数学分析 第八章 几种特殊函数积分4
(1) n m , ——真分式； ( 2) n m ,——假分式；
2015-2-11 2
3、有理函数的表示
(1) 假分式
3
多项式除法
多项式 真分式 ;
x x 1 1 如 x 2 2 x 1 x 1
( 2) 真分式
待定系数法
部分分式之和 ：
x3 6 5 dx dx 2 x 5x 6 x 2 x 3
6 ln(x 3) 5 ln(x 2) C .
6
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例2
1 dx 2 x( x 1)
x 1 ln C. x 1 x 1
A B C 1 , 2 2 x ( x 1 ) x x 1 ( x 1)
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1 1 x dx arctan 20 C 2 2 a a a x
例7 求积分
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 3 3t 3 6 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 2 1 x ln(1 x 2 ) C 2 2
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•分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因 式分解, 然后化成部分分式再积分.
例1 2 求 例
x 3 dx . 2 x 5x 6 6 5 5 x 3 dx 6 x 3 解 ( ( )dx )dx 解 2 dx xx 3 x 5x 6 (x 2)(x 3) 3x 2 x2 6 5 d ( x 2) dx d ( x 3) dx x3 x2
比较系数
a, A, B, C , D.
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真分式
P( x) Q( x )
A1, 1 1 A1,1 { b0 x 1 ( x 1 ) 1
Ak , k Ak ,1 x k ( x k ) k
B1, 1 x D1, 1 B1,1 x D1,1 2 x p1 x q1 ( x 2 p1 x q1 ) 1
Mx N 特殊地：k 1, 部分分式为 2 ; x px q
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x2 a Ax B Cx D ( x 1)( x 2 2 x 2)2 ( x 1) ( x 2 2 x 2) ( x 2 2 x 2)2
x 2 a( x 2 2 x 2)2 ( Ax B)( x 2 2 x 2)( x 1) (Cx D)( x 1)
2 1 1 2 ln | 1 2 x | ln(1 x ) arctan x C 5 5 5 2015-2-11
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•分母是二次质因式的真分式的不定积分
x3 dx ? 例6 求 2 x 2 x 10 解 ( x 2 2 x 10) 2 x 2
分母因式分解
x3 ( x 2)( x 3)
部分分式之和
A B , x2 x3
通分后分子相等
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A B 1, A 5 比较系数 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
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k （3）分母中因式 ( x 2 px q ) ，对应的部分 分式为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是待定的常数( i 1,2,, k ) .
k ( x a ) （2）分母中因式 ，对应的部分分式为 A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是待定的常数.
A ; 特殊地：k 1, 部分分式为 xa 2015-2-11
4
例1
x3 x2 5x 6
M 1 1 2 2 2 2 n d (t a ) b 2 2 n dt 2 (t a ) (t a )
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M 1 b 2 dt . 2 2 n1 2 n 2( n 1)(t a ) (t a )
dt 其中 I n 2 及 I1 推出。 2 n 可由递推公式 (t a )
18
4 2 1 x 1 5 5 5 (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2 x 1 x 2
(1 2 x )(1 x
1
2
)
dx
4 2 1 x 5 dx 5 2 5dx 1 2x 1 x
1 d ( x 2 1) 2
2 x 1 1 2 1 d (1 2 x ) 2 dx 2 dx 5 1 x 5 1 x 5 1 2x
d ( x 2 2 x 10) x 2 2 x 10
1 2 x2 68 2x x3 x 2 2 x 10dx 2 x 2 2 x 10dx 1 2x 2 4 dx dx 2 2 2 x 2 x 10 x 2 x 10 1 1 d ( x 2 2 x 10) 4 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 9 2 x 2 x 10 4 x 1 1 2 C ln( x 2 x 10) arctan 2 3 3
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx.
令 x 0, A 1; 令 x 1, C 1;
（ 综 合 法 ）
比较二次项的系数， 得 0 A B, B A 1.
1 1 1 1 . 2 2 x x 1 ( x 1) x ( x 1)
1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x )
4 2 1 x 1 5 5 5 2 2015-2-11 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x 2
整理得1 ( A 2B) x 2 ( B 2C ) x C A 4 2 1 A 2B 0 B 2C 0 A , B , C 5 5 5 A C 1
p 令 x t 2
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p2 2 令 q a 4
12
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
2 2
Mx N Mt b,
p Mp 则 a q , b N , 4 2 Mx N 2 dx n ( x px q )
Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
15
•假分式的不定积分
x 例1 求 2 dx 1 x
解
2 22 x3 x ( x 1) x x ( 1) xx 1) 2 2 1 x 1 x2 1 x x x 1 x2
3
分项
x3 x 1 2 1 1 22 ( x ) dx dx x dx d ( x 1) 1 x2 1 x 2 2 2 1 x 2
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3
P( x ) 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x )
（1）对分母Q( x )在实数系作标准分解： b0 ( x 1 )1 ( x k ) k ( x 2 p1 x q1 )1 ( x 2 ph x qh ) h
（其中 x 2 pi x qi , i 1,, h 为不可约因式 )
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（ 比 较 系 数 法 ）
5
或
由 x 3 A( x 3) B( x 2),
（ 赋 值 法 ）
令 x 3, 得 3 3 B(3 2), B 6;
令 x 2, A 5.
x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
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M ( 2 x p) M p 2N / M dx dx 2 2 2 2 x px q 2 ( x p / 2) q p / 4
可求！
( 2) n 1,
2
Mx N ( x 2 px q )n dx
2 2
p p x px q x q , 2 4
Mx N (C ) 2 n; ( x px q )
Mx N dx , 前两类易求，现讨论第三类积分 2 n ( x px q ) Mx N (1) n 1, x 2 px q dx
M ( 2 x p) p 2 N / M dx 2 2 x px q
Bh, 1 x Dh, h Bh,1 x Dh,1 2 2 h } x ph x qh ( x ph x qh )
（其中各系数待定）；
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说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
A （A）多项式； ( B ) n; ( x a)
6 ln x 3 5 ln x 2 C
高等数学几种特殊类型函数的积分
P(x) Q( x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
4-4 有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式
1 x
(x
1 1)2
1. x1
4-4 有理函数的积分
例3
(1
1 2 x )(1
x2)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和.
例如，我们可将 x 3 x 1
x2 1
1
化为多项式与真分式之和
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
. 1
4-4 有理函数的积分
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
(x
A2 a)k1
Ak xa
,
其中 A1 , A2 ,, Ak都是待定的常数.
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后含有：
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
第八章 反常积分
∫ ∫ b
t =1/(b− x) +∞
1) 设函数 f (x) 连续, b 为奇点, 有 f (x)dx =
f (b − 1) dt .
a
1 /( b − a )
t t2
∫ ∫ 2) 设 a > 0 , 有
+∞
t =1/ x
f (x)dx =
1/ a f (1) dt 把无穷区间反常积分化成了无界函数的反常积分.
定义 1 假设函数 f (x) 定义在无限区间 [a,+∞) 上并且在任意有限区间 [a,b] ⊂ [a,+∞) 上可积. 如果极限
b
+∞
b
∫ ∫ ∫ lim f (x)dx = I 存在, 则称 I 为函数 f (x) 在 [a,+∞) 上的反常积分,记作 f (x)dx = lim f (x)dx. 同时,
b
∫ ∫ ∫ 显然, 无界函数的反常积分 f (x)dx 收敛的充分必要条件是无界函数的反常积分 f (x)dx 和 f (x)dx 同
a
a
c
时收敛.
∫ 例 3 计算无界函数的反常积分
1
1/
1 − x 2 dx .
−1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
解
1
0
dx =
1
1
dx +
1
0
dx = lim
1
1− β
dx + lim
h
桶里水面降低的高度为 ∆x ，则有下面关系：π R2∆x = vπ r2∆t ,由此得
∆t =
R2
∆x , x ∈[0, h]
r2 2g(h − x)
1
《数学分析》教案 ---- 反常积分
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
《数学分析1》知识点总结：第八章-不定积分
第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。
②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。
·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。
④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。
·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。
⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。
数学分析第八章 不定积分
或 df (x) f (x) C.
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3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
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(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
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8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
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我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
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几种特殊函数的积分
x x x ln sec ln 1 tan C 2 2 2
数学分析（上）
注意 万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式 的计算先考虑其它方法, 不得已才用万能代换.
1 cos x 例如 d sin x dx 1 sin x 1 sin x
dx d cot x 又如 2 2 3 si n x 3 csc x 1
dx 1 C . (a sinx b cos x)2 a(a tan x b)
数学分析（上）Leabharlann 例5dx (1) 1 s i nx
dx ( 2) 2 cos x
dx ( 3) 2 si n x
A B 1 A 5 (3 A 2B ) 3 B 6 x3 5 6 2 （待定系数法） x 5x 6 x 2 x 3 x3 x 2 5 x 6 dx 5 ln x 2 6 ln x 3 C
数学分析（上）
dx 例3 求 I 1 x3 1 1 3 2 1 x (1 x )(1 x x )
1 A Bx C 2 2 (1 x )(1 x x ) 1 x 1 x x
1 1 2 , B ,C 可求得 A 3 3 3 1 1 1 1 2 I ln1 x ln(x x 1) arctan (2 x 1) C 3 6 3 3
Ak A1 A2 2 k x a ( x a) ( x a)
数学分析（上）
2）分母中若有因式 ( x
2
2
px q) ,其中
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
第08章特征函数
第八章特征函数第一节特征函数一、复随机变量1、定义：设与均为上的一维随机变量,称为上的复随机变量.2、的数学期望: ,假如、均存在.3、相互独立：设()独立，称()独立.4、性质：(1),其中为复常数.证明：.(2).证明：.(3).,如此1 / 262 / 26||||)(,,Z E p iy x p iy xlk kl l k lk kl l k∑∑=+≤+=.(4)|||1|x e ix ≤-, R ∈∀x .证明：|||||1|0x dt e dt e e xitxitix=≤=-⎰⎰.(5)假如k k k iY X Z +=独立,如此.证明：仅证明独立,如此与独立, 从而与,与,与,与.(6)，必存在.证明：仅证连续型. 因,，故与存在,从而存在.二、特征函数 1、定义:设为上的一维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①.②假如为离散型,如此.3 / 26③假如为连续型,如此.2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：R ∈∀t ,R ∈∀h ,|])1[(||||)()(|)(itX ihX itX X h t i X X e e E Ee Ee t h t -=-=-++ψψ⎰⎰+∞∞-+∞∞--≤-=dx x edx x e e ihxitxihx)(|1|)()1(ϕϕ⎰∞∞-=dx x hx)(2sin2ϕ 其中：2sin222|1|222hx ie eeex h i x h i x h i ihx=-=--; 由于0>∀ε, 0>∃K ..t s ⎰>Kx dx x ||)(ϕε<, (因为1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ收敛)取0>=Kεδ , 当δ<||h 时,⎰⎰->+≤-+KKK x X X dx x hxdx x hx t h t )(2sin 2)(2sin 2|)()(|||ϕϕψψ⎰⎰⎰-->+<+≤KKKKKx dx x K h dx x hx dx x )(||22)(||2)(2||ϕεϕϕ4 / 26εϕεε4)(22≤++<⎰-KKdx x .(4),为常数；证明：.(5)设()独立, 如此.证明：仅证明时成立即可..(6),假如存在.证明：因.所以.三、常见分布的特征函数 1、离散型 (1)退化分布：. 证明：. (2)：,其中.证明：.(3):.证明：,服从参数为的(0-1)分布,且独立,,所以.(3):.证明：.2、连续型(1)：.特别：①：；②：.证明：(2):.(3):.证明：.5 / 266 / 26(4) ：.证明：222122221 221t t i it itz t t i edz eeσμσσσμπ--+∞-∞---==⎰.其中:.2222)(2σσσμσμσσμit it x x it x z +--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 22222σμσμt it xit x -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 222221212t t i itx x z σμσμ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 下面计算 πσσ22222==⎰⎰-+∞-∞---it itz Lz dz edz e: ,.,,在上, ,π2022=+→+=⎰⎰⎰⎰+∞∞---dx ex l xxL xx.第二节唯一性定理一、逆转公式1、预备知识(1)设有函数，使得，，收敛,如此在上一致收敛. 于是有；又假如在上连续,如此. 华东师大《数学分析(下)》(2)狄里克莱积分: 华东师大《数学分析(下)》，.(3)设，,如此2、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,又是的连续点，如此7 / 26证明: 不妨设，且,令，因为.又收敛,如此又因为存在,故. 所以.二、唯一性定理1、唯一性定理: 的分布函数由其特征函数为唯一确定.证明:在的每一个连续点上，取也为的连续点,于是有.因由其上连续点唯一确定，故由唯一确定.8 / 269 / 262、设,且,如此⎰∞∞--='=dt t e x F x X itx X )(21)()(ψπϕ.证明: 因,故连续.,,有，又，且 ,于是⎰⎰∞∞--+∞∞-∆+--→∆=∆-=dt t e dt t x it e e X itxX x x it itx x )(21)(lim 21)(0ψπψπ.注意为解析函数,.三、分布函数的再生性 1、，独立,如此: .证明：因，. 由唯一性定理知, .2、，独立,如此:.证明：因，.由唯一性定理知, .3、,独立,如此: .证明：，,由唯一性定理知, .4、,独立,如此: . 证明：，,由唯一性定理知, .第三节维随机变量的特征函数一、特征函数1、定义:设为上的维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①假如为离散型,如此.②假如为连续型,如此.10 / 2611 / 26注：∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='nk k k n n X t X X X t t t X t 12121) ( 2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续； 证明：,,.其中：2121|||)()(|||X X t t X t '∆'∆≤'∆, 注：∑=∆='∆nk kkXt X t 1,∑=∆∆=∆'∆nk kktt t t 1,∑=='nk k kX XX X 1此式利用了许瓦兹不等式:.因，由判别式可得.为方便起见,以下引入记号： ①，,.12 / 26②，,特别记:,.例：)4(}4,2{N I ⊂=,)1,0,1,0(1=I ,)0,1,0,0(11}3{3==.③,其中,.特别记,为单位矩阵.例：)4(}4,2{N I ⊂=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000000100000I E , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0000010000000000}3{3E E .④t E t I I =, 为t 的取有行的向量,I I I AE E A =, 为的取有行和列的矩阵,例：),,,(4321t t t t t =,)4(}4,2{N I ⊂=,13 / 26⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==43214242100000000010000000),0,,0(t t t t t t t t t I ,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000010000100000000010000000000000000000444342413433323124232221141312114422a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ④,，但均为非负整数. (4),为常量,为常矩阵. 证明：.注：A B AB ''=')((5) 边缘分布：,,特别，证明：.其中：X t E X E t X E E t X E t E X t I I I I I I I I )()()('='='='='(6),假如存在,.说明：n kn kkkt t t t ∂∂∂=∂ 2121二、逆转公式14 / 261、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,在体面上概率为0,如此⎰∏∈=---=-n kk k k x nk k b it a it X n dt it e e t a F b F R 1)()2(1)()(ψπ.2、唯一性定理:的分布函数由其特征函数唯一确定.⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ.三、独立性 1、设()独立, 如此.证明：仅证明时成立即可..2、设为维随机变量，如此 ，独立⇔∏==nk k X X t t k1)()(ψψ.证明:“〞因为，独立，从而, 所以.“〞因为,所以⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ15 / 26⎰∏∈=---∞→-=n k kk k k x n k k X k x it y it ny dt t it e e R 1)()2(1limψπ ∏∏⎰==∈---∞→=-=nk k X nk t k k X k x it y it y x F dt t it e e k k k kk k k 11)()(21lim Rψπ.故，独立.第四节n 维正态分布矩阵回顾：(1) 正定,记为;非负定,记为.(2) ,. (3)所有主子式存在,,使得存在,,使得.(4) 所有主子式存在,使得. (5) . 这时即的主子式.(6),如此.(7) 对称合同于对角矩阵,即存在,,使得为对角矩阵.一、n 维正态分布 1、定义：设,,为阶正定矩阵，且,称服从维正态分布，记作.2、验算：验算确实是维随机变量的密度函数. (1)显然：,; (2)因，故存在,,使得，且.令,于是,这样,而，有,那么,从而.于是.3、特别,当时, .二、特征函数1、的特征函数：. 证明：，令,.由于,而,令，, 有,16 / 2617 / 26所以.2、I X 的特征函数：,因此也是正态分布),(~I I I C N X μ. 其中,，为二次型的矩阵,也是正定矩阵. 特别: ,.证明： .三、数字特征 1、设,如此μ=EX .证明：因，从而,,所以.2、设,如此. 因此有.预备工作： (1)设，为含自变量的可微函数,定义: .(2). 证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑==)()(11n j jl kj nj jl kj B A t B A t t AB .(3)设，与无关,如此18 / 26,.下面证明.证明：因)()()(202l k l k t l k X X X E X X E i t t t -==∂∂∂=ψ, 又,而，,kl k l l k lk C C C t t Z -='-'-=∂∂∂111121212, l k Z kl Z k Z l l k X t t Z e t Z t Z e t Z e t t t t ∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂22)(ψ， 于是kl k l t l k X C i i t t t -=∂∂∂=))(()(02μμψ，从而 ,所以.四、独立性设,如此独立,,证明：“〞显然. “〞因,,)(exp()exp()(221121kk k nk k k X C t it Ct t t i t -='-'=∑=μμψ∏∏===-=nk k X n k kk kk k t C t it k 11221)()exp(ψμ. 所以独立.五、线性变换 1、,,,，如此.19 / 26证明：因})()( exp{21t A AC t A t i ''-'=μ,下面证明.因,，,故存在,,使得，且,于是.可见.2、,,服从一维正态分布.证明：“〞取,由1知.“〞①先证明， 当,,时., ,令，,,有,,,那么.故.20 / 26显然，可见, 有,又X X k k 1'=服从一维正态分布,有0),cov(>==k k k kk DX X X C ,可知, 所以. ②再证明一般地也有.由于为实对称矩阵,故存在,,使得为对角矩阵.令,由条件知,,,,也服从一维正态分布,而由知道,,,由①知,又,由1知.3、独立,),0(~E N X .证明:“〞因,那么,故独立,.“〞因,故,,服从一维正态分布.因此,又因独立,，所以.作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k =求)(t X ψ2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 与DX .21 / 263、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.4、itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.5、)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ.6、设 X 01 3 P2183 81 Y 0 1P 3132X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布.7、),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E .8、证明:假如)(t k ψ,.,,2,1n k =均为特征函数,如此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.作业：22 / 261、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k =求)(t X ψ解: )1()1()(1)( 1111itt in it n k k it it n k ikt nk k itx itXX e n e e e n e e n p eEet k--=====∑∑∑=-==ψ )1(1 --=-ittin e n e .2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 与DX . 解:(1) qe pqe pe qe pep qe Eet itit it k k it itk k ikt itXX -=-====-∞=-∞=-∑∑1)()(1111ψ. (2)由于kk k EX i X =)0()(ψ,而22)()()()(q e ipe i e q e p t it it itit X -=---='----ψ, 22)()()(2))(()(q e i e q e ipe q e i ipe t it it it it it it X ---⋅---=''------ψ32)(q e pe pqe it ti it ---=---. 于是p q p i i EX X 1)1()0(22=--='-=ψ. 又2321)1()0(pq q p pq EX X+=----=''-=ψ, 从而2222211)(pq p p q EX EX DX =-+=-=.3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.解: ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+===txdx x i txdx x dx x e Eet itxitXX sin )(cos )()()(ϕϕϕψ2020||111)cos sin (cos cos 21t t tx tx t e txdx e txdx e x xx +=+-===+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰.23 / 264、itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.解: 由于1111)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=λψit it t X ,可见)1(~Exp X .所以⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,)(x x e x x X ϕ⎩⎨⎧≤>-=-.0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X另解:⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--++=-==dt t e it dt it e dt t e x itxitx X itxX 21)1(21121)(21)(ππψπϕ ⎰⎰∞∞---∞∞--⎩⎨⎧≤>=+=+++= .0 ,0 ,0 ,121212122x x e iI I dt t te idt t e x itxitx ππ其中:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=- .0 ,21 ,0 ,211x e x e I x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤->=- .0 ,21,0 ,212x e x e iI x x于是⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X5、)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ. 解: 由于2212221 )(t t t i X ee t --==σμψ,而)()(at e t X ibt b aX ψψ=+, 那么222212212323)2(3332)2()()(t t i t t i t t i X t i X Y e eee t e t t ---+=====ψψψ.可见3=EY ,422==DY ,由唯一性定理知:)4,3(~N Y .6、设 X 01 3 Y 0 124 / 26P21 83 81P 3132X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布. 解: 310818321)(⋅⋅⋅++==it it it itXX e e e Eet ψ, 103231)(⋅⋅+==it it itYY e e Ee t ψ, 因 X 与Y 独立, 于是4321012124141241161)()()(⋅⋅⋅⋅⋅++++==it it it it it itX Y X Z e e e e e Ee t t t ψψψ， 所以,由唯一性定理知Z 01 234P61 2411 41 241 1217、),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E .解: 由于) exp()(21Ct t t i t X '-'=μψ,而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021μμμ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122212121ρρσσρσσρσσC , ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='211221212111)(t t t t t t t t t t Ct t ρρρρ222121212221212t t t t t t t t t t ++=+++=ρρρ, 于是 u t t t t X e e Ct t t =='-=++-)2(2121222121)exp()(ρψ因,而uu X e t t t t e t t )(222)(21211ρρψ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂,25 / 26)()()(1221212t t e t t e t t t u u X ρρρψ+++-=∂∂∂,所以 ρψ=∂∂∂-==021221)()(t X t t t X X E .8、证明:假如)(t k ψ,.,,2,1n k =均为特征函数,如此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.证明: 设k X 的特征函数为)(t k ψ,.,,2,1n k =且独立,如此∑==n k k X X 1的特征函数为=∏=n k X t k 1)(ψ∏=nk k t 1)(ψ.因此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.解: 由于 b AX Y+=,因 })()( exp{)()()(21t A AC t A t i e t A e t t b t i X b t i b AX Y ''-'='==''+μψψψ, })()( exp{21t A AC t b A t i ''-+'=μ, 由唯一性定理知 ),(~A AC b A N Y '+μ.而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11ρρC ， 有 b b A =+μ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='ρρρρ2200221111111111A AC , 从而 1,121-==y y μμ,0,)1(2,)1(22121=-=+=y y y y ρρσρσ,于是 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++---=ρρρπϕ1)1(1)1(412212221141),(y y ey y26 / 262)1(6)1(2221321+---=y y eπ.参考:,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121),(σμσσμμρσμρρσπσϕy y x x ey x .。
几种特殊积分的计算方法
积分的基本定义：设F 为函数 的一个原函数，我们把函数f 的所有原函数F C（C为任意常数）叫做函数f 的不定积分记做 .其中∫叫做积分号，f 叫被积函数， 叫做积分变量，f 叫做被积因式.C叫积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立.微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分.积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用.
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）.黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限.从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分.比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替.对微分形式的积分是微分几何中的基本概念.
几种特殊积分的计算方法
1前言
积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念.
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x