几类特殊函数不定积分共38页文档
不定积分公式总结
不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。
掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。
接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。
2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
常见的不定积分公式大全
常见的不定积分公式大全常见的不定积分公式大全涵盖了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数等多种类型，以下公式中的C代表积分常数。
幂函数类型∫xndx = x(n+1)/(n+1) + C，其中n ≠ -1∫1/xdx = ln|x| + C指数函数类型∫axdx = ax/lna + C，特别地，当a=e时，∫exdx = ex + C∫x*exdx = (x-1)ex + C对数函数类型∫lnxdx = xlnx - x + C三角函数类型∫sinxdx = -cosx + C∫cosxdx = sinx + C∫tanxdx = -ln|cosx| + C∫cotxdx = ln|sinx| + C∫sec^2xdx = tanx + C∫csc^2xdx = -cotx + C∫secxtanxdx = secx + C∫cscxcotxdx = -cscx + C∫sin^2xdx = (x - sinxcosx)/2 + C∫cos^2xdx = (x + sinxcosx)/2 + C反三角函数类型∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C∫arcsinxdx = xarcsinx + √(1-x^2) + C（注意：此公式可能与某些资料略有不同，但核心思想相同）∫arctanxdx = xarctanx - ln(1+x^2)/2 + C含有二次二项式的平方和差类型∫1/(a2+x2)dx = arctan(x/a)/a + C∫1/(x2-a2)dx = ln|(x-a)/(x+a)|/(2a) + C∫1/√(a2-x2)dx = arcsin(x/a) + C其他常见类型∫kdx = kx + C，其中k为常数∫xudx = x(u+1)/(u+1) + C，其中u为常数且u ≠ -1。
2019精品第四节几类特殊类型函数的积分物理
求
3x 1 x2 3x
dx 2
解
3x 1 是真分式
x2 3x 2
x2 3x 2 ( x 1)(x 2)
设
3x 1
x2 3x 2
A
x 1
B x2
即 3x 1 A( x 2) B( x 1)
（*）
3x 1 ( A B)x 2A B
比较系数，得
AB 3
2A
B
1
解得
1
arctan
x
)
C
1 ln | x2 1 |
2
x x2 1
C
注： 本题用到递推公式。
(
x
x3 1)10
dx
令t
x 1
(t t110)3dt
(t 7 3t 8 3t 9 t 10)dt
x11
x8
3
x4
dx 2
x8
x8x3 3x4
dx 2
1 4
( x4)2
( x4)2 3x4 2
x3
x
4 2x
3
dx
x
1
dx 1
x x2
1 x
3
dx
x
1
1
d(
x
1)
1 2
(2x 1)
1 2
x2 x 3
dx
ln | x 1 |
1 2
d( x2 x 3) x2 x 3
1 2
(
x
1 1 )2
11d( x
1) 2
24
ln | x 1 | 1 ln | x2 x 3 |
（2） 若 R(sinx, cos x) R(sinx, cos x)
微积分--不定积分
下页
第四节 几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称 为假分式.
返回
上页
下页
最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
返回
上页
下页
一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连 续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)． 又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
返回 上页
下页
例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3
( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2
利用特殊函数的性质求解不定积分
利用特殊函数的性质求解不定积分利用特殊函数的性质求解不定积分随着科技的不断发展，数学成为现代科学的重要基础，而积分作为数学的一个基本工具，在各个领域都发挥着重要的作用。
然而，求解不定积分并非容易的事情，常常需要运用多种方法和技巧。
本文将讨论利用特殊函数的性质来求解不定积分的方法，为读者提供一种更为简便的途径。
一、特殊函数的概念特殊函数是指在数学领域中具有特殊性质和应用的一类函数。
这些函数通常不是由基本初等函数组合而成的，但却常常用于广泛的领域，例如物理、工程、经济等。
因此，了解和掌握特殊函数的概念和性质对于掌握不定积分的方法具有重要意义。
二、常见特殊函数1. 常用特殊函数常用特殊函数包括伽马函数、贝塞尔函数、超几何函数等。
这些函数的性质和应用都非常广泛，有些特殊函数甚至在统计学、物理、工程和自然科学等领域都有应用。
2. 径向函数径向函数是一种具有特殊性质的函数族，常用于描述空间中的物理现象，例如量子力学和电磁学等。
常见的径向函数包括球贝塞尔函数、球贝赛尔函数、球面调和函数等。
3. 离散函数离散函数是一类具有离散变量的函数，通常用于描述统计学和信息学中的离散分布。
例如，狄利克雷函数和莫比乌斯函数等就是一种常见的离散函数。
三、利用特殊函数的性质求解不定积分利用特殊函数的性质求解不定积分，通常需要结合实际情况和具体的积分形式进行分析。
下面以伽马函数为例，探讨如何运用它的性质来求解不定积分。
伽马函数是一种具有特殊性质的函数，常用于求解复杂积分和微积分问题。
伽马函数的定义式为：$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, {\rm Re}(z)>0$$其中，Re(z)表示z的实部。
现在考虑一个具体的不定积分，即：$$\int x^{n} e^{-x} dx$$利用伽马函数的性质，可以将上式变形为：$$\int x^{n} e^{-x} dx=\frac{1}{\Gamma(n+1)}\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t} dt$$ 这里我们使用了积分变量替换法，将x换成了t。
几种特殊函数的积分
x x x ln sec ln 1 tan C 2 2 2
数学分析（上）
注意 万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式 的计算先考虑其它方法, 不得已才用万能代换.
1 cos x 例如 d sin x dx 1 sin x 1 sin x
dx d cot x 又如 2 2 3 si n x 3 csc x 1
dx 1 C . (a sinx b cos x)2 a(a tan x b)
数学分析（上）Leabharlann 例5dx (1) 1 s i nx
dx ( 2) 2 cos x
dx ( 3) 2 si n x
A B 1 A 5 (3 A 2B ) 3 B 6 x3 5 6 2 （待定系数法） x 5x 6 x 2 x 3 x3 x 2 5 x 6 dx 5 ln x 2 6 ln x 3 C
数学分析（上）
dx 例3 求 I 1 x3 1 1 3 2 1 x (1 x )(1 x x )
1 A Bx C 2 2 (1 x )(1 x x ) 1 x 1 x x
1 1 2 , B ,C 可求得 A 3 3 3 1 1 1 1 2 I ln1 x ln(x x 1) arctan (2 x 1) C 3 6 3 3
Ak A1 A2 2 k x a ( x a) ( x a)
数学分析（上）
2）分母中若有因式 ( x
2
2
px q) ,其中
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式