不规则立体图形的表面积和体积

立体几何专题不规则立体图形的表面积和体积基础知识：规则立体图形的表面积和体积表面积体积正方体（棱长为a）6a2a3长方体（边长a、b、c）2（ab+bc+ca）abc圆柱体（底面半径r，高h）2πr2+2πr·hπr2·h圆锥体（底面半径r，高h）πr2+πr·l例1.把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的体积和表面积。

[答疑编号505787490101]【答案】体积是152立方厘米；表面积是216平方厘米。

【解答】体积：19×23＝152（立方厘米）上下看：3×3＝9左右看：4＋3＋1＝8前后看：4＋4＋3＝10（9＋8＋10）×2×22＝216（平方厘米）进一步思考：（1）对于由小正方体搭起来的组合形体，其表面积总是等于三个方向看到的面积之和的两倍？[答疑编号505787490102]【答案】不是（2）如果挪动最上面那个小正方体，将它移动到其他位置，那么所得到的新的组合形体的表面积最少是多少？[答疑编号505787490103]【答案】200平方厘米【解答】找盖住的面最多的位置，最多可以盖住3个面。

例2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体。

问这个物体的表面积是多少平方米？（π取3.14。

）[答疑编号505787490104]【答案】32.97平方米【解答】结合例1的方法，我们将这个物体的表面积分为上下底的面积和侧面积两部分，不难看出这种叠放并不影响上下底的面积。

解：上底面积与下底面积相等，都是π×1.52=2.25π（平方米）；侧面积就是三个圆柱体的侧面积之和，等于2π×（1.5+1+0.5）×1=6π（平方米）；这个物体的表面积是2.25π×2+6π=10.5π=32.97（平方米）。

进一步思考：如果沿这个物体的中心轴切一刀，将之分成两个相同的立体图形，那么两个新立体图形的表面积之和是多少？[答疑编号505787490105]【答案】44.97平方米【解答】原来的表面还是表面不变，增加的就是切口。

1×1＋2×1＋3×1＝6（平方米）32.97＋6×2＝44.97（平方米）例3. 如图，有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几？[答疑编号505787490106]【答案】8%【解答】与前面的例题类似，我们一般不直接计算切割后的立体图形的表面积，而是先将切割前后的两个立体图形进行比较。

减少的面就就是两个3×2＝6的小长方形。

12÷150×100%＝8%。

例4.如图，有一个边长为20厘米的大立方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米.那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？[答疑编号505787490107]【答案】3厘米【解答】大立方体的表面积是20×20×6＝2400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面却多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但是里面却多出5个面.所以最后的情况是挖掉了三个小正方体，但反倒多出了6个面.可以计算出每个面的面积是（2454－2400）÷6＝9，那么小正方体的棱长就是3.例5.如下图，是一个边长为2厘米的正方体。

在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米。

求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米。

[答疑编号505787490108]【答案】29平方厘米【解答】正方体在挖小洞之前的表面积为6×22平方厘米，挖了小洞之后面积不但没有减少，反而还要加上三个小洞的侧面积的和。

三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：12，（）2，（）2，因此总的表面积为：6×22＋4×12＋4×（）2＋4×（）2＝29（平方厘米）例6.下图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个边长1厘米的正方体，做成一个玩具，它的表面积是多少平方厘米？[答疑编号505787490109]【答案】120平方厘米【解答】42×6＋1×1×4×6＝120（平方厘米）进一步思考：如果将各个相对的面挖通，得到一个新的玩具，那么这个玩具的表面积是多少平方厘米？[答疑编号505787490110]【答案】126平方厘米【解答】这回不容易直接想象内部的空间，那么可以反过来，从挖掉的部分入手考虑。

1×（4－1）×4×3＝36（平方厘米）36＋42×6－12×6＝126（平方厘米）例1.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的表面积。

[答疑编号505787490201]【答案】216平方厘米【解答】由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。

我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。

如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。

由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4平方厘米，所以总的表面积为（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12－4×12＝216（平方厘米）。

例2.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。

已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该图立体的表面积和体积?（π取＝3.14）[答疑编号505787490202]【答案】785.12平方厘米；668.64立方厘米【解答】这个几何体的表面积可分为外表面积和内表面积两部分，外表面积好求；求内表面积时，可把挖去部分的立体图形从原立方体中等积位移出来后分析求得。

体积则用原立方体的体积减去被挖部分体积即可。

解：表面积＝立方体表面积－4个正方形面积－2个圆形面积＋4个长为4宽为3的上下左右面＋（两个正方形挖去两个圆的部分）＋高为6的圆柱侧面积.102×6－42×4－π×22×2＋4×4×（10－4）÷2×2×2＋（4×4×2－22×π×2）＋2×2×π×（3＋3）＝536－8π＋192＋32－8π＋24π＝760＋8π＝785.12（平方厘米）体积＝大正方体－4个4乘4乘3的立方体－1个边长为4的正方体－1个高为6的圆柱.103－4×4×3×4－43－2×2×π×（3＋3）＝1000－256－24π＝668.64（立方厘米）例3.将图中的平面图形折叠成一个四棱锥（中央是一个面积为18平方厘米的正方形，四周都是腰长为5厘米的等腰三角形），那么这个四棱锥的体积是多少？[答疑编号505787490203]【答案】24立方厘米【解答】根据面积可以求出正方形对角线的长为：6厘米。

四棱锥的高h2＝52－32，解得h＝4厘米。

四棱锥的体积为：V＝sh＝×18×4＝24立方厘米例4.一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体的底面半径为10厘米，并且它的底面半径和高都是小圆柱体的两倍.现在容器里有一些水，水面离容器顶有11厘米（如图1），而如果把容器倒过来，水面离顶部有5厘米（如图2）.那么这个容器的容积是________立方厘米（取p＝3）？[答疑编号505787490204]【答案】5400立方厘米【解答】大圆柱体的底面积是小圆柱体的底面积的4倍.假设小圆柱体的高是x厘米，根据两个图中的白色部分体积相等，可以列方程得：x÷4＋（11－x）＝5，解得：x＝8.所以该容器的容积是：5×5×3×8＋10×10×3×（8×2）＝600＋4800＝5400（立方厘米）例5.中国古代数学家如何求出半径为R的球的体积。

祖暅原理：两个立体图形，用一组平行的平面去截，如果其中每个平面截这两个立体图形得到的截面面积都相等，那么这两个立体图形的体积就相等。

应用祖暅原理求出半径为R的球的体积（先求半球的体积）：构造一个新的立体图形，首先做一个底面半径为R，高也为R的圆柱体，再从圆柱体的上表面向下挖去一个高为R的圆锥体（如图所示）。

将这个新的立体图形与半球放置在同一个桌面上。

对于平行于底面的一组平面，用它们去截半球和新的立体图形。

考察高度为H的平面，它截半球得到一个圆（设半径为a），截另一个得到一个圆环（外径为R，设内径为b）。

由勾股定理，有a2+H2=R2，所以圆的面积是p×a2=p（R2-H2）；再分析右面这个图形，可知内径b=H，因此圆环的面积是p×R2-p×H2=p（R2-H2）。

由祖暅原理可知，半球的体积与右面的立体图形相等，所以球的体积是。

例6.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，那么挖出部分的体积是多少？（p取3）[答疑编号505787490205]【答案】15616【解答】将所剩几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。

由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。

所以挖出部分的体积是。