隐函数方程求解以及导函数——符号计算和数值计算结合
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数高等数学中的四隐函数的导数对数求导法指的是通过参数方程所确定的函数来求导。
这种方法在求解一些复杂函数的导数时非常有效，可以简化计算过程，提高求解的准确性和效率。
首先，我们来了解一下什么是隐函数和参数方程。
在数学中，当一个方程中的变量无法明确地表示出来时，就称为隐函数。
例如，x^2+y^2=1就是一个隐函数。
而参数方程是一种表示曲线的方法，其中，x和y是两个独立变量的函数。
参数方程可以将曲线上的点表示为(x(t)，y(t))的形式，其中t是一个参数。
例如，x = cost，y = sint是描述一个单位圆的参数方程。
接下来，我们使用参数方程来求解隐函数的导数。
假设有两个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求解由这两个参数方程所确定的隐函数y=f(x)。
我们可以通过以下步骤来计算：步骤1：首先，通过第一个参数方程求解t关于x的导数，即 dt/dx = dx/dt ÷ dy/dt。
这个导数表示了x的变化速率对应于t的变化速率的比例关系。
步骤2：接下来，通过将t关于x的导数带入第二个参数方程，得到y关于t的导数 dy/dt。
这个导数表示了y对t的变化速率。
步骤3：最后，通过链式法则，将dy/dt乘以dx/dt，即 dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)。
这个导数表示了y对x的变化速率。
这就是我们所要求解的隐函数的导数。
通过以上的步骤，我们可以得到通过参数方程所确定的隐函数的导数。
这种方法可以应用于各种隐函数求导的情况，无论是简单的方程还是复杂的曲线，都能有效地进行计算。
然而，需要注意的是，对于一些特殊的函数，使用参数方程进行求导可能并不是最方便的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体问题和计算的需要选择不同的求导方法，以求解隐函数的导数。
总结起来，四隐函数的导数对数求导法是一种通过参数方程来求解隐函数导数的方法。
9.5隐函数方程求导法则
y)，求
2z x 2
和
2z xy
第9章 多元函数
解：z x
ln
yf1'
f
' 2
2z x 2
ln
y
f1' x
f
' 2
x
ln
y(ln
yf11
f12 ) (ln
yf21
f22 )
ln2 yf11 ln y( f12 f21 ) f22
u v
z
uv
当u ( x, y)、v ( x, y)时，( z 是中间变量 u、v的函数)
有全微分： dz z du z dv u v
z
uv
x yx y
分析：
第9章 多元函数
dz z dx z dy
x y
( z u z v ) dy
知识回顾： 1. F( x, y) 0
第9章 多元函数
隐函数求导方法: （1、直接法）
两边对 x 求导 （y是x的函数）
(含导数 y的方程)
第9章 多元函数
例 求由方程 xy ex ey 0所确定的隐函数y的导数 dy dx
解1 方程两边对 x求导 : （y是x的函数） 由复合函数求导法则可得：
第9章 多元函数
1. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z fu (u ,v) d u fv (u ,v) d v
2、隐函数 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
用消元法解二元线性方程组：
第9章 多元函数
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
隐函数求导详细过程
隐函数求导详细过程对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
一、一个方程的情形=0 (1)求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有(2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。
解设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。
下面求这函数的一阶和二阶导数=，;=。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有=,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于(, )≡0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得+=0, +=0。
隐函数求导的基本步骤与方法
隐函数求导的基本步骤与⽅法
1、隐函数求导的基本原则
对于隐函数求导⼀般不赞成通过记忆公式的⽅式来求需要计算的导数，⼀般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同⼀变量的求导数的⽅式来求解。
即⽤隐函数求导公式推导的⽅式求隐函数的导数。
这样的⽅式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适⽤。
具体过程可以参见下⾯列出的课件！
2、多元复合函数求导数的基本步骤
（1）确定最终函数与最终变量。
（2）通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。
（3）关键：绘制变量关系图。
（4）链式法则：
分段⽤乘, 分叉⽤加, 单路全导, 叉路偏导。
从最终函数到最终变量有⼏条路径就有⼏项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接⾮常准确地写出计算式。
（5）完成计算。
【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构⼀样。
【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，⼀般先进⾏四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使⽤复合函数求导法则进⾏计算，将计算得到的结果代⼊原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
求隐函数偏导数的三种方法
求隐函数偏导数的三种方法求隐函数的偏导数是微积分中的一个重要概念，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
在求解隐函数的偏导数时，我们可以采用三种方法来进行计算，分别是隐函数法、参数化方法和对数求导法。
下面将分别介绍这三种方法的原理和应用。
首先是隐函数法。
隐函数法是一种常用的求解隐函数偏导数的方法，它的基本思想是将隐函数转化为显函数，然后再进行求导。
具体步骤如下：1. 假设给定一个由x和y构成的方程F(x, y) = 0，其中y是x的隐函数。
我们需要找到一个关系式来表示y关于x的导数dy/dx。
2. 对方程F(x, y) = 0两边同时对x求导，得到F_x(x, y) + F_y(x, y) * dy/dx = 0，其中F_x和F_y分别表示F关于x和y的偏导数。
3. 将上述方程变换为dy/dx的表达式，即dy/dx = -F_x(x, y) / F_y(x, y)。
通过上述步骤，我们就可以得到隐函数的偏导数dy/dx。
隐函数法在求解具有隐函数形式的方程时非常有用，能够简化计算过程，提高求解效率。
接下来是参数化方法。
参数化方法是另一种常用的求解隐函数偏导数的方法，它的基本思想是将隐函数转化为参数方程，然后再进行求导。
具体步骤如下：1. 假设给定一个由x和y构成的方程F(x, y) = 0，其中y是x的隐函数。
我们需要找到一个参数t，使得x和y都可以表示为t的函数。
2. 通过参数化，将方程F(x, y) = 0转化为F(x(t), y(t)) = 0，其中x 和y都是t的函数。
3. 对上述方程同时对t求导，得到F_x(x(t), y(t)) * x'(t) + F_y(x(t), y(t)) * y'(t) = 0，其中x'和y'分别表示x和y关于t的导数。
4. 将上述方程变换为dy/dx的表达式，即dy/dx = -x'(t) / y'(t)。
通过上述步骤，我们就可以得到隐函数的偏导数dy/dx。
隐函数求导方法及应用
隐函数求导方法及应用隐函数求导作为微积分中的重要概念之一，在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍隐函数求导的方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、隐函数求导的基本概念和方法隐函数是一类无法用显式表达式表示的函数，其自变量和因变量之间的关系以隐含的形式存在。
在进行隐函数求导时，我们可以利用链式法则和隐函数定理来完成。
1. 链式法则链式法则是求导中的一个基本原理，用于处理复合函数的求导问题。
对于一个由两个函数构成的复合函数，求导时可以分别对其内外两个函数进行求导，然后相乘得到最终的导数。
2. 隐函数定理隐函数定理是隐函数求导的基础，它通过求偏导数的方式将隐函数的导数转化为已知的函数导数。
对于一个由两个变量构成的隐函数，根据隐函数定理，可以通过求解偏导数的方程组得到隐函数的导数。
二、隐函数求导的实际应用隐函数求导在实际问题中具有广泛的应用，包括物理、经济、生物等领域。
下面将以物理学中的匀变速直线运动问题为例，来说明隐函数求导的应用过程。
假设一个物体在水平方向上做匀变速直线运动，位置与时间的关系可以表示为 x = f(t)，速度与时间的关系可以表示为 v = g(t)。
根据运动学的知识，速度的定义是位移对时间的导数，即v = dx/dt。
根据隐函数求导的方法，我们可以将速度表示为 v = dx/dt = dx/dt * dt/dt = dx/dt * dt/dx。
由于 x = f(t)，所以 dx/dt = d(f(t))/dt。
同理，将 v = dx/dt * dt/dx 带入到 dx/dt = d(f(t))/dt 中，可以得到 v = d(f(t))/dt * dt/dx。
进一步推导可得 v = dx/dt = d(f(t))/dt * dt/dx = d(f(t))/dx。
通过这个例子，我们可以看到隐函数求导的应用在物理学问题中的价值。
三、结论隐函数求导是微积分中的重要概念，通过应用链式法则和隐函数定理，我们可以求解无法用显式表达式表示的函数的导数。
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这个问题可以作为符号运算和数值运算结合的很好的一个例子：利用隐函数求导公式对f
进行一二阶求导，然后利用solve得到B关于t的一、二阶导数的符号表达式，然后再利用eval函数转化成数值表达式：整个代码如下：
1.
2.syms A B ;
3.r=1;beta=pi/5;rho=2;
4.%f的符号表达式
5.f=(r*sin(A)-rho*sin(3*B))*(cos(beta)-sin(beta)*cos(3*B)-...
6. sin(beta)*sin(3*B)*tan(B))-(r*cos(A)-rho*cos(beta)*cos(3*B))*
tan(B);
7.%将A,B分别用90*t和B(t)替换，为的是好利用符号diff函数来求对B关于
t的隐函数F求导
8. F = subs(f,{'A','B'},{'90*t','B(t)'});
9.dFt = diff(F,'t');%一阶导数
10.%将diff(B(t), t)用dBt替换，为的是下一步方便用solve求解diff(B(t), t)
的表达式
11.dFt = subs(dFt,'diff(B(t), t)','dBt');
12.dBt = solve(dFt,'dBt');%得到B关于t的一阶导数的表达式
13.%将dBt用dBt(t)替换，为的是告诉MATLAB,dBt是关于t的函数，能够进一步
求导
14.dFt_ = subs(dFt,'dBt','dBt(t)');
15.ddFt = diff(dFt_,'t');%二阶导数
16.%替换'diff(dBt(t), t)','diff(B(t), t)'，方便求解ddBt的表达式
17.ddFt = subs(ddFt,{'diff(dBt(t), t)','diff(B(t),
t)'},{'ddBt','dBt(t)'});
18.ddBt = solve(ddFt,'ddBt');%求解B关于t的二阶导数的表达式
19.B = @(t) fzero(@(B) (r*sin(90*t)-rho*sin(3*B))*(cos(beta)-...
20. sin(beta)*cos(3*B)-sin(beta)*sin(3*B)*tan(B))-...
21. (r*cos(90*t)-rho*cos(beta)*cos(3*B))*tan(B),1);%B关于t的函数
22.eval(['dBt = @(t) ',char(dBt),';' ])%利用eval函数将符号dBt的表达式
转化为数值函数
23.eval(['ddBt = @(t) ',char(ddBt),';' ])
24.R = 1;
25.C = @(t) R*cos(90*t)/tan(B(t))+sin(90*t);%C的表达式
26.t = 0.2:0.1:2;
27.plot(t,arrayfun(@(T) C(T),t) )%画C关于t的图
28.
复制代码
需要说明的是得到B的函数句柄B(t)后我们可以利用导数的定义来近似表达式dBt，和ddBt，这样的优点是速度快，但是不精确。
上述得到的dBt,ddBt,较为精确，但是计算量比较大。
1.
2.>> (B(1)-B(1.00001))/-0.00001
3.ans =
4.-8.656343*********
5.>> dBt(1)
6.ans =
7.-8.664398751230884
8.>> (dBt(1)-dBt(1.00001))/-0.00001
9.ans =
10. 1.611166395037067e+003
11.>> ddBt(1)
12.ans =
13. 1.610613426031270e+003
14.
复制代码
C关于t的图形。