数学建模-姜启源第十章-统计回归模型复习课程
第姜启源数学模型复习总结
第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。
建模的全过程（框图）4个环节的含义。
模型的特点（技艺性）。
模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。
抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。
设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。
（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。
（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<， 即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
数模学习(姜启源笔记)
天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输<i>姜启源数学建模资料</i>静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法<i>姜启源数学建模资料</i>问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
<i>姜启源数学建模资料</i>问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =*****元，准备费元准备费5000元，总计元总计*****元。
数学模型 姜启源
数学模型
数学模型
精选ppt
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称
学时
36
数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
学分 课程类别
3 专业选修课
先修课程
微积分、线性代数、概率论与数理统计
课程简介
本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建 模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。 数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建 模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合， 网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归 分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实 例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
精选ppt
9
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
模 型
了解实际背景 明确建模目的 形成一个
准
比较清晰
备 搜集有关信息 掌精选握ppt 对象特征 的‘问题’25
数学建模介绍 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
阻滞增长模型( 模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数 是 的减函数
r(x) = r − sx (r, s > 0)
评注和思考 建模的关键 ~ θ和 f(θ), g(θ)的确定 的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
1.3.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏) 问题(智力游戏)
随从们密约, 随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货. 人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定. 但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河? 商人们怎样才能安全过河
模型是为了一定目的， 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 是为了一定目的 进行简缩、抽象、提炼出来的原型 原型的替代物 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 集中反映了原型
你碰到过的数学模型——“航行问题” “航行问题” 你碰到过的数学模型
数学建模的具体应用
• 分析与设计 • 预报与决策 • 规划与管理
•
控制与优化
数学建模
如虎添翼
模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 连线呈正方形; 连线呈正方形 • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 地面高度连续变化， 曲面; 曲面 • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 地面相对平坦， 只脚同时着地。 只脚同时着地。
《数学建模(一)》课程教学大纲-公选课
《数学建模（一）》课程教学大纲【课程基本情况】一、课程代码：000373二、课程类别及性质：公共选修课三、课程学时学分：54学时（教学：24 实践：30）2学分四、教学对象：12、13级学生五、课程教材：《数学模型》、姜启源谢金星叶俊等、高等教育出版社六、开设系（部）：信科系七、先修课：高等数学、线性代数【教学目的】通过本课程的学习，使学生能够较好地理解数学模型、数学建模的含义，了解数学建模的重要性。
通过示例的学习使同学们基本掌握建立数学模型的方法和步骤，并能通过数学方法、数学软件求解模型，而且能够对模型的精准性进行分析。
通过学习，培养了同学们的把实际问题表述成数学问题的能力，从而提高了他们的抽象思维能力。
并且通过MATLAB、LINGO 数学软件的应用，提高了他们的计算机应用水平。
【教学内容、基本要求及学时分配】第一章建立数学模型教学时数：2学时第一节从现实对象到数学模型基本要求：掌握数学模型、数学建模的含义。
第二节数学建模的重要意义基本要求：了解数学建模的重要性。
第三节数学建模的示例（不讲授）基本要求：掌握三个示例的建模过程；重点：模型的建立、模型的求解。
第四节数学建模的基本方法和步骤基本要求：掌握数学建模的基本方法和步骤；重点：建模的基本方法和步骤。
第五节数学模型的特点和分类基本要求：了解数学模型的特点和分类。
第六节数学建模能力的培养（不讲授）基本要求：了解建立数学模型所需要的能力。
第二章初等模型教学时数：4学时第一节公平的席位分配基本要求：掌握公平席位的建模方法；重点：建立数量指标。
第二节录像机计数器的用途基本要求：掌握录像机计数器的建模方法；重点：模型的假设及模型的构成。
难点：建立模型的过程。
第三节双层玻璃的功效基本要求：掌握双层玻璃的功效的建模方法及模型应用；重点：模型的构成。
第四节汽车刹车距离基本要求：掌握t秒准则的建立方法；重点：模型建立的过程。
第五节划艇比赛的成绩（不讲授）第六节动物的身长和体重（不讲授）第七节实物交换（不讲授）第八节核军备竞赛（不讲授）第九节扬帆远航（不讲授）第十节量纲分析与无量纲化（不讲授）第三章简单的优化模型教学时数：4学时第一节存贮模型基本要求:掌握存贮模型在两种情况下的建模方法；重点：模型假设。
数学建模姜启源统计回归模型
区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272 (百万支)
yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
区间 [7.8953，8.7592]
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
Stats~ 检验统计量
R2,F, p
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
结果分析 y 0 1x1 2 x2 3x22
参数
0 1 2 3
参数估计值 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ] [-7.4989 0.1077 ] [0.0379 0.6594 ]
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
模型改进 y 0 1x1 2 x2 3x22
x1和x2对y 的影响独立
参数
0 1
参数估计值 17.3244 1.3070
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ]
• 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期
1 2 29 30
本公司价 格(元) 3.85 3.75 3.80 3.70
数学建模的基本方法 机理分析 测试分析
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yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
y ˆˆ0ˆ1x 1ˆ2x2ˆ3x2 2 y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
yˆ
yˆ
9
9
8.5
x2=6.5 8.5
8
8
7.5 -0.2
yˆ
10 9.5
9 8.5
8 7.5
5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1
x1=0.2
8 x2
7.5 -0.2
yˆ
10.5 10 9.5 9 8.5 8 5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1 8 x2
交互作用影响的讨论 y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
价格差 x1=0.1
y ˆx1 0.13.2 027 6 .775x25 0.8 67x2 21
数学建模-姜启源第十章-统计回 归模型
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期
1 2 29 30
本公司价 格(元) 3.85 3.75 3.80 3.70
8.5
8
x2~公司广告费用
7.5
7
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
y01 x 12 x 2310
9.5
x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量)
9 8.5
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数
8 7.5
~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
其它厂家 价格(元)
3.80 4.00 3.85 4.25
广告费用 (百万元)
5.50 6.75 5.80 6.80
价格差 （元） -0.05
0.25 0.05 0.55
销售量 (百万支)
7.38 8.51 7.93 9.26
基本模型
y 10
y ~公司牙膏销售量
9.5
9
x1~其它厂家与本公司价格差
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
y ˆˆ0ˆ1x 1ˆ2x2ˆ3x2 2 yˆ 8.2933(百万支) 区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272(百万支)
y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
区间 [7.8953，8.7592]
价格差较小时增加 的速率更大
价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球
完全二次多项式模型
y 0 1 x 1 2 x 2 3 x 1 x 2 4 x 1 2 5 x 2 2
价格差 x1=0.3
y ˆx1 0 .33.4 258 3 .055x21 0 .3 67x2 21
yˆ
yˆ yˆ x2 7.5357 x10.3
10.5
x10.1 10
价格优势会使销售量增加 9.5 9
8.5
加大广告投入使销售量增加
8
（ x2大于6百万元）
7.5 5
x1=0.3 x1=0.1
6
7
8 x2
据矩阵, 第1列为全1向量
bint~b的置信区间 r ~残差向量y-xb
alpha(置信水平,0.05)
rint~r的置信区间
参数
0 1 2 3
参数估计值 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ] [-7.4989 0.1077 ] [0.0379 0.6594 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
x1和x2对y 的影响有
交互作用
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y 0 1 x 1 2 x 2 3 x 2 2 4 x 1 x 2
参数
参数估计值
置信区间
0
29.1133
Stats~ 检验统计量
R2,F, p
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
结果分析 y01 x 12 x 23 x 2 2
参数
参数估计值
置信区间
0
17.3244
[5.7282 28.9206]
1
1.3070
[0.6829 1.9311 ]
2
-3.6956
[-7.4989 0.1077 ]
[13.7013 44.5252]
1
11.1342
[1.9778 20.2906 ]
2
-7.6080
[-12.6932 -2.5228 ]
3
0.6712
[0.2538 1.0887 ]
4
-1.4777
[-2.8518 -0.1037 ]
R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000
两模型销售量预测比较
价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4
估计x3 调整x4 控制x1
通过x1, x2预测y
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
y ˆˆ0ˆ1 x 1ˆ2x 2ˆ3 x 2 2 8 .29(百3 万支3)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
模型改进 y01 x 12 x 23 x 2 2
x1和x2对y 的影响独立
参数
0 1
参数估计值 17.3244 1.3070
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ]
7
5
5.5
6
6.5
x 7
7.5
2
y01x22x2 2
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y01 x 12 x 23 x 2 2由数据 y,x1,x2估计
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
输入 y~n维数据向量
输出 b~的估计值
x= [1 x1 x2 x22] ~n4数
3
0.3486
[0.0379 0.6594 ]
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
y的90.54%可由模型确定 F远超过F检验的临界值
p远小于=0.05
模型从整体上看成立
2的置信区间包含零点 (右端点距零点很近)
x2对因变量y 的 影响不太显著
x22项显著
可将x2保留在模型中
销售量预测 y ˆˆ0ˆ1 x 1ˆ2x 2ˆ3 x 2 2