(1-5b) =(xy+z)(xy-z)
因式分解： １、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2 4、 (a-b)n+2 - (a-b)n
把下列各式分解因式
⑴ x2－y2
⑵ 1－m2
(3) －9＋16x2
(4) x2－9y2
(5) 4x2－9y2
(6)0.09a2－4b2
(7)0.36x2－y2
(8)x4－y2
(9) x2y2－z2
(10) x2－(x－y)2
(11) 9(x－y)2－y2
(12) (x＋2y)2－(2x－y)2
(13) 16(a＋b)2－9(a－b)2
(14) (a2＋b2)2－a2b2
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
(1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2+y2 (4) -x2 - y2
(2)(3)能，(1)(4)不能
例1：把下列各式分解因式 (1)1 25b2 (2)x2 y2 z2 (3) 4 m2 0.01n2 (4) 9 16a2
9
(1) 1-25b2 (2) x2y2-z2
因式分解（2）
问题: 什么叫多项式的因式分解?
判断下列变形过程，哪个是因式分解？ (1) (x-2)(x-2)=x2- 4 (2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) 7m-7n-7=7(m-n-1) (4) 4x2- =(2x+ )(2x- )
1
1
1
9y2
3y
3y
问题：你学了什么方法进行分解 因式？ 提公因式法