高中数学优质课比赛 平面向量基本定理教案
平面向量基本定理(教案)
平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。
1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。
基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。
2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。
基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。
教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。
例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。
3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。
线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。
教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。
在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。
4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。
向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。
教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。
例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。
5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
平面向量基本定理教学设计
平面向量基本定理教学设计一、教学分析1）教材地位分析平面向量基本定理是平面向量这个章中的重要环节，有着承上启下的特殊地位，定理是在学习了向量加法、减法和数乘向量这三种运算的基础上，此定理为平面向量正交分解和坐标表示奠定了理论基础。
准确理解平面向量基本定理，能够为后面的向量坐标知识学习，起到事半功倍的作用。
进一步，它为研究几何问题提供了又一个工具。
另外，该定理也具有广泛的现实意义，如物理中的矢量分析，因而该定理兼有理论与现实的指导作用2）学生现实分析该节内容是学生学习了向量的基本概念，向量的加法，及向量的减法，数乘向量的基础上展开的。
对于向量加法的平行四边形法则已定掌握，能够实行向量的加减运算，学生已具有相关的向量知识，学生对向量的物理背景有一定的了解。
二、教学目标确定通过对教学任务的分析，本节课的教学目标可定为：（1）知识与技能理解平面向量基本定理及其意义（平面向量揭示向量加法逆向运算，知道和向量去求分向量的一种现象）。
掌握平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表示，基底确定，即分解方向确定，只有一组分向量，基底不确定即分解方向不确定，能够有无数组分向量。
理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，揭示了一种现象，是后面学习向量坐标的关键；能够在具体问题中适当地选择基底，使其他向量能够用基底来表示。
（2）过程与方法经历如何把已知和向量分解成两个分向量的过程，再抽象出数学中的平面向量基本定理，利用几何画板，通过学生自己动手，使学生亲历知识的建构过程，体验定理的内容和意义。
（3）情感态度价值观通过师生互动，生生互动，提升学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。
让学生体验到数学的乐趣。
三、教学重点难点由以上分析可知，重点是：（1）了解定理的形成过程及内容；理解定理说明一种向量分解成分向量的现象实质。
（2）会用此定理解决一些简单的问题。
平面基本定理体现数学的化归思想。
难点有两个：（1）定理中向量关于基底的线性表示的唯一性和对“任一向量”定理的结论都成立的理解。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。
（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。
2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。
（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。
（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。
2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。
3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。
4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
《平面向量基本定理》教案
《平面向量基本定理》教案一、教学目标：1.知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。
2.过程与方法：让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。
3.情感、态度和价值观通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课六、教具：电子白板、黑板和课件七、教学过程：（一）情境引课，板书课题由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？（二）复习铺路，渐进新课在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。
（三）归纳总结，形成定理让学生在发现学习的.过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。
（四）反思定理，解读要点反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。
（五）跟踪练习，反馈测试及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。
（六）讲练结合，巩固理解即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。
（七）夹角概念，顺势得出不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。
然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。
再结合例题巩固加深。
（八）课堂小结，画龙点睛回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。
高中数学必修四《平面向量基本定理》优秀教学设计
《2.3.1平面向量基本定理》教学设计一、教学目标：1、知识与技能(1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2、过程与方法(1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3、情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
三、教学方法与手段：探求式教学法、多媒体手段四、教学过程第一阶段：尝试发展阶段（一）课前准备（预习教材P 93~ P 94，找出疑惑之处并尝试解决下列问题）1、给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出31e +22e ；1e -22e1e ↖↗2e 2、如上给出的向量1e ，2e ，对于同一平面内的任一向量a ，是否都可以用形如1122e e λλ+ 的向量表示？（先尝试解决二、新知探究中的1——4，四个问题，再回答该问题）3、若给出的向量1e ，2e 是共线向量，那么a 能否用1e ，2e 表示出来？4、基底是否唯一？当基底给定后，向量a 的表达形式是否唯一？第二阶段：自主发展阶段（二）新知探究1、给定平面内两个向量1e ，2e （如下图），2、当向量a 与向量1e ，2e 中的一个 a 是否有形如1122e e λλ+的向量表示？ 共线，是否也有1122e e λλ+的表示？1e ↖↗2e ， ↑a →a ， →1e ↗2e 只需：1λ 0或2λ 0（填 > ,< 或 =）3、当a 变为如下两种情况时，是否有4、当所给的向量1e ，2e ，a 是如下图情况， 形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 则a 是否也有形如1122e e λλ+的表示？1e ↖↗2e ， →a 1e ↖↗2e ，↓a此时：1λ 0； 此时：1λ 0； 此时，1λ 0，且2λ 0. 2λ 02λ 0（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 一对实数1λ，2λ，使a = ；（2）基底： 的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内 的一组基底。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
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《平面向量基本定理》教学教案
----新余一中蒋小林
一、背景分析
1．教材分析
函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析
从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。
教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．
二.学习目标
1）知识与技能目标
1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法目标
1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培
养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标
1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，
发展学生的数学应用意识；
2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活
动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
[设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现
了培养学生核心素养的要求．
三．教学过程设计
教学过程
1．创设问题、引出新课
（一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。
（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。
总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。
[设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。
体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。
2.问题驱动、探究新知
问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。
[设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示
某个向量，为向量的线性表示打下基础．
问题（2）以向量为平行四边形的一条对角线，做平行四边形，这样的四边形唯一吗？
[设计意图]：通过平行四边形说明同一个向量表示的不唯一性，即多种表示方法。
问题（3）已知向量
a e e ,,21，仍以为平行四边形的对角线，且平行相邻边所在直线平行于,,21e e 这样的平行四边形唯一吗？
[设计意图]：在,,21e e 确定的情况下，由向量共线定理说
明表示的唯一性，即平行四边形的确定性
通过三个问题，课件展示给学生，使学生亲身感受利用已学知识在处理问题时的作用，引起学生的思考，为定理的形成奠定基础。
问题 4 ：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量，那么用 21,e e 如何表示？尝试做出你的想法。
[设计意图]：通过前三个问题的设置和解决，引申出一个向量如何用其它向量来表示的问题，目的通过学生的“观察、分析 、归纳 、概括”培养学生抽象思维的能力，形成定理的的图像表述。
3.思考交流、构建概念
将图形语言转化为文字语言得到基本定理：
如果21,e e 是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平
面内的任一向量a ，存在一对实数21,λλ ，使2211e e a λλ+=，其中把不
共线的向量21,e e ， 叫向量 a 的一组基底。
4.定理点拨、加深理解
请同学们勾画出概念中的关键词，并思考几个问题． ① 21,e e 满足什么条件才能做基底
② 基底21,e e 是否具有可选择性
③ 定理中实数21,λλ是否唯一
④ 平面向量基本定理的实质是什么？
教师点拨。
引导学生深入理解定理。
5.例题练习、巩固新知
请选择合适的基底表示出MN 向量。
（学生先思考、计算，板演，师生共同完成） [设计意图]:
一方面加深学生对平面向量基本
定理的理解。
理解平面内基底选择的不唯一性。
另一方面为向量的几何应用打下基础。
以此培养
学生观察问题、分析问题的能力．
意图：本例题的设置意在让学生体会到数学来源于生活，服务于生活。
体验到数学在解决实际问题中的应用，发展学生的数学应用意识。
练习：
2、若 ________,,0212211===+λλλλ则e e
3、如图，在平行四边形ABCD 中E 、F 分别是线段BC 、DC 的中点，已知b AD a AB ==, 试用向量b a ,表示DE BF ,
例1、如图，已知梯形ABCD ，AB//CD ，且AB=2DC,M,N
分别是DC,AB 的中点.
M A C D A B D E F
6．归纳小结、深化认知
本节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？你自己体会最深刻的是什么？
(1)通过定理，学习平面内任一向量 都可以表示为两个不共线向量的线性组合,体验了由特殊到一般的归纳概括能力的要求。
(2)通过定理掌握了基底一定，向量表示唯一的辩证统一思想，有序实数对),(21λλ与向量a 一一对应思想体现数学的简洁美，为后继课程学习打下了基础。
设计意图：选派小组代表归纳总结，让学生体会知识的收获感和获得的成就感，体现课堂的价值。
7、布置作业、巩固提高
作业：【必做题】课本87页第1、2、5、6题。
【选作题】用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
[设计意图]：分层次要求，分层次作业，其中必做题针对所有学生基础，学有余力的学生作选做题，体现分层教学。