九年级上册二次根式复习
④ 当x满足-1<x≤2 时,实数 2 x+ 1 有意义.
x 1
已知字母a满足 2006 a a 2007 a
求 a 20062 的值.
解:由已知可得:a 2007 2006 a a 2007 a 可化成 a-2006+ a 2007 a a 2007 2006 a 2007 20062 a 20062 2007
变式应用
1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条
件是 x 4 。
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb
4、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
例3、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
5、最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式；
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
3. (1)化简(a-1)
1 的结果是
1 a
.
(2)当x＞5时，化简 16 8x x2 +｜x-4｜
(3)若1＜x＜4时，则 (x 4)2 (x 1)2
=
.
例4、在实数范围内分解因式；
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10 (4)a4 6a2 9
(6) 1 8
(7) 3 3 5
(8) 0.4
(9) 3 24
(10) 1 2 1
(11) 3 2 5
四、二次根式的加减 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
例1、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)2 12 4 1 3 48 27
(3) a2b ab2 a2 b ab a
3、二次根式的混合运算 例2、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2
(4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
（2）四边形有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
例3、计算
(1)( 2 )2 3
(2) (3)2
(3)(1 6)2 (4)(3 x )2 2
（√ ）
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
例1、化简 (1) 16 81
例2、计算
(2) 2000
(1) 21 7
(2)3 5 2 15
(3) 4 15 ( 1 5) 2
(4) 10x 101 xy
例5、已知2＜X＜3,化简
( x 4)2 (x 2)2
例6、化简 4x2 12x 9
2
1 2x
练习1、阅读下面一题的两种 解答过程， 请判断是否正确
a3 a 1 a
a a a1 a a
(a 1) a
（）
a3 a 1 a
a a a 1 a a
a a a
(1 a) a
变式练习：
1、能使二次根式 (x 2)2 有意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
2、已知 y x 7 7 x 9
求 (xy 64)2 算术平方根。
3、已知x、y是实数，且
y x2 4 4 x2 1 x2
求3x+4y的值。
二、二次根式的性质
(5) ( 3 5)2
(6) m2 2mn n2 (m n)
变式应用
1、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 a c ，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
《二次根式》复习
一、二次根式的意义
例1、找出下列各根式：3 27
(4)
4 a2 2a 1 2a 1(a 1) 2
a2 2 中的二次根式。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
(4) x2 1
(5) 3 2x 1
(6) 2 1 x
变式应用（思维训练题）
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , 3 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
(7) x 5 (x 6)0
1. a (a 0)
2、分母不为0
例3.设a.b为实数,且1 a (b 1)2 0
求a2006 b2006 的值
① x为 x 5 时, 2x 5是二次根式. 2
② 当a为 全体实数 时,实数 a2 1有意义.
③ 二次根式 1 中字母a的范围是 a<1 .
例4、判断下列各式中哪些是最简二次 根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2
(4) a b
(7) 2ab 3
(5) 12
(8) a3 b2
(6) 17
练习：把下列二次根式化为最简二次根式。
(1) 12 (2) 48
(3) 125 (4) 800
(5) 3 2
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
3、如图，四边形ABCD中，
∠A=∠BCD=Rt∠，已知∠B=450，
AB= 2 6 CD= 3 求（1）四边形ABCD的周长；
【新华东师大版】九年级数学上册：21《二次根式》章末复习学案(含答案)
第21章知识升华3 .几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 .2^.8; ^.18是同类二次根式. 4、二次根式的主要性质-..a (a >0)是一个非负数，即、.a >0 (a >0);5、二次根式的运算分别合并(类似整式中的合并同类项)三、考点例析2 .满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(即被开方数不含分母)；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如2・a b等(2) 2(；a ) =a (a 》0)； (3)(4) 二次根式的乘法法则:、a , b 、ab (a 0, b 0)(5) 二次根式的除法法则:a(a 0, b 0)(1) (1)二次根式的加减：二次根式相加减, 先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式(2)二次根式的乘除：二次根式相乘除, 把被开方数相乘除，根指数不变、知识结构图1 •形如(a > 0)的式子叫做二次根式•事实上 ,a (a > 0)表示非负数a 的算术平方根.等不是最简二次根式.3是最简二次根式.但 8;考点1:最简二次根式例1、（2010年哈尔滨市）在下列根式4.5a; - 2a ［、b; , 8x 中，最简二次根式的个数为（）,2a 3中有因式a 2可以开出，.8x 中有因数22可以开出,所以、:2a 3; 8X 不是最简二次根式.故选C.考点2：同类二次根式 例2、（2010年北京市）下列根式中，能与合并的是（） A .24B..12C. ， 3D. 18分析：能与.3合并的应是.3的同类二次根式， 这几个二次根式都不是最简二次根式，应先化为最简二次根式，刀=厶6;忑23;于；•吊3巨所以与4是同类二次根C.考点3:二次根式的运算A . 4个 B. 3个 C. 2 个 D.1分析：4.5a; _ b 是最简二次根式, 例3、（2010年青海省）若最简二次根式/1 人3 4 A. aB. a —43C. a 1D.a 1a 与2a 的被开方数相同，则a 的值为（） 的被开方数相同；即1a 4 2a ，解得a 1 ,故选4、（2010年山东省东营市F 列计算正确的是（）A . B.「43C.D.分析：由二次根式的性质和运算法则的 2 2,2 .2、2.而B 选项中明显用被开方数除以非被开方数，错用二次根式除法法则 ；C 选项用平方差公式即可得 4— 5 = — 1;D 选项丢了才1这”故选A.例5、（2010年江西省）化简2 2 2得（ ）式的是,12，故选B.分析：最简二次根式四、热点、易混点追踪1、概念理解模糊、审题不清例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数,最简二次根式；（3）若， 是二次根式，则a 0,b 0.其中正确的个数有（A .— 2 B. C. 2D.4.2 2分析：由二次根式的性质和运算法则得, 、,8 J ,22 2,2 2 2“ 2.故选 A.考点4:化简2例6、 （2010年北京市）计算近1分析：原式=2(2 1)2 .2 1 1.考点5:运用二次根式的性质化简 例7、（ 2010年江西省） 已知 a 2,贝,,(a 2)2分析:a 2, a0,2 a.例8、 （2010年绍兴） 化简 \ 4x 24x 1 2x2得（ A . 2B.4x 4C.D.4x 4.分析:由2x 3 0,得2x 10 ,所以,4x 2 4x 1. 2x 3 22x (2x 3) = 2x 2x 3 2，故应选A.考点6:二次根式成立的条件例9、（2010年山西省课该实验区）代数式1厂有意义时，字母x 的取值范围（A . x 1 B.x 1 C.D.x 0 且 x 1.分析：由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以 x 10,即x 1.故选A考点7:估算二次根式例10、（2010年沈阳课改） 估算 ,24 3的值为（）A . 在 5和6之间 B. 在6和7之间C. 在7和8之间D.在8和9之间.分析：因为\ 16、；24、、25 即 4^.24 5，所以 7 .243 8.故选 C.则其值是非负数；（2）... x 2 y 2是)个.A 、0B 、1C 、2错解：选D.剖析：本例中，(1)错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如,.a a 0的式子就是二次.事实上，—2 .. a a 0等也是二次根式，但它是非正数.(2) (3)错在将二次根式的概念与其性质.a aa 0,b\ b Jb例2、已知,2x 3与,5是同类二次根式，则 x 的值为( )选项A 错在是解2x 3 5而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况 .当2x52x 5也是同类二次根式，故选C.2、对性质成立的条件理解不透定成立的有( )个.A 、0B 、1 错解：选D.必须满足a 0,b 0 .故选A.3、忽视几何图形中的条件限制2 例4、已知a,b,c ABC 的三边长，求• a b c错解：原式=abcbac 2b 2c .剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误 原式=a b c b a c 2a .4、计算不依据法则，随意而为 例5、下列计算：(1).2a . 3a . 5a ； (2)3. 2 2、、2 1 ； (3) 2 . 2 2. 2； (4).132 122132 ，122 1 ; (5)亦2 <4 2.正确的个数有()A 、3B 、4C 、5D 、非上述答案 错解：选C.根式，而二次根式的值是非负数的 错在忽视了 X 2y 2 0的条件. 为一谈了，事实上只要满足 -b0即可•故选A.A 、 4B 、5C 、无数个D、非上述答案错解: 选A.剖析: 例3、有下列各式：(1) . ab 2b ；(2) . a 211 ;(3)1ab b剖析：(1)错在a b 不一定是非负数,(2)错在忽视了a 1的条件, (3)错在等式要成立,的值.剖析： (1 )错在臆造 2 .、3 ,5 ; (2)错在合并冋类二次根式是只考虑了“系数”；(3)错在套用了整数与分数相加的法则； (4 )、(5)错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.5、求解顾后不瞻前f ---------例6、若'4—X 有意义，则x 的取值范围是V x 14x0错解：由题意，得，解得0 x 4.x 0剖析：本例虽然考虑到被开方数的取值情况，但忽视了分母不能为零这个条件，正确结果为0 x 4 且 x 1.例7、先化简 X —1.. x 2 x ，然后再选择合适的数求值•J x 1----- 2错解：原式="X 1 _ J'x x 1 X 1 j x .当x =0时，原式=0. y/x 16、忽视隐含条件，使结论多解、漏解 例9、化简a错解：原式=•• xy xy 2 _ xy 2 3剖析：虽然xy 3，但我们并不知道 x, y 的取值符号，因此要进行讨论.(1 )当x 0, y 0 时，原式=xy xy 2 xy 2 3; ( 2 ) 当 x 0, y 0时，原式=、xy xy 2 xy 2 3.故填 2 3.剖析: 由题意，知x1 ,当x =0时，原式无意义， 因此只可取x1的数求值.如取x =4时,原式=6.例8、2解方程：x2 x 24错解: 原方程变为：2x 4x 4x 4x 4，解得:X 1 2,X 2 2.剖析: 只顾一直做下去, 以为求得解了就大功告成，是犯这类错误的特点.如果解题后，回过头来验证一下，就可以避免这类错误了，本题中, x =— 2时，x 无意义，所以x =2.错解：原式=a3 2a2a 5(a 1(a 3)3)剖析：本例隐含着.2 a0，则a 2，化简得原式=1.7、已知xy 3， y i —的值是；y8米的正方形大厅，它是由大小完全相同的黑白方砖密铺而成，则每一块方砖的边长为（ ） A 、8B、2 + 1C 、2 D五、本章达标测试、选择题（每小题 3分，共30分）：1、已知、、2卩 与、一5是同类二次根式，则 x 的值为（ A 、 4、无数个D 、非上述答案2、有下列各式: a 1a 1 ； ( 2) ： a b $ a b ；( 3)定成立的有（ A 、如果实数x, y 满足x 0，则的值为A 、若.14.02 x10，y 的值为（A 、 14.02、0.1402、1.402A 、 A 、 C 、A 、 8、 A 、如果」一x 2yx 2y F 列运算正确的是（1.52 0.521.5 如果代数式 第一象限F 列各组二次根式中, 4xy 4y 22y1，贝U x,2 y 的关系为、x 2yx 2y0.5、2.0?2x、第二象限那么直角坐标系中点C 、第三象限x 的取值范围相同的是（m, n 的位置在（、第四象限9、如图所示，有一边长为 D二、填空题（每小题2分，共20分）：10、请写出一个无理数使它与「3 1的积是有理数：___________ . __________11若常a a 0，贝U a的取值范围是 ___________________________ .若=7a & ，贝卩a的取值范围是12、已知二次根式J2a 1与J7是同类二次根式，试写出三个a的可能取值13、一个密码系统的原理如下所示：输入x T x21 T输出，如果输出结果为13时，则输入的x =15、已知0.2 a , 「03 b，则.0.24用含a,b的代数式表示为.16、已知A n】，B 3. n 2 （n为正整数），当n 5时，有A B.请用计算器计算当n 62时，A、B的若干值，并由此归纳出当n 6时，A B间的大小关系为17、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简.（a 1）2（b 1）2. （a b）2= _____ .18、已知长方形相邻两边之比为 2 : 3,对角线长为.39，则长方形的面积为 _.19、规定两种新运算：a b a b,c d .c - d，如3 2 329,2 3 .2 .3 .6 ,1那么12 - 3 = .2三、解答题（70 分）:20、（8分）不使用计算器，计算，113.14 0- 4554* 54' 521、（10分）已知x y 2 .3, y x2、、3，求x2y2 2 z xy xz yz 的值.22、（10分）图1是-种两种口味的火锅，为了制造这种火锅，我们把这个实际问题转化为一个26、数学问题就是在一圆筒里放入两种不同的物体， 并用一个长方形的金属薄片（金属厚度忽略不计） 分隔开来（如图2）,已知圆筒高为20cm ，容积为25120cm 3，问这个长方形玻璃薄片的面积为 多少？（ 取3.14，玻璃薄片的上边与圆筒的上底面持平）25、（7分）阅读理解:.12 .48r（10分）同学们都知道对于 -a 的式子，可以将分子、分母同乘以.b 来化去分母中的根号,Vb23、（ 10分）边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为 a的正方形方孔.3若沿图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.24、（ 7分）已知： ,a^=| a2ab b 2 a b 2，一个同学在化简.7 4.3时是这样化简的：7 4-3 ,44.3 3 ,22 才水3 (奇.(2 G)2=2+ G .请仿照这个同学的做法化简:J4 6 5阶行列式，规定它的运算法则为ad be ,如2 6 5 48，现在请你计算2、2图1如1_ -_22，那么如果分母中是形如、a b的形式，该怎么办呢？办法有的是，我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以Ja b ,从而化去分母中的根号，如参考答案一、 1 〜9、C A D C B D B C C 二、 10、、、3 1 11、 a 0, O v a w 1 12、 3, 31, 87 13、 土 2.3 14、 土 22 15、 2ab 16、 A B 17、 一 2 18、18 19、~7、20、 x51221、1522、解: 设圆柱形圆筒的底面半径为X ，则：x =25120 V 3.1420 20cm ，故长方形玻璃薄片的面积应为:20 40 800 cm 2 .23、解: 设新正方形的边长为x , 根据题意有： 2 2x a1 a 2，解得X 2 &a .3324、3 —:』5cu 47 L25、6626、 (1) 10 4、. 543 11 1 .3 1-L J .根据以上介绍，请你解答下面的问题:2(1) 4已知------- 的整数部分为.5 1a ，小数部分为b ，求a 2 b 2的值. (2) 1 试着化简：1 .22<3(2)原式=—L1—吕迈9康i忑近i 近运忑丘''、品屆4^晶。
华师大版数学九年级上册全册复习课件
第21章 一元二次方程
1．一元二次方程的定义 方程的两边都是__整__式____，且只含有__一__个____未知数，未知数的最高次数是
_为_2__a__x__2_，＋__这b_样_x_＋的__方c_＝_程__叫0_做__一元二次方程．任何一个一元二次方程经过整理都可以化
(a、b、c为常数，a≠0)的形式，称为一元二次方程的一般形式．
(__x_＋___m_)_2_＝___n____的形式；⑤如果n≥0就可以两边开平方来解出方程的根；如果n＜
0，则原方程无解．
(3)公式法：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当__b_2－__4_a_c_≥__0__时，它的根是
－b± b2－4ac
x＝_______2_a__________，这个
方法技巧
若 ax20＋bx0＋c＝0，则 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根；反之，若 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的一个根，则可得 ax20＋bx0＋c＝0，这就是一
元二次方程根的定义．
考点二 一元二次方程的解法
例 2 解方程：x2－4x－1＝0.
[解析] 二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，宜用配方法解．
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝ 2± 5，所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
方法技巧
如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简
3．一元二次方程根的判别式
由于一元二次方程的根的个数由代数式_b_2_－__4_a_c_____的符 号决定，因此把_b_2_－__4_a_c____叫做一元二次方程根的判别式． (1)当_b_2_－__4_a_c_＞__0___时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 x2＝两_个__不_－_相_b_－等__的2_ba_实2_－_数_4_a根_c_，__即__x_1_＝_____．－__b_＋___2_ab_2－__4_a_c________，
九年级数学上册 第21章 二次根式知识归纳 华东师大版
1 / 11 / 1 第21章 二次根式
1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．
2. 二次根式的性质：
（1）=2)(a （a ≥0）；（2a 0(a≥0)；（3）⎪⎩
⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a
3. 二次根式的乘除：
计算公式：___(0,0)
___(0,0)a b a b a a b b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩
乘法运算：除法运算： 4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)
同类二次根式：
5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式．
6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：
根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．
7. 二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
九年级数学期末复习002一元二次方程与二次根式
九年级数学期末复习 方程、根式班级 姓名 学号一、知识点回顾：1.一元二次方程的一般形式： .2.解法:四种 ; ; ; . 求根公式:x =(b 2-4ac ≥0)3.根的判别式: .4.二次根式的定义:形如 ( )5.二次根式的性质:2= (a ≥⎧==⎨⎩;= (a ≥0，b ≥= . (a ≥0,b>0) 二、知识技能训练:1.已知ax 2+4x-5=3x 2关于x 的方程是一元二次方程，则 a 的取值范围 . 2.方程22x x =的解为 .3.已知:方程(k-1)x 2+2x+1=0. (1)若方程有实根,则k ；(2)若方程有两个不等实根,则k .4.一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)(1)当a+b+c=0时,该方程必有一根为: . (2)当4a-2b+c=0时,该方程必有一根为: . 5.若(a 2+b 2)(a 2+b 2-2)=8,则a 2+b 2= .6.当k= 时，二次三项式x 2-2(k+1)x+k+7是一个关于x 的完全平方式.7.在四边形ABCD 中, AB ∥CD,且AB 、CD 的长是关于x 的方程x 2-3mx+2m 2+m-2=0的两个根,则四边形ABCD 是 . 8.函数y =中自变量x 的取值范围是 ．9.已知x ≤1,= .10.,则a= .11.阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 根据材料填空:已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 12.关于x 的一元二次方程()2211a x x a -++=的一个根为0，则a 的值为 . 13.若抛物线y=kx 2+x+1与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 14.若方程x 2+4x+a=0无实根，化简16-8a+a 2= .15.已知 m 是方程x 2-5x-6=0 的一根则 10m-2m 2+5＝ ．16.已知xy<0,.17.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为 . 18.下列二次根式中不可以再化简．．．．．．的是 （ ） A.xy 1.0 B.x 2+1 C.y 3D.3119.下列运算中，错误的是 （ ） A.632=⨯B.2221=C.252322=+D.32)32(2-=-20.（ ） Ａ.6到7之间 Ｂ.7到8之间Ｃ.8到9之间Ｄ.9到10之间21. 计算:(1) 34482714122--+(2) 1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°22.先化简，再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足方程x 2+x-6=0.23.解下列方程：（1） (x－5)(x－6)＝6 （2） 2x2-x-3=0(用配方法)24.已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2k+1 x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.25.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边a=3,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.26.某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？27.某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？28.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?29.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？课后作业:1～25题；课堂:讲评作业并训练26～29题.。
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一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式： x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
有括号的先算括号里的（或先去括号）。
4、因式分解法
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意因式调分解剖法沙就是龙利用课因反式分倒解的是手龙段，卷求出风方前程的一解的天方我法，分这种页方符法简Z单N易BX吃噶十 行，是解一元二次方程最常用的方法。
开方数 a 必须是非负数。
ax2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多
2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开
项式，等式右边是零，其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，
得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
弧也相等。
三、垂径定理及其推论
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三
尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式
直接开平方法适用于解形如 (x a)2 b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫 做同类二次根式。
x a 是 b 的平方根，当 b 0 时， x a b ， x a b ，当 b<0 时，方程没有
b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
九年级上册数学知识点归纳整理
九年级上册数学知识点归纳整理数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。
今天小编在这给大家整理了一些九年级上册数学知识点，我们一起来看看吧！九年级上册数学知识点第1章二次根式一.知识框架二.知识概念二次根式：一般地，形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。
当a>0时，√a表示a的算数平方根,其中√0=0对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由;2. 了解最简二次根式的概念;3. 理解并掌握下列结论：1) 是非负数; (2) ; (3) ;4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算;5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
第2章一元二次根式一.知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
(1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
九年级数学上人教版《二次根式及其化简》课堂笔记
《二次根式及其化简》课堂笔记
一、二次根式的概念
1.二次根式的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
或二次方根。
其中，平方过程中等于0的平方根叫做零的平方根，也叫做二次方根。
2.二次根式的表示方法：一般地，任何一个正数和零的平方根有两个，它们
互为相反数。
而负数没有平方根。
二、二次根式的性质
1.基本性质：a2=a（a≥0）；a<0时，a2=−a。
2.重要性质：ab=a⋅b（a≥0,b≥0）
三、二次根式的化简
1.直接开平方法：形如ax2=b或(ax)2=b（a=0）的方程，可用直接开平方法
解方程，得到x=±ab。
2.配方法：用配方法解方程，先把方程的右边化为0，然后方程左边也进行
配方，最后对方程左边进行开方运算。
四、二次根式的应用
二次根式在实际生活中被广泛应用于计算物体的面积、体积等方面。
比如在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径的平方作为底数进行计算。
在计算矩形、正方形等规则图形的面积时，也可以利用二次根式进行计算。
五、注意事项
1.在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和符号问题。
2.在化简二次根式时，要注意化简后的结果一定是最简二次根式。
3.在应用二次根式解决实际问题时，要注意单位的统一和转换。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
精品 九年级数学上册 二次根式 一元二次方程 综合复习题
5
4. 2( x 2
1 1 ) 3( x ) 1 2 x x
5. x 2 x 2 0
6. x 2 (1 2 3 ) x 3 3 0
7．
x4 1 2 2 2 x 2x x 2x 4 x 2
8.
x 2 5 x 1 10 x 1 x2 5 3
14. 3 x 2 2(a 2b) x b 2 a 2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15. x 2 m(3 x 2m n) n 2 0
3
4.（ a ＋
b ab a b ab ）÷（ ＋ － ） （a≠b） ． a b ab b ab a ab
5.计算（2 5 ＋1） （
1 10.已知 a，b 是方程 x2+x－1=0 的两根，求 a2+2a+ 的值． b
11.已知:关于x的方程x －(2k－3)x+(2k－4)=0. (1)无论k取任何实数,方程总有两个实数根. (2)当k取何值时,方程的两个根都是正数? (3)k为何值时,方程的两个实数根都比2大?
2
12.某商场销售一种产品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,尽快减少库 存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件产品每降价1元,商场平均每天可 多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元,每件产品应降价多少元?
3 2 2 32 2 2 8.以 和 2 为根的整系数一元二次方程是______
2 2
9.已知实数 x、y 满足(x+y)(x+y+3)－4=0,则 x+y 的值是______ 2 10.已知 k 是正整数,并且关于 x 的方程 x +2x+k－1=0 有实数根,则 k 的值是___ 2 2 2 11.已知方程 x +x－1=0 的两根为 x1 和 x2,则(x1 +2x1－1)(x2 +2x2－1)的值为___ 12.若实数 x1、x2 满足 x12－3x1+1=0,x22－3x2+1=0,则 + 的值是_______
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。