用数值与符号2种方法给定函数的定积分,并对结果进行比较课程设计
定积分的计算与应用
汇报人：XX
目录
ห้องสมุดไป่ตู้
定积分的概念与性质
01
定积分的计算方法
02
定积分的应用
03
定积分的近似计算
04
定积分的应用实例
05
定积分的概念与 性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限 定积分的定义是通过分割、近似、求和、取极限四个步骤来定义的 定积分的值是一个常数，表示曲线与x轴所夹的面积 定积分的符号为∫，其上下限为积分的变量x的取值范围
误差分析：误差大小与分点数有关，分点数越多，近似值越精确
辛普森法
定义：辛普森法是一种数值积分方法，通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上使用简单的近似函数来 计算积分的近似值。
原理：利用定积分的性质，将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上用矩形法或梯形法计算近似值，然后求 和得到积分的近似值。
应用：定积分可以用来计算各种旋转体的体积，如圆柱、圆锥、球等。
用定积分解决物理问题
计算曲线下的面积 计算变速直线运动的位移 计算变力做功 计算非均匀细棒的质量
用定积分解决经济问题
计算经济总量：利用定积分计算一 段时间内经济活动的总量
制定经济政策：利用定积分分析经 济数据，制定相应的经济政策
添加标题
近似计算：当需要计算定积分的近似值时， 可以使用牛顿-莱布尼茨公式，通过取原函 数在积分区间的平均值来近似计算定积分的 值。
应用场景：牛顿-莱布尼茨公式在数学、物 理、工程等领域有着广泛的应用，是计算定 积分的重要工具之一。
定积分的应用实 例
用定积分求曲线的面积
添加 标题
曲线的面积计算公式为A=∫(a→b)f(x)dx
定积分的计算和应用教案
定积分的计算和应用教案一、引言定积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本教案中，我们将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
二、定积分的计算方法1. Riemann和定积分Riemann和定积分是定积分最基础的计算方法之一。
它通过将区间分成若干小区间，并在每个小区间上取样点来逼近曲线下的面积。
2. 积分基本公式积分基本公式是定积分的重要工具，它包括线性性质、分部积分、换元积分等。
通过运用这些公式，我们可以简化计算过程，提高效率。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是指定积分可以表示曲线下的面积。
我们可以通过划分区间，近似求解曲线与x轴之间的面积，从而得到定积分的几何意义。
4. 定积分的数值计算定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现，其中包括梯形法则、辛普森法则等。
这些方法可以在计算机上进行快速计算，提高计算精度和效率。
三、定积分在实际问题中的应用1. 曲线长度的计算定积分可以用来计算曲线的长度。
通过将曲线分割成小线段，计算每个小线段的长度并求和，即可得到曲线的总长度。
2. 平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积。
通过将图形分成若干小区域，计算每个小区域的面积并求和，即可得到图形的总面积。
3. 物体的质量和质心定积分可以用来计算物体的质量和质心。
通过将物体分成若干小部分，计算每个小部分的质量和质心的位置，并求和，即可得到物体的总质量和质心的位置。
4. 动力学问题定积分在动力学问题中有广泛的应用。
例如，通过计算物体在某段时间内受到的力的积分，可以求解物体的位移、速度、加速度等动力学参数。
四、案例分析以汽车行驶过程中的路程计算为例，通过定积分来计算车辆在不同时间段内的行驶路程。
通过将时间段分割成若干小时间段，计算每个小时间段内的速度，并将速度与时间段长度相乘求和，即可得到总行驶路程。
五、总结本教案介绍了定积分的计算方法和应用，包括Riemann和定积分、积分基本公式、定积分的几何意义和数值计算方法等。
定积分的数值计算方法[文献综述]
![定积分的数值计算方法[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/61e43029b84ae45c3a358c3f.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、 前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰， （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、 主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ． 对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1） 在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可 得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出 定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈， （2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈， （2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． 定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7） 公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8） 其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式． 定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=， 局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．11） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．12） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰． （2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ． （2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ， （2．17） 其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰． 因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰． （4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+， （4．6） 是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰， （4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9） 称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ， （4．10） 这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、 总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德 帕特里克O ．惠特莱． 应用数值分析（第7版）[M]．北京：机械工业出版社，2006，(8)： 222~225．[9]夏爱生，胡宝安，孙利民，夏凌辉．复化Simpson 数值求积公式的外推算法[J]．军事交通学院学报．2006，第8卷（第1期）： 66~68．[10]（美）David Kincaid, Ward Cheney ．王国荣，俞耀明，徐兆亮译．数值分析（原书第三版）[M]．北京：机械工业出版社，2005，(9)： 400~403．[11]M．T．Heath． Scientific Computing:An Introductory Survey, Sscond Edition[M]．清华大学出版社．英文影印版． 2001，(10)： 351~355．[12]封建湖，车刚明，聂玉．数值分析原理[M]．北京：科学出版社，2001，(9)： 111~114．[13]杨大地，涂光裕．数值分析[M]．重庆：重庆大学出版社,，2006，(9)： 139~142．[14] 黄明游，刘播，徐涛．数值计算方法[M]．北京：科学出版社，2005，(8)：137~138．[15]Jeffery J．Leader． Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．英文影印本．北京：清华大学出版社，2005，(8)： 342~349。
数学分析定积分课件
定积分在物理中的应 用
• 定积分在物理中的应用 • 求解物体的位移 • 求解物体的速度 • 求解物体的加速度
定积分在工程中的应 用
• 定积分在工程中的应用 • 求解工程问题的累积效应 • 求解工程问题的优化问题 • 求解工程问题的概率分布
数06学分析定积分习题精选
与解答
习题精选与解题思路
习题精选
连续函数的定积分与间断函数的定积分
连续函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在 • 连续函数的定积分可以通过基本积分公式、换元积分法和分部积分法求解
间断函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上存在间断点，则定积分∫[a, b] f(x) dx可能存在 • 间断函数的定积分可以通过黎曼和和勒贝格积分求解
基本积分公式的应用
• 求解简单的定积分问题 • 通过换元法求解复杂积分问题
换元积分法及其应用
换元积分法的基本原理
• 通过换元将复杂的积分问题转化为简单的积分分法的应用实例
• 将三角函数转换为幂函数 • 将指数函数转换为幂函数 • 将多项式函数转换为幂函数
定积分的极限存在性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存 在 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在
定积分的唯一性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx的 值唯一 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx的值唯一
分部积分法及其应用
分部积分法的基本原理
• 将复杂的积分问题分解为简单的积分问题 • 通过分部积分求解定积分
(完整版)定积分教案
《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。
第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页=i 1。
则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。
数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作：⎰=badxx f J )(其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dxx f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。
定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 nb x T i =∆, 取.=.由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数211)(x x f +=在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。
作业：课后1. 2.（1）（2）第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰b adxx f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而与积分变量所用的符号无关。
数值积分方法比较论文素材
数值积分方法比较论文素材在数值计算领域，数值积分方法是一种常用的数值计算技术。
它通过将函数转化为离散的数值点来近似计算函数的积分值。
数值积分方法有多种不同的算法和技巧，各有优劣之处。
本文将介绍几种常见的数值积分方法，并对它们进行比较分析。
一、矩形法（Rectangle Method）矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的基本思想是将积分区间分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]其中，n表示分割的矩形数量，x_i是每个矩形的横坐标，Δx是每个矩形的宽度。
矩形法的主要优点是计算简单、直观，适用于函数变化较平缓的情况。
然而，由于它只利用了函数在各个矩形端点的函数值来进行近似，所以精度较低，对于曲线变化剧烈的函数不适用。
二、梯形法（Trapezoid Method）梯形法是另一种常用的数值积分方法。
它的思想是将积分区间分割为若干个小梯形，计算这些梯形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1})+f(x_i)) \Delta x \]梯形法相对于矩形法的优势在于，它不仅利用了函数在端点的取值，还考虑了函数在每个小梯形的中点的取值。
因此，梯形法的精度比矩形法更高，适用于更多种类的函数。
三、辛普森法（Simpson's Method）辛普森法是一种更为精确的积分方法，它通过将积分区间分割为若干个小的三角形形状，计算这些三角形的面积之和来近似函数的积分值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1}) +4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) + f(x_i)) \Delta x \]辛普森法相比于矩形法和梯形法，在积分近似值的计算上更为准确。
metlab用数值计算和符号计算两种方法求定积分
metlab用数值计算和符号计算两种方
法求定积分
在MATLAB中，你可以使用数值计算方法和符号计算方法来求解定积分。
1. 数值计算方法：数值计算方法通过将积分区间划分为小的子区间，并使用数值逼近技术来计算近似的积分值。
MATLAB中常用的数值计算函数是 integral 和 quad。
示例代码：
% 使用 integral 函数计算定积分
f = @(x) x^2 + 2*x + 1; % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = integral(f, a, b); % 计算定积分值
% 使用 quad 函数计算定积分
result = quad(f, a, b); % 计算定积分值
2. 符号计算方法：符号计算方法使用符号表达式来表示积分函数，然后对符号表达式进行符号化求解。
MATLAB中的符号计算工具箱提供了符号积分的功能，可以进行精确的符号计算。
示例代码：
% 使用符号计算方法求定积分
syms x; % 声明符号变量
f = x^2 + 2*x + 1; % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = int(f, x, a, b); % 符号化求解定积分
% 将符号表达式转换为数值结果
result = double(result);
无论使用数值计算方法还是符号计算方法，你都可以根据具体的情况选择适合的方法来求解定积分。
数值计算方法适用于数值近似解，而符号计算方法适用于精确的符号解析。
定积分的计算(教案)
易知上面的运算实际上是通过变换 u cos x 把原积分化为 u 5 的积分。如果 在这里把关于 x 的积分改写关于 u 的积分， 那么必须注意： 原来 sin 5 x cos x 关于 x 在 [0, / 2] 上的积分换元后相应的是 u 5 关于 u 从 1 到 0 的积分，即
n为 偶 数 , n为 奇 数 .
二．换元积分法 从不定积分的换元法转换到定积分的换元法，要特别注意积分上、下限的对 应关系。 定理 3.3.2 设 f 是 [a, b] 上的连续函数， 是定义于 和 间的具有连续导 数的函数，其值域包含于 [a, b] ，且 a ( ) ， b ( ) 。则
0 0
xc o s x0 cos xdx
0
s in x0 。
例 3.3.2 解
计算 I n 2 sin n xdx ，其中 n 为非负整数。
0
显然，
I 0 2 sin 0 xdx
0
2
，
2 1。 I1 2 sin xdx cos x 0 0
教
案
定积分的计算
教学内容
由 Newton-Leibniz 公式知道， 函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取 值之差， 因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟 并非原函数而是积分的值， 所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技 巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。 定积分计算是微积 分中的基本技术，是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容： （1） 定积分的分部积分法； （2） 定积分的换元积分法； （3） 定积分的常用计算技巧； （4） 定积分的近似计算（数值积分法） 。
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课程设计(论文)任务书软件学院学院专业班一、课程设计(论文)题目用数值与符号2种方法给定函数的定积分，并对结果进行比较二、课程设计(论文)工作自 1年6月27日起至1年 7月1日止。
三、课程设计(论文) 地点:四、课程设计(论文)内容要求：1．本课程设计的目的（1）熟练掌握MATLAB语言的基本知识和技能；（2）熟悉MATLAB下的程序设计；（3）熟悉MATLAB数值与符号求给定函数的定积分；（4）培养分析、解决问题的能力；提高学生的科技论文写作能力。
2．课程设计的任务及要求1）基本要求：（1）熟练掌握MATLAB的编程语句，掌握MATLAB的基本内容，了解MATLAB理论与实际相结合的优势；（2）利用matlab中的编程，掌握用数值积分与符号积分求解定函数定积分的方法，并学会用科学的方法分析实验结果２）课程设计论文编写要求（1）要按照课程设计模板的规格书写课程设计论文（2）论文包括目录、正文、心得体会、参考文献等（3）课程设计论文用B5纸统一打印，装订按学校的统一要求完成３）答辩与评分标准：（1）完成原理分析：20分；（2）完成设计过程：40分；（3）完成调试：20分；（4）回答问题：20分；４）参考文献：（1）刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）. 北京：高等教育出版社，2008.５）课程设计进度安排内容天数地点构思及收集资料2图书馆编程设计与调试1实验室撰写论文2图书馆、实验室学生签名：冯玉好２０１１年７月１日课程设计(论文)评审意见（1）完成原理分析（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（2）设计分析（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（3）完成调试（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（4）翻译能力（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（5）回答问题（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（6）格式规范性及考勤是否降等级：是（）、否（）(7) 总评分数优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；评阅人：职称：2011年7月1日目录目录.................................................................. 错误！未定义书签。
一、MATLAB简介........................................ 错误！未定义书签。
1. MATLAB基本功能 ............................. 错误！未定义书签。
2. MATLAB基本应用 ............................. 错误！未定义书签。
二、课程设计............................................... 错误！未定义书签。
1. 课程设计题目....................................... 错误！未定义书签。
2. 课程设计内容 (5)3. 数值积分 (5)4. 符号积分 (8)5. 求给定函数定积分 (10)6. 课程设计结果分析 (12)三、课程设计总结心得体会 (12)四、参考文献 (12)一MATLAB简介MATLAB软件界面图MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是由美国mathworks 公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
1：MATLAB基本功能MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB 成为一个强大的数学软件。
在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JAVA的支持。
可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。
2：MATLAB基本应用MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：● 数值分析● 数值和符号计算● 工程与科学绘图● 控制系统的设计与仿真● 数字图像处理技术● 数字信号处理技术● 通讯系统设计与仿真● 财务与金融工程MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。
附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题二课程设计（论文）１：课程设计题目：用数值与符号两种方法求给定函数的定积分，并对结果进行比较。
２：课程设计内容介绍（１）数值积分1〉数值积分的基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi ,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
2〉数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例建立一个被积函数文件fesin.m然后在MATLAB命令窗口，输入命令：2.被积函数是一个解析式MATLAB给出了quad函数和quadl函数来求定积分。
其函数的调用格式为：quad('filename',a,b,tol,trace)quadl('filename',a,b,tol,trace)其中filename是被积函数名。
a和b分别是积分的下限和上限。
Tol是用来控制积分精度，默认时取tol=10e-6。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0。
例先建立一个函数文件ex.m:然后在MATLAB命令窗口，输入命令：3．被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。
其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例在MATLAB命令窗口，输入命令：4.二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。
该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。
参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。
例建立一个函数文件fxy.m调用dblquad函数求解注：ki是用于统计被积函数的调用次数（2）符号积分1.符号函数的不定积分在MATLAB中，符号函数的不定积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(f)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(f,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；例在MATLAB7.0中命令如下：（1）（2）2.符号函数的定积分int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例在MATLAB7.0中命令如下：（1）注：double（I）将符号结果转化为数值。
（2）3：数值方法与符号函数求给定函数的定积分例1 求函数x^2的定积分，积分下限为1，积分上限为2。
数值方法：符号方法：例二求函数exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)，外层积分下限为-1，积分上限为1，内层积分下限为-2，积分上限为2。
数值方法：建立一个函数文件fxy.m调用dblquad函数求解符号方法：4：课程设计结果分析int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解。
quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。
int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。
三课程设计心得体会此次课程设计加深了我对MATLAB的认识，巩固了我这学期所学的MATLAB知识，提高了自己解决问题的能力。
之前胡老师在课堂上讲的这些重点，在这次实践之后，我对MATLAB编写Ｍ文件及程序有了更加详细的认识。
在课程设计的过程中，遇到很多问题，但是通过自己不断的查阅资料，与同学们商量，这些问题都得以解决。
总之，自己还有很多不足的地方，希望在以后的学习当中，能够更好的学好。
参考文献刘卫国．MATLAB程序设计与应用【M】.高等教育出版社，2002刘卫国.科学计算与MATLAB语言【M】.中国铁道出版社，2000。