中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练及答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，

23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．

(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为；

(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）

()

()

()

()

2

43

x430x3

31333

x x3x5

S{

23

x1235x9

543

x9

x

+≤≤

-+-<≤

=

-+<≤

>

【解析】

解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．

（2）当0≤x≤3时，

如图1，

OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得

EF PE DC31

==

OQ PO DO3

33

==，∴EF=

1

3

（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQO

14343

S S EF OQ OC3x x43 233

==+⋅=+=+梯形

（）（）

当3＜x≤5时，如图2，

()

HAQ

EFQO EFQO

22

1

S S S S AH AQ

2

43331333

x43x3=x x

32232

∆

=-=-⋅⋅

=+---+-

梯形梯形

。

当5＜x≤9时，如图3，

12

S BE OA OC312x

23

23

=x123

=+⋅=-

-+

（）（）

。

当x＞9时，如图4，

11183543

S OA AH6

22

=⋅=⋅．

综上所述，S 与x 的函数关系式为：

()

()()()243x 430x 33

31333x x 3x 5232S {23x 1235x 93

543x 9x

+≤≤-+-<≤=-+<≤>． （1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：

∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，

∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）．

②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数：

∵OC 233tan CAO ==OA 63

∠=，∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，

∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33．

∴0PE

AE 3tan 60==．

∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，33）．

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．

2．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D 从点A 出发，在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动，连结CD ，作点A 关于直线CD 的对称点E ，设点D 运动时间为t （s ）．

（1）若△BDE 是以BE 为底的等腰三角形，求t 的值；

（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；

（3）当S△BCE≤9

2

时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考

数据：tan15°=2

【答案】（1）

2

；（2秒或3秒；（3）6﹣

【解析】

【分析】

（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直

平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；

（2）分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；

②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，

②当△BCE在BC的上方时，

分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．

【详解】

解：（1）如图1，连接AE，

由题意得：AD=t，

∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，

∴BC=2AC=6，

∴

∵点A、E关于直线CD的对称，

∴CD垂直平分AE，

∴AD=DE，

∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，

∴DE=BD，

∴AD=BD，

∴t=AD=

2

；

（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，

∵CD垂直平分AE，

∴AD=DE=t，