符号计算
第6讲 符号计算(2)
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C=triu(A) C= [ sin(x), cos(x)] [ 0, asin(x)]
三、符号导数
• •
1、符号函数的极限 limit(f, x, a)，计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的 极限值。 limit(f, a)，求符号函数f(x)的极限值，符号函数f(x)的 变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋 近于a。 limit(f)，系统默认变量趋近于0，即a=0的极限。 limit(f, x, a, 'right')，变量x从右边趋近于a时符号函数f(x) 的极限值。 limit(f, x, a, 'left')，变量x从左边趋近于a时符号函数的 极限值。
符号运算
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3、因式分解和展开 factor(S)，对S分解因式，S是符号表达式 或符号矩阵。 expand(S)，对S进行展开，S是符号表达 式或符号矩阵。 collect(S)，对S合并同类项，S是符号表 达式或符号矩阵。 collect(S, v)，对S按变量v合并同类项，S 是符号表达式或符号矩阵。
• d4=diff(f2)/diff(f1);
• f=x*exp(y)/y^2; • d5=diff(f,x) %z对x求偏导数 • d6=diff(f,y)
• • • •
d5 = exp(y)/y^2 d6 = x*exp(y)/y^2-2*x*exp(y)/y^3
• • • • • • •
f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=diff(f,x)/diff(f,z)%按隐函数求导 zy=diff(f,y)/diff(f,z) zx = x/z zy = y/z
Mathcad-数学运算-符号运算
(2)在左占位符中输入代数式，在右占 位符输入关键字expand；
(3)把光标移开并单击，便得： (x+1)3(x-1) expand →x4+2·x3-2·x-1
Mathcad-数学运算-符号运算
(c)代数式的 因式分解(Factor)
Mathcad-数学运算-符号运算
图 29
Mathcad-数学运算-符号运算
用户可在此框内输入浮点数的精度， 范围为1～4000之间的整数，当此数大于 255时将计算结果存入剪贴板中而不显示 在屏幕上。例：
解析解： 10
x2 dx
1000
0
3
10
实数解： x2dx floa,6t33.3333
(1)输入多项式； (2)指定展开变量或式子 (3)使用“Symbolics”菜单中的“Polynomial Coefficients”命令即可。 也可用指定代数符号运算符来返回含有指 定变量或指定子式的多项式系数的向量，其步 骤是：
Mathcad-数学运算-符号运算
(1) 按 “ Ctrl+Shift+.” ， 出 现 指 定 代 数符号运算符；
0
复数解：e 2 in co m c2 o p n s l ) ( e isx 2 in n )(
Mathcad-数学运算-符号运算
(3)方程、不等式 的解析解
Mathcad-数学运算-符号运算
使用“Symbolics”菜单“Variable”命 令 的 子 命 令 “ Solve” 可 以 求 出 一 元 方 程 、 多元方程组、不等式的解析解，运用 given-find 求 解 模 块 也 可 以 求 得 多 元 方 程组的解析解。由于Mathcad2001在求解 方程时首先是对代数式进行因式分解， 因此对不能分解成基本因式的方程无法 求出解析解，但可以得到数值解。
第二章 符号计算
2.5 符号计算基本运算符 矩阵运算： + , - , * , / , \ , ^ , ' 数组运算： + , - , .* , ./ , .\ , .^, .‘
2.6 符号计算中函数指令 (表2.1-2) 三角、双曲函数：sin、cosh等 指数、对数函数：exp、expm、log(即ln) 复数函数：conj(共轭)、real、abs (模) 矩阵分解：eig 方程求解：solve 微积分函数：diff、int 绘图函数：ezplot
第二章 符号计算
—— matlab 不仅具有数值运算功能，还开 发了在matlab环境下实现符号计算的工具 包Symbolic Math Toolbox,通过调用Maple 软件实现符号计算。 Maple——强大的符号运算软件
介绍教材第二章内容
Matlab程序设计
符号运算的功能 • • • • • • 符号表达式、符号矩阵的创建 符号线性代数 因式分解、展开和简化 符号矩阵分析和代数方程解 符号微积分 微分方程符号解法
• 默认自变量为 ‘t‘,可任意指定自变量‘x‘, ‗u‘等 • 解中任意常数C的数目等于缺少的初始条件数 • 解存放在构架数组S中 • 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示
Matlab程序设计
dy dy 或 y的一阶导数—— Dy dt dx
d y d y 2 或 2 y的二阶导数—— D2y dt dx d y d y y 的 n 阶导数 —— Dny n 或 n dt dx
(4) syms a b c x;
f3= ax^2+bx+c
%二次三项式
Matlab程序设计
例2.1-5: 区分数值矩阵、字符矩阵、符号矩阵
符号运算参考答案讲解
符号运算参考答案讲解实验3 符号运算⼀、实验⽬的1.掌握符号对象的创建及符号表达式化简的基本⽅法；符号(symbol)运算的基本功能.2.掌握符号微积分、符号⽅程的求解的基本⽅法。
⼆、实验内容与要求1. 字符型变量、符号变量、符号表达式、符号⽅程的建⽴⽤单引号设定字符串变量>>a ='u+4'%定义a为字符型变量a =u+4⽤命令sym(‘’)创建单个符号变量、符号表达式、符号⽅程. >>x= sym('m+n+i') %定义x为符号型变量x=m+n+i>>y = sym（'d*x^2 + x – 4'）%定义y为符号表达式y=d*x^2 + x – 4>>e = sym(' a*x^2+b*x+c=0') %定义e为符号⽅程e=a*x^2+b*x+c=0⽤命令syms创建多个符号变量、符号表达式.>>syms a b x y %定义a，b，x，y为符号变量，字母间必须⽤空格>>s = a*x^4+b*cos(y)-x*y %定义s为符号表达式s=a*x^4+b*cos(y)-x*y基于MA TLAB的数学实验16注意：sym(‘’)中的单引号不要漏，syms后的符号变量之间不能⽤逗号，⽤syms不能建⽴符号⽅程.2. 复合函数计算格式：compose(f,g,x,y)%返回复合函数f [ g (y)]，f = f (x)，g = g (y).>>syms x y>>f = 1/(1 + x^2*y); g = sin(y);>>C = compose(f,g,x,y) % 结果为1/(1+sin(y)^2*y)2 合并同类项格式：collect(S) %是对S中的每⼀函数，按缺省变量x的次数合并系数.collect(S,v) %是对指定的变量v计算，操作同上.【例1.18】>> syms x y %定义x,y为符号变量>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2)); %结果为x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y);%结果为y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1) 4.符号表达式的展开格式：R=expand(S) %展开符号表达式S中每个因式的乘积。
计算机符号计算
计算机符号计算
《计算机符号计算》
一、什么是符号计算
符号计算也称计算机符号化模型是一种以符号，而不是常规数值，表示计算机中问题的方法，它将常规的计算问题用符号抽象出来，使得计算机能够自动识别、处理和推理这些问题。
符号计算有两类：一类是符号逻辑计算，另一类是符号模拟计算。
符号逻辑计算是用逻辑表示（包括命题逻辑、概念逻辑、形式逻辑等）建立的符号模型来描述问题的，进而运用推理机制来求解问题；而符号模拟计算是模拟问题本身，通过符号表示和计算机编程等来求解问题。
二、符号计算的优势
1、易操作：符号计算的操作极其简单，因此在计算机中实现符
号计算非常容易，而传统的数值计算则比较复杂。
2、健壮性：符号计算在健壮性方面好于数值计算，能更好地抵
御不确定性和变化的环境。
3、易理解：符号计算能够直观地显示计算过程，被计算的对象
用字符符号表示，容易深入理解，更容易验证计算结果的正确性。
4、准确性：符号计算是通过计算机的模拟，使得能够考虑到计
算中的所有复杂性，从而达到更高的准确性。
三、符号计算的应用
符号计算的应用非常广泛，主要有以下几个方面：
1、模拟计算：符号计算是一种精确模拟，它能够将复杂的现实问题模拟出来，以满足精确模拟的要求。
2、控制系统设计：符号计算能够提供许多便利的方法来处理不确定性和复杂性，因此在控制系统设计中也有广泛应用。
3、智能推理：符号计算本身就是一种智能推理，它能够解决复杂的知识推理问题。
4、大数据处理：符号计算可以帮助处理大数据，它能够快速地处理巨大的数据集，从而得出数据模型和关联结构。
符号运算
4.5 符号积分变换
4.5.1 Fourier变换
F＝fourier(f,t ,w) %求以t为符号变量f的fourier变 换F
2. findsym函数
findsym(S,n) %确定符号对象S中的n个自由
符号变量
练习
4.3.2符号表达式的化简
多项式的符号表达式有多种形式，例如， f(x)=x3+6x2+11x-6可以表示为： 合并同类项形式：f(x)=x3+6x2+11x-6 因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
例：
>> syms x y t v n
>> f=x+y;
>> g=t*v; >> y1=compose(f,g)
%以x为符号变量求复合函数
y1 =
t*v+y >> y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n代替t求复合函数f(g(n))
y4 =
x+n*v
4.3.5 多项式符号表达式
1. 多项式符号表达式的通分 [N,D] = numden(s)%提取多项式符号表达式s的分子 和分母
6. simplify函数 simplify函数是一个功能强大的函数，利用各种形 式的代数恒等式对符号表达式进行化简，包括求和 、分解、积分、幂、三角、指数、对数、Bessel以及 超越函数等方法来简化表达式。 7. simple函数 找出字符最少的简化表达式，simple 函数适用于 三角函数化简。 例：
第5章 符号运算
号变量a，因此系统不能进行f-a运算，给出了错误信息。
字符串、表达式或字符表达式等等。
【例6-1】使用sym函数创建符号变量和符号表达式。 分别输入以下语句：
x=sym('x') y=sym('hello') z=sym('(1+sqrt(5))/2') f= sym ('a*x^2+b*x+c') f-a 返回结果依次为：
5.1 符号变量的创建
符号变量和符号表达式的创建
sym函数 定义单个符号变量
>>f1=sym(‘ax^2+bx+c’) %创建符号变量f1和一个符号表达式
>>a=sym(‘a’)
syms函数 一次定义多个符号变量
>> clear
>> syms a b c x
>> whos
Name Size
Bytes Class Attributes
例 反函数
>>clear >>syms x y >>finverse(1/tan(x)) ans =
atan(1/x) >>f = x^2+y; >>finverse(f,y) ans =
符号计算与数值计算的结合方法研究
符号计算与数值计算的结合方法研究符号计算与数值计算是计算机科学中两个重要的研究领域。
符号计算主要处理符号表达式，能够精确地求解代数方程、微积分问题等数学问题，是高级数学、科学与工程领域不可缺少的工具。
数值计算主要处理离散数据的计算问题，其应用范围非常广泛，包括科学计算、工业计算等。
符号计算和数值计算都有其独特的优缺点，它们之间的结合方法可以充分发挥它们的优势，解决更加复杂的数学问题。
一、符号计算和数值计算的优缺点符号计算和数值计算有各自的优缺点。
符号计算具有高精度、高可靠性和通用性等优点，它能够对代数方程、微积分问题等数学问题进行完全的符号化处理，获得闭合的解析式。
符号计算的缺点是其处理速度较慢，且对于复杂的数学问题难以进行符号化处理。
数值计算具有处理速度快、适用范围广等优点，其模拟了许多现实世界中的问题，能够提供数字解，而不是解析解。
数值计算的缺点是处理的数据是离散的，其精度始终受到数据离散程度的限制。
二、符号计算和数值计算的结合方法符号计算和数值计算之所以能够结合起来，是因为它们既有各自的优势和特点，又有互补的作用。
在实际应用中，符号计算和数值计算常常配合使用，以在不同场景下获得更好的计算效果。
1. 符号计算和数值计算的计算优化符号计算和数值计算的结合方法可以优化计算过程。
符号计算能够将数学问题转换为更加简洁的表达式，使得计算过程更加高效。
数值计算则能够将符号计算得到的表达式对应转化为算法，使得计算结果更加准确。
符号计算通过化简、代数替换等技术，将原本复杂的数学公式转换为更为简单的形式，从而降低计算难度。
数值计算则通过数值模拟、优化算法等技术，加速计算，提高并行化效率，增强数值计算的可靠性。
2. 符号计算和数值计算的数据在表达上的转换符号计算和数值计算的结合方法可以进行数据在表达上的转换。
符号计算的处理结果是高度抽象、形式上的，包括如多项式代数、超几何显式公式等数学结构，在特定场景下能够提供通用性的形式化解。
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符号对象与符号表达式
在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是 符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据 结构。
含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab 在内部 把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。
b 是符号常量
>> c=sym('[1 ab; c d]')
c 是符号矩阵
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式
为：
syms 符号变量1 符号变量2 ... 符号变量n
例： >> syms a b c
>> a=sym('a'); >> b=sym('b'); >> c=sym('c');
>> subs(f2,'u',a+2)
ans=14
>> subs(f2,'u','a+2') >> syms x y
ans=2*((a+2)+2)
>> f3=subs(f,'u',x+y)
f3=2*x+2*y
>> subs(f3,[x,y],[1,2]) ans=6
下面的命令运行结果会是什么？
>> subs(f3,[x,y],[x+y,x+y])
Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称 和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同
基本运算符 普通运算：+ 、- 、* 、\ 、/ 、^ 数组运算：.* 、.\ 、./ 、.^ 矩阵转置：' 、.'
例：>> X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]');
若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。
subs 举例
例：指出下面各条语句的输
f=2*u
>> subs(f,'u',2)
ans=4
>> f2=subs(f,'u','u+2') >> a=3;
f2=2*(u+2)
上机作业
指出下面的 M1，M2，M3 分别是什么，并上机验证。 >> a=1; b=2; c=3;d=4; >> M1=[a,b;c,d]; >> M2='[a,b;c,d]'; >> M3=sym('[a,b;c,d]');
下面语句计算出来的 c1，c2 相等吗，为什么？上机验证。
>> a1=1e10; b1=1e-10; >> c1=(a1+b1-a1)/b1; >> a2=sym(a1); b2=sym(b1); >> c2=(a2+b2-a2)/b2;
>> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、acsc、… exp、log、log2、log10、sqrt abs、conj、real、imag rank、det、inv、eig、lu、qr、svd diag、triu、tril、expm
补充：class(x) 查看指定变量 x 的类型
符号矩阵/数组：元素为符号表达式的矩阵/数组。
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A)
参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串
例： >> a=sym('a')
a 是符号变量
>> b=sym(1/3)
查找符号变量
查找符号表达式中的符号变量
findsym(expr)
按字母顺序列出符号表达式 expr 中的所有符号变量
findsym(expr, N) 列出 expr 中离 x 最近的 N 个符号变量
若表达式中有两个符号变量与 x 的距离相等，
则ASCII 码大者优先。
常量 pi, i, j 不作为符号变量
Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算 功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、 化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代 数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支 持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。 符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数 值解（封闭解不存在时）。
符号表达式的建立
符号表达式的建立：
建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。 (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例： >> y=sym('sin(x)+cos(x)')
>> x=sym('x'); >> y=sin(x)+cos(x)
符号对象的基本运算
Matlab 符号运算 (一)
Matlab 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建立在功能 强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时， 它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。
findsym 举例
例： >> f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a')
>> findsym(f) >> f=sym(f,3)
>> f=sym(f,1)
符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式 相近。
符号计算所需的运行时间相对较长。
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c')
求 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2)